Álgebra Linear

Prévia do material em texto

MeuGuru | Exerćıcios de Álgebra Linear
10) Mostrar que os vetores u = (2, 1) e v = (1, 1) geram o R2
Solução. Para mostrar que os vetores u e v geram o R2, temos que mostrar que
qualquer elemento de R2 pode ser escrito como combinação linear de u e v. Para
tal, tome w = (x, y) ∈ R2 e α, β ∈ R. Assim,
w = αu+ βv ⇒ (x, y) = α(2, 1) + β(1, 1) = (2α + β, α + β)
Igualando os termos correspondendes chegamos ao seguinte sistema de equações:{
x = 2α + β
y = α + β
Cujas soluções são α = x− y e β = 2y − x.
Portanto, dado qualquer vetor w ∈ R2, sempre conseguiremos escrevê-lo como
combinação linear de u e v. Ou seja, u e v geram R2.
11) Mostrar que os vetores u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) e 2 = (0, 0, 1) geram o R3
Solução. Para mostrar que os vetores u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) e w = (0, 0, 1)
geram R3, temos que mostrar que qualquer elemento de R3 pode ser escrito como
combinação linear de u, v e w. Para tal, tome x = (a, b, c) ∈ R3 e α, β, γ ∈ R.
Assim,
x = αu+ βv + γw
(a, b, c) = α(1, 1, 1) + β(0, 1, 1) + γ(0, 0, 1)
(a, b, c) = (α, α + β, α + β + γ)
Igualando os termos correspondentes da última igualdade, chegamos ao seguinte
sistema de equações: 
a = α
b = α + β
c = α + β + γ
Cujas soluções são α = a, β = b− a e γ = c− b.
Portanto, dado qualquer vetor x ∈ R3, sempre conseguiremos escrevê-lo como
combinação linear de u, v e w. Ou seja, u, v e w geram o R3.
1) Sejam V = R2 e α = (x, y) e β = (x1, y1) dois vetores em V . Verificar que V com as
operações de adição α + β = (x + x1 − 1, y + y1) e multiplicação cα = (cx − c + 1, cy) é
um espaço vetorial sobre R.
Solução. O conjunto V = R2, munido das operações de soma e multiplicação por escalar,
é um espaço vetorial sobre R se são satisfeitas as seguintes propriedades:
i) Associatividade da adição:
(α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ V
1
MeuGuru | Exerćıcios de Álgebra Linear
ii) Elemento neutro:
∃ 0V ∈ V tal que α + 0V = α, ∀α ∈ V.
iii) Elemento oposto da adição:
∀α ∈ V, ∃(−α) ∈ V tal que α + (−α) = 0V
iv) Comutatividade da adição:
α + β = β + α, ∀α, β ∈ V
v) Distributividade à esquerda:
a(α + β) = aα + aβ, ∀ a ∈ R e ∀α, β ∈ V
vi) Distributividade à direita:
(a+ b)α = aα + bα, ∀α, β ∈ R e ∀α ∈ V
vii) Associatividade da multiplicação:
(ab)α = a(bα), ∀ a, b ∈ R e ∀α ∈ V
viii) Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1 · α = α, ∀α ∈ V
Sendo assim, vamos verificar cada uma delas. Para tal, considere α = (x, y), β = (x1, y1)
e γ = (x2, y2), elementos de V , e a, b ∈ R.
i) Associatividade da adição:
(α + β) + γ = ((x, y) + (x1, y1)) + (x2, y2)
= (x+ x1 − 1, y + y1) + (x2, y2)
=
(
(x+ x1 − 1) + x2 − 1, (y + y1) + y2
)
=
(
x+ (x1 + x2 − 1)− 1, y + (y1 + y2)
)
= α + (β + γ).
ii) Elemento neutro:
Seja 0V = (1, 0) ∈ R2. Então,
α + 0V = (x, y) + (1, 0)
= (x+ 1− 1, y + 0)
= (1 + x− 1, 0 + y)
= (x, y)
= α
2
MeuGuru | Exerćıcios de Álgebra Linear
iii) Elemento oposto da adição:
Considere −α = (2− x,−y). Então,
α + (−α) = (x, y) + (2− x,−y)
= (x+ (2− x)− 1, y + (−y))
= (1, 0)
= 0V .
iv) Comutatividade da adição:
α + β = (x, y) + (x1, y1)
= (x+ x1 − 1, y + y1)
= (x1 + x− 1, y1 + y)
= (x1, y1) + (x, y)
= β + α
v) Distributividade à esquerda:
a(α + β) = a(x+ x1 − 1, y + y1)
=
(
a(x+ x1 − 1)− a+ 1, a(y + y1)
)
=
(
ax+ ax1 − a− a+ 1, ay + ay1
)
=
(
(ax− a+ 1) + (ax1 − a+ 1)− 1, ay + ay1
)
= aα + aβ
vi) Distributividade à direita:
(a+ b)α = (a+ b)(x, y)
=
(
(a+ b)x− (a+ b) + 1, (a+ b)y
)
=
(
(ax− a+ 1) + (bx− b+ 1)− 1, ay + by
)
= (ax− a+ 1, ay) + (bx− b+ 1, by)
= a(x, y) + b(x, y)
= aα + bα
3
MeuGuru | Exerćıcios de Álgebra Linear
vii Associatividade da multiplicação:
(ab)α = (ab)(x, y)
=
(
(ab)x− (ab) + 1, (ab)y
)
=
(
a(bx)− (ab) + 1, a(by)
)
=
(
a(bx) + a(−b) + a− a+ 1, a(by)
)
=
(
a(bx− b+ 1)− a+ 1, a(by)
)
= a(bx− b+ 1, by)
= a
(
b(x, y)
)
= a(bα).
viii) Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1 · α = 1(x, y)
= (1 · x− 1 + 1, 1 · y)
= (x, y)
= α
Portanto, o conjunto V = R2, munido com as operações de adição α+β(x+x1−1, y+y1)
e multiplicação cα = (cx− c+ 1, cy) é um espaço vetorial sobre R.
4