PC_2011-1_AD01_GABARITO

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AD 01 – 2011-1 Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação a Distância 1 
Pré-Cálculo 
________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [1,5 ponto]: 
Se n é o número real 1000...000,0
2007
43421
zeros
, responda, justificando, qual das expressões a seguir 
representa o maior número. 
a) n+5 b) n−5 c) n⋅5 d) 
n
5
 e) 
5
n
 
Solução: 
Analisando os números temos: 
a) 0001...000,55 =+ n é maior 5 e menor que 6 . 
b) n−5 é menor que 5 . 
c) 0005...000,05 =n é menor que 1. 
d) 2008
2008
105
10
1
5
0001...000,0
55
×===
n
 é maior que 10 . 
e) 
5
0001...000,0
5
=
n
 é menor que 0001...000,0 . 
Portanto o maior número é 
n
5
. 
________________________________________________________________________________ 
2ª. Questão [2,0 pontos]: 
a) [1,0 ponto] Use a definição de Valor Absoluto e reescreva as expressões a seguir sem o usar o 
símbolo de Valor Absoluto. 
i) 197 −− ii) 7,7 <− xsex 
iii) 34 +x iv) 228 x− . 
Solução: 
i) 12197))19((7197 −=−=−−−=−− . 
ii) Se 7<x então 07 <−x e, portanto xxx −=−−=− 7)7(7 . 
iii) 33 44 +=+ xx , pois 034 >+x . 
iv) Vamos estudar o sinal de 228 x− : 
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2 de 6 
)2()2(2)4(228 22 xxxx +−=−=− 
 
 
2−<<∞− x
 
2−=x 22 <<− x 2=x ∞+<< x2 
x−2 ++++ + ++++ 0 −−−− 
x+2 −−−− 0 ++++ + ++++ 
)2()2(2 xx +− −−−− 0 ++++ 0 −−−− 
 
Portanto, 
22028 2 <<−>− xsex 
22028 2 =−==− xouxsex 
22028 2 >−<<− xouxsex . 
Assim, 




>−<+−
≤≤−−
=−
22,28
22,28
28
2
2
2
xouxsex
xsex
x 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) [1,0 ponto] Sejam yex números reais tais que 5,02,0 <<− x e 4,07,0 <<− y . 
Usando a propriedade geométrica do valor absoluto e as propriedades dos números reais faça uma 
estimativa para yx + . 
Solução: 
Temos que: 
5,05,05,02,05,05,02,0 <<−⇒<<−<−⇒<<− xxx 
7,07,07,04,07,04,07,0 <<−⇒<<<−⇒<<− yyy 
De 5,05,0 <<− x e 7,07,0 <<− y , segue que 2,12,1 <+<− yx . 
De 2,12,1 <+<− yx , segue que, 2,1<+ yx . 
 
Uma outra solução: 
De 5,02,0 <<− x e 4,07,0 <<− y , segue que 4,05,07,02,0 +<+<−− yx . 
Donde, 9,09,0 <+<− yx e, portanto, pela propriedade geométrica segue que 9,0<+ yx . 
________________________________________________________________________________ 
 
 
 
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3ª. Questão [2,0 pontos]: 
Um quadrado tem 33 + cm de lado, e os lados de um retângulo medem 6372 + cm e 
2 cm. Usando as propriedades dos números reais compare os perímetros do quadrado e do 
retângulo. 
Atenção: não serão aceitos cálculos feitos com valores aproximados dos números irracionais. 
 
 
Solução: 
Perímetro do quadrado = ( ) 34123341 +=+=P . 
Perímetro do retângulo = ( ) =++=++= 667222263722222P 
66214662122266942222 +=++=+⋅⋅+ . 
Assim, 
34121 +=P e 662142 +=P . 
Comparando 12 e 214 : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222 142122141221412 <⇔<⇔< . Como a última desigualdade é 
verdadeira então a primeira, 21412 ⋅< , também é. 
Comparando 34 e 66 : 
( ) ( ) 63631666346634 2222 ⋅<⋅⇔<⇔< . Como a última desigualdade é verdadeira 
então a primeira, 6634 < , também é. 
Como 21412 < e 6634 < , então 662143412 +<+ . 
Assim, o perímetro do quadrado é menor que o perímetro do retângulo. 
________________________________________________________________________________ 
4ª. Questão [2,5 pontos]: 
Considere a expressão 
xxx
xx
x
x
42
8
4
23
2
3
2
++
−
−
−
 
