Lista de Exercícios V

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5a Lista de Exerc´ıcios de Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica
Graduac¸a˜o em Cieˆncias Atuariais/Estat´ıstica
IM-UFRJ
Refereˆncia: Morris H. DeGroot e Mark J. Schervish (2002). Probability and Statistics
(3rd Edition) Addison-Wesley.
Exerc´ıcio 8.1.3. Suponha que a proporc¸a˜o p de itens defeituosos numa populac¸a˜o
grande de itens seja desconhecida e queremos testar as seguintes hipo´teses:
H0 : p = 0.2,
H1 : p 6= 0.2.
Suponha tambe´m que uma amostra aleato´ria de 20 itens e´ selecionada desta po-
pulac¸a˜o. Seja Y o nu´mero de itens defeituosos na amostra e considere um procedimento
de teste δ tal que a regia˜o cr´ıtica conte´m todos os resultados para os quais Y > 7 ou
Y 6 1.
a. Determine o valor da func¸a˜o poder pi(p|δ) nos pontos p = 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6,
0.7, 0.8, 0.9 e 1. Esboce o gra´fico da func¸a˜o poder.
b. Determine o n´ıvel de significaˆncia do teste (α).
Exerc´ıcio 8.1.4. Suponha X1, . . . , Xn formam uma amostra aleato´ria de uma dis-
tribuic¸a˜o Normal com me´dia desconhecida µ e variaˆncia 1. Suponha tambe´m que µ0 e´
um certo nu´mero especificado e deseja-se testar as seguintes hipo´teses:
H0 : µ = µ0,
H1 : µ 6= µ0.
Finalmente, suponha que o tamanho de amostra n e´ 25 e considere um procedimento
de teste que aceita H0 se |Xn − µ0| < c. Determine o valor de c tal que o n´ıvel de
significaˆncia do teste seja 0.05.
Exerc´ıcio 8.1.8. Assuma que X1, . . . , Xn sa˜o independentes e identicamente dis-
tribu´ıdos (i.i.d.) com distribuic¸a˜o Normal de me´dia µ e variaˆncia 1. Suponha que quere-
mos testar as hipo´teses:
H0 : µ 6 µ0,
H1 : µ > µ0.
Considere um teste que rejeita H0 se Z > c, onde Z = n1/2Xn−µ0σ .
a. Mostre que Pr(Z > c|µ) e´ uma func¸a˜o crescente de µ.
b. Encontre c tal que o teste tenha n´ıvel de significaˆncia α.
c. Assuma que Z = z e´ observado. Encontre uma fo´rmula para o p-valor.
Exerc´ıcio 8.1.11. Assuma que X1, . . . , X9 sa˜o i.i.d. com distribuic¸a˜o Bernoulli de
paraˆmetro p. Suponha que queremos testar as hipo´teses:
H0 : p = 0.4,
H1 : p 6= 0.4.
Seja Y =
∑9
i=1Xi.
a. Encontre c1 e c2 tal que
Pr(Y 6 c1|p = 0.4) + Pr(Y > c2|p = 0.4)
esteja o mais pro´ximo poss´ıvel de 0.1, sem ser maior que 0.1.
b. Seja δ o teste que rejeita H0 se Y 6 c1 ou Y > c2. Qual o n´ıvel de significaˆncia
do teste δc?
c. Desenhe o gra´fico da func¸a˜o poder de δc.
Exerc´ıcio 8.4.1. Suponha que X1, . . . , Xn formam uma amostra aleato´ria de uma
distribuic¸a˜o Normal com me´dia desconhecida µ e variaˆncia 1. Para um dado nu´mero µ0,
queremos testar as seguintes hipo´teses:
H0 : µ = µ0,
H1 : µ 6= µ0.
Considere um procedimento de teste δ tal que a hipo´tese H0 e´ rejeitada se Xn 6 c1
ou Xn > c2. Seja pi(µ|δ) a func¸a˜o poder de δ. Determine os valores das constantes c1 e
c2 tal que pi(µ0|δ)= 0.10 e a func¸a˜o pi(µ|δ) seja sime´trica com respeito ao ponto µ = µ0.
Exerc´ıcio 8.4.12. Seja X uma varia´vel aleato´ria tendo distribuic¸a˜o Exponencial
com paraˆmetro β. Suponha que queremos testar as hipo´teses
H0 : β = 1,
H1 : β 6= 1.
Usaremos um procedimento de teste que rejeita H0 se X 6 c1 ou X > c2.
a. Encontre as equac¸o˜es que devem ser satisfeitas por c1 e c2 para que o procedimento
de teste tenha n´ıvel de significaˆncia α.
b. Encontre um par finito de valores na˜o-nulos (c1,c2) tal que o procedimento de teste
tenha n´ıvel de significaˆncia α = 0.1.
Exerc´ıcio 8.5.2. Suponha que nove observac¸o˜es sa˜o selecionadas ao acaso de uma
distribuic¸a˜o Normal para a qual ambas, me´dia µ e variaˆncia σ2, sa˜o desconhecidas. Para
estas nove observac¸o˜es, sabe-se que Xn = 22 e
∑n
i=1(Xi −Xn)2 = 72.
a. Construa um teste com n´ıvel de significaˆncia 0.05 para as seguintes hipo´teses:
H0 : µ 6 20,
H1 : µ > 20.
b. Construa um teste com n´ıvel de significaˆncia 0.05 usando o teste-t bilateral para
as seguintes hipo´teses:
H0 : µ = 20,
H1 : µ 6= 20.
c. A partir dos dados, construa um intervalo de confianc¸a para µ com coeficiente de
confianc¸a 0.95.
Exerc´ıcio 8.5.9. Suponha que uma amostra aleato´ria de 10 observac¸o˜es, X1, . . . , X10,
e´ extra´ıda de uma distribuic¸a˜o Normal para qual ambas, a me´dia µ e a variaˆncia σ2, sa˜o
desconhecidas. Queremos testar as seguintes hipo´teses:
H0 : σ
2 6 4,
H1 : σ
2 > 4.
Seja S2 =
∑n
i=1(Xi − Xn)2 e suponha que o procedimento de teste usado especifica
que H0 deve ser rejeitada se S
2/4 > c. Supondo um n´ıvel de significaˆncia α = 0.05,
encontre o valor da constante c. Se o valor observado de S2 e´ 60, a hipo´tese H0 deve ser
aceita ou rejeitada?