quest trigonometria

Prévia do material em texto

Uma escada está encostada em um prédio e faz com este um ângulo de 60 graus. Esta escada se apóia neste prédio a 9 metros do solo. Determine o comprimento da escada.
		
	
	12,2 metros
	
	9 metros
	 
	18 metros
	
	10 metros
	
	4,5 metros
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201707127697)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o triângulo retângulo isósceles de cateto igual a lado L. Então a tg 45 é igual a:
		
	
	32;
	
	32;
	 
	1
	
	22;
	
	12.
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201707669485)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Portanto, forma-se um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?
		
	
	comprimento da escada é 10 m
	
	comprimento da escada é 5 m.
	
	comprimento da escada é 9 m
	
	comprimento da escada é 3 m
	 
	comprimento da escada é 2,83 m
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201707674817)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere um observador, de altura desprezível , vê o topo do prédio sob um ângulo de 60 graus quando sua distância até o prédio é de 30 metros da base e logo em seguida o mesmo observador começa a caminhar em sentido contrário ao prédio, x metros, onde volta observar o topo do prédio sob um ângulo de 30 graus. Determine o valor de x , em metros, percorrido pelo observador.
		
	
	80
	
	30
	
	25
	
	15
	 
	60
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201707127288)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O arco em radianos de medida de 120 graus é:
		
	 
	2π3
	
	3π
	
	π4
	
	2π
	
	π
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201707111294)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O ponteiro dos minutos do relógio Big Ben em Londres mede 15 metros. Quantos metros sua extremidade percorre durante 15 minutos:
		
	
	5
	
	10
	
	20
	 
	15π2
	
	10π3
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201707111342)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considerando as proposições abaixo:
(I) sen x > 0, então x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes.
(II) cos x < 0, então x pertence ao terceiro e quarto quadrantes.
(III) tg x > 0, então x pertence somente ao primeiro quadrante.
É correto afirmar que:
		
	
	Somente (I) é verdadeira.
	
	Todas são verdadeiras.
	
	Somente (III) é falsa.
	 
	Todas são falsas.
	
	Somente (II) é verdadeira.
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201707815682)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sabe-se que x -e um arco do terceiro quadrante e que sen x = - 0,6, calcule a tg x.
		
	
	- 3/4
	
	-0,8
	
	0,8
	 
	3/4
	
	0,7
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201707815713)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 2 cos x.
		
	 
	V3
	 
	-V3
	
	-V3/2
	
	-1/2
	
	V3/2
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201707127655)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que cos (1800 - x) é igual a:
		
	 
	-cos x;
	
	-tg x;
	
	sen x;
	
	tg x.
	
	-sen x
		Num triângulo retângulo, podemos definir que o seno de um ângulo agudo é:
		
	
	A razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.
	
	A razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
	
	A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
	 
	A razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
	
	A razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201707127697)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o triângulo retângulo isósceles de cateto igual a lado L. Então a tg 45 é igual a:
		
	 
	1
	
	12.
	
	22;
	
	32;
	
	32;
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201707675497)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	João deseja apoiar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que ela forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede João deve apoiar a escada no solo?
		
	
	6 metros
	
	8 metros
	
	10 metros
	
	12 metros
	 
	4 metros
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201707674842)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere que um canhão que lance um projétil a velocidade de 40 m/s com um ângulo de inclinação de 30° em relação ao solo. Determine a altura em metros, que esse projétil atinge depois de 3s, supondo sua trajetória retilínea e velocidade constante.
		
	
	80
	
	160
	 
	60
	
	120
	
	50
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201707113177)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 2 horas?
		
	
	55 graus
	
	70 graus
	
	75 graus
	
	65 graus
	 
	60 graus
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201707121231)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco determinado por um ângulo central de 150°?
		
	
	100π cm
	 
	25π cm
	
	15π cm
	
	30π cm
	
	20π cm
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201707720527)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere os ângulos a = 30° e b = 150° , que são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que :
		
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	 
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	
	sen (a) = cos (b) e cos (a) = sen (b)
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201707111342)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considerando as proposições abaixo:
(I) sen x > 0, então x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes.
(II) cos x < 0, então x pertence ao terceiro e quarto quadrantes.
(III) tg x > 0, então x pertence somente ao primeiro quadrante.
É correto afirmar que:
		
	
	Somente (III) é falsa.
	
	Todas são verdadeiras.
	 
	Todas são falsas.
	
	Somente (II) é verdadeira.
	
	Somente (I) é verdadeira.
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201707127102)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	No que diz respeito às relações entre as funções trigonométricas de arcos complementares, é correto afirmar que cos(π2-x) é equivalente a:
		
	
	 cosx
	 
	 senx
	
	 sen(π2+x)
	
	 sen(π2-x)
	
	 -senx
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201707815713)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 2 cos x.
		
