Antiderivada e Integração Indefinida

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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 1
Va
m
os
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Antiderivada e Integração Indefinida 
 
 
 principal objetivo dessa aula é apresentar os conceitos de 
antiderivada, integrais indefinidas, integrais definidas e cálculo de 
áreas entre duas funções. Vamos começar com a definição da 
operação antiderivar e apresentar o conceito de primitiva de uma função. 
Apresentaremos também os diversos métodos de obtenção de primitivas de funções. Os 
conceitos de integral definida e cálculo de áreas entre funções também serão vistos. 
Exercícios sobre como calcular a integral indefinida e a integral definida de uma função 
são apresentados. 
 
Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de: 
 
• Entender o que é uma primitiva de uma função; 
• Entender o conceito de integral indefinida de uma função; 
• Reconhecer os diversos métodos de integração de uma função; 
• Calcular a integral indefinida de uma função; 
• Entender o conceito de integral definida de uma função; 
• Aplicar o Teorema fundamental do cálculo; 
• Calcular a área entre duas funções. 
 
 
Na matemática aplicada ocorre freqüentemente conhecermos a 
derivada de uma função e desejarmos encontrar a própria função. 
A solução de problemas desse tipo necessita que se “desfaça” a 
operação de diferenciação, isto é, somos forçados a antiderivar. 
 Se f e F são duas funções tais que ( ) ( )xfxF =' dizemos que F é uma 
antiderivada de f. Assim, ( ) 2xxF = é uma antiderivada de ( )xf , desde que 
( ) xxDx 22 = . Se c é uma constante, então a função definida por cxy += 2 é também 
uma antiderivada de f, desde que ( ) xcxDx 22 =+ . 
 Geralmente, definem-se antiderivada da seguinte maneira: 
O
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Exemplo
Exemplo
Exemplo
 Definição: Uma função ( )xF é chamada uma primitiva (antiderivada) da função ( )xf 
em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de ( )xf ), se para todo Ix∈ , temos 
( ) ( )xfxF =' . 
 
A função ( )
3
3x
xF = é uma primitiva da função ( ) 2xxf = , pois 
( ) ( )xfxxxF ==⋅= 223
3
1
' . 
As funções ( ) 4
3
3
+=
x
xG e ( ) ( )3
3
1 3 += xxH também são primitivas da 
função ( ) 2xxf = , pois ( ) ( ) ( )xfxHxG == '' . 
 
A função ( ) ( ) cxsenxF += 2
2
1
, onde c é uma constante, é primitiva da 
função ( ) ( )xxf 2cos= . 
 
 
 Note que uma mesma função ( )xf admite mais que uma primitiva. Com isso, 
temos as seguintes proposições: 
 
Proposição: Seja ( )xF uma primitiva da função ( )xf . Então, se c é uma constante 
qualquer, a função ( ) ( ) cxFxG += também é primitiva de ( )xf . 
 
Proposição: Se ( )xf se anula em todos os pontos de um intervalo I, então F é 
constante em I. 
 
Proposição: Se ( )xF e ( )xG são funções primitivas de ( )xf no intervalo I, então 
existe uma constante c tal que ( ) ( ) cxFxG =− , para todo Ix∈ . 
 
 Da proposição acima concluímos que se ( )xF é uma primitiva particular de f, 
então toda primitiva de f é da forma ( ) ( ) cxFxG += , onde c é uma constante. 
 
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Exemplo Sabemos que ( ) xx
dx
d
cossen = . Assim, ( ) xxF sen = é uma primitiva da 
função ( ) xxf cos= e toda primitiva de ( ) xxf cos= é da forma ( ) cxxG += sen , para 
alguma constante c. 
 
Definição: Se ( )xF é uma primitiva de ( )xf , a expressão ( ) cxF + é chamada integral 
indefinida da função ( )xf e é denotada por: 
( ) ( ) cxFdxxf +=∫ 
 
 Da definição acima, decorre que: 
 
i. ( ) ( ) ( ) ( )xfxFcxFdxxf =⇔+=∫ ' . 
ii. ( )dxxf ∫ representa a família de todas as primitivas da função ( )xf . 
 
 
 
Propriedades da integral indefinida 
 
 
Proposição: Sejam f e g funções e k uma constante. Então: 
 
i. ( ) ( )dxxfkdxxfk ∫∫ = 
ii. ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫∫∫ ±=± 
 
 
Tabela de integração: as imediatas 
 
1. du u c= +∫ 2. 
1
, 1
1
n
n uu du c n
n
+
= + ≠ −
+∫ 
3. ln
du
u c
u
= +∫ 4. , 0, 1ln
u
u aa du c a a
a
= + > ≠∫ 
5. u ue du e c= +∫ 6. sen cosu du u c= − +∫ 
7. cos senu du u c= +∫ 8. tg ln secu du u c= +∫ 
9. cotg ln senu du u c= +∫ 10. sec ln sec tgu du u u c= + +∫ 
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Exemplo
11. cosec ln cosec cotgu du u u c= − +∫ 12. sec tg secu u du u c= +∫ 
13. cosec cotg cosecu u du u c= − +∫ 14. 2sec tgu du u c= +∫ 
15. 2cosec cotgu du u c= − +∫ 16. 2 2
1
tg
du u
arc c
u a a a
= +
+∫ 
17. 2 2
2 2
1
ln ,
2
du u a
c u a
u a a u a
−
= + >
− +∫ 18. 
2 2
2 2
ln
du
u u a c
u a
= + + +
+
∫ 
19. 
2 2
1
sec
du u
arc c
a au u a
= +
−
∫ 20. 2 22 2 ln
du
u u a c
u a
= + − +
−
∫ 
21. 2 2
2 2
sen ,
du u
arc c u a
aa u
= + <
−
∫ 
 
 Usando as propriedade da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos 
calcular a integral indefinida de algumas funções. 
 
Calcular a integral indefinida ( )dxx∫ + 53 . 
 
 Solução: Aplicando as propriedades da integral indefinida, temos: 
 
( )
( )
( )21
2
21
2
535
2
3
5
2
3
53
5353
ccx
x
cxc
x
dxdxx
dxdxxdxx
+++=
=++





+=
=+=
=+=+
∫∫
∫∫∫
 
 
 Como 21 53 cc + é uma constante arbitrária, ela pode ser denotada por c. Assim o 
resultado pode ser escrito como cxx ++ 5
2
3 2 . 
 Pode-se conferir a resposta calculando sua derivada: 
 
535
2
3 2 +=




 ++ xcxx
dx
d
 
 
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Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Calcular a integral indefinida ( )dxxxx∫ + 2seccostansec3 . 
 
 Solução: Usando a tabela de integrais indefinidas e suas propriedades, temos: 
 
( ) ( )
cxx
cxcx
dxxdxxxdxxxx
+−=
+−+=
+=+ ∫ ∫∫
cotsec3
cotsec3
seccostansec3seccostansec3
21
22
 
 
Calcular a integral indefinida dx
x
x
∫ 





seccos
sec2
. 
 Solução: Temos que: 
 
( )
cx
dxxx
dx
x
x
x
dx
x
x
+=
=





 ⋅=





∫
∫∫
sec
tansec
cos
sen 
cos
1
seccos
sec2
 
 
Calcular a integral indefinida dx
x
x∫ 





+
1
cos2 . 
 Solução: Temos que: 
 
cxx
c
x
x
dxxdxx
dx
x
dxxdx
x
x
++=
++=
+=
+=





+
∫ ∫
∫ ∫∫
−
2sen2
2
1
sen2
cos2
1
cos2
1
cos2
2
1
2
1
 
 
Calcular a integral indefinida dx
xx
xx∫ 




+−
72
2
cos
sen
e2 . 
 Solução: Temos que: 
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Exemplo
c
x
x
c
x
x
dxxdxxxdx
dx
x
dx
x
x
dxdx
xx
x
x
x
x
xx
+−−=
+
−
+−=
+−=
+−=




 +−
−
−∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫
6
6
7
7272
3
1
sece2
6
2sece2
2sectane2
2
cos
sen
e2
2
cos
sen
e2
 
 
Métodos de Integração: substituição 
 
 Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplicando 
uma das fórmulas básicas. Porém, essas fórmulas não mostram como calcular as 
integrais do tipo 
∫ + dxxx 212 
 
 Para encontrar essa integral, usamos uma estratégia de mudança de variável. 
Esse processo é análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificado como 
segue: 
 Sejam ( )xf e ( )xF duas funções tais que ( ) ( )xfxF =' . Suponhamos que g seja 
outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos 
considerar a função composta gF o . 
 Pela regra da cadeia, temos: 
 ( )( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxgxgFxgF '''' ⋅=⋅= , isto é, ( )( )xgF é uma primitiva de 
( )( ) ( )xgxgf '⋅ . 
 Temos então, ( )( ) ( ) ( )( ) cxgFdxxgxgf +=⋅∫ ' 
 Fazendo ( )xgu = , ( )dxxgdu '= e substituindo na integral acima, temos 
( )( ) ( ) ( ) ( ) cuFduufdxxgxgf +==⋅ ∫∫ ' . 
 Na prática, devemos então definir uma função ( )xgu = convenientemente, de 
tal forma que a integral obtida seja mais simples. 
 
