PROVA ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL COM RESPOSTAS

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Pergunta 1
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Comentário da resposta:
Seja       uma transformação linear e   uma base do   sendo  ,   e  .
Determine  , sabendo que  ,   e   
 
Resposta correta. 
 
 
 
 
  
  
 
Pergunta 2
Resposta Selecionada:  
Na solução das equações lineares, teremos as seguintes situações:
•  Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível se não admite uma solução.
•  Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de compatível determinado.
•  Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução, ele recebe o nome de compatível indeterminado.
  
Dentro desse contexto, assinale a alternativa que corresponda à solução geométrica do seguinte sistema linear.
 
 
  
   
  
O sistema não admite soluções.
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
O sistema tem infinitas soluções, pois as retas e são coincidentes.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois primeiramente você deveria tentar resolver o seguinte sistema linear: 
 
. 
 
Observamos que a segunda equação pode ser obtida através da multiplicação da primeira equação por 3. Se fizermos os gráficos
das equações   e  , vamos verificar que os gráficos são coincidentes.
Pergunta 3
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Comentário
da resposta:
Um vetor é um segmento de reta orientada que possui módulo, direção e sentido. A direção é o sentido de um vetor, o qual
pode ser definido por meio do sistema (x,y). O módulo do vetor é definido pelo seu tamanho. Com base nesse contexto,
considere o vetor u =(1,2) e o vetor  . Assinale a alternativa correta referente ao  , tal que  
 
   
0 e -2.
0 e -2.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, usando os valores 0 e -2, teremos como resultado o valor solicitado no problema.
Em termos de cálculo, teremos  . Ao usar o conceito de módulo, temos: 
 se considerarmos   Assim, ao usar o conceito de módulo, teremos: 
.
Pergunta 4
Quando multiplicamos um vetor por um escalar positivo maior que 1, teremos um vetor maior que o original com o mesmo
sentido do vetor anterior. Dessa maneira, considere o arranjo vetorial da figura a seguir nesta configuração: | a |=3, | b |=2 e
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
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Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
| c|=4.  
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta corretamente o módulo do vetor V =3 a + b -2 c . 
  
  
.
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, os vetores 3a e 2c devem ser somados. Em termos de
cálculos, teremos 3a-2c=9+8=17. Com esse resultado, usamos o teorema de Pitágoras para encontrarmos  .  
 
Pergunta 5
Os três axiomas de Eliminação de Gauss são: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das
1 em 1 pontos
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Resposta Correta:
 
Comentário da
resposta:
equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer
número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro
a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Usando o conceito de Eliminação Gaussiana,
assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
 
  
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: 
 
 
  
Em um primeiro momento, substituímos a linha 2 pela linha 2 menos 2 vezes a linha 1. Também pegamos a linha 3 e
somamos duas vezes a linha 1. Assim, teremos: 
  
 
 
  
Agora, pegamos a linha 3 e somamos com    da linha 1: 
 
  
.
Pergunta 6
A regra de Cramer é um dos métodos para obter soluções de sistemas lineares. A aplicação da regra de Cramer, contudo,
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
poderá ser utilizada apenas para sistemas que apresentam número de equações iguais ao número de incógnitas. Lembre-se
de que, nessa regra, usamos o conceito de determinante. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a solução (x,y,z) do seguinte sistema linear:
 
  
   
(1, 3, 2).
(1, 3, 2).
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, identificamos o determinante principal formado por
. A partir disso, encontramos que  ,   e   Com esses resultados, fazemos as
divisões   Encontramos, assim, (1, 3, 2).
Pergunta 7
Os métodos iterativos são geralmente utilizados para sistemas lineares que apresentam um grande número de equações. Por
exemplo, temos o seguinte:
 
Sistema de equações A 
 
  
  
  
 Essas equações podem ser colocadas em um sistema na forma de Jacobi. Chamaremos de sistemas de equações B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
 
 
A respeito das soluções iterativas dos sistemas lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s)
e Fpara a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Uma iteração no método de Jacobi consiste em calcular   a partir de um valor conhecido  
II. ( ) A convergência do método de Jacobi acontece quando os valores de todos os elementos   e  são muito
próximos.
 III. ( ) Para que esse método possa ser utilizado, é necessário escolher de forma arbitrária um valor inicial para 
 usualmente denominado de  
 IV. ( ) O método de Gauss-Seidel acelera a convergência em relação ao método de Jacobi calculando   usando os
elementos de   e  
 
  
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois apresenta sequência adequada, uma vez que, nesse caso, todos os itens são
verdadeiros. Por exemplo, verificamos que, no sistema de equações B, a solução desse sistema vai depender inicialmente de  , que
pode ser considerado como chute inicial. Além disso, para usar o método iterativo, temos de definir um erro pequeno que será a
diferença entre   e  . Por fim, o método de Gauss-Seidel aproveita valores de  para serem seus “chutes” iniciais,
favorecendo, assim, a convergência mais rápida. 
  
Pergunta 8
Os vetores são entes matemáticos que dependem do módulo, da direção e do sentido. A partir dessa definição, podemos
definir operações matemáticas para esses vetores. Essas operações são a adição e produtos escalares e vetoriais. O
aprendizado dessas operações é de suma importância para aplicações em Física e Engenharia. 
 
A respeito do produto vetorial com base no contexto apresentado, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
 
I. ( ) O produto vetorial entre dois vetores (   ) fornece como resultado um vetor que é perpendicular a   e  .
II. ( ) O produto vetorial é também usado na física, por exemplo, no cálculo do torque.
 III. ( ) O módulo do produto vetorial será máximo quando os vetores têm o mesmo sentido.
 IV. ( ) Para calcular o produto vetorial na forma de vetores, podemos usar o conceito de determinante.
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
   
   
V, V, F, V.
V, V, F, V.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois o produto vetorial fornece um vetor que é perpendicular aos outros dois vetores. Já
o produto vetorial será usado na física para calcular o torque. O módulo do produto vetorial, por sua vez, será máximo quando o
ângulo entre os vetores for 90 0. Por fim, o produto vetorial pode ser calculado usando o conceito de determinante, como mostrado
no material auxiliar.
Pergunta 9
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Comentário da resposta:
Para determinar uma base no   precisamos de 4 vetores que sejam Linearmente Independentes. Sejam os vetores
  e   determine qual alternativacontém   e   tal que   forme uma base em  .
 
Resposta correta. Precisamos de 4 vetores LI como condição inicial para ser uma base em   
      são LI. 
 
Como temos 4 vetores LI eles formam uma base em  .
Pergunta 10
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Domingo, 27 de Junho de 2021 20h48min49s BRT
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Comentário
da resposta:
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
 
  
  
   
Cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Dessa forma, os três planos apresentados que vamos designar
como       e  são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do referido sistema pertencem à
intersecção desses planos.
  
 Sobre a solução de sistemas lineares, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas.
 I. O sistema linear: 
  
  
  
 É impossível.
 Porque
 
 II. Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles.
   
   
 A seguir, assinale a alternativa correta.
 
   
   
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, nesse caso, duas equações são coincidentes. Podemos verificar isso pelos
coeficientes   e   Além disso, temos que   são paralelos aos demais. Nesse caso, o sistema de equações
é impossível.