Campo Elétrico e Polarização na Matéria

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UNEC / EAD DISCIPLINA: ELETROMAGNETISMO I 
 
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CAPÍTULO 6 
6.1 CAMPO ELÉTRICO NA MATÉRIA 
6.1.1 Dipolo elétrico. 
Um dipolo elétrico consiste em duas cargas de mesmo módulo e de sinais contrários 
separados por uma distância d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No regime onde a distância de separação d é muito menos que a distância r onde 
queremos calcular o potencial elétrico, o potencial elétrico gerado por essa distribuição 
de cargas pode ser calculado como: 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
(
𝒒
𝒓𝟏
−
𝒒
𝒓𝟐
) (6,1) 
Aplicando a lei dos cossenos: 
𝒓𝟐 = 𝒓𝟐 + (
𝒅
𝟐
)
𝟐
± 𝒓𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒓𝟐 (𝟏 ±
𝒅
𝒓
𝒄𝒐𝒔𝜽 +
𝒅𝟐
𝟒𝒓𝟐
) 
Onde (𝒓 ≫ 𝒅) temos: 
Figura 6.1 
 
Fonte: Google imagens/ Acesso em: 10/12/2021 
 
 
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𝟏
𝒓
≅
𝟏
𝒓
(𝟏 ±
𝒅
𝒓
𝒄𝒐𝒔𝜽)
−𝟏
𝟐
≅
𝟏
𝒓
(𝟏 ±
𝒅
𝟐𝒓
𝒄𝒐𝒔𝜽) 
 
Assim: 
𝟏
𝒓𝟏
−
𝟏
𝒓𝟐
≅
𝒅
𝒓𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽 
Logo o potencial elétrico gerado por um dipolo elétrico pode ser calculado pela equa-
ção 6.2 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒𝒅
𝒓𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 6.2) 
Como sabemos, 𝒒 = ∫𝝆𝒅𝒗 e 𝒅 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝑽𝒅𝒊𝒑 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝟏
𝒓𝟐
∫𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝝆𝒅𝒗 
Igualando 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 como o produto escalar �̂�. �⃗� teremos: 
𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 = �̂�. �⃗� 
Temos: 
𝑽𝒅𝒊𝒑 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝟏
𝒓𝟐
�̂�. ∫ �⃗� 𝝆𝒅𝒗 
 
Determinando o momento de dipolo para uma distribuição continua de cargas como: 
�⃗⃗� ≡ ∫ �⃗� 𝝆𝒅𝒗 
 
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(Momento do dipolo elétrico é a medida da polaridade de um sistema de cargas 
elétricas. O momento do dipolo elétrico para uma distribuição discreta de cargas pon-
tuais é simplesmente a soma vetorial dos produtos da carga pela posição vetorial de 
cada carga). 
O potencial do dipolo elétrico pode ser calculado em função do momento de dipolo 
através da equação 6.3 
𝑽𝒅𝒊𝒑 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
�⃗⃗� .�̂�
𝒓𝟐
 ( 6,3) 
 
Para nós, o que interessa é o cálculo do campo elétrico produzido pelo dipolo elétrico. 
Assim para calcular o campo elétrico dessa distribuição de carga, basta calcular o 
gradiente do potencial, Assim: 
�⃗⃗� 𝒅𝒊𝒑 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝟏
𝒓𝟑
[𝟑(�⃗⃗� . �̂�)�̂� − �⃗⃗� ] (6.4) 
 
6.2 POLARIZAÇÃO 
A matéria existe na natureza em diferentes arranjos moleculares. Dependendo 
da associação, a matéria pode ser encontrada nos estados sólido, liquido ou gasoso. 
Dependendo do tipo de átomos que a constituem, a matéria pode ser um condutor ou 
um dielétrico (isolante). 
Nesta seção iremos estudar o comportamento das substâncias com caracterís-
ticas dielétricas e como essas substâncias respondem a ação de um campo elétrico 
esterno. Nos dielétricos a nuvem eletrônica se encontra fortemente ligada ao núcleo 
atômico, esse fato não impede que essa seja influenciada por um campo externo apli-
cado. A maioria das substancias encontrada na natureza são eletricamente neutras 
ou são constituídas de moléculas não polares, logo o campo elétrico produzido por 
essas substancia é nulo. Porem se estas substancias forem colocadas em uma região 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Polaridade
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Carga_pontual&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Carga_pontual&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_vetorial
 
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onde exista um campo elétrico, os átomos ou moléculas que constituem essa matéria 
sofre o fenômeno de polarização. 
A polarização consiste no fenômeno de separação das cargas elétricas dos 
átomos e moléculas de cada corpo devido a ação de um campo elétrico externo. 
• Em átomos individuais, o campo elétrico desloca a nuvem eletrônica na direção 
oposta do campo elétrico externo. se esse for gerado por uma configuração de 
cargas positivas, gerando uma série de dipolos elétricos individuais. A figura 
6.2 mostra a superposição de imagens de um átomo polarizado. 
 
