Medidas e incertezas

Prévia do material em texto

MEDIDAS E INCERTEZAS
O Que é Medição?
É um processo empírico que objetiva a 
designação de números a propriedades de objetos 
ou a eventos do mundo real de forma a descrevê-
los quantitativamente.
Outra forma de explicar este processo é
comparar a quantidade, ou variável desconhecida, 
com um padrão definido para este tipo de 
quantidade, implicando então num certo tipo de 
escala.
Tipos de medidas
Medida Nominal
Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se 
são iguais (Ex. duas cores, acidez de dois líquidos)
Medida Ordinal
Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos 
(Ex. Classificação por peso e altura de uma turma)
Medida em Intervalos
Quando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma 
certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (Ex. no caso anterior 
usar a escala de metros e quilogramas)
Medidas Normalizadas
Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada 
medida pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (Ex. 
O maior valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor 
máximo medido).
Medidas Cardinais
O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo 
parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o 
Sistema Internacional de Medidas, o “ SI ”.
SISTEMA
INTERNACIONAL
DE UNIDADES
SI
O Processo de Medida
Operador: - Conhecimento do processo de medida 
- Escolha adequada do instrumento
- Domínio do instrumento de medida
O Conceito de Medida
Os erros das medidas não podem ser 
completamente eliminados, conseqüentemente, não é
possível conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza. 
Por este motivo o valor de uma medida é representado 
por um intervalo de valores.
Expressão da Medida de uma Grandeza Quando 
Apenas uma Medida é Efetuada.
Quando é efetuada apenas uma medida de uma grandeza a expressão 
da medida é condicionada à resolução do instrumento de medida. Como não é
possível encontrar o valor verdadeiro de uma medida, ele é delimitado por um 
valor máximo e um mínimo, apontados pelo instrumento de medida.
xmín xmáx
Define-se:
- Precisão do instrumento (função do intervalo de confiança [xmín:xmáx]): 
p = xmáx - xmín (1.1)
- Incerteza da medida: 
22
mínmáx xxpx −==δ (1.2)
Existe uma probabilidade muito grande de que o valor verdadeiro esteja 
entre xmín e xmáx. 
xmín < xverdadeiro < xmáx . (1.3) 
xmín xmáx
x
xδ
Como o valor verdadeiro não é conhecido então, faz-se 
uma estimativa da medida por meio do valor médio do intervalo, ,
e da incerteza do instrumento :
xverdadeirox xxx δ+<<δ−
xxx δ±=
x
Intervalo de confiança
cm
Exercício 1 Exercício 2
Objeto a ser medido
Exemplo: Medir o comprimento de uma peça retangular:
522
2
2025
2
52
2
2025
2
2
,mmm
,mm
confiançadeIntervaloIncerteza
mínmáx
mínmáx
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=δ
=δ=
Observa-se que a medida “m” está no intervalo: 20 cm ≤ m ≤ 25 cm ;
m
O intervalo [20cm:25cm] é conhecido como “Intervalo de confiança”. Ele é, no 
mínimo, igual à precisão do equipamento. Neste caso, 5 unidades. Com este intervalo, 
determina-se a “Incerteza” e o valor médio do intervalo de confiança “ “.m
cm),,(m
mm
52522 ±=
δ±=
Valor da medida
1.2. EXPRESSÃO DAS MEDIDAS QUANDO VÁRIAS MEDIDAS
SÃO EFETUADAS
n
x
x
n
1i
i∑
= =
1.2.2. Desvio Padrão
O desvio padrão é a mais importante e mais útil medida da variação 
dos valores de uma amostra (TRIOLA, p. 38), pois ele considera todos os 
valores da amostra. O desvio padrão é um estimador das incertezas das 
medidas. 
1.2.1. Média Aritmética
A média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as 
mensurações numéricas descritivas (TRIOLA, 1999, p. 31). Durante todo este 
trabalho ela será designada simplesmente por “média”.
1n1n
)xx(
s
n
1i
2
i
n
1i
2
i
−
∑δ
=
−
∑ −
= ==
a- Desvio Padrão Amostral
É utilizado quando se analisa uma amostra de uma população.
xxii −=δ
sendo δi, o desvio da i-ésima medida em relação à média, o qual é expresso por:
b- Desvio Padrão Populacional
É utilizado quando todos os elementos de um conjunto participam da 
análise (população).
nn
)xx(
n
1i
2
i
n
1i
2
i ∑δ
=
∑ −
=σ ==
c- Desvio Padrão do Valor Médio.
Quando houver uma distribuição normal, o desvio padrão do valor 
médio, que também é denominado por erro-padrão da média ( TRIOLA, 
1999, p. 129), é definido por:
)1()1(
)(
1
2
1
2
−
=
−
−
=
∑∑
==
nnnn
