Medidas e incertezas

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Física Experimental I - pág. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
FÍSICA EXPERIMENTAL I – CF063 / CF113 
( http://fisica.ufpr.br/cf063 ) 
 
 
 
Laboratório de Ensino de Física Experimental I – Remoto 
 
Mecânica, Acústica e Termodinâmica 
 
 
 
 
Curitiba 
 
 
 
2021 
 
 
Física Experimental I - pág. 2 
Conteúdo 
3 Medidas e Cálculos com Valores Experimentais ...................................................................................... 3 
3.1 O Conceito de medida ...................................................................................................... 3 
3.2 Tipos de medidas .............................................................................................................. 3 
3.3 Expressão do valor de uma grandeza física quando apenas UMA MEDIDA É EFETUADA. .. 3 
3.4 Expressões do valor de uma grandeza física quando VÁRIAS MEDIDAS SÃO EFETUADAS. 4 
3.5 Valor da medida ................................................................................................................ 6 
3.6 Algarismos Significativos ................................................................................................. 9 
3.7 Operações matemáticas com medidas ............................................................................ 11 
 
 
 
 
Física Experimental I - pág. 3 
3 Medidas e Cálculos com Valores Experimentais 
 
3.1 O CONCEITO DE MEDIDA 
 
 Medição é um processo empírico que objetiva a designação de números a propriedades de 
objetos ou a eventos do mundo real de forma a descrevê-los quantitativamente. Todas as medidas 
possuem erros. Esses erros não podem ser completamente eliminados, consequentemente, não é 
possível conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza. Por este motivo o valor de uma medida 
não é representado por um único valor, mas por um intervalo de valores. 
 
3.2 TIPOS DE MEDIDAS 
 
Medida Nominal: Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são 
iguais (Ex. duas cores, acidez de dois líquidos). 
 
Medida Ordinal: Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos (Ex. classificação 
por peso e altura de uma turma). 
 
Medida em Intervalos: Quando se deseja uma informação mais específica, envolve então uma 
certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero (Ex. no caso anterior usar a escala de 
metros e quilogramas) 
 
Medidas Normalizadas: Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada 
medida pelo valor de referência determinado as magnitudes relativas. (Ex. o maior valor obtido 
será 1, quando foi escolhido como referência o valor máximo medido). 
 
e) Medidas Cardinais: O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo 
parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o Sistema Internacional de 
Medidas, o “SI”. 
 
3.3 EXPRESSÃO DO VALOR DE UMA GRANDEZA FÍSICA QUANDO APENAS UMA 
MEDIDA É EFETUADA. 
 
 Quando é efetuada apenas uma medida de uma grandeza a expressão da medida é 
condicionada à resolução do instrumento de medida. Como não é possível encontrar o valor 
Física Experimental I - pág. 4 
verdadeiro de uma media, ele é delimitado por um valor máximo e um mínimo do instrumento de 
medida. 
 
 
 
 
 
 
Figura 16. Medida de comprimento de uma peça. 
 
Define-se: 
- Precisão do instrumento (função do intervalo de confiança): 
 
 p = xmax-xmin (1) 
 
- Incerteza da medida: 
 
22
minmax
x
xxp −
==δ 
(2) 
 
 Existe uma probabilidade muito grande de que o valor verdadeiro esteja entre xmax e 
xmin. 
 xverdadeirox xxx δ+<<δ− (3) 
 
x�-δx < xverdadeiro < x + δx 
 
 Expressão do valor da grandeza (ou do valor da medida), o que corresponde a: 
 
 xxx δ±= (4) 
3.4 EXPRESSÕES DO VALOR DE UMA GRANDEZA FÍSICA QUANDO VÁRIAS 
MEDIDAS SÃO EFETUADAS. 
 
