Matematica Slides de Aula Unidade III

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Unidade III
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Prof. Marcelo Seita
Equações lineares
 É uma função polinomial.
 De primeiro grau.
 Com uma ou mais incógnitas.
 Exemplo:
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟑
 Forma genérica
𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝒙𝟑 + …+ 𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝒃
coeficientes
incógnitas
termo independente
Equações lineares
 Equação linear homogênea
𝟒𝒙 +
𝟏
𝟐
𝒚 = 𝟎
 Solução trivial
(0,0,0,...,0)
𝟒. 𝟎 +
𝟏
𝟐
. 𝟎 = 𝟎
 Contraexemplo
𝟏
𝒙
+ 𝐲 = 𝟏  𝒙−𝟏 + 𝐲 = 𝟏
 É um conjunto de equações lineares
 Classificação: SI, SPD, SPI.
 Solução via método da substituição.
 Solução via método da adição (ou cancelamento).
Sistemas de equações lineares
.
.
.
𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑𝒙𝟑 + …+ 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟏
𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑𝒙𝟑 + …+ 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟐
𝒂𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒎𝟑𝒙𝟑 + …+ 𝒂𝒎𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒎
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sistemas de equações lineares
ቐ
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟏
𝟓
𝒙 − 𝒚 = −𝟏
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Sistemas de equações lineares
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏
𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = −𝟐
−𝒙 +
𝟏
𝟐
𝒚 − 𝒛 = 𝟎
Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Secretsharing_3-
point.svg/220px-Secretsharing_3-point.svg.png
y
x
z
Método da substituição
ቊ
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎
𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟐
1
2
1º Passo
𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟐
𝟐𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟐 − 𝟐𝒙
−𝒚 = 𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏 .−𝒚 = −𝟏 . 𝟐 − 𝟐𝒙
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟐
2
3
2º Passo
𝟐𝒙 + 𝟑. (𝟐𝒙 − 𝟐) = 𝟏𝟎
𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟔 = 𝟏𝟎
𝟖𝒙 − 𝟔 + 𝟔 = 𝟏𝟎 + 𝟔
𝟖𝒙 = 𝟏𝟔
𝟖𝒙
𝟖
=
𝟏𝟔
𝟖
𝒙 = 𝟐
3 1 3º Passo
𝟐. 𝟐 − 𝒚 = 𝟐
𝟒 − 𝒚 = 𝟐
𝟒 − 𝟒 − 𝒚 = 𝟐 − 𝟒
−𝟏 .−𝒚 = −𝟏 .−𝟐
𝒚 = 𝟐
4
4 2
𝒔 = 𝟐, 𝟐
Método da adição (ou cancelamento)
ቊ
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
𝒙 − 𝒚 = 𝟏 +
𝟐𝒙 = 𝟔
𝒙 = 𝟑
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
𝟑 + 𝒚 = 𝟓
𝒚 = 𝟐
Substituindo na primeira equação, temos:
𝑺 = {𝟑, 𝟐}
Método da adição (ou cancelamento)
ቊ
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟖
