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Prof. Luiz Felix UNIDADE II Matemática Aplicada É toda equação que pode ser reduzida à forma ax + b = 0, onde a e b são números reais com a ≠ 0. Para a ≠ 0 e b ≠ 0 o conjunto-verdade ou conjunto-solução da equação é: V = {– b/a} ou S = {– b/a} Equações do 1º grau Exemplo: resolva a equação x + 5 = 10 Resolução 1: Resolução 2: x + 5 = 10 x + 5 = 10 x = 10 – 5 x + 5 – 10 = 0 x = 5 V = {5} x – 5 = 0 Vamos lembrar que ax + b = 0 Nossa equação é x – 5 = 0, onde a = 1 e b = – 5 Sabemos que V = S = {– b/a} Então, – b/a = – (– 5) / 1 = 5 / 1 = 5 V = {5} Equações do 1º grau Exemplo: resolva a equação 4x – 2 = 6x + 8 4x – 2 = 6x + 8 4x – 6x = 8 + 2 – 2x = 10 x = 10 = – 5 – 2 V = {– 5} Equações do 1º grau É toda equação que pode ser reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais com a ≠ 0. As equações do 2º grau completas são do tipo ax2 + bx + c = 0 com a, b e c diferentes de zero. Exemplo: 3x2 – 4x + 1= 0 a = 3 b = – 4 c = 1 (equação completa) Equações do 2º grau As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. São chamadas de incompletas se um dos coeficientes (b ou c) for nulo. Caso 1: b = 0 x2 – 9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒ x = ± 3 Caso 2: c = 0 x2 – 9x = 0 Basta fatorar o fator comum x x(x – 9)=0 ⇒ x = 0 ou x = 9 Caso 3: b = c = 0 2x2 = 0 ⇒ x = 0 Equações do 2º grau Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara: x = – b ± b2 – 4ac ou x = – b ± Δ Δ = b2 – 4ac 2a 2a Equações do 2º grau y xx1 x2 α > 0 Δ > 0 Resolver 3x2 – 7x + 2 = 0 Temos: a = 3, b = – 7 e c = 2 x = – b ± b2 – 4ac 2a x = – (– 7) ± (-7)2 – 4.3.2 2.3 x = 7 ± 25 = 7 ± 5 Observe que Δ > 0 6 6 7 + 5 = 12 = 2 6 6 7 – 5 = 2 = 1 6 6 3 Logo, V = { 1, 2 } 3 Equações do 2º grau Fonte: http://www.youmath.it/lezioni/algebra- elementare/disequazioni/174-disequazioni-di- secondo-grado-quadratiche.html y x x1 = x2 α < 0 Δ < 0 Resolver – x2 + 4x – 4 = 0 Temos: a = – 1, b = 4 e c = – 4 Δ = b2 – 4ac = 42 – (4) . (–1) . (– 4) = 16 – 16 = 0 x = – b ± Δ 2a x = – 4 ± 0 = – 4 = 2 V = {2} 2. (–1) – 2 Observe que Δ = 0, temos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. Equações do 2º grau Fonte: http://www.youmath.it/lezioni/algebra- elementare/disequazioni/174-disequazioni-di- secondo-grado-quadratiche.html y x α > 0 Δ < 0 Resolver 5x2 – 6x + 5 = 0 Temos: a = 5, b = – 6 e c = 5 Δ = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 . 5 . 5 = 36 – 100 = – 64 x = – b ± Δ 2a Note que Δ < 0 e que não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: V = ∅ (conjunto vazio). Equações do 2º grau Fonte: http://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/disequazioni/174- disequazioni-di-secondo-grado-quadratiche.html a > 0, concavidade voltada para cima. a < 0, concavidade voltada para baixo. Lembre-se: a é o coeficiente do x2: ax2 + bx + c Gráfico da função Fonte: http://educacao.glob o.com/matematica/as sunto/funcoes/funcao -de-2-grau.html Ache as raízes da equação x2 – x – 20 = 0 a) V = { 1, 2 } b) V = {– 4, 5} c) V = {– 5, 4 } d) V = {– 2, 1} e) V = ∅ Interatividade Ache as raízes da equação x2 – x – 20 = 0 a) V = { 1, 2 } b) V = {– 4, 5} c) V = {– 5, 4 } d) V = {– 2, 1} e) V = ∅ Resposta a = 1, b = – 1 e c = – 20 x = – b ± b2 – 4ac 2a x = – (– 1) ± 12 – 4.1.(– 20) 2.1 x = 1 ± 81 = 1 ± 9 2 2 1 + 9 = 10 = 5 1 – 9 = – 8 = – 4 2 2 2 2 Logo, V = {– 4, 5} Em matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares ordenados. Temos abaixo um exemplo de relação entre pares ordenados: {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)} As funções são um tipo especial da relação. Relações e Funções Uma relação f: A → B é chamada de função se: I. Não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem “sobrar” elementos de A). II. Qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver elemento de A “associado” a mais de um elemento de B). Funções Verifique se a relação f: A → B é uma função. A B Sim, é uma função. Cumpre as duas condições. Não “sobram” elementos de A e não há elemento de A “associado” a mais de um elemento de B. Funções -2 -1 0 1 3 2 4 5 7 Função sobrejetora: é aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio. Exemplo: Função injetora: é aquela na qual os elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas. Exemplo: Tipos de funções Função bijetora: é aquela que, ao mesmo tempo, é injetora e sobrejetora. Exemplo: Tipos de funções A função y = f(x) é par quando qualquer que seja x D(f), f(–x) = f(x). Os gráficos das funções pares são curvas simétricas em relação ao eixo y. Exemplo: y = x2 – 1 é uma função par, pois f(–x) = f(x) f(–1) = (–1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 f(1) = 12 – 1 = 1 – 1 = 0 Então f(1) = 0; f(–1) = 0 f(–2) = (–2)2 –1 = 4 – 1 = 3 f(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 Então f(2) = 3 e f(–2) = 3 Função par Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm A função y = f(x) é impar quando qualquer que seja x D(f), f(–x) = – f(x). Os gráficos das funções pares são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0). Exemplo: y = 2x é uma função impar, pois f(–x) = – f(x) f(–2) = 2 * (–2) = – 4 f(2) = 2 * 2 = 4 Então f(–2) = – 4; f(2) = 4. Função ímpar Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm É toda função f(x) = k, onde k é uma constante real. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x. Exemplo: f(x) = 5 f(-2) = 5 f(-1) = 5 f(1) = 5 f(2) = 5 Função constante Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm Sendo A e B conjuntos de números reais e a ≠ 0, dizemos que uma função f: A → B, com f (x) = a . x é uma função linear. Exemplo: f(x) = 7x f(x) = – 3x a = 7 (a > 0) a = – 3 (a <0) Função linear Fonte: http://grupo2itec5.w eebly.com/funccedil atildeo-linear.html a > 0 a < 0 Uma função é chamada de função 1º grau ou função afim se sua sentença for dada por y = a . x + b, sendo a e b constantes reais com a ≠ 0 Exemplo: y = 2x + 4 Neste exemplo, a = 2 e b = 4 a > 0 → função crescente Exemplo: y = – 5x + 2 Neste exemplo, a = – 5 e b = 2 a < 0 → função decrescente Função do 1º grau (ou função afim) Fonte: https://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-constante-1-e-2-grau.html y x-b/a b y = ax+b a>0 y = ax+b a<0b y x-b/a O gráfico a seguir representa qual tipo de função? a) Função constante. b) Função do 1º grau. c) Função do 2º grau com a < 0 e Δ < 0. d) Função do 2º grau com a < 0 e Δ > 0. e) Função do 2º grau com a > 0 e Δ > 0. Interatividade Fonte: https://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-constante-1-e-2-grau.html y x c yv V x1-b/2ax2 O gráfico a seguir representa qual tipo de função? a) Função constante. b) Função do 1º grau. c) Função do 2º grau com a < 0 e Δ < 0. d) Função do 2º grau com a < 0 e Δ > 0. e) Função do 2º grau com a > 0 e Δ > 0. Resposta Fonte: https://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-constante-1-e-2-grau.html y x c yv V x1-b/2ax2 A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir. Chama-se função de demanda a relação entre p (preço) e x (quantidade demandada), indicada por p = f(x) Qd = – a . P + b, em que: Qd é a quantidade de demanda e P é o preço dobem. Essa função do 1º grau é decrescente, pois a < 0. Função demanda de mercado A oferta de um bem é a quantidade de produtos que os vendedores desejam e podem produzir para vender em diversos níveis de preço. Chamamos de função de oferta a relação entre o preço do bem (p) e a quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x). Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, a>0, pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada. Função oferta de mercado É o ponto de interseção entre as curvas de demanda e oferta. Ocorre quando a demanda é igual à oferta: D(p) = S(p) Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais que: D(p) = 34 – 5p e S(p) = – 8 + 2p. Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções? 34 – 5p = – 8 + 2p 34 + 8 = 2p + 5p 42 = 7p 42 = p 7 p = 6 Preço e quantidade de equilíbrio Seja x a quantidade vendida de um produto, chamamos de função receita a multiplicação do preço de venda (P) pela quantidade vendida (x) e indicamos por R: R(x) = P.x Receita total Seja x a quantidade produzida de um produto, o custo total de produção depende de x e à relação entre eles chamamos de função custo total e a indicamos por C. Custos fixos (CF): aqueles que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. Custos variáveis (CV): a parcela do custo que depende da quantidade produzida (x). C(x) = CF + CV Para x variando dentro de certos valores normalmente não muito grandes, o custo variável