• Média Aritmética: A média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as 
mensurações numéricas descritivas (TRIOLA, p. 31). Durante todo este trabalho ela será 
designada simplesmente por “média”. 
Física Experimental I - pág. 5 
 
n
x
x
n
1i
i∑
= = 
 
(5) 
• Desvio Padrão: o desvio padrão é a mais útil medida da variação dos valores de um 
amostra (TRIOLA, p. 38), pois ele considera todos os valores da amostra. O desvio padrão é um 
estimador das incertezas das medidas. 
 
a) Desvio padrão amostral: é utilizado quando se analisa uma amostra de uma população. 
 
1n1n
)xx(
s
n
1i
2
i
n
1i
2
i
−
∑δ
=
−
∑ −
= == 
 
(6) 
 
sendo δi, o desvio da i-ésima medida em relação à média, o qual é expresso por: 
xxii −=δ (17a) 
 
b) Desvio padrão populacional: é utilizado quando todos os elementos de um conjunto 
participam da análise. 
 
nn
)xx(
n
1i
2
i
n
1i
2
i ∑δ
=
∑ −
=σ == 
 
(7) 
c) Desvio do valor médio: quando houver uma distribuição normal, o desvio padrão do valor 
médio, que também é denominado por erro-padrão da média (TRIOLA, p. 129), é definido por: 
 
)1()1(
)(
1
2
1
2
−
=
−
−
=
∑∑
==
nnnn
xx
n
i
i
n
i
i
x
δ
σ 
 
 
 
(8) 
Verifica-se que, matematicamente, ele também poderá ser calculado por: 
 
)n(n)n(n
)xx(
nn
s
n
i
i
n
i
i
x 111
1
2
1
2
−
δ
=
−
−
=
−
σ
==σ
∑∑
== 
 
(20) 
 
Normalmente as calculadoras eletrônicas, bem como alguns “softwares”, disponibilizam para o 
usuário, o cálculo de “s” (desvio padrão amostral) e o de “σ” (desvio padrão populacional). Cabe 
ao usuário determinar “σx�” (desvio padrão da média), a partir desses. 
 
 
 
Física Experimental I - pág. 6 
3.5 VALOR DA MEDIDA 
 
A expressão dos valores é dada por: 
 sxx ±= , σ±= xx ou xxx σ±= (9) 
 
Conforme o caso em estudo, normalmente, o desvio padrão, que nós devemos utilizar nas 
práticas, é o do valor médio, 
 xxx σ±= (10) 
 
EXEMPLOS: 
 
a) Medir o comprimento da peça retangular mostrada na figura abaixo, efetuando apenas uma 
única medida: 
 
 
 
 
 Figura 17. Peça retangular. 
 
Incerteza 
2
precisão
=δ= 
52
2
2025
2
,
mm
m mínmáx =−=
−
=δ 
 522
2
2025
2
,
mm
m mínmáx =+=
+
= 
 
Resposta: Valor da media: m = m� ± δm = (22,5 ± 2,5)cm 
 
b) Expresse o comprimento da peça da figura 18: 
Resposta: valor da medida: (________±______) cm 
 
Figura 18. Peça retangular medida com régua de precisão de 0,5 cm. 
Física Experimental I - pág. 7 
 
Resposta: valor da medida: (_____ ±____) cm 
 
c) Determine o comprimento da peça da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Figura 19. Peça retangular medida com régua de precisão de 1 mm. 
 
Resposta: valor da medida: ( _______ ± _______ ) cm 
 
d) Quais os valores das medidas nos instrumentos de medida das figuras abaixo? 
 
Figura 20. Voltímetro e amperímetro analógicos. 
Resposta: 
Valor da tensão elétrica: ( _______±_______ ) V 
 
Valor da intensidade de corrente elétrica: ( _______±_______ ) A 
 
e) Estime a altura média dos alunos da classe, considerando uma amostra de 5 alunos na tabela 1, 
escolhidos aleatoriamente: 
n =_______________ ; x = ______________ ; s = ________________ ; 
Resp.: x = ( ___________ ± ________ ) 
i x (m) ixδ ( ) 
2
ixδ ( ) 
1 
2 
3 
4 
5 
Física Experimental I - pág. 8 
 x = ∑= 
 Tabela 7. Altura dos alunos da classe. 
Resposta.: x = ( ________ ± _______ ) 
Obs: certamente que os 5 alunos escolhidos correspondem a uma amostra dentre os alunos da 
turma por este motivo deve se determinar o desvio padrão amostral. 
 