Calcule a integral ∫ + dxxx212 . 
Para um exemplo com 
explicações detalhadas 
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Exemplo
Exemplo
Exemplo
 Solução: Fazendo 21 xu += , temos dxxdu 2= . Logo, 
 
( )
( ) cx
cxcuc
u
duuduudxxxdxxx
++=
=++=+=+=
===+=+ ∫∫∫∫
32
2
3
22
32
3
2
1
22
1
3
2
1
3
2
3
2
2
3
2112
 
 
Calcule a integral ∫ + dxx
x
21
2
. 
 
 Solução: Fazendo 21 xu += , temos dxxdu 2= . Logo, 
 
cxcu
u
du
dx
x
x
++=+==
+ ∫∫
2
2
1lnln
1
2
 
 
Calcule a integral ∫ dxxxcossen 2 . 
 
 Solução: Se fizermos xu sen= , dxxdu cos= . Logo, 
 
c
x
c
u
duudxxx +=+== ∫∫ 3
sen
3
cossen
33
22 
 
Calcule a integral ∫ dxxtan 
 
 Solução: Temos que: 
 
∫∫ = dxx
x
dxx
cos
sen
tan 
 Fazendo xu cos= , dxxdu sen−= . Dessa forma, 
 
( ) cxc
x
cxcx
cu
u
du
u
du
dx
x
x
dxx
+=+





=+=+−=
=+−=−=−==
−
∫ ∫∫∫
secln
cos
1
lncoslncosln
ln
cos
sen
tan
1
 
 
 
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Exemplo
Métodos de Integração: por partes 
 
 Cada regra de diferenciação tem outra correspondente de integração. Por 
exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a 
diferenciação. Aquela que corresponde à regra do produto pra diferenciação é chamada 
integração por partes. 
 A regra do produto estabelece que se f e g são funções diferenciáveis, então 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxgxf ''' ⋅+⋅=⋅ . 
 Na notação para integrais indefinidas, essa equação torna-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfdxxfxgxgxf ⋅=⋅+⋅∫ '' , ou 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfdxxfxgdxxgxf ⋅=⋅+⋅∫ ∫ '' , ou ainda 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dxxfxgxgxfdxxgxf ∫∫ ⋅−⋅=⋅ '' 
 
 Na prática, costumamos fazer: 
( ) ( )dxxfduxfu '=⇒= e, 
( ) ( )dxxgdvxgv '=⇒= daí, 
 
∫ ∫−= duvuvdvu 
 
que é a fórmula de integração por partes. 
 
Calcule a integral ∫ dxxx sen . 
 
 Solução: Escolhendo xu = , dxxdv sen= , temos dxdu = e xv cos−= . Logo, 
 
( )
cxxx
dxxxx
dxxxxdxxx
++−=
+−=
−−−=
∫
∫∫
sencos
coscos
coscossen
 
 
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Exemplo
Exemplo
 Observe que, se tivéssemos escolhido xu sen= e dxxdv = , então dxxdu cos= 
e 
2
2x
v = . Assim, a integral por partes daria: 
( ) ∫∫ −⋅= dxxx
x
xdxxx cos
2
1
2
sensen 2
2
 
 
 Note que ∫ dxxx cos2 é uma integral mais difícil que aquela que começamos. 
 
Calcule a integral ∫ dxxln . 
 
 Solução: Não temos muita escolha aqui para u e dv. Seja xu ln= e dxdv = . 
Então, dx
x
du
1
= e xv = . Integrando por partes, temos: 
cxxx
dxxx
dx
x
xxxdxx
+−=
−=
⋅−=
∫
∫∫
ln
ln
1
lnln
 
 
 
Calcule a integral dxx x∫ e2 . 
 
 Solução: Note que 2x se torna mais simples quando diferenciada, enquanto xe 
permanece inalterada quando derivarmos ou integrarmos. Logo, fazendo 2xu = e 
dxdv xe= , encontramos dxxdu 2= e xv e= . Assim, 
 
∫∫ ⋅−= dxxxdxx xxx 2eee 22 ou, 
∫∫ −= dxxxdxx xxx e2ee 22 
 
 A integral que obtivemos, ∫ dxx xe é mais simples que a integral original, mas 
ainda não é óbvia. Para resolvê-la, novamente aplicaremos integração por partes, 
fazendo xu = e dxdv xe= , encontrando dxdu = e xv e= . Dessa forma, 
 
∫∫ +−=−= cxdxxdxx xxxxx eeeee 
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Exemplo
 Com isso, 
( )
cxx
cxxdxx
xxx
xxxx
++−=
+−−=∫
e2e2e
ee2ee
2
22
 
 
Calcule a integral dxxxsene∫ . 
 
 Solução: Escolhendo xu e= e dxxdv sen= , temos dxdu xe= e xv cos−= e, 
dessa forma, 
∫∫ +−= dxxxdxx xxx cosecosesene 
 
 Novamente aplicamos integração por partes para resolver a integral resultante, 
escolhendo xu e= e dxxdv cos= , encontrando dxdu xe= e xv sen= , temos: 
 
dxxxdxx xxx ∫∫ −= senesenecose 
 
 Logo, 
dxxxxdxx xxxx ∫∫ −+−= senesenecosesene 
 
 Observe que a integral do 2º membro é exatamente igual à integral que 
queremos calcular. Somando dxxxsene∫ em ambos os membros, temos: 
 
xxdxx xxx senecosesene2 +−=∫ 
 Logo, 
( ) cxxdxx xx +−=∫ cossene2
1
sene 
 
Integrais Trigonométricas 
 
 Sabemos da tabela de integrais imediatas que: 
 
∫ +−= cuduu cossen e, 
∫ += cuduu sen cos 
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 A partir de agora, seria interessante sabermos as integrais das outras funções 
trigonométricas. 
 
• As integrais ∫ duutan e ∫ duucot 
 
 As integrais das funções tangente e cotangente são resolvidas usando o método 
da substituição: 
( )
cu
c
u
cu
cudu
u
u
duu
+=
+





=+=
+−==
−
∫∫
secln
cos
1
lncosln
cosln
cos
sen
tan
1
 
 
 Da mesma forma, temos que: 
 
cudu
u
u
duu +==∫ ∫ senlnsen
cos
cot 
 
• As integrais ∫ duusec e ∫ duuseccos 
 
 Na integral da função secante, multiplicamos e dividimos o integrando por 
uu tansec + . 
 
( )
( )
du
uu
uuu
duu ∫∫ +
+⋅
=
tansec
tansecsec
sec 
 
 Se chamarmos de uuv tansec += , teremos ( )duuuudv 2sectansec += que é 
justamente o numerador da integral acima. Dessa forma, 
 
( )
( )
cuucv
v
dv
du
uu
uuu
duu ++=+==
+
+⋅
= ∫∫∫ tanseclnlntansec
tansecsec
sec 
 
 Na integral da cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por 
uu cotseccos − : 
( )
( )
du
uu
uuu
duu ∫∫ −
−⋅
=
cotseccos
cotseccosseccos
seccos 
 
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Exemplo
 Fazendo uuv cotseccos −= , temos ( )duuuudv 2seccoscotseccos +−= . 
 Logo, 
( )
( )
cuucv
v
dv
du
uu
uuu
duu +−=+==
−
−⋅
= ∫∫∫ cotseccoslnlncotseccos
cotseccosseccos
seccos
 
 
• As integrais ∫ duunsen e ∫ duuncos , onde n é um número inteiro positivo 
 
 Sejam as seguintes identidades trigonométricas: 
 
2
2 cos1
cos
2
2cos1
sen
1cossen
2
2
22
x
x
x
x
xx
+
=
−
=
=+
 
 
 Para resolvermos esses tipos de integrais, utilizaremos essas identidades visando 
a aplicação do método da substituição. Os exemplos a seguir ilustram os dois possíveis 
casos: quando n é par e quando n é ímpar. 
 
