matemática

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MATEMÁTICA I
PRÉ-VESTIBULAR 37PROENEM.COM.BR
DISCUSSÃO DE SISTEMAS 
LINEARES29
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA 
LINEAR
Um sistema linear é classificado de acordo com o número de 
soluções que ele tem. Ele pode ser: sistema possível e determinado 
(SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema 
impossível (SI).
SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)
É todo sistema linear que apresenta uma única solução.
Exemplo: 
x y 10
x 2y 4
+ =
 − =
Esse sistema apresenta uma única solução que é o par (x,y), ou 
seja, x = 8 e y = 2.
Considere o sistema de equações a seguir:
ax by c
Exemplo :
Ax By C
+ =
 + =
Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, 
podemos concluir que:
a b
A B
≠
 – Uma única solução
 – Retas concorrentes
Concorrentes
SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO 
(SPI)
É todo sistema linear que apresenta mais de uma solução.
Exemplo:
x y 5
2x 2y 10
+ =
 + =
Esse sistema apresenta mais de uma solução: (5,0); (1,4); (3,2) etc.
Se um sistema linear admite mais de uma solução, então 
ele admite infinitas soluções.
PROEXPLICA
Considere o sistema de equações a seguir:
ax by c
Exemplo :
Ax By C
+ =
 + =
Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, 
podemos concluir que:
a b c
A B C
= =
 – Infinitas soluções
 – Retas coincidentes
Coincidentes
SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)
É todo sistema linear que não admite solução.
Exemplo:
x y 10
Exemplo :
2x 2y 13
+ =
 + =
Note que nenhuma solução da primeira equação é também 
solução da segunda.
Considere o sistema de equações a seguir:
ax by c
Exemplo :
Ax By C
+ =
 + =
Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, 
podemos concluir que:
a b c
A B C
= ≠
 – Nenhuma solução
 – Retas paralelas
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MATEMÁTICA I 29 DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
Paralelas
01. Classifique os sistemas a seguir:
a) 
2x 6y 9
3x 9y 11
+ =
− − = −
b) Discutir o sistema 
2x y 10
2x y 10
− =
− + = −
Resolução:
a) Relacionando os coeficientes das equações, temos:
2 6 9
3 9 11
= ≠
− − −
Logo, o sistema é impossível.
b) Relacionando os coeficientes das equações, temos:
2 1 10
2 1 10
−
= =
− −
Logo, o sistema é possível indeterminado.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
DISCUSSÃO DE SISTEMAS DE 
ORDEM SUPERIOR A 2×2
Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes 
de um sistema linear, geralmente temos:
D ≠ 0 ⇒ SPD e D = 0 ⇒ SPI ou SI
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Quando o termo independente de cada uma de suas equações 
é igual a zero. Exemplos:
x y 2z 0
x 2y 0
 ou x y z 0
2x y 0
x 2y z 0
 − − =
+ = − + + = − =  − + =
Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes 
de um sistema linear, temos:
D ≠ 0 ⇒ SPD e D = 0 ⇒ SPI
Todo sistema linear homogêneo é possível, pois admite no 
mínimo a solução trivial (0,0,0).
02. (UFJF-PISM) Considere o sistema dado pelas equações:
2
x 3y 4z 3
2x 5y 10z 8
x y (a 1)z a 10
− + =
− + =
− + − = +
a) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja 
possível e determinado e encontre seu conjunto solução.
b) Determines o(s) valor(es) de a para que o sistema seja 
possível e indeterminado. 
Resolução:
a) O sistema é possível e determinado se, e somente se,
2 2
2
2
1 3 4
2 5 10 0 5(a 1) 30 8 20 10 6(a 1) 0
1 1 a 1
a 9
a 3.
−
− ≠ ⇔ − − − − + + + − ≠
− −
⇔ ≠
⇔ ≠ ±
Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as 
operações elementares sobre matrizes, obtemos
2 2
'
2 1 2
'
3 1 3
2
'' ' '
3 2 3
1 3 4 3 1 3 4 3
2 5 10 8 0 1 2 2
1 1 a 1 a 10 0 2 a 5 a 7
L ( 2) L L
L ( 1) L L
1 3 4 3
0 1 2 2
0 0 a 9 a 3
L ( 2) L L
− −   
   −   
   − − + − +   
↔ − ⋅ +
↔ − ⋅ +
− 
 
