Sistema de Equações Lineares

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Prof. Jomar 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
 Seja o S.E.L. mXn nθθθθ1 = my1, sendo X: a matriz dos coeficientes 
dos parâmetros; θθθθ: o vetor de parâmetros e y: o vetor de observações. 
Esse sistema pode ser: 
 
1) Consistente (Possível ou Compatível), ou seja, possui Solução Exata. 
Assim, quando θθθθ for obtido, o S.E.L. se verificará para todas as 
equações lineares, logo, Xθθθθ = y. Porém, podemos ter situações em 
que θθθθ é único (apenas um vetor solução; o sistema será dito 
Determinado) ou ainda, θθθθ poderá assumir infinitas soluções (infinitos 
vetores solução; o sistema será chamado de Indeterminado). 
 
Nesse contexto, a(s) solução(ões) EXATA(S) seriam obtidas pelos 
seguintes estimadores: 
 
1.1) Para X;(m=n): yX 1−=θ (Determinado) ou yXG=θ (Indeterminado) 
1.2) Para X; (m≠n): yXG=θ (Determinado ou Indeterminado; Ver Teorema 2) 
 
Obs.: XG é uma Inversa Generalizada. 
 
2) Inconsistente (Impossível ou Incompatível), assim, o S.E.L. não 
possuirá Solução Exata. Dessa forma, o sistema não se verificará 
(Xθθθθ ≈≈≈≈ y). Logo, as Soluções obtidas serão Aproximadas. Essas 
soluções poderão assim serem obtidas: 
 
yXˆ G=θ ou 
y'X)X'X( G0 =θ (Estimador de Mínimos Quadrados). 
 
Assim, 0XŷouˆXŷ θ=θ= . 
 
Conseqüentemente, existirá um erro associado a cada uma das equações 
lineares do S.E.L.. Tal erro poderá ser obtido por: 
 
ŷyê −= . 
 
Obs.: y'X)X'X( G0 =θ resultará no menor erro. 
 
Verificação de Consistência: 
 
Teorema 1: Uma condição necessária e suficiente para que o S.E.L. 
(mXn nθθθθ1 = my1) seja consistente é que r[X]=r[X|y]. 
 
Verificação de Solução Única: 
 
Se Consistente: 
 
Teorema 2: Uma condição necessária e suficiente para que o S.E.L. 
consistente possua solução única (Determinado) é que: 
 
r[X]=n (nº de parâmetros do modelo). 
 
 
 
 
Em Resumo: 
 
 
Y=Xθθθθ 









=θ→







=θ⇒



<
=



=θ→
=θ=θ→
⇒
−
−
−
−−
)AproximadaSolução(y'X)X'X(nteInconsiste
yX
)n]X[r(adominerdetIn
)n]X[r(adominDeter
X
yXadominerdetIn
yXouyXadominDeter
X
eConsistent
0
nm
1
)n(
 
 
EXEMPLOS 
 
Dados os S.E.L., estude-os detalhadamente: 
 
1. 





=





θ
θ






13
5
13
11
2
1
. 
Solução: 
a) Consistência: 
110
401
~
220
511
~
1313
511
−−
 
Logo, r[X]=r[X|y]=2. Sistema Consistente. (Teo. 1) 
b) Determinado ou Indeterminado? 
 
Como o r[X]=2=nº de parâmetros (θ1; θ2). (Teo. 2) 
Então, o Sistema é Determinado. 
c) Vetor Solução: 
yX 1−=θ 
Assim, 





θ
θ
=





==θ
−
2
11
1
4
yX . 
Note, então, que: 
i) só existe esse vetor solução que satisfaça o S.E.L.. Ou seja: 
=θX 





=





θ
θ






13
5
13
11
2
1
; 
ii) não haverá erro associado (Sistema é Consistente): 
0ŷy =− 
 
2. 