Calcule a integral ∫ dxx5cos . 
 
 Solução: Sempre que tivermos n ímpar, procederemos da seguinte forma: 
 
( ) ( )
( )
xxxxx
xxx
xxxxx
cossencossen2cos
cossensen21
cossen1coscoscos
42
42
22225
+−=
+−=
−==
 
 Logo, 
( )
( ) ( )
( ) ( )dxxxdxxxx
dxxxdxxxdxx
dxxxxxxdxx
∫∫
∫∫ ∫
∫∫
+−=
+−=
+−=
cossencossen2sen 
cossencossen2cos
cossencossen2coscos
42
42
425
 
 
 Para encontrarmos as integrais ( )∫ dxxx cossen 2 e ( )dxxx∫ cossen 4 usaremos o 
método da substituição, fazendo xu sen= e dxxdu cos= . 
 Dessa forma, 
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Exemplo
Exemplo
( ) ( )
cxxx
dxxxdxxxxdxx
++−=
+−= ∫∫∫
 sen
5
1
 sen
3
2
sen 
cossencossen2sen cos
53
425
 
 
Calcule a integral ∫ dxx4sen . 
 
 Solução: Utilizando as identidades trigonométricas, temos: 
 
( ) ( )
xx
xx
x
x
xx
x
xx
4cos
8
1
2cos
2
1
8
3
4cos
8
1
8
1
2cos
2
1
4
1
2
4cos1
2cos21
4
1
2cos2cos21
4
1
2
2cos1
sensen 2
2
224
+−=
++−=




 ++−=
+−=




 −==
 
 Logo, 
cxxx
dxxdxxdx
dxxxdxx
++−=
+−=





 +−=
∫ ∫ ∫
∫∫
4sen
32
1
2sen
4
1
8
3
4cos
8
1
2cos
2
1
8
3
4cos
8
1
2cos
2
1
8
3
sen 4
 
 
 Para calcularmos as integrais ∫ dxx2cos e ∫ dxx4cos usamos o método da 
substituição. 
 Note que esse procedimento é valido para potências pares de seno e cosseno. 
 
• As integrais ∫ duuu nm cossen , onde m e n são inteiros positivos 
 
 Neste tipo de integral, fazemos uma preparação na função, de forma a aplicar o 
método da substituição. 
 
Calcule a integral ∫ dxxx 43 cossen . 
 
 Solução: Temos que: 
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Exemplo
( )
( ) ( )
( ) ( )
cxx
dxxxdxxx
dxxxx
dxxxxdxxx
++−=
−=
−=
=
∫∫
∫
∫∫
75
64
42
4243
cos
7
1
cos
5
1
sencossencos
sencoscos1
sencossencossen
 
 
 As integrais ( )∫ dxxx sencos4 e ( )dxxx sencos6∫ são calculadas usando o 
método da substituição, fazendo xu cos= e dxxdu sen−= . 
 
Calcule a integral ∫ dxxx 42 cossen . 
 
 Solução: Temos que: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
xxx
xxxxx
xx
x
x
xx
x
x
xxx
xxxxx
xxx
xx
xxxx
2cos2sen
8
1
4cos
16
1
16
1
2cos2sen
8
1
2cos
8
1
4cos
16
1
16
1
2cos
8
1
8
1
2cos2sen1
2
4cos1
2cos1
8
1
2cos2cos
2
4cos1
2cos1
8
1
2cos2cos2cos1
8
1
2cos2cos22cos2cos2cos21
8
1
4
2cos2cos21
2
2cos1
2
2cos1
2
2cos1
cossencossen
2
2
2
2
32
322
2
2
22242
+−=
+−−−+=





 −−
+
−+=





 −
+
−+=
−−+=
−−−++=





 ++





 −=





 +





 −=
=
 
 Logo, 
cxxx
dxxxxdxxx
++−=





 +−= ∫∫
2sen
48
1
4sen
64
1
16
1
2cos2sen
8
1
4cos
16
1
16
1
cossen
3
242
 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 15
Exemplo
 As integrais ∫ dxx4cos16
1
 e dxxx∫ 2cos2sen8
1 2 foram calculadas usando o 
método da substituição. 
 
Calcule a integral ∫ dxxx 44 cossen . 
 
 Solução: Se m e n são iguais, usamos a identidade xxx 2sen
2
1
cossen = . Dessa 
forma, temos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xx
xx
x
x
xxx
x
xxxxxxx
8cos
128
1
4cos
32
1
128
3
8cos
128
1
128
1
4cos
32
1
64
1
2
8cos1
4cos21
64
1
4cos4cos21
64
1
4cos1
64
1
2
4cos1
16
1
2sen
16
1
2sen
16
1
2sen
2
1
cossencossen
22
2
224
4
444
+−=
++−=




 ++−=
+−=−=




 −=
==




==
 
 
 Assim, 
cxxx
dxxxdxxx
++−=





 +−= ∫∫
8sen
1024
1
4sen
128
1
128
3
8cos
128
1
4cos
32
1
128
3
cossen 44
 
 
• As integrais ∫ duuntan e ∫ duuncot 
 
 Sejam as seguintes identidades trigonométricas: 
 
1sectan 22 −= uu e, 
1seccoscot 22 −= uu 
 
 Usaremos essas identidades visando o método da substituição. 
 Temos que: 
( )1sectan
tantantan
22
22
−⋅=
⋅=
−
−
uu
uuu
n
nn
 
 e, 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 16
Exemplo
( )1seccoscot
cotcotcot
22
22
−⋅=
⋅=
−
−
uu
uuu
n
nn
 
 
Calcule a integral ∫ dxx5tan 3 . 
 
 
 Solução: Temos que: 
( )
xxx
xx
xxx
5tan5sec5tan
15sec5tan
5tan5tan5tan
2
2
23
−=
−⋅=
⋅=
 
 Logo, 
( )
cxx
dxxdxxx
dxxxxdxx
+−=
−=
−=
∫ ∫
∫∫
5secln5tan
10
1
5tan5sec5tan
5tan5sec5tan5tan
2
2
23
 
 
 As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição. 
 
• As integrais ∫ duuecns e ∫ duunseccos , onde n é inteiro positivo 
 
 Nesse caso, temos que se n é par, procederemos como no caso anterior, usando 
as identidades 1tansec 22 += uu e 1cotseccos 22 += uu . 
 Temos que: 
( )
( ) uu
uuu
n
n
n
22
2
2
22
2
2
sec1tan
secsecsec
⋅+=
⋅=
−
−
 
 e, 
( )
( ) uu
uuu
n
n
n
22
2
2
22
2
2
seccos1cot
seccosseccosseccos
⋅+=
⋅=
−
−
 
 
 Quando n for ímpar, devemos aplicar o método de integração por partes. 
 
 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 17
Exemplo
Exemplo
Calcule a integral ∫ dxx6seccos . 
 
 Solução: Temos que: 
( )
( )
( )
xxxxx
xxx
xx
xxx
22224
224
222
2226
seccosseccoscot2seccoscot
seccos1cot2cot
seccos1cot
seccosseccosseccos
++=
++=
⋅+=
⋅=
 
 Dessa forma, 
( )
cxxx
dxxdxxxdxxx
dxxxxxxdxx
+−−−=
++=
++=
∫ ∫ ∫
∫∫
cotcot
3
2
cot
5
1
seccosseccoscot2seccoscot
seccosseccoscot2seccoscotseccos
35
22224
222246
 
 
 As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição. 
 
Calcule a integral ∫ dxx3sec . 
 
