Aula 4 (3)

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: ELETROMAGNETISMO I 
 
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CAPÍTULO 4 
4.1 CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE 
CARGA 
 
Na aula de hoje vamos estudar as características do campo elétrico gerado por 
uma distribuição contínua de carga. Diferentemente da distribuição discreta, onde sa-
bemos onde cada carga está localizada. Na distribuição contínua de carga é impossí-
vel saber onde cada carga está colocada. O que sabemos é que em certos espaços 
existem a mesma quantidade de carga. Logo para determinar o campo elétrico, deve-
mos somar a contribuição de cada pedacinho do corpo eletrizado, no ponto determi-
nado. Nesse caso também são validas a lei de Coulomb para o campo elétrico e o 
princípio da superposição. Nesse caso devemos reescrever a equação 3.2, substi-
tuindo a soma discreta (somatório) por uma integral como referido na equação 4.1. 
 
→
= rdqr
E
²
1
4
1
0
 (4.1) 
 
4.2 DISTRIBUIÇÃO LINEAR DE CARGA 
 
Para cargas elétricas que se distribuem uniformemente sobre uma linha (figura 
4.1), podemos dizer que cada pedacinho da linha, contém, a mesma quantidade de 
carga, logo a densidade de carga por unidade de comprimento é constante. E usare-
mos a equação 4.2 para expressar essa relação. 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 
 
Fonte: GRIFTHS, David J. Eletrodinâmica 6ª edição, ed. Pearson p. 44 
 
 
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dl
dq
= (4.2) 
Na equação 4.2  é a densidade linear de carga, dq é o infinitésimo de carga e dl é 
o infinitésimo do comprimento do fio. 
 
Exemplo 3. 
Encontre o campo elétrico que está a uma distância z acima do ponto central de um 
seguimento de linha reta com comprimento 2L, que possui densidade linear de carga 
uniforme λ (figura 4.2 a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Primeiro comece redesenhando a figura representando os vetores e os detalhes do problema. 
Depois determine o vetor resultante. 
Note que a origem do plano cartesiano coincide com o centro do seguimento de fio, o que nos 
permite explorar a simetria dos dois lados do problema. 
O campo elétrico gerado pelo seguimento de fio da direita possui o mesmo módulo do campo 
produzido pelo seguimento de fio da esquerda. 
 
 
Figura 4.2 a 
 
Fonte: do autor 
 
 
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Neste problema as componentes do campo em y se anulam. 
As componentes em z se somam de modo que o campo resultante está na direção de z. Assim: 
dl =dy 
r² =z²+y² 
Cos =z/r 
dq = λdl 

= zr 
Substituindo tudo na equação 4.2 
→
= rdlr
E 
 ²
1
4
1
0
 (4.3) 
→
= zldr
Ez 

cos
²
1
4
1
2
0
 
→
= zr
z
ld
r
Ez 
 ²
1
4
1
2
0
 
( )

+
=
→ L
yz
dy
z
z
Ez
0
2
3
0 ²²
4
2


 
Figura 4.2 b
 
Fonte: do autor 
 
 
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Essa é uma integral que você encontra em tabelas de integrais e o resultado é: 
L
yzz
y
z
z
Ez
0
0 ²²²4
2








+
=
→


 
→
+
= z
Lzz
L
Ez
²²4
2
0

 
Esse é o campo elétrico para qualquer problema que possua essa configuração. 
4.3 DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL DE CARGA 
 
Para cargas elétricas que se distribuem uniformemente sobre uma superfície 
(figura 4. 3), podemos dizer que cada pedacinho da superfície, contém, a mesma 
quantidade de carga, logo a densidade de carga por unidade de área é constante. E 
usaremos a equação 4.4 para expressar essa relação. 
 
 
 
 
 
 
da
dq
= (4.4) 
Na equação 4.4 é a densidade linear de carga, dq é o infinitésimo de carga e da é 
o infinitésimo da superfície. Assim o campo elétrico para essa configuração de carga 
pode ser determinado pela equação 4.5. 
→
= rdar
E 
 ²
1
4
1
0
 (4.5) 
Figura 4.3 
 
Fonte: GRIFTHS, David J. Eletrodinâmica 6ª edição, ed. Pearson p. 44 
 
 
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4.4 DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA DE CARGA 
 
Para cargas elétricas que se distribuem uniformemente sobre um volume (figura 4.4), 
podemos dizer que cada pedacinho do volume, contém, a mesma quantidade de 
carga, logo a densidade de carga por unidade de volume é constante. E usaremos a 
equação 4.6 para expressar essa relação. 
 