	
	-V3/2
	
	V3/2
	 
	-V3
	 
	V3
	
	-1/2
	
	
Aula 1 
	Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 m e a diferença entre os catetos é 7 m. Calcule os catetos.
		
	 
	catetos sao 12 m e 5 m.
	
	catetos sao 5 m e 3 m.
	
	catetos sao 10 m e 2 m.
	
	catetos sao 7 m e 9 m.
	
	catetos sao 12 m e 4 m
	
Explicação:
Usando Pitágoras a²  = b² + c²   ... 13² =  b² + c²   ....  b² + c²  = 169  .
Diferença  b - c  =  7 ... então b =  c +7  e substituindo  fica  (c + 7 )²  + c²  = 169   ...  c² + 49 + 14c + c²  = 149  ...  2c²  + 14c - 120 = 0 
Resolvendo essa equação do 2º grau temos c = +5  ou -12  , mas o valor negativo não serve. ..Então c = 5   ...  b = c + 7 = 12 .
	
	 
	Ref.: 201707114240
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.
		
	
	12√3
	
	18√3
	
	14√3
	
	16√3
	 
	10√3
	
Explicação:
Faça um desenho de um triângulo equlátero de lado L  =20 e sua altura H.  A altura H divide ao meio  o lado L da base . Forma-se um triângulo retângulo cuja hipotenuasa é o lado L  , um cateto é a altura H e o outro cateto é  o lado L/2 (metade da base) . Então H é o cateto oposto a 60º  e  H/L = sen 60º = raiz3/2. Daí  H = L raiz3/2= 20 raiz3/2 = 10 raiz3.  
	
	 
	Ref.: 201707114254
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a altura do edifício:
		
	
	x = 60√3/3
	
	x = 70√3/3
	 
	x = 100√3/3
	
	x = 90√3/3
	
	x = 80√3/3
	
Explicação:
tg 30º= cateto oposto/ cateto adjacente  = x /100   ...Então  raiz3/3  =  x/100  , donde  x = 100 raiz3/ 3.
	
	 
	Ref.: 201707675503
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A=(1,0), B=(0,1) e C=(0,sqrt3). Determine o ângulo BÂC .
		
	 
	15°
	 
	30°
	
	45°
	
	60°
	
	18°
	
Explicação:
Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A=(1,0), B=(0,1) e C=(0,sqrt3).Determine o ângulo BÂC .
Deve-se  desenhar os pontos do triângulo  nos eixos x e y ( O é a origem) .
OA no eixo x  = 1 ; OB no eixo y = 1  e OC no eixo y = raiz3 .  Forma -se um triang retangulo AOC , com o triang ABC dentro dele.
No triang retangulo  AOC , tang do angulo A  é = OC / OA= raiz3 .. ou seja esse angulo A  é 60graus .
O angulo pedido BAC é parte desse ângulo A e é a diferença entre o angulo A ( 60 graus) e o angulo agudo do triang AOB que é 45 graus pois ,é um triang retang com lados iguais ( valor 1 cada lado) .  Então angulo BAC pedido = 60 graus - 45 graus = 15 graus ...
	
	 
	Ref.: 201707699147
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A figura abaixo é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos catetos é igual à hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto tem medida igual a 1. Considerando os ângulos α, β e γ na figura abaixo, calcule os valores de α e γ
		
	
	α = 30° e β = 45°
	
	α = 60° e β = 45°
	
	α = 45° e β = 60°
	
	α = 60° e β = 30°
	 
	α = 45° e γ = 60°
	
Explicação:
O GABARITO ESTÁ COM ERRO : resposta certa :  alfa = 45 ° e gama = 30°  (não 60º )
No primeiro triâng o ângulo alfa é 45 (catetos iguais) e  a hipotenusa = raiz (1 + 1) = raiz2
No segundo, o valor raiz2 acima é um cateto e a hipotenusa fica sendo (Pitágoras) =raiz de ( 1 + 2 ) =raiz 3.
No terceiro essa hipotenusa anterior raiz3  é um cateto , e pela relação entre o catetos : tg gama  = 1/raiz3 = raiz3/3 ...donde gama = 30º
 
	
	 
	Ref.: 201707669486
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. Portanto o outro lado medirá ?
		
	 
	O outro lado medirá 6 cm.
	
	O outro lado medirá 3 cm.
	
	O outro lado medirá 2 cm.
	
	O outro lado medirá 10 cm.
	
	O outro lado medirá 8 cm.
	
Explicação:
 A diagonal e os lados do retângulo formam um triângulo retângulo  . A diagonal é a hipotenusa e os lados são os catetos.
Aplicando Pitágoras fica  :  10²  =  8² + x²    ...  100 = 64  + x²   ... x² = 36   ...  x = 6 cm . O valor negativo - 6  não atende  como medida do lado .
	
	 
	Ref.: 201707370392
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Uma escada de 6 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo A. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede e estão a 3 metros da parede. Qual o valor do ângulo A ?
		
	
	15 graus
	
	45 graus
	 
	60 graus
	
	75 graus
	 
	30 graus
	
Explicação:
 A escada forma com a parede um triângulo retângulo  e seu comprimento 6m é a hipotenusa , formando o ângulo A com a parede que é o cateto adajecente a esse ângulo. A distância 3m no solo é o outro cateto que é oposto ao ângulo A.  Com esses dados podemos usar a a relação cateto oposto / hipotenusa  = seno A .. . Substituindo os dados fica  : 3 / 6 = sen A  , donde  sen A = 1/2  . