Ondas: Conceito, Tipos e Efeito Doppler

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Tópico 4: Ondas
• Conceito de onda
• Tipos de onda
• Ondas transversais
• Ondas longitudinais
• Efeito Doppler
Onda: é qualquer sinal que se transmite de um ponto para outro de um meio com 
velocidade definida (sem que haja transporte direto de matéria entre esses dois 
pontos).
Tipos de ondas: ondas mecânicas (leis de Newton), ondas eletromagnéticas 
(equações de Maxwell), ondas de matéria (equação de Schrödinger).
Ondas transversais: a perturbação é perperdicular à direção de propagação (ondas 
em uma corda, ondas eletromagnéticas).
Ondas longitudinais: a perturbação é paralela à direção de propagação (ondas 
sonoras). 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hydrogen_Density_Plots.pngCurso de Física Básica – Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor – H. Moysés Nussenzveig 
Ondas progressivas:
O pulso se move para a direita: o perfil da onda em um dado instante é a forma 
da onda dada pela função � . 
A onda progressiva se propaga sem alterar a sua forma: � (é
uma função apenas de � .
y(x, t)
y′�(x′�, t) = y′�(x′ �,0) = h(x′�)
x′�
Transformações de Galileu: � . Assim, no referencial original: 
� 
Para uma onda progressiva se propagando para a esquerda: � .
x′� = x − vt; y′� = y; t′� = t
y(x, t) = h(x − vt)
y(x, t) = h(x + vt)
Ondas transversais
Curso de Física Básica – Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor – H. Moysés Nussenzveig 
Ondas senoidais: �y(x, t) = ym sin(kx ± ωt)
� deslocamento
� posição
� tempo
� amplitude
� número de onda
� frequência angular
y(x, t) :
x :
t :
ym :
k :
ω :
t = 0 : y(x,0) = ym sin kx
Comprimento de onda � : λ
x = x1 → y(x1,0) = y(x1 + λ,0)
ym sin k(x1 + λ) = ym sin kx1
kλ = 2π → k =
2π
λ
Período � : T
x = 0 : y(0,t) = − ym sin ωt
t = t1 → y(0,t1) = y(0,t1 + T )
−ym sin ω(t1 + T ) = − ym sin ωt1
ωT = 2π → ω =
2π
T
Constante de fase �ϕ
Para uma onda descrita pela função � temos que � . 
Para uma onda descrita pela função � , temos que 
� .
y(x, t) = ym sin(kx − ωt) y(0,0) = 0
y(x, t) = ym sin(kx − ωt + ϕ)
y(0,0) = ym sin ϕ
y(x, t) = ym sin(kx − ωt)
y(x, t) = ym sin(kx − ωt + ϕ)
t = 0
t = 0
0
0
Se � , a onda é deslocada no sentido negativo de � em relação à onda com � 
e, se � , a onda é deslocada no sentido positivo de � em relação à onda com � .
ϕ > 0 x ϕ = 0
ϕ < 0 x ϕ = 0
A velocidade de uma onda progressiva
v = lim
Δt→0
Δx
Δt
=
dx
dt
Da figura (ponto A):
y(x + Δx, t + Δt) = y(x, t) → kx − ωt = constante
d(kx − ωt)
dt
= 0 → k
dx
dt
− ω = 0 → v =
dx
dt
=
ω
k
=
λ
T
= λf
onde a frequência é � .f =
1
T
=
ω
2π
Velocidade de uma onda em uma corda esticada
Vamos considerar uma corda com massa específica linear � , onde � é a massa 
da corda e � é o comprimento da corda. A corda está sujeita a uma tração � . Se a velocidade 
depende das propriedades do meio � e � , a análise dimensional leva a � .