1º Passo
ቊ
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟖
ቊ
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
−𝟐𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟏𝟔
∗ (−2)
2º Passo
ቊ
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
−𝟐𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟏𝟔
𝟏𝟏𝒚 = 𝟐𝟐
𝒚 = 𝟐
+
3º Passo
𝟐𝒙 + 𝟑. 𝟐 = 𝟔
𝟐𝒙 = 𝟎
𝒙 =0
𝒔 = 𝟎, 𝟐
Classificação de sistemas
ቊ
𝒙 + 𝒚 = 𝟑
𝒚 = 𝟐
 𝑺 = {𝟏, 𝟐}  Sistema possível determinado
ቊ
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 = 𝟑
 Sistema impossível
ቊ
𝒙 + 𝒚 = 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐
 Sistema possível indeterminado
Interatividade
Uma das alternativas abaixo contém a solução correta para o 
sistema de equações abaixo, assinale-a:
ቊ
𝟎, 𝟐𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟏𝟓
𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟒
a) 𝐒 = {𝟒, 𝟐}
b) 𝐒 = {𝟒,−𝟐}
c) 𝐒 = {𝟖, 𝟐}
d) 𝐒 = {−𝟖, 𝟐}
e) 𝐒 = {
𝟏
𝟒
, 𝟏}
Matrizes
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 + 𝟑𝒌 + 𝒋 − 𝒑 = 𝟐
𝒙 + 𝟎, 𝟑𝒚 + 𝟎, 𝟕𝒛 + 𝟓𝒌 + 𝟐𝒋 − 𝟑𝒑 = −𝟏
𝟐𝒚 − 𝟕𝒛 + 𝟒𝒌 − 𝒋 − 𝒑 =0
𝟎, 𝟖𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟎, 𝟏𝒌 + 𝟎, 𝟐𝒋 + 𝟕𝒑 = 𝟖
𝟎, 𝟔𝒙 − 𝟎, 𝟕𝒚 − 𝟎, 𝟒𝒛 + 𝟎, 𝟑𝒌 − 𝟑𝒋 + 𝒑 = −𝟓
𝒙 − 𝟎, 𝟓𝒚 − 𝟒𝒛 + 𝟖𝒌 + 𝟎, 𝟐𝒋 − 𝟎, 𝟕𝒑 = 𝟑
Matrizes
𝑨 =
𝒂𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟏𝒏
⋮ ⋱ ⋮
𝒂𝒎𝟏 ⋯ 𝒂𝒎𝒏
𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
𝑿𝟑𝒙𝟑 =
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
𝟕 𝟖 𝟗
𝒙𝟏𝟐 = 𝟐 𝒙𝟐𝟑 = 𝟔 𝒙𝟑𝟏 = 𝟕
𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒊 = 𝒋, 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍
Propriedades das matrizes
 Matriz quadrada
- Quando m = n, temos 𝑨𝒏𝒙𝒏
𝑨𝟑𝒙𝟑 =
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑
 Matriz nula
- Todos elementos são nulos 𝟎𝒎𝒙𝒏
𝟎𝟐𝒙𝟐 =
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
Propriedades das matrizes
 Matriz linha
- 𝑨𝟏𝒙𝒏
𝑨𝟏𝒙𝟑= 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
 Matriz coluna
- 𝑨𝒎𝒙𝟏
𝑨𝒎𝒙𝟒 =
𝒂𝟏𝟏
𝒂𝟐𝟏
𝒂𝟑𝟏
𝒂𝟒𝟏
Propriedades das matrizes
 Matriz diagonal
- 𝑨𝒏𝒙𝒏, tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, para todo 𝒊 ≠ 𝒋
𝑨𝟑𝒙𝟑 =
𝟐 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟑
 Matriz identidade
- 𝑨𝒏𝒙𝒏, tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, para todo 𝒊 ≠ 𝒋 e 𝒂𝒊𝒋 = 1, para todo 𝒊 = 𝒋
𝑨𝟑𝒙𝟑 =
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
Propriedades das matrizes
 Matriz transposta
- 𝑨𝒕 = (𝒂𝒋𝒊)𝒏𝒙𝒎
𝑨 =
𝟎 𝟔
−𝟏 𝟐
𝟓 𝟎
, então 𝑨𝒕 =
𝟎 −𝟏 𝟓
𝟔 𝟐 𝟎
 Matriz simétrica
𝑨 =
𝟑 −𝟐
−𝟐 𝟓
, então 𝑨𝒕 =
𝟑 −𝟐
−𝟐 𝟓
. Ou seja, 𝑨 = 𝑨𝒕.
 Matriz antissimétrica
𝑨 =
𝟑 𝟐
−𝟐 𝟓
, então 𝑨𝒕 =
𝟑 −𝟐
𝟐 𝟓
. Ou seja, 𝑨 ≠ 𝑨𝒕.