 
 − + 
↔ − ⋅ +


Em consequência, o conjunto solução é
9a 37 2a 8 1S , , ; a e a 3 .
a 3 a 3 a 3
 − − = ∈ ≠  − − −  

b) O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, 
a2 – 9 = 0 e a + 3 = 0, isto é, se a = -3.
03. (UFPR) No processo de preparação de uma mistura, foi 
necessário estudar o sistema linear:
p 2q r 3
2p 3r 8.
p 6q 1
+ + =
 + =
 + =
Nesse sistema, p, q e r representam as quantidades dos três 
elementos envolvidos na mistura. 
a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse 
sistema. 
b) Resolva o sistema. 
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29 DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
39
MATEMÁTICA I
Resolução:
a) A matriz dos coeficientes do sistema é 
1 2 1
2 0 3 .
1 6 0
 
 
 
 
 
 Logo, 
seu determinante é igual a 
1 2 1
2 0 3 6 12 18 0.
1 6 0
= + − =
b) Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as 
operações elementares sobre matrizes, vem 
'
2 1 2
'
3 1 3
1 2 1 3 1 2 1 3
2 0 3 8 0 4 1 2
1 6 0 1 0 4 1 2
L ( 2) L L
L ( 1) L L
   
   −   
   − −   
→ − ⋅ +
→ − ⋅ +

2 3
'' ' '
3
1 2 1 3 1 2 1 3
0 4 1 2 0 4 1 2 .
0 4 1 2 0 0 0 0
L 1 L L
   
   − −   
   − −   
→ ⋅ +

Onde r = 2 + 4q e p = 1 – 6q. Observando que p, q e r são 
números reais não negativos, deve-se ter 1q 0, .
6
 ∈   
 
Portanto, fazendo q = α, segue-se que o conjunto solução do 
sistema é 1(1 6 , , 2 4 ); 0 .
6
 − α α + α ≤ α ≤ 
 
04. (UFMG) Considere o seguinte sistema linear nas 
incógnitas x e y
2x 3y 2
6x ay 3
+ =
 + =
Observando-se que o coeficiente de y na segunda equação é 
um parâmetro a,
a) DETERMINE para quais valores de a o sistema tem 
solução.
b) DETERMINE as soluções x e y em função do parâmetro a, 
caso o sistema tenha solução.
c) DETERMINE todos os valores de a para os quais o sistema 
tenha como solução números inteiros x e y. 
Resolução: 
a) 2x 3y 2
6x ay 3
+ =
 + =
Multiplicando a primeira equação por –3 e somando os 
resultados com a segunda, temos a seguinte equação:
(a – 9)y = –3, que terá solução se, e somente se, a≠9
b) Do item (a), concluímos que 3y
9 a
=
−
 e que 2a 9x .
2 (a 9)
−
=
⋅ −
c) x = i + 3y/2 o que nos leva a concluir que o valor de y 
deverá ser par, portanto y = 2.n, com n inteiro.
*3 18n 32n a , com n .
9 a 2n
−
= ⇒ = ∈
−

PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Discuta, em função do parâmetro n, o sistema nas incógnitas 
x e y abaixo:
x 3y 4
5x ny 8
+ =
 + = 
02. Discuta, em função do parâmetro m, o sistema nas incógnitas 
x e y abaixo:
x 4y 5
2x my 12
+ =
 + =
03. Discuta, em função do parâmetro p, o sistema nas incógnitas 
x e y abaixo:
x y 2z 2
3x 3y pz p
− + =
 − + =
04. Discuta, em função dos parâmetros reais c e d, o sistema nas 
incógnitas x e y abaixo:
x 2y 3
cx 4y d
+ =
 + =
05.Calcule o valor de A tal que 
x 2
x 2y 8
3x 2y Az 0
=
 + =
 − + =
seja um sistema possível e indeterminado.
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (ENEM) Na figura estão representadas três retas no plano 
cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, 
e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x.
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MATEMÁTICA I 29 DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três 
equações e duas incógnitas que 
a) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos 
pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam. 
b) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos 
pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o 
eixo das abscissas. 
c) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em 
mais de um ponto. 
d) não possui solução real, pois não há ponto que pertença 
simultaneamente às três retas. 
e) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos 
em que se intersectam. 
02. (MACKENZIE) Relativas ao sistema 
kx 4ky 0
,k
3x ky 8
+ =
∈ + =
, 
considere as afirmações I, II e III abaixo.
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores 
distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma, 
a) somente I está correta. 
b) somente II e III estão corretas. 
c) somente I e III estão corretas. 
d) somente III está correta.e) I, II e III estão corretas. 
03. (MACKENZIE) O sistema 
ax 2y z 0
2x ay z 1 a
x y az 1
+ + =
 + − = −
 + + =
a) não admite solução para, exatamente, 2 valores de a. 
b) não admite solução para, exatamente, 3 valores de a. 
c) admite solução única para todos os valores positivos de a. 
d) admite mais de uma solução para, exatamente, 2 valores de a. 
e) admite mais de uma solução para, exatamente, 3 valores de a. 
04. (MACKENZIE) As afirmações adiante referem-se ao sistema 
x ky 2
kx 4y 2 k, k
+ =
 + = − ∈ 
I. Existe um único valor de k para o qual o sistema admite mais 
de uma solução.
II. Existe um único valor de k para o qual o sistema não admite 
solução.
III. Existe k irracional para o qual o sistema tem solução única.
Então:
a) somente III é verdadeira. 
b) somente II é verdadeira. 
c) somente I é verdadeira. 
d) somente I e II são verdadeiras. 
e) somente II e III são verdadeiras. 
05. (MACKENZIE) Com relação ao sistema
x ky 1
kx y 1 k
+ =
 + = −k ∈ , considere as afirmações:
I. É indeterminado para um único valor de k.
II. Sempre admite solução, qualquer que seja k.
III. Tem solução única, para um único valor de k.
Das afirmações acima: 
a) somente I está correta. 
b) somente I e II estão corretas. 
c) somente II e III estão corretas. 
d) nenhuma está correta. 
e) todas estão corretas. 
06. (MACKENZIE) Para que o sistema a seguir, nas incógnitas x, y 
e z, seja impossível ou indeterminado, deveremos ter para o real k, 
valores cuja soma é:
2
kx y z 1
x ky z k
x y kz k
 + + =
 + + =
 + + =
a) -1 
b) 1 
c) 0 
d) -2 
e) 2 
07. (UNICAMP) Sabendo que k é um número real, considere o 
sistema linear nas variáveis reais x e y, 
x ky 1,
x y k.
+ =
 + =É correto afirmar que esse sistema 
a) tem solução para todo k. 
b) não tem solução única para nenhum k. 
c) não tem solução se k = 1. 
d) tem infinitas soluções se k ≠ 1. 
08. (FGV) Chama-se solução trivial de um sistema linear aquela em 
que todos os valores das incógnitas são nulos.
O sistema linear, nas incógnitas x, y e z:
x 2y z 0
x y 5z 0
5x y mz 0
− + =
− − + =
− + + = 
a) é impossível para qualquer valor de m. 
b) admite apenas a solução trivial para qualquer valor de m. 
c) admite soluções diferentes da solução trivial para m = 13. 
d) admite soluções diferentes da solução trivial para m = 10. 
e) não admite a solução trivial para m ≠ 13. 
09. (UNIOESTE) Sobre o sistema de equações lineares 
3x 5y 7
,
3x y 7
+ =
 + β =
 