f) No problema anterior, considere que estes 5 alunos correspondem a uma equipe de estudo. 
Faça a estimativa da altura média dos alunos desta equipe. 
Resposta.: x = ( ________ ± ________ ) 
 
g) Em uma determinada prática de laboratório,onde se deseja medir o comprimento de uma 
determinada peça, foram efetuadas 5 medidas, conforme a 
Tabela 8. Determine a medida do comprimento desta peça 
 N = ________ 
L = ________ 
Lσ =_________ 
L = (________±________) cm 
Resp: L = (12,52 ± 0,01) cm 
 L (cm) 
ixδ ( ) 
2
ixδ ( ) 
1 12,52 
 
 
 
2 12,52 
3 12,49 
4 12,47 
5 12,51 
 L = ∑ = 
 Tabela 8. Medidas de comprimento de uma peça. 
Obs.: Em um caso ideal, a expectativa é que os comprimentos obtidos para as medidas da peça 
sejam iguais, por tratar-se de um único comprimento, o qual está sendo medido várias vezes, mas 
normalmente isto não acontece. As variações obtidas nestas medições são inerentes ao processo 
de medir. Isto é denominado por “dispersão das medidas”, mas mesmo assim elas devem ter 
pequenas variações. Neste caso o desvio padrão a ser considerado é o do valor médio. 
 
h) A massa de um cilindro de cobre foi medida quatro vezes e os valores encontrados estão 
assinalados na Tabela 9. Determine a massa deste cilindro. 
Física Experimental I - pág. 9 
n = ________ m = mσ = ____________ 
m = (________±________) g 
Resp: m = (112,40 ± 0,02) g 
 
 
 
 
 
 
 Tabela 9. Medidas da massa de um cilindro de cobre. 
 
i) Um pequeno corpo metálico cai livremente, a partir de uma determinada altura, e o tempo de 
queda foi registrado na tabela 10. Foram efetuadas 6 medidas, sempre com o mesmo corpo e 
mesma altura de queda. Determine o tempo de queda. 
 
 
n = ________ t = ________ 
tσ = _______ 
t = (________±________) 
 
Resp: t = (2,46 ± 0,02) s 
 
 
 
 
3.6 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
São todos os algarismos obtidos no processo de medida. Os zeros incluídos para localizar o 
ponto decimal não são significativos (zeros à esquerda). Exemplos: 
• 1905,1 (5 algarismos significativos) 
• 0,00064 (2 algarismos significativos) 
• 1000 (4 algarismos significativos) 
• 2 x 105 (1 algarismos significativos) 
• 4,180 x 10-7 (4 algarismos significativos) 
i m (g) 
ixδ ( ) 
2
ixδ ( ) 
1 112,42 
 
 
 
2 112,32 
3 112,39 
4 112,45 
 m = ∑ = 
i t (s) 
ixδ ( ) 
2
ix
δ ( ) 
1 2,42 
 
 
 
2 2,42 
3 2,38 
4 2,54 
5 2,47 
6 2,49 
 t = ∑ = 
Tabela 10. Medidas do tempo de queda de um corpo metálico. 
Física Experimental I - pág. 10 
Em geral, a incerteza deve conter apenas um algarismo significativo. Logo, a incerteza deve ser 
arredondada após a sua determinação. 
 
a) Mudança de Unidades: 
Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número de algarismos 
significativos. Exemplos: 
• 46 cm = 0,46 m (Está correto); 
• 46 cm = 460 mm (errado pois aumentou o número de algarismos significativos); 
• A notação em potência de dez evita este problema: 46 cm = 46 x 101 mm 
• A notação científica também soluciona este problema (apenas um algarismo significativo 
antes da vírgula): 46 cm = 4,6 x 102 mm 
 
b) Critérios de Arredondamento: 
O critério de arredondamento a ser utilizado é o mesmo empregado por calculadoras científicas e 
a maioria dos programas computacionais. 
 