Operações com matrizes
 Igualdade
- 𝑨𝒎𝒙𝒏 = 𝑩𝒎𝒙𝒏
- 𝑨 = 𝑩, quando 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒊 𝒆 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒋
𝑨 =
𝟏 −𝟏 −𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
−𝟑 −𝟑 𝟑
= 𝑩 =
𝟏 −𝟏 −𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
−𝟑 −𝟑 𝟑
Operações com matrizes
 Adição
- Sejam 𝑨𝒎𝒙𝒏 e 𝑩𝒎𝒙𝒏, 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐦𝐞𝐬𝐦𝐚 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐦
𝑨 + 𝑩 = (𝒂𝒊𝒋 + 𝒃𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
𝑨 =
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
e 𝑩 =
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
, 𝑨 + 𝑩 =
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒 𝟒
𝟔 𝟔 𝟔
 Associativa: 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪
 Elemento neutro: 𝑨 + 𝟎 = 𝟎 + 𝑨 = 𝑨
 Elemento oposto: 𝑨 + −𝑨 = 𝟎
 Comutativa: 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨
Operações com matrizes
 Subtração
- Sejam 𝑨𝒎𝒙𝒏 e 𝑩𝒎𝒙𝒏, 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐦𝐞𝐬𝐦𝐚 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐦
𝑨 − 𝑩 = (𝒂𝒊𝒋 − 𝒃𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
𝑨 =
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
𝟒 𝟒 𝟒
e 𝑩 =
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
, 𝑨 − 𝑩 =
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
Operações com matrizes
 Multiplicação
𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏 e 𝑩 = (𝒂𝒉𝒌)𝒑𝒙𝒒
𝑨.𝑩 ⇔ 𝒏 = 𝒑
𝑪 = (𝒄𝒊𝒌)𝒎𝒙𝒒
𝑪𝒊𝒌 = 𝒂𝒊𝟏𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝒊𝟐𝒃𝟐𝒌 + …+ 𝒂𝒊𝒏𝒃𝒏𝒌
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
𝟓 𝟔
.
𝟕 𝟖
𝟗 𝟏𝟎
=
𝟏. 𝟕 + 𝟐. 𝟗 𝟏. 𝟖 + 𝟐. 𝟏𝟎
𝟑. 𝟕 + 𝟒. 𝟗 𝟑. 𝟖 + 𝟒. 𝟏𝟎
𝟓. 𝟕 + 𝟔. 𝟗 𝟓. 𝟖 + 𝟓. 𝟏𝟎
=
𝟐𝟓 𝟐𝟖
𝟓𝟕 𝟔𝟒
𝟗𝟔 𝟗𝟎
Interatividade
Calcule o resultado da expressão 𝑨 − 𝑩 ∗ 𝑪 e assinale a 
alternativa correta:
𝑨 =
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
, 𝑩 =
𝟎 𝟏
𝟐 𝟏
𝒆 𝑪 =
𝟏 𝟑
𝟏 𝟒
a)
𝟏 𝟎
𝟒 𝟐
b)
𝟏 𝟑
𝟏 𝟒
c)
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
d)
𝟎 𝟏
𝟐 𝟏
e)
𝟏 𝟒
𝟐 𝟑
Operações com matrizes
 Propriedade associativa: 𝑨. 𝑩. 𝑪 = 𝑨.𝑩 . 𝑪
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
.
𝟐 𝟑
𝟏 𝟒
.
𝟎 𝟏
𝟐 𝟑
=
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
.
𝟐. 𝟎 + 𝟑. 𝟐 𝟐. 𝟏 + 𝟑. 𝟑
𝟏. 𝟎 + 𝟒. 𝟐 𝟏. 𝟏 + 𝟒. 𝟑
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
.
𝟔 𝟏𝟏
𝟖 𝟏𝟑
=
𝟏. 𝟔 + 𝟎. 𝟖 𝟏. 𝟏𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟑
𝟐. 𝟔 + 𝟏. 𝟖 𝟐. 𝟏𝟏 + 𝟏. 𝟏𝟑
=
𝟔 𝟏𝟏
𝟐𝟎 𝟑𝟓
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
.
𝟐 𝟑
𝟏 𝟒
.
