ESTATÍSTICA QUESTIONÁRIO UNIDADE IV

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· Pergunta 1
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(FGV-2022) Suponha que X, uma variável aleatória discreta, assuma a seguinte distribuição de probabilidade:
 
 
O valor de K e o valor esperado de X são, respectivamente,
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
1/2 e 9/4.
	Respostas:
	a. 
0 e 3/4.
	
	b. 
1/4 e 3/2.
	
	c. 
1/2 e 3/4.
	
	d. 
1/2 e 3/2.
	
	e. 
1/2 e 9/4.
	Comentário da resposta:
	Resposta: E
Comentário: Quando a probabilidade de todos os possíveis resultados de uma variável aleatória discreta é expressa como uma taxa percentual, o resultado do somatório das probabilidades deve ser igual a 100%. Quando é expresso na forma unitária, o somatório das probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somando as probabilidades expostas na 2ª coluna da tabela do enunciado, temos a equação a seguir:
 
 
Isolando o K, temos:
 
 
 
Logo, sabemos que K = ½.
 
O valor esperado E(X), de uma variável discreta aleatória X, é calculado pela média ponderada dos valores xi assumidos pela variável, em que os pesos são as probabilidades unitárias p(xi):
 
 
 
No contexto do enunciado, temos o cálculo descrito a seguir:
 
	
	
	
· Pergunta 2
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(FGV-2022) Planeja-se selecionar quatro pessoas, com reposição, de uma pequena população composta por vinte pessoas, das quais dez foram acometidas por certa doença. Se X é a variável aleatória que contará o número de pessoas, entre as quatro, que foram acometidas pela referida doença, então a probabilidade de X ser igual a 2 é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
0,375.
	Respostas:
	a. 
0,375.
	
	b. 
0,425.
	
	c. 
0,475.
	
	d. 
0,5.
	
	e. 
0,525.
	Comentário da resposta:
	Resposta: A
Comentário: A questão aborda uma situação tratada como uma distribuição binomial. A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidades que se aplica sempre que o processo de amostragem tem as seguintes características:
 
● Em cada tentativa, há apenas dois resultados possíveis, chamados de sucesso e fracasso, que são mutuamente exclusivos. No contexto, há apenas a possibilidade de a pessoa ser acometida pela doença ou não ser acometida, e a ocorrência de uma exclui a outra.
● Os eventos de uma série de tentativas são independentes. No contexto, a amostra é selecionada com reposição, o que torna os eventos independentes entre si.
● O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso não varia entre uma tentativa e outra.
 
Chamando de p a probabilidade de sucesso de uma pessoa ser acometida pela doença, a probabilidade de fracasso q nessa mesma tentativa é dada por:
 
 
Pelo contexto, p (probabilidade de a pessoa ser acometida pela doença) é dado por:
 
Nesse caso, temos q (probabilidade de uma pessoa não ser acometida pela doença) dado como:
 
 
Ou seja, temos dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos. O número 1, na expressão acima, indica a probabilidade de ocorrência de 100%.
A probabilidade P(X) de termos X sucessos em N tentativas é dada pela seguinte expressão:
 
 
Escrevendo explicitamente o binômio CN,X, temos:
 
 
No contexto, calcularemos a probabilidade de termos X = 2 pessoas acometidas pela doença em N = 4 tentativas (quantidade de pessoas da amostra).
 
 
Dessa forma, a probabilidade de haver 2 pessoas entre as 4 selecionadas que foram acometidas pela doença é de 0,375, ou 37,5%.
	
	
	
· Pergunta 3
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(IADES/2018) A variável normal padronizada Z é dada por Z = (X - µ)/σ, em que X é uma variável que tem distribuição normal de média µ e variância σ², conforme a figura apresentada.
 
Considerando uma variável X que tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25, assinale a alternativa que indica a probabilidade p(15 < X < 16,2).
 
Dado: Tabela – Áreas de uma distribuição normal padrão em relação à média.
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
0,7698.
	Respostas:
	a. 
0,1151.
	
	b. 
0,2302.
	
	c. 
0,3849.
	
	d. 
0,7698.
	
	e. 
0,8849.
	Comentário da resposta:
	Resposta: D
Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de probabilidades. Isso significa que as probabilidades seguem uma curva gaussiana, conforme exposto na figura do enunciado. A área abaixo da curva vale 1.
Podemos converter os valores X da distribuição em valores padronizados z, subtraindo o valor de X da média e dividindo o resultado pelo desvio-padrão. Usando a simbologia empregada na questão, temos a seguinte expressão:
 
 
 
Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, X = µ. A um desvio-padrão da média, para o lado positivo da curva, temos z = 1 e, nesse caso, temos X = µ + σ. A um desvio-padrão da média, para o lado negativo da curva, temos z = –1 e, nesse caso, temos X = µ – σ. Essa correspondência pode ser vista na figura a seguir, em que os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a correspondência de X descrita logo a seguir (em azul):
 
 
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245.
 