μ = m /l m
l τ
μ τ v = C
τ
μ
τ → N = kg m/s2 → MLT−2
μ → kg/m → ML−1
v → m/s → LT−1
v = C
τ
μ{
Para obter esta relação vamos considerar um pulso de onda:
Δl = R2θ
F = 2τ sin θ ≈
⏟
θ<<1
2τθ =
τΔl
R
Δm = μΔl
F =
Δmv2
R
→
τΔl
R
=
μΔlv2
R
→ v =
τ
μ
Δm
Energia e potência de uma onda progressiva em uma corda (comentário):
dm
� velocidade transversal do elemento da corda⃗u :
Energia cinética: �dK =
dm u2
2
=
μ dx u2
2
Energia potencial elástica: �dU → dx
A velocidade do elemento da corda é:
u =
∂y(x, t)
∂t
=
∂[ym sin(kx − ωt)]
∂t
= − ωym cos(kx − ωt)
A energia cinética é: dK =
μ dx ω2 y2m cos2(kx − ωt)
2
A taxa média de transmissão de energia cinética é: ( dKdt )med =
μ v ω2 y2m
4
A potência média é: Pmed = 2 ( dKdt )med =
μ v ω2 y2m
2
Dividindo por � :dt dK
dt
=
1
2
μ
dx
dt
ω2 y2m cos2(kx − ωt) =
μ v ω2 y2m cos2(kx − ωt)
2
Um elemento da corda descreve movimento harmônico simples:
Ondas senoidais: �y(x, t) = ym sin(kx − ωt)
A velocidade do elemento da corda é:
u =
∂y(x, t)
∂t
=
∂[ym sin(kx − ωt)]
∂t
= − ωym cos(kx − ωt) = − um cos(kx − ωt)
A aceleração do elemento da corda é:
a =
∂u(x, t)
∂t
=
∂[−ωym cos(kx − ωt)]
∂t
= − ω2ym sin(kx − ωt) = − ω2y(x, t)
onde a amplitude de velocidade é: um = ωym
A amplitude de aceleração é: am = ω2ym
Note que a aceleração é contrária ao deslocamento, como no caso do 
OHS, onde �a = − ω2x
Equação de onda (comentário)
∂2y(x, t)
∂x2
=
1
v2
∂2y(x, t)
∂t2
Vamos mostrar que � é solução da equação de onda:y(x, t) = ym sin(kx − ωt)
∂y(x, t)
∂x
=
∂[ym sin(kx − ωt)]
dx
= kym cos(kx − ωt)
∂2y(x, t)
∂x2
=
∂[kym cos(kx − ωt)]
dx
= − k2ym sin(kx − ωt)
∂y(x, t)
∂t
=
∂[ym sin(kx − ωt)]
∂t
= − ωym cos(kx − ωt)
∂2y(x, t)
∂t2
=
∂[−ωym cos(kx − ωt)]
∂t
= − ω2ym sin(kx − ωt)
Assim temos: −k2ym sin(kx − ωt) =
1
v2 [−ω
2ym sin(kx − ωt)] → v = ωk
Interferência de ondas
Vamos considerar duas ondas transversais progressivas senoidais se propagando no mesmo 
sentido com mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma frequência, mas com 
uma diferença de fase � .ϕ y1(x, t) = ym sin(kx − ωt) y2(x, t) = ym sin(kx − ωt + ϕ)
Pelo princípio de superposição (a equação de onda é linear):
y′�(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = ym sin(kx − ωt) + ym sin(kx − ωt + ϕ)
Usando a relação: sin α + sin β = 2 sin ( α + β2 ) cos ( α − β2 )
obtemos: y′�(x, t) = [2ym cos ϕ2 ] sin (kx − ωt + ϕ2 ){
a amplitude resultante depende da diferença de fase � .ϕ
Ondas estacionárias
Vamos analisar o que acontece quando duas ondas senoidais com mesmo comprimento de 
onda e mesma amplitude, mas que se propagam em sentidos opostos, interferem.
y1(x, t) = ym sin(kx − ωt)
y2(x, t) = ym sin(kx + ωt)
y′�(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = ym sin(kx − ωt) + ym sin(kx + ωt){
sin α + sin β = 2 sin ( α + β2 ) cos ( α − β2 )
y′�(x, t) = [2ym sin kx] cos ωt{
a amplitude resultante depende de x.
A amplitude é zero quando:
sin kx = 0 → kx = nπ, n = 0,1,2,…
x =
nπ
k
=
nλ
2
n = 0,1,2,…
A amplitude é máxima quando:
sin kx = 1 → kx = (n + 12 ) π, n = 0,1,2,…
x = (n + 12 ) π 1k = (n + 12 ) λ2 , n = 0,1,2,…
Ressonâncias
Corda de comprimento � fixa nas duas extremidades:L
L =
nλ
2
→ λ =
2L
n
, n = 1,2,3,…
v = λf → f =
v
λ
=
nv
2L
=
n
2L
τ
μ
, n = 1,2,3,…