 
 
 
 
• Em moléculas formadas pela junção de átomos diferentes o campo elétrico ex-
terno causa a rotação da molécula alinhando a molécula mais ou menos na 
direção do campo externo e nesse caso também gerando uma série de dipolos. 
A figura 6.3 mostra o arranjo de uma molécula de água. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 
 
Fonte: Google imagens/ Acesso em: 10/12/2021 
 
Figura 6.3 
 
Fonte: Google imagens/ Acesso em: 10/12/2021 
 
 
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Como sabemos o campo esterno causa um torque sobre a molécula fazendo o 
momento de dipolo apontar na direção do campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o campo externo gera uma força de origem elétrica que tende a atrair a 
carga negativa e repelir a carga positiva o que provoca a rotação da molécula. O tor-
que pode ser calculado como: 
�⃗⃗� = (𝑟 +𝑋𝐹 +) + (𝑟 −𝑋𝐹 −) 
�⃗⃗� = (
𝑑 
2
𝑋𝑞�⃗� ) + (
−𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
2
𝑋 − 𝑞�⃗� ) = 𝑞𝑑 𝑋�⃗� 
Como 𝑞𝑑 é o momento de dipolo da molécula, temos: 
�⃗⃗� = 𝑝 𝑋�⃗� (6.4) 
 
6.2.1 Dipolos induzidos 
 
Como nos vimos na seção 6.2 um material dielétrico quando influenciado por 
um campo elétrico, fica polarizado. Neste caso não importa mais a forma como a po-
larização ocorre. O que interessa é simplesmente a série de dipolos induzidos gerado. 
Como cada material responde de forma particular a influência do campo esterno cada 
material polariza de um modo particular. Assim podemos dizer que a Polarização é 
Figura 6.3 
 
Fonte: Google imagens/ Acesso em: 10/12/2021 
 
 
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proporcional ao campo esterno aplicado e a constante de proporcionalidade é especi-
fica para cada material logo: 
𝑝 = 𝛼�⃗� 
Onde, 𝑝 é a polarização, 𝛼 é a polarizabilidade e �⃗� é o campo elétrico externo. 
Como a matéria é formado por uma série de dipolos induzidos vamos definir a polari-
zação como sendo o momento de dipolo por unidade de volume e pode ser calculado 
usando a equação 6.3. 
�⃗� =
𝑑𝑝 
𝑑𝑣
 
Onde �⃗� é a polarização e 𝑝 é o momento de dipolo da substancia. 
 
6.3 CAMPO ELÉTRICO GERADO POR MATERIAL POLARIZADO 
 
Suponha que temos um objeto polarizado,ou seja um corpo que contém uma 
porção de dipolos microscópicos alinhados e que conheçamos a sua polarização. 
Nesse caso qual seria o campo elétrico produzido por esse corpo? É claro que pode-
mos calcular o campo gerado por cada dipolo do objeto e depois fazer a integral de 
todas as contribuições como fazemos de costume. porém a tarefa fica mais fácil se 
calcularmos o potencial elétrico gerado pelo material primeiro. Para um único dipolo o 
potencial elétrico é determinado pela equação 6.3. 
𝑽𝒅𝒊𝒑 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
�⃗⃗� .�̂�
𝒓𝟐
 , agora fazendo: 
𝑝 = ∫ �⃗� 𝑑𝑣 
Se conhecermos a polarização do objeto o potencial gerado pode ser calculado pela 
equação 6.5 
V =
𝟏
𝟒𝛑𝛆𝟎
 ∫
r̂.�⃗� 
𝐫𝟐v
𝑑𝑣 (6.5) 
 
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Resolvendo essa integral usando o método de integração por partes e fazendo as 
substituições corretas temos: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
[∫ ∇⃗⃗ . 𝑑𝑣 − ∫
1
𝑟
𝑣𝑣
(∇⃗⃗ . �⃗� )𝑑𝑣] 
Aplicando o teorema do divergente. 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∮
1
𝑟
𝑆
�⃗� . 𝑑𝑎 −
1
4𝜋𝜀0
∫
1
𝑟
(∇⃗⃗ . �⃗� )𝑑𝑣
𝑣
 
 
O primeiro termo da equação parece com a distribuição superficial de cargas e o se-
gundo com a distribuição volumétrica de cargas, logo: 
𝜎𝑃 = �⃗� . �̂� e 𝜌𝑃 = −∇⃗⃗ . �⃗� 
Aqui 𝑛 é um vetor unitário normal a superfície de integração. 
O que permite escrever a equação 6.6 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∮
𝜎𝑃
𝑟𝑆
𝑑𝑎 −
1
4𝜋𝜀0
∫
𝜌𝑃
𝑟
𝑑𝑣
𝑣
 (6.6) 
 
Exemplo 6.1 
Encontre o potencial elétrico gerado por uma esfera de raio R uniformemente polari-
zada. 
Resolução: 
Começamos por determinar a direção de polarização, nesse caso vamos escolher a 
direção do eixo z para coincidir com a direção do campo elétrico que criou a polariza-
ção e consequentemente a direção de polarização. 
 