Note que a área de z = 1 em relação à média (ponto z = 0) é igual à área de z = –1 em relação à média (ponto z = 0). Logo, valores simétricos em relação ao ponto central correspondem à mesma medida de área e, consequentemente, à mesma probabilidade, conforme ilustrado a seguir:
 
 
 
Para sabermos quanto vale a área de z = 1 até z = –1, basta que somemos as áreas destacadas nas figuras anteriores, ou multipliquemos 0,3413 por 2. 
Voltando aos dados do enunciado, sabemos que a variável X tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25. Para encontrarmos o valor do desvio-padrão σ, basta calcularmos a raiz quadrada da variância, conforme exposto a seguir:
 
 
Podemos, então, calcular o valor de z para 15 e para 16,2, que são os limites do intervalo da probabilidade a ser calculada na questão: P(15 < X < 16,2).
 
Para P = 15, temos:
 
 
Para P = 16,2, temos:
 
 
Pela tabela, sabemos que P(z = 1,2) = 0,3849. Para sabermos o valor da probabilidade pedida, basta que multipliquemos esse valor por 2, por se tratar de regiões simétricas no gráfico.
 
	
	
	
· Pergunta 4
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(PUC-PR/2019) O tempo médio de resolução de uma questão de Estatística de um concurso público é, normalmente, distribuído, com média de 5 minutos e desvio-padrão de 1 minuto. Nessas condições, em que os dados são, normalmente, distribuídos, qual é, então, a probabilidade de que um candidato leve mais de 6 minutos para resolver uma questão de Estatística? (Considere P(z=1) = 0,3413).
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
0,1587.
	Respostas:
	a. 
0,1587.
	
	b. 
0,3413.
	
	c. 
0,6587.
	
	d. 
0,6826.
	
	e. 
0,8413.
	Comentário da resposta:
	Resposta: A
Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de probabilidades. Isso significa que as probabilidades de tempo de resolução de uma questão de Estatística no concurso seguem uma curva gaussiana.
Pelos dados entregues, temos média de tempo de resolução x̅ = 5 min, com desvio-padrão σ = 1 min. A probabilidade que queremos calcular é que o candidato leve mais do que 6 minutos para resolver uma questão. Desse modo, queremos saber o valor de P(>6).
O enunciado também nos entrega um valor de probabilidade para uma distribuição normal padrão, correspondente a z = 1. Podemos converter os valores x da distribuição em valores padronizados z, usando a seguinte expressão:
 
 
 
Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, x = x̅. A um desvio-padrão da média, para o lado positivo da curva, temos z = 1. Nesse caso, temos x = x̅ + σ. Essa correspondência pode ser vista na figura a seguir, em que os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a correspondência de x descrita logo a seguir (em azul):
 
 
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245.
 
Na questão, o tempo de x = 6 min, corresponde ax̅ + σ, ou z = 1, conforme demonstrado a seguir:
 
 
Pela tabela de áreas sob uma distribuição normal padrão em relação ao valor médio, podemos notar que, quanto maior é o valor de z, mais o valor da área se aproxima de 0,5. Por exemplo, para z = 3,09, que é o valor mais alto disponível na tabela a seguir, temos P(z=3,09) = 0,4990.
 
	z
	0
	0,01
	0,02
	0,03
	0,04
	0,05
	0,06
	0,07
	0,08
	0,09
	3,0
	0,4987
	0,4987
	0,4987
	0,4988
	0,4988
	0,4989
	0,4989
	0,4989
	0,4990
	0,4990
 
O valor de 0,5 também pode ser inferido ser pela figura: já que a área total corresponde a 1, a área correspondente de 0 até o infinito corresponderá à metade disso, ou seja, 0,5. Isso significa que, para x tendendo ao infinito, temos P(z→∞) = 0,5 em relação ao valor médio (em que z = 0).
 
 
Logo, para sabermos P(>6), queremos saber qual é o valor da área entre z = 1 e z → ∞. Para isso, basta que façamos a subtração do valor de P(z→∞) = 0,5 do valor de P(z=1) = 0,3413.
 
	
	
	
· Pergunta 5
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(CESPE-CEBRASPE/2022) Uma população de 100.000 indivíduos foi segmentada em faixas etárias, conforme mostra a tabela a seguir. Um levantamento estatístico será efetuado por amostragem, sorteando-se aleatoriamente 30, 60 e 10 indivíduos que se encontram, respectivamente, nas faixas etárias I, II, III.
 
 
Nessa situação hipotética, o desenho amostral descrito caracteriza-se como uma amostragem aleatória. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
Estratificada.
	Respostas:
	a. 
Simples com reposição.
	
	b. 
Estratificada.
	
	c. 
Sistemática.
	
	d. 
Por conglomerados.
	
	e. 
Simples sem reposição.
	Comentário da resposta:
	Resposta: B
Comentário: A população foi dividida em subgrupos, levando em consideração a faixa etária dos indivíduos. Cada um desses subgrupos é um estrato, ou seja, um subgrupo homogêneo em relação a alguma característica (nesse caso, a idade). Posteriormente, foi feita uma amostragem aleatória simples de dentro de cada estrato. Esse procedimento leva o nome de amostragem aleatória estratificada.
	