Diga para quais valores de x é possível calcular essa expressão. Responda na forma de intervalo. 
Simplifique a expressão de forma a obter uma expressão com um polinômio no numerador e um 
polinômio no denominador. 
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Iguale a expressão dada à x2 e resolva a equação encontrada. Para resolver essa equação você 
pode usar a expressão simplificada. 
Solução: 
Para que a expressão 
xxx
xx
x
x
42
8
4
23
2
3
2
++
−
−
−
 possa ser calculada é preciso que os denominadores 
83 −x , xxx 42 23 ++ e 
xxx
xx
42 23
2
++
−
 não se anulem. 
Mas, 
� 2808 33 =⇔=⇔=− xxx . 
� ⇔=++⇔=++ 0)42(042 223 xxxxxx 0420 2 =++= xxoux . 
Mas 422 ++ xx nunca se anula, pois 016441422 <−=⋅⋅−=∆ . 
� ⇔=
++
−
⇔=
++
−
⇔=
++
−
0
42
1
0
)42(
)1(
0
42 2223
2
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
 
101 =⇔=− xx . 
Assim é preciso que 0≠x , 1≠x e 2≠x . 
 
Logo, a expressão pode calculada para ),2()2,1()1,0()0,( ∞+∪∪∪∞−∈x . 
 
=
−
++
×
−
−
=
++
−
−
−
xx
xxx
x
x
xxx
xx
x
x
2
23
3
2
23
2
3
2
42
8
4
42
8
4
 
( )( )
( )( )
( )
( ) 1
2
1
42
422
22 2
2 −
+
=
−
++
×
++−
+−
x
x
xx
xxx
xxx
xx
. 
 
Igualando 
xxx
xx
x
x
42
8
4
23
2
3
2
++
−
−
−
 a x2 , temos a equação: x
xxx
xx
x
x
2
42
8
4
23
2
3
2
=
++
−
−
−
. 
AD 01 – 2011-1 – Gabarito Pré-Cálculo 
5 de 6 
Mas para 0≠x , 1≠x e 2≠x , 
1
2
42
8
4
23
2
3
2
−
+
=
++
−
−
−
x
x
xxx
xx
x
x
 
Portanto, basta resolver a equação x
x
x
2
1
2
=
−
+
, lembrando que 0≠x , 1≠x e 2≠x . 
Resolvendo a equação: 
( ) ⇔=−−⇔−=+⇔−=+⇔=
−
+
02322221222
1
2 22
xxxxxxxxx
x
x
 
⇔
±
=
±
=
+±
=
⋅
−⋅⋅−−±−−
=
4
53
4
253
4
1693
22
)2(24)3()3( 2
x 
4
2
2
−
== xoux . 
Como 2≠x então 
2
1−
=x é a única solução da equação proposta. 
O conjunto solução é: 






−
2
1
 
________________________________________________________________________________ 
5ª. Questão [2,0 pontos]: 
Considere a expressão 
1
1
−
+
x
x
. Diga para quais valores de x é possível calcular essa expressão. 
Responda na forma de intervalo. 
Resolva a seguinte equação em IR : 
2
1
1
=
−
+
x
x
. 
Solução: 
Para que a raiz quadrada 1−x possa ser calculada e o denominador da equação não se anule é 
preciso que 01 >−x . 
Mas, 11101 >−<⇔>⇔>− xouxxx . Assim a expressão 
1
1
−
+
x
x
 pode ser 
calculada para ( ) ( )∞+∪−∞−∈ ,11,x . 
Resolvendo a equação: 
 
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6 de 6 
( ) ( ) ⇒−=+⇒−=+⇔=
−
+ 22
1411212
1
1
xxxx
x
x
 
( ) ( ) 4412141 22 −=++⇒−=+ xxxxx . 
Temos 2 casos a estudar: 
Caso 1: Se 1−<x ⇒<⇒ 0x xx −= e assim: 
0564)(4124412 222 =++⇒−−=++⇒−=++ xxxxxxxx 
⇒
±−
=
±−
=
−±−
=
⋅
⋅⋅−±−
=
2
46
2
166
2
20366
12
51466 2
x 
15 −=−= xoux . Como 1−<x , então a única solução neste caso é 5−=x . 
 
 
 
Caso 2: Se 1>x ⇒>⇒ 0x xx = e assim: 
05244124412 222 =+−⇒−=++⇒−=++ xxxxxxxx . 
Como ( ) 02045142 2 <−=⋅⋅−−=∆ , então a equação não tem solução para 1>x . 
Retornando a equação original. 
Como elevamos a equação dada ao quadrado, vamos testar o valor 5−=x nessa equação, 
2
1
1
=
−
+
x
x
: 
22
2
4
4
4
15
4
15
15
≠−=
−
=
−
=
−
−
=
−−
+−
. 
 
Portanto, a equação 2
1
1
=
−
+
x
x
 não tem solução. 
________________________________________________________________________________