 
 
 
 
 
dv
dq
= (4.6) 
 
Na equação 4.6  é a densidade volumétrica de carga, dq é o infinitésimo de carga e
dv é o infinitésimo do volume. Assim o campo elétrico para essa configuração de 
carga pode ser determinado pela equação 4.7. 
 
→
= rdvr
E 
 ²
1
4
1
0
 (4.7) 
 
Os problemas envolvendo as distribuições de carga (superficial e volumétrica) seguem 
a mesma linha de resolução apresentada no exemplo 3.1. 
 
Figura 4.4 
 
Fonte: GRIFTHS, David J. Eletrodinâmica 6ª edição, ed. Pearson p. 44 
 
 
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4.5 FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO 
 
O fluxo de campo elétrico (equação 4.8) mede a quantidade de linhas de campo elé-
trico que atravessa uma superfície fechada. Essa superfície pode ser real ou imagina-
ria e chamaremos de superfície gaussiana (figura 4.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (4.8) 
 
→→
•=  AdEE
Figura 4.5 
 
Fonte: Halliday & Resnick, Eletromagnetismo 8ª edi-
ção, ed. LTC, Rio de Janeiro – RJ, p. 53 
 
 
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O fluxo de campo ( E ) é o produto escalar entre o vetor campo elétrico (
→
E ) e o vetor 
normalà superfície gaussiana (

ndA ). 
 
Exemplo 3.2 
 
Considere uma linha de carga muito longa (infinita) envolvida em um cilindro de raio a 
e comprimento L.O campo elétrico produzido pela linha de carga tem módulo E e 
aponta na direção radial para fora. Determine o fluxo de campo elétrico que atravessa 
a superfície fechada. 
 
Resolução: 
Primeiro comece fazendo o desenho esquemático e distribuindo os vetores referentes 
ao problema (figura 4.6). 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse esquema percebemos que o cilindro é composto por três superfícies, isso sig-
nifica que a equação 4.8 será dividida em três. E vou usar coordenadas cilíndricas 
para descrever os vetores unitários. Assim temos: 
 
Figura 4.6 
 
Fonte: do autor 
 
 
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dAzrEdAzrEdArrEAdE
aaaL
E
→→
•+−•+•=•= 
²
0
²
0
2
0
)(

 
Como o produto escalar de vetores unitários diferentes é zero, temos: 
dArrE
aL
E

•= 
2
0 
 
O produto escalar de vetores unitários iguais é sempre 1 e a integral de dA é a, Assim 
temos: 
 
  aLEaE aLE 

2.
2
0 == 
 
4.6 LEI DE GAUSS 
 
A lei de Gauss relaciona o fluxo de campo elétrico com a carga total envolvida pela 
superfície gaussiana através da equação 4.9. 
 
0
env
E
q
= (4.9) 
 
Se substituirmos a equação 4.9 na equação 4.8 nós vamos obter a equação 4.9 que 
é conhecida como lei de Gauss na forma integral e é uma ferramenta que facilita o 
cálculo do campo elétrico para configurações de carga que apresentam simetria de 
campo. 
 
 
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0
envqAdE =•
→→
 (4.9) 
 
A lei de Coulomb é uma ferramenta que pode ser utilizada para calcular o campo 
elétrico produzido por qualquer configuração de carga. Porém resolver a lei de Cou-
lomb não é tarefa fácil, e às vezes utilizar a lei de Gauss para resolver o problema de 
campo elétrico pode ser bem mais fácil. O problema da lei de Gauss é que só permite 
calcular o campo em três simetrias: 
• Simetria esférica 
• Simetria cilíndrica 
• Planos infinitos 
Se o problema não apresentar uma dessas simetrias, então não podemos utilizar a lei 
de Gauss. 
Para exemplificar a utilização da lei de Gauss, vou resolver o problema de uma casca 
esférica. Uniformemente carrega. Esse é um dos problemas onde a lei de Coulomb 
pode ser aplicada, porém a resolução requer uma quantidade de cálculo dispendiosa. 
(Aconselho você a tentar resolver depois, utilizando a lei de Coulomb). 
 