1. Se o número à direita do ponto de arredondamento for: 
0, 1, 2, 3, 4 – Simplesmente elimina-se a parte da direita 
Ex.: Número 8 casas 4 casas 2 casas 
0,563729452 0,56372945 0,5637 0,56 
 
 
 2. Se o número à direita do ponto de arredondamento for: 
5, 6, 7, 8, 9 – Incrementar o algarismo à esquerda e eliminar aparte à direita. 
Ex.: Número 7 casas 5 casas 1 casa 
0,563729452 0,5637295 0,56373 0,6 
 
c) Usando o Arredondamento para Representar Medidas: 
Normalmente deve-se expressar a incerteza de uma medida com apenas um algarismo 
significativo. Exemplo: 
Tensão elétrica = (0,126446 + 0,0005885) V 
 
Expressando a incerteza com 1 algarismo significativo: 
Tensão elétrica = (0,126446 + 0,0006) V 
 
Física Experimental I - pág. 11 
O valor médio da medida deve ser expresso com o mesmo número de casas decimais que a 
incerteza (neste caso 4), logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais, com o 
arredondamento adequado, resultando: 
 
Tensão elétrica = (0,1264 + 0,0006) V 
 
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE 
Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas. Razão: cada 
arredondamento introduz erro (pequeno) mas que, ao longo de diversas contas, pode resultar em 
um número sem significado físico. 
 
3.7 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM MEDIDAS 
 
Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar 
as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação. 
Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação 
matemática efetuada com uma ou mais medidas. Esta formulação leva em consideração os 
valores máximo e mínimo da operação e será explicada por meio de exemplos. 
 
- Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas: 
 
 
( ) ( )bbaaBA δδ ±+±=+ (11) 
a) Exemplo de adição: )2,02,14( ±=A e )1,03,5( ±=B 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 




 −±+=±+±=+
2
MínMáxbabbaaBA δδ 
(12) 
Máximo valor da soma: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 8,191,03,52,02,14 =+++=+++= bbaaMáx δδ 
Mínimo valor da soma: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 2,191,03,52,02,14 =−+−=−+−= bbaaMín δδ 
Valor médio: 
 ( ) 5,193,52,14 =+=+=+ baBA A + B������� = �a� + b�� = (14,2) + (5,3) = 19,5 
Então, 
( ) )3,05,19(
2
2,198,195,19 ±=−±=+ BA 
 
 
Física Experimental I - pág. 12 
b) Exemplo de subtração: 
 ( ) ( ) ( ) 




 −±−=±−±=−
2
MínMáxbabbaaBA δδ 
(13) 
 
Máximo valor da subtração: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 2,91,03,52,02,14 =−−+=−−+= bbaaMáx δδ 
Mínimo valor da subtração 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 6,81,03,52,02,14 =+−−=+−−= bbaaMín δδ 
Valor médio: 
 ( ) 9,83,52,14 =−=−=− baBA 
Então, 
( ) )3,09,8(
2
6,82,99,8 ±=−±=− BA 
 
c) Exemplo de multiplicação: 
 ( ) ( ) ( ) 




 −±×=±×±=×
2
MínMáxbabbaaBA δδ 
(14) 
 
Máximo valor da multiplicação: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 76,771,03,52,02,14 =+×+=+×+= bbaaMáx δδ 
Mínimo valor da multiplicação: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 8,721,03,52,02,14 =−×−=−×−= bbaaMáx δδ 
Valor médio: 
 ( ) 26,753,52,14 =×=×=× baBA 
Então, 
( ) )275(
2
8,7276,7726,75 ±=−±=× BA 
 
d) Exemplo de divisão: 
 ( ) ( ) ( ) 




 −±=±±=
2
/// MínMáxbabbaaBA δδ 
(15) 
Máximo valor da divisão: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 76923,21,03,5/2,02,14/ =−+=−+= bbaaMáx δδ 
Mínimo valor da divisão: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 59259,21,03,5/2,02,14/ =+−=+−= bbaaMáx δδ 
Física Experimental I - pág. 13 
Valor médio: 
 ( ) 67924,23,5/2,14// === baBA 
Então, 
( ) )09,068,2(
2
59259,276923,267924,2 ±=−±=
B
A
 
 
e) Exemplo de exponenciação: 
 ( ) ( ) 