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Como a esfera polariza de forma uniforme a densi-
dade de carga ligada ao volume devido a polariza-
ção é zero, logo o potencial é somente devido as 
cargas induzidas na superfície. Assim o esboço do 
campo elétrico produzido pode ser observado 
como na figura. 
 
Assim o penitencial elétrico pode ser determinado por: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∮
𝜎𝑃
𝑟
𝑆
𝑑𝑎 
Calculando as cargas de polarização na superfície temos: 
𝜎𝑃 = �⃗� . �̂� = 𝑃𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Assim temos: 
𝑉 =
𝑃𝑅3
3𝜀0𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 ≥ 𝑅 
𝑉 =
𝑃
3𝜀0
𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 < 𝑅 
 
 
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6.4 DESLOCAMENTO ELÉTRICO 
Como já estudamos o efeito da polarização é produzir acúmulos de cargas li-
gadas a estrutura do material. O campo elétrico devido a polarização é apenas o 
campo gerado por essas cargas. Portanto o campo resultante em um ponto qualquer 
no espaço é a soma vetorial do campo externo que gerou a polarização com o campo 
gerado pelas cargas ligadas (cargas de polarização). Assim a densidade de cargas 
que geram o campo é a soma das cargas livres que geram o campo externo com as 
cargas ligas e pode ser expressa como: 
𝜌 = 𝜌𝑃 + 𝜌𝑙 
A lei de Gauss nos diz que: 
∇⃗⃗ . �⃗� =
𝜌
𝜀0
 
Porém devido a densidade de carga total teremos: 
∇⃗⃗ . �⃗� =
𝜌𝑃 + 𝜌𝑙
𝜀0
 
Como a densidade de carga é o divergente da polarização 𝜌𝑃 = −∇⃗⃗ . �⃗� , temos: 
𝜀0∇⃗⃗ . �⃗� = −∇⃗⃗ . �⃗� + 𝜌𝑙 
𝜀0∇⃗⃗ . �⃗� + ∇⃗⃗ . �⃗� = 𝜌𝑙 
Agora combinando os dois termos de divergente temos: 
∇⃗⃗ . (𝜀0 �⃗� + �⃗� ) = 𝜌𝑙 
O termo entre parênteses é definido como sendo o deslocamento elétrico: 
�⃗⃗� = 𝜀0 �⃗� + �⃗� 
Em função do deslocamento elétrico a lei de Gauss pode ser escrita como a equação 
6.7 
∇⃗⃗ . �⃗⃗� = 𝜌𝑙 ( 6.7) 
Ou na forma integral como na equação 6.8 
 
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∮ �⃗⃗� . 𝑑𝑎 = 𝑄 𝑙 𝑒𝑛𝑐 (6.8) 
 
Onde 𝑄 𝑙 𝑒𝑛𝑐 é a carga livre encerrada pela superfície gaussiana. 
A equação 6.8 é muito útil na solução de problemas envolvendo cargas induzidas visto 
que em uma situação de laboratório a única grandeza que conseguimos manipular 
são as cargas livres que geram o campo elétrico. 
Exemplo 6.2 
Um longo fio reto com densidade de carga uniforme λ está cercado por um isolamento 
de borracha até o raio a como mostra a figura. 
 
 
 
Calcule o deslocamento elétrico gerado pelas cargas livres do material. 
Resolução: 
Comece desenhado uma superfície gaussiana de raio s e comprimento l que encerre 
uma parte do fio e dentro do material de borracha, em seguida aplique a equação 6.8; 
∮ �⃗⃗� . 𝑑𝑎 = 𝑄 𝑙 𝑒𝑛𝑐 
 