Exemplo 3.3 
 
Certa quantidade de carga q foi depositada sobre a superfície de uma casca esférica 
de raio a. a carga se distribui uniformemente sobre a superfície. Determine o campo 
elétrico produzido por essa configuração de carga em todos os pontos do espaço. 
 
 
 
 
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Resolução: 
Primeiro vamos determinar o campo elétrico no interior da casca esférica. 
ar
E

= 0 . O campo elétrico no interior de um condutor é sempre zero. Porque se trata de um 
caso de eletrostática. 
Para o exterior da esfera, comece desenhando uma superfície gaussiana envolvendo a carga 
elétrica e aplique a lei de Gauss. 
==•
→→

0
envqAdE
 
0
²4
0 
 q
daE
a
= 
 
 
0
²4
0

 q
aE
a
=
 
 
0
²4


q
aE =
 
Figura 4.7 
 
Fonte: do autor 
 
 
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²4 0a
q
E

=
 
Esse é o campo para pontos externos a esfera. 
 
Resumo: 
 
Para uma distribuição contínua de carga a lei de Coulomb sofre uma pequena altera-
ção, onde a carga deve ser substituída pela densidade de carga e o somatório usado 
para aplicar o princípio da superposição é substituída por uma integral. 
Quando a simetria do problema permite, o campo elétrico pode ser mais facilmente 
determinado utilizando a lei de Gauss. A lei de Gauss leve em consideração o fluxo 
de campo que atravessa uma superfície em conformidade com a carga que gera o 
campo. 
 
Atividades propostas 
 
Questão 1 
 A figura abaixo representa uma circunferência que possui uma densidade de carga 
λ distribuída uniformemente sobre a sua superfície. As componentes do campo elé-
trico produzido por um seguimento ds da circunferência no ponto P também é mos-
trado. Se o ponto P estiver a uma altura z acima do centro da espira, podemos afir-
mar que o campo nesse ponto será: 
 
 
 
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a) 
( )
( )
z
Rz
zR
E ˆ
²²4
2
2
1
0 +
=


 
b) 
( )
z
Rz
z
E ˆ
²²4 2
3
0 +
=


 
c) 
( )
( )
z
Rz
zR
E ˆ
²²4
2
2
3
0 +
=


 
d) 
( )
( )
x
Rz
zR
E ˆ
²²4
2
2
3
0 +
−=


 
 
Questão 2 
A figura abaixo representa duas placas infinitas. Um com densidade de carga positiva 
e a outra com densidade de carga negativa. O campo elétrico devido às duas placas 
nas três regiões é: 
 
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a) região I 0=E

,região II 
0

=E

 e região III 
0

=E

 
b) região I 0=E

,região II 
0

=E

 e região III 0=E

 
c) região I 
0

=E

,região II 
0

=E

 e região III 
0

=E

 
d) região I 0=E

,região II 0=E

 e região III 0=E

 
 
Questão 3 
Uma casca esférica de raio a possui densidade superficial de carga uniformemente 
distribuída sobre sua superfície. O fluxo de campo sobre uma superfície gaussiana de 
raio a será: 
a) 
²4
1
0 r
q
E

= 
b) ²4 aEE = 
c) 
²4
1
0 a
E

= 
d) ²4 0aE = 
 
 
 
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Gabarito 
 
01 02 03 
c b b 
 
 
Referências: 
 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e Mag-
netismo, Óptica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 556 p. v. 2. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Eletro-
magnetismo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 388 p. v. 3. 
 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016. 448 p. v. 3. 
 
RAMALHO JÚNIOR, Francisco; FERRARO,Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antônio de 
Toledo. Os Fundamentos da Física: Eletricidade Introdução à Física Moderna Análise Di-
mensional. 9. ed. São Paulo: Moderna, 2013. 520 p. v. 3. 
 
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Guanabara, 1988. 638 p. 
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2015. 295 p. v. 3. 
 
KNIGHT, Randall D. Física: Uma abordagem estratégica. 2. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 
2009. 400 p. v. 3. 
 
JEWETT JUNIOR, Jonh W.; SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros: 
Eletricidade e Magnetismo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 331 p. v. 3.