 −±=±=
2
333 MínMáxbbbB δ 
(16) 
Máximo valor da exponenciação: 
 ( ) ( ) 464,1571,03,5 3
3
=+=+= bbMáx δ 
Mínimo valor da exponenciação: 
 ( ) ( ) 608,1401,03,5 3
3
=−=−= bbMín δ 
Valor médio: 
 ( ) ( ) 877,1483,5 3
33 === bB 
Então, 
8149
2
608,140464,157877,1483 ±=




 −±=B 
 
f) Exemplo de cosseno: 
 ( ) ( ) ( )
2
coscoscos MínMáxbbbB −±=±= δ (17) 
O cosseno é uma função decrescente no primeiro quadrante (onde o referido valor de B se situa), 
logo seu valor máximo ocorre quando o argumento é mínimo, o que significa: 
Máximo valor do cosseno: 
 ( ) 449319020563 ,,,cosMáx =−= 
Mínimo valor do cosseno: 
 ( ) 443,02,05,63cos =+=Mín 
Valor médio: 
 ( ) ( ) 4461980563 ,,cosBcos == 
 
Então, 
( ) 003,0446,0
2
11307,0449319,0446198,0cos ±=




 −±=B
 
 
Física Experimental I - pág. 14 
EXERCÍCIOS: 
 
a) Considerando as grandezas A = 6 ± 1; B = 12,5 ± 0,2 e C = 26 ± 4, efetue as operações 
abaixo: 
a.1 ) A + B =a.2) C – B = a.3) A/C = 
 
a.4) B/(C – A ) = a.5) sen A = a.6) B – B/A = 
 
b) Um paralelepípedo retângulo, de base quadrada, possui massa (550,4±0,7)g. As suas arestas 
da base medem A = (54,80±0,01)mm e altura h = (34,20±0,02)mm. Determine: 
Área da Base: Sbase = ____________ 
Volume: V = _____________ 
Densidade: ρ = _____________ 
 
Resposta: ρ = (5,36±0,01)g/cm³ 
 
c) Determine o período de um pêndulo simples de comprimento L = (150 ± 0,4)cm em um local 
com aceleração da gravidade g = (976 ± 0,2) cm/s2.
 
 
 
g
LT π= 2 
(18) 
REFERÊNCIAS 
-Helene, Otaviano, A. M. E Vanin, Vito, R., “Tratamento Estatístico de Dados”, Ed. Edgard 
Blücher Ltda, 2ª Ed., (1991), São Paulo. 
-Goldenbert, J., “Física geral e Experimental”, E. Univ. São Paulo – USP, (1968), vol I. 
-Triola, M. F., “Introdução à Estatística”, 7ª Edição, Livros Técnicos e Científicos, (1968), Rio 
de Janeiro. 
-Wilton P. Da Silva, Cleide M. D. P. S. E Silva, Memnandro S. Nascimento; “Tratamento de 
Dados Experimentais”; E. Universitária da UFPB (1995). 
-Taylor, John R. “Introdução à Análise de Erros: o Estudo de Incertezas em Medições Físicas”; 
2ª Ed.; Bookman, Porto Alegre (2012). 
 
	3 Medidas e Cálculos com Valores Experimentais
	3.1 O CONCEITO DE MEDIDA
	3.2 TIPOS DE MEDIDAS
	3.3 EXPRESSÃO DO VALOR DE UMA GRANDEZA FÍSICA QUANDO APENAS UMA MEDIDA É EFETUADA.
	3.4 EXPRESSÕES DO VALOR DE UMA GRANDEZA FÍSICA QUANDO VÁRIAS MEDIDAS SÃO EFETUADAS.
	3.5 VALOR DA MEDIDA
	3.6 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
	3.7 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM MEDIDAS