=




















10
4
6
x
x
x
334
013
321
3
2
1
 
Solução: 
a) Consistência: 
 



















 −




















0
5/14
5/2
000
5/910
5/301
~...~
10
4
6
334
013
321
. 
Logo, r[X]=r[X|y]=2. Sistema Consistente. (Teo. 1). 
 
b) Determinado ou Indeterminado? 
 
Como o r[X]= 2 < nº de parâmetros (x1; x2; x3). (Teo. 2) 
 
Então, o Sistema é Indeterminado. 
 
c) Vetores Solução: Infinitos!!! 
 
Porém, uma das possíveis soluções, pode ser encontrada por meio do 
 
Estimador: yX−=θ . Assim, basta obter −X . 
 
−X = ? 
Procedimento para obtenção de −X : 
1. r[X]=2. Encontrar M(2) não-singular dentro de X: 
 






=
33
01
M . Veja que δ(M)=3≠0 (Não-singular: admite 1X− ). 
 
2. 




 −
=
−
3/10
11
)'M( 1 . 
 
3. Substituir )'M( 1− em X e zerar os demais elementos: 
 










−
3/100
110
000
 
4. Transpor a matriz resultante: 
 










−
=
−
3/110
010
000
X 
 
Agora, basta obter: 
 
==θ
−yX










=










−
=




















−
3
2
1
x
x
x
3/2
4
0
10
4
6
3/110
010
000
 
Note que, de fato, 
 
=θX










=










−









10
4
6
3/2
4
0
334
013
321
, 
será uma das possíveis soluções do sistema. Além disso, novamente não 
teremos erro associado, pois, o S.E.L. é Consistente. 
 
3. 










=















5
3
1
y
x
23
12
11
 
Solução: 
a) Consistência: 
 










−




















−






























−
−




















1
1
2
00
10
01
~
1
1
1
00
10
11
~
2
1
1
10
10
11
~
5
3
1
23
12
11
. 
 
Como, r[X]=2 < r[X|y]=3. Sistema Inconsistente. (Teo. 1). 
b) Não faz, agora, sentido falarmos em Determinado ou Indeterminado, 
pois o sistema é Inconsistente, não possuindo, portanto, Solução 
Exata. Logo, obteremos Soluções Aproximadas. Consequentemente, 
dessa vez teremos um erro associado. Note, também, que sendo 
essas soluções aproximadas, qualquer vetor θ escolhido poderá ser 
“candidato” à solução. Devemos, então, escolher dentre infinitos 
vetores, um que nos forneça um menor erro de estimação. Sabemos 
que esse Estimador é dado por: 
 
y'X)X'X(0 −=θ . 
 
Assim, podemos obter o vetor θo que resultará num erro, ŷyê −= , menor 
do que todos os outros que por ventura pudessem ser escolhidos. 
 
Dessa forma, vamos obter −)X'X( . 






=
















=
69
914
23
12
11
211
321
)X'X( . Logo, 






−
−
=
−
149
96
3
1
)X'X( 1 . 
Note que, nesse caso, coincidentemente, a Inversa Condicional será 
idêntica à Inversa Clássica. Quase sempre, na prática, isso não ocorre. 
 
Agora, vamos obter y'X : 






=
















=
14
22
5
3
1
211
321
y'X . 
 
Portanto, y'X)X'X(0 −=θ fica: 
 
==θ
− y'X)X'X( 10 





−
−
149
96
3
1






−
=





3/2
2
14
22
. 
Note que, nesse caso, teremos apenas um vetor solução associado ao 
Estimador y'X)X'X(0 −=θ . 
Então, 










=





−










==θ
3/14
3/10
3/4
3/2
2
23
12
11
ŷX o . 
Dessa forma, o erro associado será dado por: 
 










−
−
=










−










=−=
3/1
3/1
3/1
3/14
3/10
3/4
5
3
1
ŷyê . 
 
 Agora, podemos quantificar (mensurar) o erro envolvido: 
 
3
1
3
1
.3ê'ê.Q.S
2
Erro
=





== 
 
É isso!!! 
 
PAZ!!!