𝟎 𝟏
𝟐 𝟑
=
𝟏. 𝟐 + 𝟎. 𝟏 𝟏. 𝟑 + 𝟎. 𝟒
𝟐. 𝟐 + 𝟏. 𝟏 𝟐. 𝟑 + 𝟏. 𝟒
.
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
𝟐 𝟑
𝟓 𝟏𝟎
.
𝟎 𝟏
𝟐 𝟑
=
𝟐. 𝟎 + 𝟑. 𝟐 𝟐. 𝟏 + 𝟑. 𝟑
𝟓. 𝟎 + 𝟏𝟎. 𝟐 𝟓. 𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟑
=
𝟔 𝟏𝟏
𝟐𝟎 𝟑𝟓
Operações com matrizes
 Elemento neutro: 𝑨. 𝑰 = 𝑨
 Distributiva: 𝑨. 𝑩 + 𝑪 = 𝑨.𝑩 + 𝑨. 𝑪
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
.
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
=
𝟑. 𝟏 + 𝟐. 𝟎 𝟑. 𝟎 + 𝟐. 𝟏
𝟒. 𝟏 + 𝟏. 𝟎 𝟒. 𝟎 + 𝟏. 𝟏
=
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
.
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
+
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
.
𝟑 𝟑
𝟑 𝟑
=
𝟏𝟓 𝟏𝟓
𝟏𝟓 𝟏𝟓
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
.
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
+
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
.
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟓 𝟓
𝟓 𝟓
+
𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟏𝟎 𝟏𝟎
=
𝟏𝟓 𝟏𝟓
𝟏𝟓 𝟏𝟓
Operações com matrizes
 Note que 𝑨.𝑩 ≠ 𝑩.𝑨
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
.
𝟑 𝟓
𝟐 𝟏
=
𝟏𝟑 𝟏𝟕
𝟏𝟒 𝟐𝟏
𝟑 𝟓
𝟐 𝟏
.
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
=
𝟐𝟗 𝟏𝟏
𝟏𝟎 𝟓
Matriz inversa
 𝑨𝒏𝒙𝒏
 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰
 (𝑨−𝟏)−𝟏 = 𝑨
𝟐 𝟏
𝟒 𝟑
.
𝒂 𝒃
𝒄 𝒅
=
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟐. 𝒂 + 𝟏. 𝒄 𝟐𝒃 + 𝒅
𝟒𝒂 + 𝟑𝒄 𝟒𝒃 + 𝟑𝒅
=
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟐𝒂 + 𝒄 = 𝟏
𝟐𝒃 + 𝒅 = 𝟎
𝟒𝒂 + 𝟑𝒄 = 𝟎
𝟒𝒃 + 𝟑𝒅 = 𝟏
𝒂 =
𝟑
𝟐
𝒃 = −
𝟏
𝟐
𝒄 = −𝟐
𝒅 = 𝟏
𝑨−𝟏 =
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
−𝟐 𝟏
Determinante 𝑨𝒏𝒙𝒏
 det A, det(A) ou |A|
 Solução de sistemas lineares
𝑨 =
𝟎 𝟐
𝟏 −𝟏
𝑨 = 𝟎. −𝟏 − 𝟐. 𝟏 = −𝟐
𝑨 =
𝟎 𝟐
𝟏 −𝟏
 Se 𝐴 ≠ 0, então, o sistema é possível determinado.
 Se 𝐴 = 0, então, o sistema é possível indeterminado ou
impossível.
Determinante
𝑨 =
𝟎 𝟏 𝟐
𝟓 −𝟏 𝟑
𝟒 𝟐 𝟏
𝑨 =
𝟎 𝟏 𝟐
𝟓 −𝟏 𝟑
𝟒 𝟐 𝟏
𝟎 𝟏
𝟓 −𝟏
𝟒 𝟐
𝑨 = 𝟎. −𝟏 . 𝟏 + 𝟏. 𝟑. 𝟒 + 𝟐. 𝟓. 𝟐 − 𝟐. −𝟏 . 𝟒 + 𝟎. 𝟑. 𝟐 + 𝟏. 𝟓. 𝟏
𝑨 = 𝟑𝟐 − −𝟑
𝑨 = 𝟑𝟓
Solução de sistemas
ቊ
𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟏
𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟖
↔ ቊ
𝟏. 𝒙 + 𝟐. 𝒚 = −𝟏
𝟐. 𝒙 + −𝟏. 𝒚 = 𝟖
𝟏 𝟐
𝟐 −𝟏
.