 Solução: Nesta integral, usaremos integração por partes, fazendo: 
 
dxxxdxx 23 secsecsec ∫∫ = 
 
 Chamando xu sec= e dxxdv 2sec= , temos dxxxdu tansec= e xv tan= . 
Dessa forma, 
( )
∫
∫∫
∫
∫∫∫
−++=
−+=
−−=
−==
dxxxxxx
dxxdxxxx
dxxxxx
dxxxxxdxxxdxx
3
3
2
223
sectanseclntansec
secsectansec
sec1sectansec
sectantansecsecsecsec
 
 Temos então, 
∫∫ −++= dxxxxxxdxx 33 sectanseclntansecsec 
 
 Somando ∫ dxx3sec em ambos os membros da equação acima, temos: 
xxxxdxx tanseclntansecsec2 3 ++=∫ 
 Assim, 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 18
Exemplo
Exemplo
( ) cxxxxdxx +++=∫ tanseclntansec2
1
sec3 
 
• As integrais ∫ duuu nm sectan e ∫ duuu nm seccoscot onde m e n são inteiros 
positivos 
 
 Quando m for ímpar ou n for par, podemos preparar o integrando visando o 
método da substituição. 
 Quando m for par e n for ímpar, devemos utilizar integração por partes. 
 
Calcule a integral dxxx∫ 67 sectan . 
 
 Solução: Como n é par, utilizaremos o método da substituição. Temos então, 
que: 
( )
( )
( )
xxxxxx
xxx
xx
xxxx
2729211
2247
2227
222767
sectansectan2sectan
sec1tan2tantan
sec1tantan
secsectansectan
++=
++=
+=
=
 
 Portanto, 
( )
cxxx
dxxxdxxxdxxx
dxxxxxxxdxxx
+++=
++=
++=
∫ ∫ ∫
∫∫
81012
2729211
272921167
tan
8
1
tan
5
1
tan
12
1
sectansectan2sectan
sectansectan2sectansectan
 
 
 As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição chamando 
xu tan= , com dxxdu 2sec= . 
 
Calcule a integral dxxx∫ 57 sectan 
 
 Solução: Temos que: 
( )
( )
( )
( ) xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxxxx
tansecsecsec3sec3sec
tansecsec1sec3sec3sec
tansecsec1sec
secsectantansectan
46810
4246
432
43257
−+−=
−+−=
−=
=
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 19
Exemplo
 Logo, 
( )
cxxxx
dxxxxdxxxx
dxxxxdxxxx
dxxxxxxxdxxx
+−+−=
−+
+−=
−+−=
∫∫
∫∫
∫∫
57911
46
810
4681057
sec
5
1
sec
7
3
sec
3
1
sec
11
1
tansecsectansecsec3
tansecsec3tansecsec
tansecsecsec3sec3secsectan
 
 
 As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição 
chamando xu sec= , com dxxxdu tansec= . 
 
Calcule a integral dxxx∫ 32 sectan . 
 
 Solução: Note que temos m par e n ímpar. Dessa forma usaremos integração por 
partes. Assim, 
( )
( )
dxxdxx
dxxx
dxxxdxxx
∫∫
∫
∫∫
−=
−=
−=
35
35
3232
secsec
secsec
sec1secsectan
 
 
 Note que recaímos em duas integrais que devem ser resolvidas pelo método de 
integração por partes, como foi feito anteriormente. Assim, 
 
cxxxxxx
dxxdxxdxxx
++−−=
−= ∫∫∫
tansecln
8
1
tansec
8
1
tansec
4
1
secsecsectan
3
3532
 
 
Integração por Substituição 
Trigonométrica 
 
 Muitas vezes, substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de 
uma integral. Se o integrando contém funções envolvendo expressões do tipo 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 20
Exemplo
22 ua − , 22 ua + ou 22 au − , onde a > 0 é possível fazermos uma substituição 
trigonométrica adequada. 
 Vamos considerar cada forma com um caso separado: 
 
Caso 1: O integrando contém uma expressão da forma 22 ua − : 
 
 Neste caso, usamos θsenau = . Então, θθ dadu cos= . Supondo que 
22
π
θ
π
≤≤− , temos: 
 ( )
θ
θ
θ
θ
cos
cos
sen1
sen
22
22
22222
a
a
a
aaua
=
=
−=
−=−
 
pois como 
22
π
θ
π
≤≤− , 0cos ≥θ . 
 Como θsen=
a
u
, 




=
a
u
arcsenθ 
 
Calcular a integral dx
xx
∫
− 22 16
1
 
 
 Solução: O integrando contém a expressão 216 x− , que é da forma 22 ua − , 
com 4=a . Logo, fazendo θsen4=x , para 
22
π
θ
π
≤≤− . 
 Segue-se que: 
( )
θ
θ
θ
θ
cos4
cos16
sen116
sen161616
2
2
22
=
=
−=
−=− x
 
 
 Como θsen4=x , θθ ddx cos4= . Substituindo na integral dada, temos: 
 
θ 
a 
u 
22 ua − 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 21
( )
c
d
d
ddx
xx
+−==
=
⋅
⋅
=
−
∫
∫
∫∫
θ
θθ
θ
θ
θθ
θθ
cot
16
1
seccos
16
1
sen
1
16
1
cos4
cos4sen16
1
16
1
2
2
222
 
 
 Devemos agora, voltar à variável original x: 
 
 
 
 
 
 
 Como θsen4=x , temos que θsen
4
=
x
. Como 
θ
θ
θ
sen
cos
cot = , temos que 
x
x 216
cot
−
=θ . Logo, 
c
x
x
dx
xx
+
−
−=
−
∫ 16
16
16
1 2
22
 
 
Caso 2: O integrando contém uma expressão da forma 22 ua + : 
 
 Neste caso, usaremos θtanau = . Então, θθ dadu 2sec= . Supondo que 
2
0
π
θ <≤ , se 0≥u e 0
2
<<− θ
π
, se 0<u . 
 
 ( )
θ
θ
θ
θ
sec
sec
tan1
tan
22
22
22222
a
a
a
aaua
=
=
+=
+=+
 
pois como 
22
π
θ
π
<<− , 1sec ≥θ 
Como θtan=
a
u
, 




=
a
u
arctanθ 
θ 
4 
x 
216 x− 
θ 
a 
u 
22 au + 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 22
Exemplo Calcule dxx∫ + 52 . 
 
 Solução: Substituímos θtan5=x , onde 
2
0
π
θ <≤ , se 0≥x e 0
2
<<− θ
π
, 
se 0<x . Então, θθ ddx 2sec5= e, 
( )
θ
θ
θ
θ
sec5
sec5
tan15
5tan55
2
2
22
=
=
+=
+=+x
 
 Logo, 
c
d
ddxx
+++=
=
⋅=+
∫
∫∫
θθθθ
θθ
θθθ
tansecln
2
5
tansec
2
5
sec5
sec5sec55
3
22
 
 
 Devemos voltar à variável original x: 
 
 
 
 
 
 
 Como θtan5=x , θtan
5
=
x
. Temos que 
5
5
sec
2 +
=
x
θ . Logo, 
5ln
2
5
,5ln
2
5
5
2
1
5ln
2
5
5ln
2
5
5
2
1
55
5
ln
2
5
55
5
2
5
5
11
22
22
22
2
−=+++++=
+−++++=
++
+
+⋅
+
=+∫
cccxxxx
cxxxx
c
xxxx
dxx
 
 
 
 
 
θ 
5 
x 
52 +x 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 23
Exemplo
Caso 3: O integrando contém uma expressão da forma 22 au − : 
 
 Neste caso, usamos θsecau = . Então, θθ tansecadu = . Supondo que 
2
0
π
θ <≤ ou 
2
3π
θπ <≤ , temos: 
 
 ( )
θ
θ
θ
θ
tan
tan
1sec
sec
22
22
22222
a
a
a
aaau
=
=
−=
−=−
 
pois como 
2
0
π
θ <≤ ou 
2
3π
θπ <≤ , 0tan ≥θ 
Como θsec=
a
u
, 




=
a
u
arcsecθ 
 
Calcule a integral ∫
− 252x
dx
. 
 