∮ 𝐷𝑑𝑎 = ∫ 𝜆𝑑𝑙
𝑙
𝑜
2𝜋𝑠𝑙
0
 
𝐷2𝜋𝑠𝑙 = 𝜆𝑙 
𝐷 =
𝜆
2𝜋𝑠
 
 
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6.5 DIELÉTRICOS LINEARES 
A polarização de um dielétrico normalmente resulta de um campo elétrico que 
alinha os dipolos atômicos ou moleculares. Para muitas substancias a polarização é 
proporcional ao campo, desde que esse não seja forte a ponto de romper a estrutura. 
�⃗� = 𝜀0𝑥𝑒�⃗� 
A constante de proporcionalidade 𝑥𝑒 é chamada de suscetibilidade elétrica do meio. 
O valor de 𝑥𝑒 depende da estrutura microscópica da substância. Nos meios lineares 
temos: 
�⃗⃗� = 𝜀0 �⃗� + �⃗� 
�⃗⃗� = 𝜀0 �⃗� + 𝜀0𝑥𝑒�⃗� 
�⃗⃗� = 𝜀0(1 + 𝑥𝑒) �⃗� 
Dessa forma o deslocamento elétrico pode ser escrito como a equação 6.9 
�⃗⃗� = 𝜀�⃗� 
Com: 
𝜀 ≡ 𝜀0(1 + 𝑥𝑒) 
A constante 𝜀 é chamada de permissividade elétrica do material. No vácuo onde não 
existe material para ser polarizado permissividade é o 𝜀0 que é a permissividade elé-
trica no vácuo. 
 
Exemplo 6.3 
Uma esfera de raio a tem uma carga Q, e está cercada, até o raio b por um material 
dielétrico linear de permissividade, encontre o potencial no centro da esfera tomando 
o infinito como referência. 
 
 
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Resolução: 
Para determinar o potencial elétrico primeiro precisamos conhecer o campo elétrico 
dentro e fora da esfera que contém as cargas livres, então vamos começar calculando 
o deslocamento elétrico e em seguida o campo elétrico. 
∮ 𝐷𝑑𝑎 = 𝑄
4𝜋𝑟²
0
 
 
𝐷 =
𝑄
4𝜋𝑟²
 
No interior da esfera de metal a polarização,o campo elétrico e o deslocamento elé-
trico são nulos, logo: 
�⃗⃗� = 𝜀�⃗� 
𝜀�⃗� =
𝑄
4𝜋𝑟²
 
�⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀𝑟²
 
 
Para pontos dentro do material de borracha e 
�⃗⃗� = 𝜀0�⃗� 
𝜀0�⃗� =
𝑄
4𝜋𝑟²
 
 
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�⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟²
 
Para pontos onde não exista material para ser polarizado, portanto o potencial no cen-
tro da esfera de metal será: 
𝑉 = −∫ �⃗� . 𝑑𝑙 
0
∞
 
𝑉 = ∫
𝑄
4𝜋𝜀0𝜀𝑟²
𝑑𝑟 − ∫
𝑄
4𝜋𝜀𝑟²
𝑑𝑟 − ∫ 0𝑑𝑟
0
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
∞
 
𝑉 =
𝑄
4𝜋
(
1
𝜀0𝑏
+
1
𝜀𝑎
−
1
𝜀𝑏
) 
 
Exercícios 
1) Uma esfera de raio 𝑅 apresenta uma polarização �⃗� = 𝑘𝑟 . Encontre o campo elétrico 
dentro e fora da esfera. 
 
2) Um cilindro muito longo, de raio a, tem polarização uniforme perpendicular ao seu eixo. 
Encontre o campo elétrico dentro do cilindro. 
 
3) O campo elétrico no interior de um pedaço grande de material dielétrico é �⃗� 0 de modo 
que �⃗� 0 = 𝜀0�⃗� 0 + �⃗� . 
a) Uma pequena cavidade esférica é escavada nesse material, encontre o campo no 
centro da cavidade em termos �⃗� 0 e 𝑃⃗⃗ ⃗. 
b) Faça o mesmo para uma cavidade no formato de uma agulha, orientada paralela 𝑎 �⃗� . 
 
 
 
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Respostas: 
 
1) 
𝐸 = −
𝑘
𝜀0
 dentro da esfera 
𝐸 = 0 fora da esfera 
 
2) 𝐸 = −
𝜌𝑑
2𝜀0
 
3) a) 
�⃗� = �⃗� 0 +
1
3𝜀0
�⃗� 
b) 
�⃗� = �⃗� 0 
 
 
Referências: 
 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e Mag-
netismo, Óptica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 556 p. v. 2. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Eletro-
magnetismo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 388 p. v. 3. 
 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016. 448 p. v. 3. 
 
RAMALHO JÚNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antônio de 
Toledo. Os Fundamentos da Física: Eletricidade Introdução à Física Moderna Análise Di-
mensional. 9. ed. São Paulo: Moderna, 2013. 520 p. v. 3. 
 
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Guanabara, 1988. 638 p. 
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2015. 295 p. v. 3. 
 
KNIGHT, Randall D. Física: Uma abordagem estratégica. 2. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 
2009. 400 p. v. 3. 
 
JEWETT JUNIOR, Jonh W.; SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros: 
Eletricidade e Magnetismo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 331 p. v. 3.