Capítulo 1-Medidas Estatísticas (Central e Dispersão)

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará
Faculdade de Computação e Engenharia Elétrica
Estatística
Capítulo 1:
Medidas Descritivas –
Tendência Central e 
Dispersão
Prof.º Dr. Elton Rafael 
Medidas de Tendência Central
❑ São denominadas assim pode indicarem um ponto
em torno do qual se concentram os dados (resumo).
❑ Podemos definir o centro do conjunto de dados.
❑Existem 3 principais medidas de tendência central:
1) Média;
2) Mediana;
3) Moda
Medidas de Tendência Central
• Exemplo: Medições de consumo diário de energia 
elétrica. 
0 5 10 15 20 25
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Medidas de Tendência Central
Média
1) Média Aritmética Simples:
• Para um conjunto de dados (não agrupados em
classes)
• É igual ao quociente entre a soma dos valores do
conjunto de números e o número total de valores.
1 2 1...
n
i
n i
x
x x x
x
n n
=+ + += =

Média Aritmética Simples: 
Rendimento de um Processo Químico
❑O rendimento de um processo químico é
influenciado pelo tempo e pela temperatura de
reação. Um experimento é realizado para
diferentes níveis de tempo de reação (20, 25 e
30 minutos) e da temperatura de reação (60,
70 e 80ºC). Os resultados do experimento
(rendimento em %) são apresentados a seguir:
Média Aritmética Simples
• Exemplo: Dados do rendimento, para diferentes
níveis de temperatura e tempo de reação, num
processo químico.
Média Aritmética Simples
• Médias aritméticas do rendimento, para diferentes
níveis de temperatura e tempo de reação, num
processo químico.
Média Aritmética Simples
Média Aritmética Simples
• Exemplo: Notas dos alunos de três turmas
Média
2) Média Ponderada:
• Para um conjunto de dados agrupados numa
distribuição de frequência.
• A media aritmética dos valores de é
ponderada pelas respectivas frequências absolutas
1
n
i i
i
x F
x
n
==

1 2, ,..., nx x x
1 2, ,..., nF F F
Exercício 1
• Exemplo: Dada a seguinte distribuição:
• Determinar a média.
xi 1 2 3 4
Fi 1 3 5 1
Mediana
• Colocados em ordem crescente ou decrescente, a
mediana (Md) é o valor que divide o conjunto de
dados em duas partes iguais.
• Para dados não agrupados em classes. Calcula-se a
mediana como:
1. Se n é impar →Md ocupa a posição
2. Se n é par→ Md será o valor médio entre os valores
de ordem e
( 1)
2
n +
1
2
n
+
2
n
Mediana
• Achar a medidas dos dados a seguir:
• Exemplo 1: O conjunto de notas da Turma : {0; 6; 7; 7; 
7; 7,5; 7,5}
• Exemplo 2: {5,3,2,8,4}
• Exemplo 3: {12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20}
Mediana
• Calculo da mediana para valores agrupados em
classes:
Onde: = limite inferior da classe Md ;
n= tamanho da amostra;
Fac = soma das frequências acumuladas das
classes anteriores à da mediana;
Fmd = frequência absoluta simples da mediana;
h= amplitude da classe Md
.
2
 
− 
 = +
ac
MD
MD
n
F h
Md l
F
MDl
Mediana
• Procedimentos para dados agrupados em classe:
1º passo: calcular a ordem n/2
2º passo: Identificar a classe Md pela Fac.
3º passo: Identificar os parâmetros.
Mediana
• Exemplo: Dada a distribuição amostral. Calcular a
mediana.
Classes Fi Fac
35├ 45 5 5
45├ 55 12 17
55├ 65 18 35
65├ 75 14 49
75├ 85 6 55
85├ 95 3 58
∑ 58
.
2
ac
MD
MD
n
F h
Md l
F
 
− 
 = +
Comparação entre média e mediana
• A média é mais influenciada por valores discrepantes.
Comparação entre média e mediana
Moda
• É o valor mais frequente de uma distribuição de dados.
• Para distribuição simples (sem agrupamentos em
classes), a identificação da moda é facilitada pela
simples observação do elemento que apresenta maior
frequência.
• Exemplo:
Qual é a moda?
xi 243 245 248 251 307
Fi 7 17 23 20 8
Comparação Média x Mediana
• Suponha o conjunto de dados {1,7; 2,2; 3,9; 3,11
e 14,7}.
• Quem enfatiza o verdadeiro centro dos
dados? Média ou Medina?
Moda
• Calculo da moda para dados agrupados em classes:
a) Passos:
1º passo: Identificar a classe modal (aquela que possui
maior frequência).
2º passo: Aplicar a fórmula:
Em que:
l=limite inferior da classe modal;
∆1=diferença entre a frequência da classe modal e a
imediatamente inferior;
∆2=diferença entre frequência da classe modal e a
imediatamente posterior;
h=amplitude da classe
1
1 2
.Mo l h

= + =
 +
Moda
• Exemplo: Determinar a moda para a distribuição.
Classes 0├ 1 1├ 2 2├ 3 3├ 4 4├ 5 ∑
Fi 3 10 17 8 5 43
1
1 2
.

= +
 + 
Mo l h
Exercício
• Abaixo temos a distribuição de frequência dos
pesos de uma amostra de 45 alunos:
A partir destes dados. Determine:
1. A média
2. A mediana
3. A moda
Peso (Kg) 40├45 45├50 50├55 55├60 60├65 65├70
Nº Alunos 4 10 15 8 5 3
1
1 2
.