 Solução: Seja θsec5=x , θθ tansec5=dx . Daí, 
 
( )
θ
θ
θ
θ
tan5
tan25
1sec25
25sec2525
2
2
22
=
=
−=
−=−x
 
 Logo, 
cdd
x
dx
++===
−
∫∫∫ θθθθθθ
θθ
tanseclnsec
tan5
tansec5
252
 
 
 Voltando à variável x: 
 
 
 
 
 
 
θ 
a 
u 
22 au − 
θ 
5 
x 
252 −x 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 24
Exemplo
 Como θsec5=x , θsec
5
=
x
. Olhando a figura, temos que 
5
25
tan
2 −
=
x
θ . 
 Logo, 
5ln,25ln
5ln25ln
5
25
5
ln
25
11
2
2
2
2
−=+−+=
+−−+=
+
−
+=
−
∫
cccxx
cxx
c
xx
x
dx
 
 
Métodos de Integração: Frações Parciais 
 
 Uma função racional ( )xf é a função definida como o quociente de duas 
funções polinomiais, ou seja, 
( ) ( )
( )xq
xp
xf = 
onde ( )xp e ( )xq são polinômios. 
 Veremos, a partir de agora, como integrar a função f. A idéia básica é escrever a 
função racional dada como uma soma de frações mais simples. 
 
Proposição: Se ( )xp é um polinômio com coeficientes reais, ( )xp pode ser expresso 
como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. 
 
O polinômio ( ) 232 +−= xxxq pode ser escrito como o produto dos 
fatores lineares 2−x e 1−x , ou seja, ( ) ( )( )12 −−= xxxq . 
 
 A decomposição da função racional ( ) ( )
( )xq
xp
xf = em frações mais simples está 
subordinada ao modo como o denominador ( )xq se decompõe nos fatores lineares e/ou 
quadráticos irredutíveis. 
 Neste método de integração, consideramos que o coeficiente do termo de mais 
alto grau do polinômio do denominador ( )xq é 1 e que o grau de ( )xp é menor que o 
grau de ( )xq . Caso isso não ocorra, teremos que preparar o integrando. 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 25
Exemplo
Caso 1: Os fatores de ( )xq são lineares e distintos: 
 
 Neste caso, podemos escrever ( ) ( )( ) ( )naxaxaxxq −−−= L21 , onde os 
niai L1, = são distintos dois a dois. Nesse caso, escrevemos: 
 
( )
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xf
−
++
−
+
−
= L
2
2
1
1 
 
onde nAAA ,,, 21 L são constantes que devem ser determinadas. 
 
Calcular a integral dx
xxx
x
∫ −−
−
2
1
23
 
 
 Solução: Fatorando o denominador, temos: 
 
( )( )12
1
2
1
23 +−
−
=
−−
−
xxx
x
xxx
x
 
 Assim, 
122
1
23 +
+
−
+=
−−
−
x
C
x
B
x
A
xxx
x
 (1) 
 
 Logo, a seguinte identidade é válida, tirando o mínimo da equação acima e 
igualando os numeradores: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )21121 −++++−=− xCxxBxxxAx 
 
 Para encontrarmos os valores de A, B e C, basta substituirmos x por 0, 2 e -1, 
respectivamente, na equação acima. 
 
Para x = 0: A21 −=− , logo 
2
1
=A 
 
Para x = 2: B61 = , logo 
6
1
=B 
 
Para x = -1: C32 =− , logo 
3
2
−=C 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 26
Exemplo
 Substituindo esses valores na equação (1), temos: 
 
1
3
2
2
6
1
2
1
2
1
23 +
−
+
−
+=
−−
−
xxxxxx
x
 
 Logo, 
 
cxxx
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
x
++−−+=
+
−
−
+=
−−
−
∫∫ ∫∫
1ln
3
2
2ln
6
1
ln
2
1
13
2
26
1
2
1
2
1
23
 
 
 As integrais acima foram calculadas utilizando o método de integração por 
substituição simples. 
 
Caso 2: Os fatores de ( )xq são lineares sendo que alguns deles se repetem: 
 
 Se um fator linear ( )iax − de ( )xq tem multiplicidade r, a esse fator 
corresponderá uma soma de frações parciais da forma: 
 
( ) ( ) ( )i
r
r
i
r
i
ax
B
ax
B
ax
B
−
++
−
+
− −
L
1
21 
 
onde rBBB ,,, 21 L são constantes que devem ser determinadas. 
 
Calcular 
( )∫ −
−
dx
xx
x
32
3
2
1
. 
 
 Solução: A fração do integrando pode ser escrita como soma de frações parciais 
do seguinte modo: 
 
( ) ( ) ( ) 2222
1
23232
3
−
+
−
+
−
++=
−
−
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
 (1) 
 
 Logo, tirando o mínimo e igualando o numerador na equação acima, temos: 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 27
( ) ( ) ( ) ( )2222333 22221 −+−++−+−=− xExxDxCxxBxxAx (2) 
 
 Para encontrarmos algumas constantes, basta substituirmos x por 0 e 2, na 
equação (2): 
 
Para x = 0: A81 −=− , logo 
8
1
=A 
 
Para x = 2: C47 = , logo 
4
7
=C 
 
 Substituindo esses valores em (2) e expandindo as potências dos binômios, 
encontramos as outras constantes: 
 
( ) ( ) ( )442
4
7
81268126
8
1
1 2223223233 +−+−++−+−+−+−=− xxExDxDxxxxxBxxxxx
 
 Colocando em evidência os termos comuns, temos: 
 
( ) 18
2
3
42
4
7
12
4
3
46
8
1
1 2343 −




 −+




 +−++−+




 −+−++=− xBxEDBxEDBxEBx 
 
 Igualando os coeficientes das potências iguais de x, temos: 
 
08
2
3
042
4
7
12
4
3
146
8
1
0
=−
=+−++−
=−+−
=+
B
EDB
EDB
EB
 
 
 Resolvendo, temos: 
16
3
,
4
5
,
16
3
−=== EDB 
 
 Logo, voltando em (1): 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 28
Exemplo
( ) ( ) ( ) 2
16
3
2
4
5
2
4
7
16
3
8
1
2
1
23232
3
−
−
+
−
+
−
++=
−
−
xxxxxxx
x
 
 Assim, 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
c
x
x
xx
xx
cx
xx
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xx
x
+
−
+
−
−+−
=
+−−
−
−
−
−+−=
−
−
−
+
−
++=
−
−
∫ ∫ ∫∫ ∫∫
2
ln
16
3
28
41711
2ln
16
3
24
5
28
7
ln
16
3
8
1
216
3
24
5
24
7
16
3
8
1
2
1
2
2
2
23232
3
 
 
Caso 3: Os fatores de ( )xq são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que os fatores 
quadráticos não se repetem: 
 
 A cada fator quadrático cbxx ++2 de ( )xq , corresponderá uma fração parcial 
da forma 
cbxx
DCx
++
+
2
 
 
Calcule ∫ −++
++
dx
xxx
xx
3
452
23
2
 
 
 Solução: Note que 1=x é raiz do polinômio ( ) 323 −++= xxxxq . Logo, 
podemos reescrever ( ) ( )( )321 2 ++−= xxxxq. Podemos então, reescrever o integrando 
na forma: 
 
( )( ) 321321
452
3
452
22
2
23
2
++
+
+
−
=
++−
++
=
−++
++
xx
CBx
x
A
xxx
xx
xxx
xx
 (1) 
 
 Daí, tirando o mínimo e igualando os numeradores, temos: 
 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )CAxCBAxBA
CCxBxBxAAxAx
xCBxxxAxx
−++−++=
−+−+++=
−++++=++
32
32
132452
2
22
22
 
 
Para um exemplo com 
explicações detalhadas 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 29
 E então, 





=−
=+−
=+
43
52
2
CA
CBA
BA
 
 
 Resolvendo esse sistema, temos: 
 
6
9
,
6
1
,
6
11
=== CBA 
 Portanto, 
32
6
9
6
1
1
6
11
3
452
223
2
++
+
+
−
==
−++
++
xx
x
xxxx
xx
 
 
 Dessa forma, 
 
cdx
xx
x
x
dx
xx
x
x
dx
dx
xxx
xx
+
++
+
+−=
++
+
+
−
=
−++
++
∫
∫ ∫∫
32
9
6
1
1ln
6
11
32
9
6
1
16
11
3
452
2
223
2
 