𝒙
𝒚 =
−𝟏
𝟖
𝟏. 𝒙 + 𝟐. 𝒚
𝟐. 𝒙 − 𝒚
=
−𝟏
𝟖
𝑨 =
𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 + …+ 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 + …+ 𝒂𝟐𝒏
…
𝒂𝒎𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 + 𝒂𝒎𝟑 + …+ 𝒂𝒎𝒏
, 𝑿 =
𝒙𝟏
𝒙𝟐
…
𝒙𝒏
e 𝑪 =
𝒃𝟏
𝒃𝟐
…
𝒃𝒏
𝑨.𝑿 = 𝑪
Solução de sistemas
 Método do escalonamento
ቐ
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
−𝟕𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟐
𝟐𝒛 = −𝟐
ቐ
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
𝟎𝒙 − 𝟕𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟐
𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟐
ቐ
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏
−𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟔
1º passo
∗ (−𝟐)
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝒛 = 4
+
−𝟕𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟐
Solução de sistemas
 Método do escalonamento
ቐ
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
−𝟕𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟐
𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏
−𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟗
2º passo
∗ (−𝟑)
𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏
+
−𝟕𝒚 − 𝟓𝒛 = −8
3º passo
ቐ
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
−𝟕𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟐
−𝟕𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟖
∗ (−𝟏) 𝟕𝒚 + 𝟑𝒚 = 𝟐 +
−𝟕𝒚 − 𝟓𝒛 = −8
−𝟐𝒛 = −6
Interatividade
Qual alternativa contém o determinante da matriz:
−𝟏 𝟐 𝟎
𝟑 𝟐 𝟏
−𝟏 𝟐 𝟎
a) 0
b) 8
c) -12
d) 9
e) 7
Cofator
 Dada uma matriz 𝑨𝒏𝒙𝒏, com n>2.
 Para um elemento 𝒂𝒊𝒋, temos que seu cofator é dado por:
𝑨𝒊𝒋 = (−𝟏)
𝒊+𝒋. 𝑫𝒊𝒋
 Em que 𝑫𝒊𝒋 é o determinante da matriz que se obtém
excluindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna
𝑨 =
𝟐 𝟏 𝟓
𝟒 𝟑 𝟐
𝟕 𝟔 𝟖
, para 𝒂𝟏𝟑, temos: 𝑨 =
𝟐 𝟏 𝟓
𝟒 𝟑 𝟐
𝟕 𝟔 𝟖
𝒊 = 𝟑
𝐣 = 𝟑
Cofator
𝑨 =
𝟐 𝟏 𝟓
𝟒 𝟑 𝟐
𝟕 𝟔 𝟖
𝒊 = 𝟑
𝐣 = 𝟑
𝑨𝟏𝟑 = (−𝟏)
𝟏+𝟑.