	
	
· Pergunta 6
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(INSTITUTO AOCP/2018) Um biólogo pretendia determinar o tamanho médio de um tipo de vegetação rasteira. Para isso, realizou coletas ao acaso, tendo todas as plantas a mesma chance de serem escolhidas entre todas aquelas possíveis e que apresentavam, aparentemente, o mesmo tamanho. Qual foi o método de amostragem utilizado por esse biólogo?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
Amostragem aleatória simples.
	Respostas:
	a. 
Amostragem estratificada.
	
	b. 
Amostragem aleatória simples.
	
	c. 
Amostragem sistemática.
	
	d. 
Amostragem por conglomerados.
	
	e. 
Amostragem intencional.
	Comentário da resposta:
	Resposta: B
Comentário: Na amostragem aleatória simples, todos os elementos de uma população têm igual probabilidade de serem selecionados para a amostra. No contexto, a população era composta por plantas da vegetação rasteira que tinham a mesma chance de serem escolhidas.
	
	
	
· Pergunta 7
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Considere uma amostra aleatória de 25 elementos, retirada de uma população infinita, distribuída de forma normal. Sabe-se que a média amostral tem valor 51,3, com desvio-padrão igual a 2.  Nesse caso, se o nível de confiança é de 95%, o limite inferior do intervalo de confiança para a média populacional será:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
50,52.
	Respostas:
	a. 
50,52.
	
	b. 
52,08.
	
	c. 
54,18.
	
	d. 
56,20.
	
	e. 
58,45.
	Comentário da resposta:
	Resposta: A
Comentário: Conforme vimos, um nível de confiança de 95% para uma população, normalmente, distribuída implica z = 1,96. Considerando que a população é infinita, calculamos o erro amostral c em função de z = 1,96, do desvio-padrão populacional σ = 2 (aproximado pelo desvio-padrão da amostra) e do número de elementos da amostra n = 25. A fórmula é apresentada a seguir:
 
 
 
O cálculo, portanto, segue o formato a seguir:
 
 
A probabilidade do intervalo de confiança da média populacional μ é dado considerando a média amostral x̅ e o erro amostral c, como:
 
 
 
Logo, o limite inferior do intervalo de confiança da média populacional é 50,516. Quando aproximado para duas casas decimais, chegamos ao valor 50,52.
	
	
	
· Pergunta 8
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(Adaptado de: CESPE-CEBRASPE/2022) O coeficiente de correlação linear de Pearson dá uma medida do grau de correlação entre duas grandezas, além de fornecer o sinal dessa correlação, que diz se os dados são direta ou inversamente relacionados.
O coeficiente de correlação linear de Pearson é representado por r e pode ser calculado pela expressão a seguir:
 
  
 
Na equação:
 
  
 
Na simbologia, temos o que segue:
 
• xi é o um valor qualquer da variável x.
• yi é o um valor qualquer da variável y, correspondente a xi.
• n é o número de pares de dados.
 
Nesse contexto, considere oito pares de valores das variáveis x e y, tais que:
 
 
 
É correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente.
	Respostas:
	a. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta decrescente.
	
	b. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente.
	
	c. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente.
	
	d. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será nulo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta horizontal.
	
	e. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta decrescente.
	Comentário da resposta:
	Resposta: B
Comentário: Usando os dados do enunciado, vamos calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson para n = 8, já que se trata de 8 pares de valores x e y. Nesse caso, temos o que segue:
 
 
Nesse caso, temos um coeficiente de correlação linear positivo e próximo de 1, o que indica que há uma forte correlação direta entre os valores de x e os valores de y. Essa correlação se dará num formato crescente, já que o resultado é positivo.
	
	
	
· Pergunta 9
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x.
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
 
   
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por:
 
  
 
 
 
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y.
 
	xi
	yi
	1
	21
	2
	42
	3
	60
	4
	78
 
Nesse caso, qual o valor de Δ?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
20.
	Respostas:
	a. 
8.
	
	b. 
9.
	
	c. 
12.
	
	d. 
17.
	
	e. 
20.
	Comentário da resposta:
	Resposta: E
Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já que há 4 pares de valores xy.
 
 
Usando a tabela de dados, vamos calcular Sx
e Sx2, usando colunas auxiliares para facilitar os cálculos. Os somatórios de interesse são feitos na última linha.
 
	xi
	yi
	xi2
	1
	21
	1
	2
	42
	4
	3
	60
	9
	4
	78
	16
	
	 
	
 
Já podemos calcular Δ, conforme exposto a seguir:
 
	
	
	
· Pergunta 10
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linearda função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x.
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
 
  
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por:
 
 
  
 
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y.
 
	xi
	yi
	1
	21
	2
	42
	3
	60
	4
	78
 
Nesse caso, qual o valor do coeficiente a, que representa o coeficiente angular?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
18,9.
	Respostas:
	a. 
12,3.
	
	b. 
14,8.
	
	c. 
16,2.
	
	d. 
18,9.
	
	e. 
23,1.
	Comentário da resposta:
	Resposta: D
Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já que há 4 pares de valores xy.