 
 Note que a segunda integral é uma função racional cujo denominador é um 
polinômio quadrático irredutível que pode ser resolvida completando o quadrado do 
denominador e fazendo substituições convenientes. 
 Temos que, somando e subtraindo 1 no denominador do integrando: 
 
( )
( ) 21
311232
2
22
++=
+−++=++
x
xxxx
 
 
e, portanto, 
( )∫∫ ++
+
=
++
+
dx
x
x
dx
xx
x
21
9
32
9
22
 
 
 Fazendo 1+= xu , temos 1−= ux e dxdu = . Logo, 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 30
Exemplo
( )
( )
c
x
xx
c
u
u
u
du
du
u
u
du
u
u
du
u
u
dx
x
x
+




 +
−++=
+





−+=
+
+
+
=
+
+
=
+
+−
=
++
+
∫ ∫
∫∫∫
2
1
arctan
2
8
32ln
2
1
2
arctan
2
8
2ln
2
1
2
8
2
2
8
2
91
21
9
2
2
22
222
 
 Logo, 
 
c
x
xxxdx
xxx
xx
+










 +
−+++−=
−++
++
∫ 2
1
arctan
2
8
32ln
2
1
6
1
1ln
6
11
3
452 2
23
2
 
 
Caso 4: Os fatores de ( )xq são quadráticos irredutíveis repetidos 
 
 Se ( )xq tem um fator quadrático irredutível cbxx ++2 com multiplicidade r, 
então, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma: 
 
( ) ( ) ( )cbxx
BxA
cbxx
BxA
cbxx
BxA rr
rr ++
+
++
++
+
+
++
+
− 212
22
2
11
L 
 
Calcule a integral 
( )∫ +
−+−
dx
xx
xxx
22
32
1
21
. 
 
 Solução: Temos que: 
 
( ) ( ) ( )111
21
22222
32
+
+
+
+
+
+=
+
−+−
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xxx
 (1) 
 
 Daí, 
 
( ) ( ) ( ) ( )1121 22232 ++++++=−+− xxEDxxCBxxAxxx (2) 
 
Para 0=x : 11 ⋅= A , logo 1=A . 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 31
 Voltando em (2): 
 
( ) ( ) ( ) ( )
ExExDxDxCxBxxx
xxEDxxCBxxxxx
++++++++=
++++++⋅=−+−
324224
22232
12
11121 
e, 
( ) ( ) ( ) 12121 23432 ++++++++=−+− xECxDBExxDxxx 
 
 Temos então: 
 







−=+
=++
−=
=+
1
22
1
01
EC
DB
E
D
 
 Daí, 
1,1,0,1,1 −=−==== EDCBA 
 
 Voltando em (1): 
 
( ) ( )
( )
( )1
11
1
011
1
21
22222
32
+
−+−
+
+
+
+=
+
−+−
x
x
x
x
xxx
xxx
 
 
 Assim, 
 
( ) ( )
( )
( ) cxxxx
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
dx
xx
xxx
+−+−
+
−=
+
−
+
−
+
+=
+
+
−
+
+=
+
−+−
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫
arctan1ln
2
1
12
1
ln
1
1
11
1
1
11
21
2
2
2222
22222
32
 
 
A integral definida 
 
 A definição de integral definida está estritamente relacionada com as áreas de 
certas regiões do plano coordenado. 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 32
 Seja R uma região em um plano coordenado, delimitada por duas retas verticais 
ax = e bx = e pelo gráfico de uma função f contínua e não-negativa no intervalo 
fechado [ ]ba, . 
 
R
 
 
 Como ( ) 0≥xf para todo [ ]bax ,∈ , o gráfico não tem parte alguma abaixo do 
eixo x. Queremos então, definir a área A de R. 
 Para isso, fazemos uma partição do intervalo [ ]ba, , isto é, dividimos o intervalo 
[ ]ba, em n subintervalos, escolhendo os pontos 
 
bxxxxxxa nnii =<<<<<<<= −− 1110 LL 
 
 Seja 1−−=∆ iii xxx , o comprimento do intervalo [ ]ii xx ,1− . 
 Em cada um destes intervalos [ ]ii xx ,1− , escolhemos um ponto qualquer ic . 
 Para cada i, ni ,,1 L= , construímos um retângulo de base ix∆ e altura ( )icf . 
 
y 
x b a 
y 
x xi-1 ci xi x0 x1 x2 xn-1 xn 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 33
 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por nS , é dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ( )∑
=
∆=∆++∆+∆=
n
i
iinnn xcfxcfxcfxcfS
1
2211 L 
 
 Esta soma é chamada soma de Riemann da função ( )xf . 
 Observe que à medida que n cresce muito, cada ix∆ , ni ,,1 L= , torna-se muito 
pequeno e a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos 
como área da região R. 
 
Definição: Seja ( )xfy = uma função contínua, não-negativa em [ ]ba, . A área sob a 
curva ( )xfy = , de a até b, é definida como: 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) i
n
i
i
n
nn
n
xcf
xcfxcfxcfA
∆=
∆++∆+∆=
∑
=
∞→
∞→
1
2211
lim
lim L
 
 
onde, para cada ni ,,1 L= , ic é um ponto arbitrário do intervalo [ ]ii xx ,1− . 
 
Definição: Seja f uma função definida no intervalo [ ]ba, e seja P uma partição qualquer 
de [ ]ba, . A integral definida de f de a até b, denotada por 
 
( )∫
b
a
dxxf 
é dada por 
( ) ( ) i
n
i
i
n
b
a
xcfdxxf ∆= ∑∫
=
∞→
1
lim 
 
desde que o limite exista. Neste caso, dizemos que f é integrável em [ ]ba, . 
 
 Na notação ( )∫
b
a
dxxf , os números a e b são chamados limites de integração. 
 
Definição: Seja f uma função contínua em [ ]ba, e ( ) 0≥xf para todo [ ]bax ,∈ . Seja R 
a região limitada pela curva ( )xfy = , pelo eixo x e pelas retas ax = e bx = . Então, a 
medida A da área da região R é dada por: 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 34
( )∫=
b
a
dxxfA 
 
Definição: i) Se ba > , então ( ) ( )∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf , se ( )∫
a
b
dxxf existir. 
 ii) Se ba = e ( )af existe, então ( ) 0=∫
a
a
dxxf 
 
Proposição: Se f é contínua em [ ]ba, , então f é integrável em [ ]ba, . 
 
 
Propriedades da integral definida 
 
Proposição: Se f é integrável em [ ]ba, e k é um número real arbitrário, então kf é 
integrável em [ ]ba, e, 
( ) ( )∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxkf 
 
Proposição: Se f e g são funções integráveis em [ ]ba, , então f + g é integrável em 
[ ]ba, e, 
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf 
 
Proposição: Se bca << e f é integrável em [ ]ca, e em [ ]bc, , então f é integrável em 
[ ]ba, e, 
( ) ( ) ( )∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf 
 
Proposição: Se f é uma função contínua em [ ]ba, , então 
 
( ) ( )∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf 
 
Proposição: Se f é uma função contínua em [ ]ba, , existe um ponto c entre a e b tal que: 
 
( ) ( ) ( )cfabdxxf
b
a
−=∫ 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 35
 Se ( ) 0≥xf , para todo [ ]bax ,∈ , podemos visualizar geometricamente esta 
proposição. Ela nos diz que a área abaixo da curva ( )xfy = , entre a e b, é igual à área 
de um retângulo de base ( )ab − e altura ( )cf . 
 
 
 
Proposição: Se f é integrável e se ( ) 0≥xf para todo [ ]bax ,∈ , então ( ) 0≥∫
b
a
dxxf . 
 