𝟒 𝟑
𝟕 𝟔
= 𝟏. 𝟐𝟒 − 𝟐𝟏 = 𝟑
𝐝𝐞𝐭𝑴 =෍
𝒊=𝟏
𝒎
𝒂𝒊𝒋𝑨𝒊𝒋
𝑴 =
𝟐 𝟑 −𝟒
−𝟐 𝟏 𝟐
𝟎 𝟓 𝟔
⟶ 𝑫𝟏=
𝟐 𝟑 −𝟒
−𝟐 𝟏 𝟐
𝟎 𝟓 𝟔
𝑫𝟏 = 𝟐. (−𝟏)
𝟏+𝟏 𝟏 𝟐
𝟓 𝟔
+ 𝟑. (−𝟏)𝟏+𝟐
−𝟐 𝟐
𝟎 𝟔
− 𝟒. −𝟏 𝟏+𝟑
−𝟐 𝟏
𝟎 𝟓
𝑫𝟏 = 𝟐. 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟑. −𝟏𝟐 − 𝟒. −𝟏𝟎
𝑫𝟏 = −𝟖 + 𝟑𝟔 + 𝟒𝟎 = 𝟔𝟖
Teorema de Laplace
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑𝑨𝟏𝟏 𝑨𝟏𝟐 𝑨𝟏𝟑
Propriedades dos determinantes
 Linha ou coluna nula: 𝒅𝒆𝒕𝑨 = 𝟎
𝟎 𝟎
𝟏 𝟐
= 𝟎. 𝟐 − 𝟎. 𝟏 = 𝟎
 Troca de linhas ou colunas: 𝒅𝒆𝒕𝑨′ = −𝒅𝒆𝒕𝑨
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
= 𝟏. 𝟒 − 𝟐. 𝟑 = −𝟐
𝟐 𝟏
𝟒 𝟑
= 𝟐. 𝟑 − 𝟏. 𝟒 = +𝟐
Propriedades dos determinantes
 Multiplicação (de linha ou coluna) por número real: 
𝒅𝒆𝒕𝑨′ = 𝒌. 𝒅𝒆𝒕𝑨
𝟐 𝟏
𝟏 𝟐
= 𝟐. 𝟐 − 𝟏. 𝟏 = 𝟑
𝟐. 𝟑 𝟏. 𝟑
𝟏 𝟐
= 𝟔. 𝟐 − 𝟑. 𝟏 = 𝟗
 Linhas ou colunas iguais: 𝒅𝒆𝒕𝑨 = 𝟎
−𝟏 𝟐 𝟗
𝟒 𝟕 𝟏𝟎
−𝟏 𝟐 𝟗
−𝟏 𝟐
𝟒 𝟕
−𝟏 𝟐
= −𝟔𝟑 − 𝟐𝟎 + 𝟕𝟐 + 𝟔𝟑 + 𝟐𝟎 − 𝟕𝟐 = 𝟎
Vetores
 Direção
 Sentido
 Intensidade
Vetores
 Sistema de coordenadas
y
x𝒙𝟏
𝒚𝟏
𝒚𝟐
𝒙𝟐
A
B
y
x
z
𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝒛𝟐
𝒙𝟏,𝒚𝟏, 𝒛𝟏
𝒖
𝒌
Vetores
 Norma (ou módulo) de um vetor
y
x𝒙𝟏
𝒚𝟏
𝒚𝟐
𝒙𝟐
a
b
𝒖
𝒖 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐+(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐
c
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2
Vetores
 Igualdade
 Soma de vetores
𝒖
𝒌 𝒖 = 𝒌
mesma direção
mesmo sentido
mesmo módulo
⟺
𝒖
𝒌 𝒌
𝒎 𝒎
𝒖
Vetores
 Diferença de vetores
𝒖 = 𝒌 −𝒎
𝒌
𝒎
𝒖
Vetores
 Multiplicação de vetores
𝒖 = 𝜶𝒌
- 𝒖 terá a mesma direção de 𝒌
- Se 𝜶 > 𝟎, 𝒖 terá o mesmo sentido de 𝒌
- Se 𝜶 < 𝟎, 𝒖 terá sentido oposto a 𝒌
- 𝒖 = 𝜶 𝒌
Interatividade
Calcule a norma do vetor 𝒉, com origem no ponto A e término 
no ponto B:
𝑨 = −𝟐, 𝟎 𝒆 𝑩 = (𝟑, 𝟓)
a) Ԧ𝐡 = 𝟐𝟔
b) Ԧ𝐡 = 𝟓𝟎
c) Ԧ𝐡 = 𝟐𝟓
d) Ԧ𝐡 = 𝟐𝟔
e) Ԧ𝐡 = 𝟓 𝟐
ATÉ A PRÓXIMA!