xx
n
i
i
n
i
i
x
δ
σ
Atenção: Normalmente as calculadoras eletrônicas, bem como alguns 
“softwares”, disponibilizam para o usuário o cálculo de “s” (desvio padrão 
amostral) e o de “σ” (desvio padrão populacional). Cabe ao usuário 
determinar o desvio padrão do valor médio, a partir destes.
1.2.3. Valor da medida
A expressão do valor da medida, conforme cada caso, é dada por:
,xxouxx,sxx xσ±=σ±=±=
Normalmente, o desvio padrão, que nós devemos utilizar nas nossas 
práticas é o do valor médio:
xσ
então,
xxx σ±=
1.3. Exemplos
1.3.1. Determinar a altura média dos alunos da classe, 
considerando uma amostra de 5 alunos, escolhidos 
aleatoriamente:
1.3.2. Problemas Propostos
Algarismos Significativos
São todos os algarismos obtidos no processo de medida.
Os zeros incluídos para localizar o ponto decimal não são
significativos (zeros à esquerda).
Ex.:
1945,1 (5 algarismos significativos)
Em geral, a Incerteza deve conter apenas UM (1) algarismo 
significativo.
Logo: A incerteza deve ser arredondada após a sua 
determinação.
0,00034 (2 algarismos significativos)
1000 (4 algarismos significativos) 
2 x 105 (1 algarismo significativo)
4,189 x 10-7 (4 algarismos significativos)
Mudanças de Unidade
- Ao mudar a unidade de uma medida é importante não 
alterar o número de algarismos significativos
- A notação em potência de dez evita este problema
46 cm → 46 x 101 mm
Por convenção apenas a mantissa tem algarismos 
significativos
Ex.:
46 cm → 0,46 m (Está correto)
46 cm → 460 mm (está errado pois aumentou o número 
de algarismos significativos)
- A notação científica também soluciona este problema
46 cm → 4,6 x 102 mm
Critérios de Arredondamento
O critério de arredondamento a ser utilizado é o mesmo empregado 
por calculadoras científicas e programas afins.
Se o número à direita do ponto de arredondamento é:
0, 1, 2, 3, 4 → Simplesmente elimina-se a parte a direita
Ex.: dado o número 0,563729452
Arredondando para 8 casas depois da vírgula = 0,56372945
Arredondando para 4 casas depois da vírgula = 0,5637
Arredondando para 2 casas depois da vírgula = 0,56
5, 6, 7, 8, 9 → Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à
direita.
Ex.: dado o número 0,563729452
Arredondando para 7 casas depois da vírgula = 0,5637295
Arredondando para 5 casas depois da vírgula = 0,56373
Arredondando para 1 casa depois da vírgula = 0,6 Exercícios
Usando o Arredondamento para Representar Medidas
Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo
significativo então a medida anterior fica:
- Medida Anterior
Opção 2 → A mais simples (a que nós empregamos)
Tensão = (0,126446 + 0,0005885) V
Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo
Tensão = (0,126446 + 0,0006) V
Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais
depois da vírgula existem na incerteza (4 neste caso)
Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais
com o arredondamento necessário
Então:
Tensão = (0,1264 + 0,0006) V (Resultado Final)
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE
Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as 
contas.
Razão: cada arredondamento introduz erro (pequeno) mas que ao longo de 
diversas contas pode resultar em um número sem significado físico.
Operações Matemáticas com Medidas
Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o 
resultado deve considerar as incertezas de cada medidaa fim de determinar a 
incerteza do resultado da operação.
Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em
qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas. 
Esta formulação leva em consideração os valores máximo e mínimo da
operação.
Ex.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme:
A = a + δa B = b + δb
Adição
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max Min
A B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
δ δ
δ δ
δ δ
−
+ = ± + ± = + ±
= + + +
= − + −
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)
2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 19,8
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 19,2
19,8
19,5
Max Min
A B
Max
Min
A B
−
+ = ± + ± = + ±
= + + + = + =
= − + − = + =
−
+ = ±
[ ]19,2 19,5 0,3
2
= ±
Exemplo de adição: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1 
A + B =__________
Cálculos via Excel
Via programa do site
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
( )
2
Maior valor que a operação pode assumir
 