Proposição: Se f e g são integráveis em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf ≥ para todo x em [ ]ba, , 
então: 
( ) ( )∫∫ ≥
b
a
b
a
dxxgdxxf 
 
Integrais de funções simétricas: Suponha que f é contínua em [ ]aa,− : 
 
i. Se f for par ( ) ( )[ ]xfxf =− , então ( ) ( )dxxfdxxf aa
a ∫∫ =− 02 . 
ii. Se f for ímpar ( ) ( )[ ]xfxf −=− , então ( ) 0=∫−
a
a
dxxf . 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de 
derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função 
contínua [ ] ℜ→baf ,: , podemos calcular a suaintegral definida ( )∫
b
a
dxxf . 
y 
x 
b c a 
( )cf 
( )xfy = 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 36
 A primeira parte desse teorema lida com funções definidas por uma equação da 
forma 
( ) ( )dttfxg
x
a∫= 
 
onde f é uma função contínua em [ ]ba, e x varia entre a e b . Observe que g depende 
somente de x, que aparece como a variável superior do limite na integral. Se x for um 
número fixado, então ( )dttf
x
a∫ é um número definido. Se variarmos x, o número 
( )dttf
x
a∫ também varia e define uma função de x denotada por ( )xg . Se f for uma 
função positiva, então ( )xg pode ser interpretada como uma área sob o gráfico de f de a 
até x, onde x varia de a até b. 
 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo: Suponha que f é contínua em [ ]ba, . 
 
i. Se ( ) ( )dttfxg
x
a∫= , então ( ) ( )xfxg =' . 
ii. ( ) ( ) ( )aFbFdxxf
b
a
−=∫ , quando F for qualquer primitiva de f, isto é, 
( ) ( )xfxF =' . 
 
 
 
y 
x 
b x a 
Área = ( )xg 
( )tfy = 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 37
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Calcule a integral ∫ +
1
0
2 1
dx
x
x
. 
 
 Solução: Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida. Fazendo 12 += xu , 
temos dxxdu 2= e 
2
du
dxx = . Dessa forma: 
 
∫ ∫ ++=+==+ cxcuu
du
dx
x
x
1ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
2
 
 
 Pelo teorema fundamental do cálculo, temos: 
 
2ln
2
1
1ln
2
1
2ln
2
1
1ln
2
1
1
1
0
2
1
0
2
=
−=
+=
+∫ xdxx
x
 
 
 Note que, para resolver esta integral, também podemos fazer a mudança de 
variáveis na integral definida, desde que façamos a correspondente mudança nos limites 
de integração: 
 Ao chamarmos 12 += xu , vemos que se 1,0 == ux e se 2,1 == ux . Daí, 
 
( ) 2ln
2
1
1ln2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
0
2
=−===
+ ∫∫ uu
du
dx
x
x
 
 
Calcule a integral ∫
2
0
cos
π
dtt . 
 
 Solução: A função ( ) ttF sen= é uma primitiva de ( ) ttf cos= . Logo, 
10sen
2
sensencos
2
0
2
0
=−==∫
ππ
π
tdtt 
 
Calcule a integral dxx x∫ +−
2
1
12e . 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 38
Exemplo
 Solução: Calcularemos primeiro a integral indefinida ∫ +− dxx x 1
2
e . Fazendo 
12 +−= xu , dxxdu 2−= . Logo, 
ccdudxx xuux +−=+−=−= +−+− ∫∫ 11
22
e
2
1
e
2
1
e
2
1
e 
 Dessa forma, 
2
1
e
2
1
e
2
1
e 3
2
1
1
2
1
1 22 +−=−= −+−+−∫ xx dxx 
 
Calcule a integral ∫
−
+
4
3
2 dxx . 
 
 Solução: Temos que: 



≥+
−<−−
=+
2,2
2,2
2
xsex
xsex
x 
 Logo, 
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
2
37
42846
2
9
42
2
2
2
2
222
4
2
2
2
3
2
2
3
4
2
4
3
=
−−++










 +−−+−=






++





−−=
++−−=+
−
−
−
−
− −−
∫ ∫∫
x
x
x
x
dxxdxxdxx
 
 
 
 Cálculo de áreas 
 
 
 O cálculo de áreas de figuras planas pode ser feito por integração. 
 
Caso 1: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = , 
bx = e pelo eixo dos x, onde f é contínua e ( ) 0≥xf , para todo [ ]bax ,∈ . 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 39
Exemplo
A
 
 
 Neste caso, a área é dada por ( )∫=
b
a
dxxfA . 
 
Encontre a área limitada pela curva 24 xy −= e o eixo dos x. 
 
 Solução: Os zeros da função 24 xy −= são 2− e 2. Logo, a área pedida será: 
 
 
 No intervalo [ ]2,2− , 04 2 ≥−= xy , logo, a área pedida será dada por 
 
( )
3
32
3
8
8
3
8
8
3
44
2
2
32
2
2 =










 +−−




 −=





−=−=
−−
∫
x
xdxxA 
 
 Logo, 
3
32
=A 
y 
x 
b a 
( )xfy = 
y 
x 
4 
2 2− 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 40
Exemplo
Caso 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = , 
bx = e pelo eixo dos x, onde f é contínua e ( ) 0≤xf , para todo [ ]bax ,∈ . 
 
A
 
 
 Neste caso, basta tomar o módulo da integral ( )dxxf
b
a∫ , ou seja, ( )dxxfA
b
a∫= 
 
Encontre a área da região A, limitada pela curva xy sen= e pelo eixo dos 
x de 0 até π2 . 
 
 Solução: Observe a figura: 
 
A1
A2
 
 
 Note que precisaremos dividir a região A em duas sub-regiões 1A e 2A . No 
intervalo [ ]π,0 , 0sen ≥= xy , e no intervalo [ ]ππ 2, , 0sen ≤= xy . 
y 
x 
b a 
( )xfy = 
y 
x 
1 
1− 
0 
2
π
 
2
3π
 
π2 
π 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 41
 Temos então, que 
( ) ( )
4
1111
cos2cos0coscos
coscos
sensen
2
0
2
0
21
=
−+−++−−=
+−++−=
−+−=
+=
+=
∫∫
πππ
π
π
π
π
π
π
xx
dxxdxx
AAA
 
 
 Logo, A = 4 
 
Caso 3: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas 
ax = , bx = , onde f e g são funções contínuas em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf ≥ , para todo 
[ ]bax ,∈ . 
 
A
 
 
 
 A área da região A é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a 
área sob o gráfico de g: 
( ) ( )
( ) ( )[ ]dxxgxf
dxxgdxxfA
b
a
b
a
b
a
∫
∫∫
−=
−=
 
 
 
y 
x 
( )xfy = 
b a 
( )xgy = 
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Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 42
Exemplo
Exemplo
Encontre a área limitada pelas curvas 3xy = e xy = . 
 
 Solução: Observe o gráfico abaixo: 
 
 
 
 As curvas 3xy = e xy = interceptam-se nos pontos 1e0,1 ==−= xxx . No 
intervalo [ ]0,1− , 3xx < e no intervalo [ ]1,0 , 3xx > . Logo, 
 
( ) ( )
2
1
4224
1
2
42
0
1
24
1
0
3
0
1
3
=






−+





−=
−+−=
−
−
∫∫
xxxx
dxxxdxxxA
 
 
 Logo, 
2
1
=A . 
 
 
Encontre a área da região limitada por 2yx = e 2−= xy . 
 
 
 Solução: Observe o gráfico abaixo: 
 
xy = y 
x 1 
1 
1− 
1− 
3xy = 
Para um exemplo com 
explicações detalhadas 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 43
A1
A2
 
 
 Note que precisaremos dividir a região A em duas sub-regiões 1A e 2A . Para 
encontrarmos os limites de integração, procederemos da seguinte forma: 
 Temos que: 
2yx = e 22 +=⇒−= yxxy 
 Dessa forma, 
( )( )
2ou1
021
02
2
2
2
=−=
=−+
=−−
+=
yy
yy
yy
yy
 
 
 Se 11 =⇔−= xy e se 42 =⇔= xy . 
 
 A área total é limitada superiormente por xy = no intervalo [ ]4,0 e limitada 
inferiormente por 



≤≤−
≤≤−
41se,2
10se,
xx
xx
 
 
 Assim, para a área 1A , temos: 
 
( )[ ]
3
4
0
3
4
3
4
2
1
0
2
31
0
1
0
1 =−===−−= ∫∫ xdxxdxxxA 
 
y 
x 
 – 2 
 – 1 
2 
2yx = 
2−= xy 
4 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 44
 E, para área 2A : 
( )[ ] ( )
6
19
2
2
1
3
2
88
3
16
2
23
2
22
4
1
2
2
3
1
0
4
1
2
=




 +−−




 +−=







+−=
+−=−−= ∫∫
x
x
x
dxxxdxxxA
 
 
 Logo, a área total será dada por: 
 
2
9
6
19
3
4
21 =+=+= AAAT 
 
Alternativa: Integrar em relação à y. 
 