é, geralmente, igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Custo total O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x) Exemplo: determine o ponto crítico, com: Função receita: R(x) = 30.x Função custo: C(x) = 500 + 5.x Sendo R(x) = C(x), temos: 30x = 500 + 5x 30x – 5x = 500 25x = 500 x = 500/25 x = 20 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento É definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. L(x) = R(x) – C(x) Exemplo: determine a função lucro, com: Função receita: R(x) = 30.x Função custo: C(x) = 500 + 5.x Sendo L(x) = R(x) – C(x), temos: L(x) = 30x – (500 + 5x) L(x) = 30x – 500 – 5x L(x) = 25x – 500 Função lucro Para a produção de um certo produto, a função custo é dada por C(x) = 100 + 10x. Sabendo que cada produto custa R$ 60,00, quantos produtos devem ser vendidos para que o lucro seja de R$ 700,00? a) 5 b) 10 c) 16 d) 20 e) 23 Interatividade Para a produção de um certo produto, a função custo é dada por C(x) = 100 + 10x. Sabendo que cada produto custa R$ 60,00, quantos produtos devem ser vendidos para que o lucro seja de R$ 700,00? a) 5 b) 10 c) 16 d) 20 e) 23 Resposta C(x) = 100 + 10x R(x) = P.x → R(x) = 60x L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 60x – (100 + 10x) = 60x – 100 – 10x L(x) = 60x – 100 – 10x L(x) = 50x – 100 700 = 50x – 100 700 + 100 = 50x 800 = 50x 800/50 = x → x = 16 Devem ser vendidos 16 produtos. É um método que consiste em encontrar uma curva que se ajuste a uma série de pontos e que, possivelmente, cumpra uma série de parâmetros adicionais. Observamos que no gráfico não passa uma reta por todos os pontos. Qual é a curva que se adapta para o conjunto de pontos, isto é, qual a função que melhor se ajusta para os pontos (x,y)? Ajuste de curvas Fonte: https://simple.wikipedia.org/wi ki/Linear_regression y = A.x + B A = ∑x.y – n.x.y e B = y – Ax ∑x2 – n(x)2 n = número de pontos observados ∑x = soma dos valores de x ∑y = soma dos valores de y ∑x.y = soma dos produtos entre x e y ∑x2 = soma dos quadrados dos valores de x x = ∑ x e y = ∑ y (médias de x e y) n n Regressão linear – equação da reta Exemplo: uma empresa produz uma determinada quantidade de produtos (x) e tem seu custo (y) de acordo com a tabela abaixo. Qual a curva que se adapta melhor ao conjunto de pontos e qual a previsão de custo para 10 unidades do produto? Regressão linear x y 1 95 2 139 3 205 4 251 y = A.x + B A = ∑x.y – n.x.y e B = y – Ax ∑x2 – n(x)2 Sendo ∑x = 10 e ∑y = 690, temos: x = 10 = 2,5 y = 690 = 172,5 4 4 A = 1992 – 4.(2,5).172,5 = 1992 – 1725 = 53,4 30 – 4.(2,5)2 30 – 25 B = 172,5 – 53,4 . 2,5 = 172,5 – 133,5 = 39 y = 53,4.x + 39 Para 10 unidades, o custo será: y = 53,4 . 10 + 39 = 573 Regressão linear – equação da reta x y x.y X2 1 95 95 1 2 139 278 4 3 205 615 9 4 251 1004 16 ∑=10 ∑=690 ∑=1992 ∑=30 Estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Juro (J) é a remuneração gerada por um capital aplicado ou emprestado. Taxa de juros (i) é a forma de se estipular o valor percentual a ser pago pelo uso do capital emprestado durante um tempo determinado. 20% a.m. = 20 = 0,20 (forma unitária) 100 3% a.a. = 3 = 0,03 (forma unitária) 100 Matemática financeira Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide sobre os juros acumulados. Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. O montante de capital e juros se comporta como uma progressão geométrica. O prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Capitalização J = C.i.n , em que: J = juros C = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante (M): M = C + J M = C (1 + i.n) Para juros simples, podemos observar que: 36% a.a. equivale a 3% ao mês (36/12 = 3) 24% a.a. equivale a 4% ao bimestre (24/6 = 4) Capitalização simples Uma pessoa aplicou, a juros simples, R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juros ao fim dessa aplicação? a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 500,00 d) R$ 600,00 e) R$ 700,00 Interatividade Uma pessoa aplicou, a juros simples, R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juros ao fim dessa aplicação? a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 500,00 d) R$ 600,00 e) R$ 700,00 Resposta C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? J = C.i.n J = 3000 . 0,02 . 5 J = 300 J = R$ 300,00 ATÉ A PRÓXIMA!
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