Lista de Exercícios IV

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4a Lista de Exerc´ıcios de Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica
Graduac¸a˜o em Cieˆncias Atuariais/Estat´ıstica
IM-UFRJ
Refereˆncia: Morris H. DeGroot e Mark J. Schervish (2002). Probability and Statistics
(3rd Edition) Addison-Wesley.
Exerc´ıcio 6.2.2. Suponha que a proporc¸a˜o θ de itens defeituosos em um grande lote
manufaturado assume os valores 0.1 ou 0.2, e a func¸a˜o de probabilidade (f.p.) a priori de
θ e´ como segue:
ξ(0.1) = 0.7 e ξ(0.2) = 0.3.
Suponha tambe´m que, quando 8 itens sa˜o selecionados ao acaso do lote, e´ encontrado
que exatamente dois deles sa˜o defeituosos. Determine a f.p. a posteriori de θ.
Exerc´ıcio 6.2.3. Suponha que o nu´mero de defeitos num rolo de fita magne´tica tem
distribuic¸a˜o de Poisson para qual a me´dia λ assume os valores 1.0 ou 1.5, e a f.p. a priori
de λ e´ como segue:
ξ(1.0) = 0.4 e ξ(1.5) = 0.6.
Se um rolo de fita e´ selecionado ao acaso e sa˜o encontrados 3 defeitos, qual e´ a f.p. a
posteriori de λ?
Exerc´ıcio 6.6.5. Suponha que X1, . . . , Xn formam uma amostra aleato´ria de uma
distribuic¸a˜o Uniforme no intervalo [a, b], onde a e b sa˜o desconhecidos. Encontre o esti-
mador de ma´xima verossimilhanc¸a (E.M.V.) da me´dia da distribuic¸a˜o.
Exerc´ıcio 6.6.12. Suponha que X1, . . . , Xn formam uma amostra aleato´ria de uma
distribuic¸a˜o Exponencial para qual o valor do paraˆmetro β e´ desconhecido. Mostre que
a sequeˆncia de E.M.V.’s de β e´ consistente.
Exerc´ıcio 7.1.2. Suponha que uma amostra aleato´ria e´ extra´ıda de uma distribuic¸a˜o
Normal com me´dia desconhecida θ e desvio-padra˜o 2. Qual deve ser o tamanho da
amostra tal que Eθ(|Xn − θ|2) 6 0.1 para cada poss´ıvel valor de θ?
Exerc´ıcio 7.1.4. Para as mesmas condic¸o˜es do exerc´ıcio anterior, qual deve ser o
tamanho da amostra tal que Pr(|Xn − θ| 6 0.1) > 0.95 para cada poss´ıvel valor de θ?
Exerc´ıcio 7.1.5. Suponha que uma amostra aleato´ria e´ extra´ıda de uma distribuic¸a˜o
Bernoulli com paraˆmetro p, desconhecido. Suponha tambe´m que acredita-se que o valor
de p esta´ na vizinhanc¸a de 0.2. Qual deve ser o tamanho da amostra tal que Pr(|Xn−p| 6
0.1) > 0.75 quando p = 0.2?
Exerc´ıcio 7.5.2. Suponha que uma amostra aleato´ria de 8 observac¸o˜es e´ extra´ıda de
uma distribuic¸a˜o Normal para qual a me´dia µ e a variaˆncia σ2 sa˜o desconhecidas; e que
os valores observados sa˜o 3.1, 3.5, 2.6, 3.4, 3.8, 3.0, 2.9 e 2.2. Encontre o menor intervalo
de confianc¸a para µ com cada um dos seguintes coeficientes de confianc¸a:
(a) 0.90, (b) 0.95 e (c) 0.99.
Exerc´ıcio 7.5.4. Suponha que X1, . . . , Xn formam uma amostra aleato´ria de uma
distribuic¸a˜o Normal para qual a me´dia µ e´ desconhecida e a variaˆncia σ2, conhecida.
Qual deve ser o tamanho da amostra de forma a obter um intervalo de confianc¸a para µ
com coeficiente de confianc¸a 0.95 e amplitude menor que 0.01σ?