 Temos que 2yx = e 22 +=⇔−= yxxy . Dessa forma, 
 
( )
2
9
6
27
6
7
3
10
3
1
2
2
1
3
8
4
2
4
3
2
2
2
2
1
322
1
2 ==+=




 +−−




 −+=





−+=−+=
−−
∫
y
y
y
dyyyA
 
 
 
 
 
1. Resolva as integrais abaixo: 
 
a) ∫ dxx32 Resposta: c
x
+
2
4
 
b) ∫ + dxxx )3( 2 Resposta: c
xx
++
2
3
3
23
 
c) ∫ − dxx)5( Resposta: c
x
x +−
2
5
2
 
d) ∫ dxx
5 Resposta: cx +||ln5 
e) ∫ 




+ dx
x
x
62 Resposta: cxx ++ ||ln6
3
3
 
Resolva os exercícios abaixo para você compreender melhor a aula 
sobre Integrais definidas e indefinidas e sanar suas dúvidas. 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 45
f) ∫ + dxxx ))cos()(sen(Resposta: cxx ++− )sen()cos( 
g) ∫ 




−+ dxxx
x
5
1 2
3
 Resposta: cxx
x
+−+
−
2
5
32
1 23
2
 
h) ∫ dxx 3 Resposta: c
x
+
3/44
3 
i) ∫ 




+
+
dxx
x
2
21
1 Resposta: cxxarctg ++
3
)(
3
 
j) ∫ dxex2 Resposta: cex +2 
k) ∫ − dxex x )5)(sen( Resposta: cex x +−− 5)cos( 
l) ∫ dxx2 Resposta: c
x
+
)2ln(
2 
m) ∫ +− dxxxx )53( 24 Resposta: cxxx ++− 235 2
1
3
5
5
3 
n) ∫
+
dx
x
x 1 Resposta: cxx ++ 2/1
2/3
2
3
2 
o) ∫
−
dx
x
x
2
2 43 Resposta: c
x
x ++
4
3 
p) ∫ dx
x2
1 Resposta: c
x
+
−1 
q) ∫ dx
x3
1 Resposta: c
x
+
−
22
1 
r) ∫ dx
x32
1 Resposta: c
x
+
−
24
1 
s) dxx 3 2∫ Resposta: cx +3/55
3 
 
2. Calcule as integrais: 
 
a) ∫ + dxx34
1 Resposta: cx ++ |34|ln
3
1 
b) ∫ − dxx5
1 Resposta: cx +−− |5|ln 
c) ∫ dxe x2 Resposta: ce x +22
1 
d) ∫ + dxe x 32 Resposta: ce x ++322
1 
e) ∫ dxxe x )cos()sen( Resposta: ce x +)sen( 
f) ∫
+
dx
x
x
13
2
 Resposta: ( ) cx ++ 2/13 1
3
2 
g) ∫
+
dx
x
x)ln(1
 Resposta: cx ++ 2/3))ln(1(
3
2 
h) ∫ + dxx 32 )13( Resposta: ( ) cx ++
42 13
24
1 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 46
i) ∫ + dxx
x
32
4
2
 Resposta: cx ++ )32ln( 2 
j) ( )∫ + dxxx 21
22 Resposta: ( ) cx ++
3
1
32
 
k) dxx 155∫ + Resposta: ( ) cx ++ 2/3153
2 
l) dxx 12∫ − Resposta: ( ) cx +− 2/3123
1 
m) ∫ − dxx 4)13(3 Resposta: c
x
+
−
5
)13( 5 
n) ∫ ++ dxxxx ))(12( 2 Resposta: c
xx
+
+
2
)( 22 
o) dxxx 23 32∫ − Resposta: c
x
+
−
2/3
)2( 2/33 
p) ∫ −
−
dx
x
x
22)21(
4 Resposta: c
x
+
−
−
)21(
1
2
 
q) ∫ + dxxx 10)15( 22 Resposta: c
x
+
+
3
)15( 32 
r) ∫
+
dx
x
x
12
 Resposta: cx ++12 
s) ∫ + dxxx 3)3( 23 Resposta: c
x
+
+
2
)3( 23 
 
3. Calcule as integrais definidas: 
 
a) ∫ +
1
0
32 )1( dxxx Resposta: 15/8 
b) ∫ −
1
0
2 1 dxxx Resposta: 1/3 
c) ∫ +
4
0 12
1
dx
x
 Resposta: 2 
d) ∫ +
9
1 2)1(
1
dx
xx
 Resposta: 1/2 
e) ∫
+
2
0 221
dx
x
x Resposta: 1 
f) dxx 1
1
1∫− + Resposta: 23
4 
g) ∫ +
2
0
3 )21( 2 dxx Resposta: 156 
h) dxxx∫− −−
0
1
32)21)(4( Resposta: 0 
i) ∫
2
1 2)3(
1
dx
x
 Resposta: 1/18 
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 47
4. Determine a área da região entre a parábola 24 xy −= e a reta 2+−= xy no 
intervalo [-2,3]. 
5. Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e 
x = 2, a curva 
2
1
x
y = e o eixo x. 
6. Resolva as integrais abaixo: 
21. sen x dx∫ . 2 22. cos 2 sen 2x x dx∫ . 
63. sen 3x dx∫ . 34. sen cosx x dx∫ . 
5. tg secx x dx∫ . 56. cos 4x dx∫ . 
 
Respostas: 
1. 1 cos sen 
2 2
x
x x c− + + . 
2. 31 1sen 2 cos 2 cos2 sen
8 16 8
x
x x x 2x c− + + + . 
3. 5 31 5 5 5sen 3 cos3 sen 3 cos3 cos3 sen 3
18 72 48 16
x
x x x x x x c− − − + + . 
4. 41 sen
4
x c+ . 
5. sec x c+ . 
6. 4 21 1 2cos 4 sen 4 cos 4 sen 4 sen 4
20 15 15
x x x x x c+ + + . 
 
7. Resolver as seguintes integrais: 
2 2
1.
4
dx
x x +
∫ . 
2
2
2.
4
x
dx
x −
∫ . 
29 4
3.
x
dx
x
−
∫ . 24. 9 4
dx
x x+
∫ . 
 
Respostas: 
1. 
2 4
4
x
c
x
+
− + . 
2. 
2
24 2ln 4
2
x x
x x c
−
+ + − + . 
3. 
2
2 1 3 9 49 4 ln
3 2
x
x c
x
− −
− + + . 
4. 
21 9 4 3
ln
3 2
x
c
x
+ −
+ . 
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 48
8. Resolva as seguintes integrais: 
 
sen
1.
1 sen
x
dx
x−∫ . 
1 sen
2.
1 cos
x
dx
x
+
−∫ . 
1
3.
1 sen
dx
x+∫ . 
cos
4.
1 cos
x
dx
x+∫ . 
 
Respostas: 
1. 2
tg 1
2
x c
x
− − +
  − 
 
. 
2. 
2
1
ln tg 1 2ln tg 
2 2 tg
2
x x
c
x
   − + + − +        
 
 
. 
3. 2
tg 1
2
c
x
− +
  − 
 
. 
4. tg
2
x
x c
 − + + 
 
. 
 
 
 
Para saber mais sobre Integrais definidas e indefinidas, consulte as 
referências listadas abaixo... 
 
 
Para você começar ! 
• G. THOMAS, Cálculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. 
• J. STEWART, Cálculo, vol. 1, São Paulo, Thomson Learning, 2002. 
• H. ANTON, Cálculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007. 
 
Quer aprof undar mai s um pouco? 
• L. LEITHOLD, O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Harbra, 
1994 
• E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 
1, Ed. Prentice-Hall, 1997. 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 49
• E. W. SWOKOWSKI, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books, 
2ª edição, 1994 
 
 Gost a de desaf i os?? 
• H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Cálculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 
2001. 
• P. BOULOS, Introdução ao Cálculo, vols. 1 e 2, São Paulo, Edgard Blücher, 
1974. 
• G. F. SIMMONS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Ed. 
McGraw-Hill, 1987 
 
Para os amant es da net ... 
• http://ecalculo.if.usp.br/