é CORRETO afirmar que 
a) possui uma única solução, qualquer que seja β. 
b) possui infinitas soluções, qualquer que seja β. 
c) possui ao menos uma solução, qualquer que seja β. 
d) só tem solução se β = 5. 
e) é impossível se β ≠ -5. 
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29 DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
41
MATEMÁTICA I
10. (ESPCEX (AMAN)) Considere o sistema linear homogêneo 
x 3y kz 0
3x ky z 0,
kx y 0
− + =
 + + =
 + =
 onde k é um número real.
O único valor que torna o sistema, acima, possível e indeterminado, 
pertence ao intervalo 
a) (-4, -2]
b) (-2, 1]
c) (1, 2]
d) (2, 4]
e) (4, 6]
11. (ESPCEX (AMAN)) Para que o sistema linear 
x y az 1
x 2y z 2 ,
2x 5y 3z b
+ + =
 + + =
 + − =
em que a e b são reais, seja possível e indeterminado, o valor de 
a + b é igual a 
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
12. (UFJF-PISM) Considere o seguinte sistema:
x 3y z 0
2x y z 0
x 4y 0
+ + =
 − + =
 − =
É CORRETO afirmar que: 
a) O sistema é possível e indeterminado. 
b) x = 4, y = 1 e z = 0 é a única solução do sistema. 
c) x = -4, y = 1 e z = 1 é a única solução do sistema. 
d) O sistema é impossível. 
e) x = 0, y = 0 e z = 0 é a única solução do sistema. 
13. (ACAFE) Seja o sistema S de equações lineares nas incógnitas 
x, y e z, e a e b números reais, dado por
x y z 4
S 4x ay z 25,
x y 3z b
− + − =
= + + = −
 − + =
 analise as afirmações:
I. A matriz dos coeficientes associada ao sistema S tem 
determinante igual a (-2a -8).
II. O sistema S é impossível para a = -4 e b ≠ 2.
III. Se a = -1 e para algum valor real de b, a tripla ordenada 
b 2 4 b(x,y,z) 7, ,
2 2
− + = − 
 
 é solução do sistema S.
IV. O sistema S possui infinitas soluções para a = -4 e qualquer 
b ∈ .
Todas as afirmações corretas estão em: 
a) I - II 
b) I - IV 
c) I - II - III 
d) II - III - IV 
14. (UFMG) As retas de equações 3x - 2y + 8 = 0 e -2x + y - 5 = 0 
interceptam-se no ponto P.
A alternativa que representa adequadamente os gráficos dessas 
retas e a posição do ponto P, no mesmo plano cartesiano, é
a) y
P
O x
b) y
P
O x
c) y
P
O x
d) y
P
O x
e) y
P
O x
15. (FEI) Se as retas de equações:
x 2y 2a 0
ax y 3 0
2x 2y a 0
+ − =
 − − =
 − − =
são correntes em um mesmo ponto, então:
a) a = 4 ou a = 2/3 
b) a = -3/2 ou a = 2/3 
c) a = 2 ou a = -3/2 
d) a = 1 ou a = 4 
e) a = 0 ou a = 5 
16. (FGV) A condição necessária e suficiente para que a 
representação gráfica no plano cartesiano das equações do 
sistema linear 
(m 1) x y 2 
3x 3y 2n
 + − =

+ =
nas incógnitas x e y seja um par de retas paralelas coincidentes é
a) m ≠ -2 e n ≠ -3. 
b) m ≠ -2 e n = -3. 
c) m = -2. 
d) m = -2 e n ≠ -3. 
e) m = -2 e n = -3. 
17. (UFRGS) Suponha que o sistema linear
ax by c
dx ey f
+ =
 + =
 onde x e y 
são variáveis e a, b, c, d, e, f são números reais fixos, admita 
diferentes soluções.
Considere as afirmações:
I. 
a b
0
d e
= II. 
a c
0
d f
= III. 
c b
0
f e
≠ 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I 
b) Apenas I e II 
c) Apenas I e III 
d) Apenas II e III 
e) I, II e III 
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MATEMÁTICA I 29 DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
18. (FEI) Se P = (a, b) é o ponto de intersecção das retas 
9x 3y 7 0
3x 6y 14 0
− − =
 + − =
então a + b é igual a:
a) 3 
b) 1
3
c) 4
3
d) 5
3
e) 11
3
19. (UFRGS) Para que o sistema de equações lineares 
x y 7
ax 2y 9
+ =
 + =
 