= +
 + 
Mo l h
.
2
ac
MD
MD
n
F h
Md l
F
 
− 
 = +
Medidas de Dispersão
• Exemplo: Nota de alunos de três turmas:
Medidas de Dispersão
• Exemplo: Nota de alunos de três turmas:
Medidas de Dispersão
• Como medir a dispersão:
✓Exemplo: Turma A (4 5 5 6 6 7 7 8)
✓Distância (desvio) em relação à média. 
Medidas de Dispersão
Medidas de Dispersão
• São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau
de variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da
média.
• Servem para medir a representatividade dos dados.
Medidas de Dispersão
• Exemplo: Sejam as séries:
a) 20, 20, 20 com média= 20;
b) 15, 10, 20, 25, 30 com média=20
OBS: Nota-se que embora as series possuem a mesma
média, na série “a” não se tem dispersão, enquanto
os valores da série “b” apresentam dispersão em
torno da média 20. Assim, a média é muito mais
representativa para a séria “a” do que para a série
“b”.
Medidas de Dispersão
• Principais medidas:
1) Amplitude Total;
2) Variância;
3) Desvio Padrão. 
Amplitude Total
• É a diferença entre o maior e o menor valor de série.
Exemplo: Para a série 10, 12, 20, 22, 25, 30, 33
• OBS: A amplitude ainda não é suficiente como medida
de variação.
max minAmT X X= −
Amplitude Total
Variância 
• A melhor forma de medir a dispersão dos dados em
relação a média é através da análise dos desvios em
torno da média. Logo:
• Exemplo: dada a série {3, 4, 5, 6, 7}. Como a média é
5.
• Então dos desvios são : .
A soma de todos os desvios é igual a zero:
 ( ) -2, -1, 0, 1, 2ix x− =
( ) 0i id x x= − = 
Variância 
• Duas opções para analisar os desvios das observações
são:
a) considerar o total dos desvios em valor absoluto;
b) considerar o total dos quadrados dos desvios.
• Assim, tem-se o calculo do desvio médio:
• Para o calculo da variância populacional:
1
| |
n
i
i
x x
DM
n
=
−
=

2 2
2 21 1
( ) ( ) *
n n
i i i
i i
x x x x F
n n
 = =
− −
= → =
 
Variância 
• Para dados amostrais. Calcula-se a variância como:
2 2
2 21 1
( ) ( ) *
1 1
n n
i i i
i i
x x x x F
S S
n n
= =
− −
= → =
− −
 
Desvio Padrão
• A raiz quadrada da variância é chamada de desvio 
padrão.
é o desvio populacional.
é o desvio amostral
2 =
2S S=
Medidas descritivas das notas finais 
dos alunos de três turmas
• O que se pode interpretar?
Desvio padrão
• Aplicação: Rendimento de um processo químico.
Exemplo
• Exemplo: Calcular a variância amostral e o
desvio padrão do seguinte conjunto de dados:
{4 9 5 4 4 10}.
Exemplo
• Calcular a variância e o desvio padrão da seguinte
distribuição amostral.
Xi 5 7 8 9 11
Fi 2 3 5 4 2
Medidas de Ordenação: Quartis
• Os quartis dividem um conjunto de dados em
quatro partes iguais.
Quartis
Q1 = 1º quartil ou quartil inferior, deixa 25% dos
elementos;
Q2 = 2º quartil ou mediana, coincide com a
mediana, deixa 50% dos elementos;
Q3 = 3º quartil ou quartil superior, deixa 75%
dos elementos.
Cálculo dos Quartis
• 1º quartil ou quartil inferior: dado um
conjunto ordenado (ordem crescente) de
valores, o primeiro quartil (Q1), é o valor que
divide o conjunto em duas partes, tais que ¼
ou 25% dos valores sejam menores que ele e
75% dos restantes são maiores.
Logo: Posição de Q1=(n+1)/4
Cálculodos Quartis
• 2º quartil: dado um conjunto ordenado de
valores, o segundo quartil (Q2) ou mediana é o
valor que divide em duas partes iguais quanto
ao número de elementos, isto é, 50% ou 2/4
dos valores do conjunto são menores e 2/4
(50%) são maiores do que ele.
• Logo: Posição= Q2=(n+1)/2
Cálculo dos Quartis
• 3º quartil ou quartil superior: dado um
conjunto de dados (ordem crescente) de
valores, o terceiro quartil (Q3) é o valor que
divide o conjunto em duas partes, tais que 75%
ou ¾ dos valores são menores e 25 ou ¼ sejam
maiores.
• Logo: Posição=Q3=3(n+1)/4
Exercício
• Dada as observações: 15, 18, 5, 7, 9, 11, 3, 5, 
6, 8, 12. Ache os quartis.
Características de uma Distribuição 
de Frequências
Assimetria: Grau de deformação
• Para dados simétricos, a mediana e a média 
são coincidentes:
Assimetria
• Para dados deslocados (assimétricos), com
uma longa cauda para um lado, a média e
mediana não são coincidentes.
Assimetria
Assimetria á esquerda
(negativa)
Assimetria á direita
(positiva)
Assimetria em Histograma
Análise Geral dos Dados
• Com a mediana, quartis e extremos, podemos
ter informações sobre a posição central,
dispersão e assimetria da distribuição de
frequências.
Atividade
• Diagrama em caixas ou boxplot