Menor valor que a operação pode assumir
 
Max Min
A B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
δ δ
δ δ
δ δ
−
− = ± − ± = − ±
= + − −
= − − +
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)
2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,2 9,2
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,4 8,6
9,2 8,6
8,9
2
Max Min
A B
Max
Min
A B
−
− = ± − ± = − ±
= + − − = − =
= − − + = − =
−
− = ± 8,9 0,3= ±
Subtração: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1
A – B =____________
Cálculos via Excel
Via programa do site
Multiplicação: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1
A x B =____________ ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max Min
A B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
δ δ
δ δ
δ δ
−
× = ± × ± = × ±
= + × +
= − × −
Cálculos via Excel
Via programa do site
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)
2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 77,76
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 72,8
77,
75,26
Max Min
A B
Max
Min
A B
−
× = ± × ± = × ±
= + × + = × =
= − × − = × =
− = ±
[ ]76 72,8 75,26 2,48 75 2
2
−
= ± = ±A x B
Divisão: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1
A : B =______________
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
2
Maior valor que a operação pode assumir
 
Menor valor que a operação pode assumir
 
a a Max MinA a
B b b b
a a
Max
b b
a a
Min
b b
δ
δ
δ
δ
δ
δ
± −⎛ ⎞= = ±⎜ ⎟± ⎝ ⎠
+
=
−
−
=
+
( )
( )
[ ]
( )
( )
(apenas as 5 primeiras casas decimais)
14,2 0,2 14,2
5,3 0,1 5,3 2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 14,4 2,76923 
5,3 0,1 5,2
Menor valor que a operação pode assumir
14,
Max MinA
B
Max
Min
± −⎛ ⎞= = ±⎜ ⎟± ⎝ ⎠
+
= = =
−
=
( )
( )
[ ]
(apenas as 5 primeiras casas decimais)
2 0,2 14,0 2,59259 
5,3 0,1 5,4
2,76923 2,59259
2,67924 2,67924 0,08832=2,68 0,09
2
A
B
−
= =
+
−
= ± = ± ±
Cálculos via Excel
Via programa do site
Exponenciação: B = 5,3 + 0,1
B3 =________________ ( ) [ ]
( )
( )
33 3
3
3
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max Min
B b b b
Max b b
Min b b
δ
δ
δ
−
= ± = ±
= +
= −
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
3 33
3 3
3 3
5,3 0,1 5,3
2
Maior valor que a operação pode assumir
5,3 0,1 5,4 157,464
Menor valor que a operação pode assumir
5,3 0,1 5,2 140,608
157,464 140,608
148,877 148,877 8,428=149 8
2
Max Min
B
Max
Min
B
−
= ± = ±
= + = =
= − = =
−
= ± = ± ±
Cálculos via Excel
Via programa do site
ExercExercííciocio:
Um paralelepípedo retângulo, de base quadrada, possui massa 
m = (550,4 + 0,7)g. As suas arestas da base medem A = (54,80 ±
0,01)mm e a altura h = (34,20 ± 0,02)mm .
Determine:
Área da base:
SBase =_____________
Volume:
V = _______________
Densidade: 
ρ = _____________
Cálculos via Excel
Via programa do site
Fim