seja possível e determinado, é necessário e suficiente que 
a) a ∈ . b) a = 2 c) a = 1. d) a ≠ 1. e) a ≠ 2.
20. (ESPM) O sistema 
2ax 4y a
,
x ay 2
 + =

+ = −
 em x e y, é possível e 
indeterminado se, e somente se: 
a) a ≠ -2 b) a ≠ 2 c) a = ±2 d) a = -2 e) a = 2
APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (FGV) O diagrama seguinte indica o número de veículos que 
passaram em cada trecho de quatro avenidas de mão única na 
última hora. Por exemplo, 300 veículos passaram, nessa hora, pelo 
trecho da Av. Stuart Mill que antecede o cruzamento D. Sabe-se 
ainda que, nessa hora, passaram 500 veículos entre os cruzamentos 
de D e C, x veículos de D para A, y veículos de B para A e z veículos 
de B para C. Interpretando os cruzamentos do diagrama, pode-se 
deduzir, por exemplo, que x + y = 1.300 (dedução a partir da análise 
do cruzamento A).
a) Calcule x, y e z.
b) Substitua, no diagrama original, a quantidade de 500 veículos 
que trafegam de D para C na hora analisada por uma 
quantidade desconhecida de t veículos. Considerando que x, y, 
z e t são inteiros positivos, determine quantos são os valores 
possíveis para t. 
02. Determine geometricamente a interseção das retas dadas por:
x + y = 4 e 2x + 3y = 11
A qual quadrante pertence esse ponto? 
03. Determine geometricamente o ponto de intersecção das retas 
suportes das equações 2x + y = 10 e x + 2y = 11. A qual quadrante 
do plano cartesiano pertence esse ponto? 
04. (ITA) Sejam α e β números reais não nulos. Determine os 
valores de b, c, d, bem como a relação entre α e β para que ambos os 
sistemas lineares S e T a seguir sejam compatíveis indeterminados.
2x by
S
cx y
+ = α
 + = β 
cx 3y
T
4x dy
+ = α
 + = β 
05. (UNICAMP) Seja dado o sistema linear:
1 2
1 2
1 2
x 2x 2
2x x 2
x x 2
− + =
 − =
 + =
a) Mostre graficamente que esse sistema não tem solução. 
Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear 
Ax = b impossível, utiliza-se o método dos quadradosmínimos, 
que consiste em resolver o sistema ATAx = ATb. Usando esse 
método, encontre uma solução aproximada para o sistema 
dado acima. Lembre-se de que as linhas de MT (a transposta 
de uma matriz M) são iguais às colunas de M. 
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. D
02. B
03. B
04. A
05. D
06. A
07. A
08. C
09. C
10. B
11. B
12. A
13. C
14. D
15. C
16. E
17. B
18. A
19. E
20. D
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. a) x 1000
y 300
z 1500
=
 =
 =
; b) 1301 valores possíveis (t ∈ )
02. ponto (1, 3) pertence ao primeiro quadrante. 
03. 
04. Admitindo c 2 2= temos:
2b
2
d 3 2
b 2
=
=
α
= ⇒ β = α ⋅
β 
Admitindo c 2 2= − , temos:
2b
2
d 3 2
b 2
= −
= −
α
= ⇒ β = −α ⋅
β
05. a) Observe o gráfico a seguir:
Como não há um ponto comum às 3 retas, o sistema não tem solução.
b) 1 2
4 4(x ;x ) ;
3 3
 =  
 