Sistemas Lineares (2)

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º ano
Sistemas Lineares 
SISTEMAS LINEARES
Profa. Andréia Rodrigues Alves
👉 andreia.alves@ifal.edu.br
SISTEMAS LINEARES
❖ Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de
telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de
cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para
telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde
moram seus primos.
✓ A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o valor
correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires)
Valor 
(R$)
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20
Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40
André 8 min 5 min 5 min 14,70
❖ Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para
telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires,
respectivamente:
✓ A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20
✓ A conta de Júlia é dada por: 14x + 4Y + 3z = 13,40
✓ A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70
As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.
EQUAÇÃO LINEAR
❖ As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum. Vamos
analisar por exemplo a equação:
10x + 6y + 2z = 12,20
✓ É uma equação de 1º grau.
✓ Os três termos do 1º membro são de 1º grau.
✓ O termo do segundo membro é de grau zero (independe de
qualquer variável).
✓ Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.
EQUAÇÃO LINEAR (NOTAÇÃO)
❖ De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3,
..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
✓ x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
✓ a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
✓ b é o termo independente;
Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis
são sempre iguais a 1.
SISTEMA LINEAR
❖ Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais
equações lineares com n incógnitas.
x + 2y = 3
Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).
x – y = 5
2x – y +z – t = 0
Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).
x – 2y + t = 0
3x + y – 2z = 0
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
✓ No sistema linear
x + y = 5
2x – y = 1
(2, 3) é solução →
2 + 3 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (V)
(3, 2) não é solução →
3 + 2 = 5 (V)
2.3 – 2 = 1 (F)
❖ Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que
satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
❖ Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos
os coeficientes independentes nulos.
✓ Num sistema linear homogêneo, todas as equações são
homogêneas (possui todos os coeficientes independentes nulos).
✓ Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0, 0, ...,
0), chamada de trivial.
✓ Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.
EXEMPLO
❖ O sistema linear é homogêneo.
x – 2y = 0
–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →
0 – 2.0 = 0 (V)
–3.0 + 6.0 = 0 (V)
(2, 1) também é solução →
2 – 2.1 = 0 (V)
–3.2 + 6.1 = 0 (V)
SISTEMAS EQUIVALENTES
❖ Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções
são chamados sistemas equivalentes.
2x + y = 5
x – y = 1
e
x + y = 3
3x + y = 7
✓ Ambos os sistemas são possíveis e determinados.
✓ A solução é a sequência (2, 1).
PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS
❖ Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema.
❖ Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por
uma constante não-nula.
❖ Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra
equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real
não-nula.
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)
Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Indeterminado (SPI)
❖ Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E 
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO
❖ Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c, em que a e
b são simultaneamente não nulos, definem uma reta. A solução de um
sistema linear de duas equações a duas variáveis corresponde aos
pontos comuns às retas relacionadas a essas equações.
EXEMPLO 1
❖
3x – y = 5
x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação, x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12
✓ Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é
chamado sistema possível e determinado (SPD).
→ x = 3
→ y = 3.3 – 5 → y = 4
Solução (3, 4)
y = 3x – 5
x
y
O
❖ Veja a interpretação gráfica do sistema
3x – y = 5
x + y = 7
r2
3
4
r1
Retas 
concorrentes
EXEMPLO 2
❖
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
Na 1ª equação, x = 4 + 3y. 
Subst. na 2ª equação, –2(4 + 3y) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3 → 0y = 11
✓ Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado
sistema impossível (SI).
❖ Veja a análise geométrica do sistema
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
x
y
O
s
r
Retas 
paralelas
EXEMPLO 3
❖
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
Na 1ª equação, x = 2y – 5. 
Subst. na 2ª equação, –2(2y – 5) + 4y = 10 → –4y + 10 + 4y = 10
✓ Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é
chamado sistema possível e indeterminado (SPI).
→ 0y = 0
❖ Veja a análise gráfica do sistema
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
x
y
O
r1≡ r2
Retas 
coincidentes
Possível
Impossível
(Possui solução)
Determinado
(Não possui solução)
Indeterminado
(Uma única solução)
(Infinitas soluções)
y
x
y
x
y
x
RESUMO (EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS)
SISTEMA
Retas paralelas
Retas 
coincidentes
Retas 
concorrentes
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO
❖ A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas
lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas
(n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar
essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a
discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS
❖ Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido
de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes
dos coeficientes não nulos. Por esse motivo, vamos descrever o sistema
em forma de escada, ou seja, por escalonamento.
❖ Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
✓ Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita
diferente de zero;
✓ Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os
coeficientes da 1ª incógnita das demais equações;
✓ Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne
escalonado.
Um sistema escalonado é impossível (SI) só quando apresenta uma
equação impossível.
x – 2y + z = 3
0x + y – z = 2
0x + 0y + 0z = 3
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
x – y + z = 4
0x + y – z = 2
0x + 0y + 3z = 3
Um sistema escalonado é possível e determinado (SPD) quando o
número de equações é igual ao número de incógnitas.
3ª equação: 3z = 3 → z = 1
2ª equação: y – z = 2→ y – 1 = 2 → y = 3
1ª equação: x – y + z = 4 → x – 3 + 1 = 4 → x = 6
Solução (6, 3, 1)
EXEMPLO 3
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
0x + 0y + 0z = 0 ✓ A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada.
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Um sistema escalonado é possível e indeterminado (SPI) quando o número
de equações é menor que o número de incógnitas.
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Troca de variável: z = k
2ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3→ y = 2k + 3
1ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3→ x – 2k – 3 + k = 3→ x = k + 6
Solução geral: (k + 6, 2k + 3, k)
k = –1 → (5, 1, –1) 
k = 0 → (5, 1, –1)
k = 1 → (7, 5, 1)...
ESCALONAMENTO
x – 2y + 3z = 1
2y + z = 7
–x + z = 5
1x – 2y + 3z = 1
0x + 2y + 1z = 7
–1x + 0y + 1z = 5
Exemplo
Exemplo 
ቐ
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐
𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟓
Fazendo z = k, temosque:
2y + 3k = 5 ⟹ 𝒚 =
𝟓−𝟑𝒌
𝟐
x + y + z = 2 ⟹ x +
𝟓−𝟑𝒌
𝟐
+ k = 2 
x = 
𝒌−𝟏
𝟐
S = 
𝒌−𝟏
𝟐
,
𝟓−𝟑𝒌
𝟐
, 𝒌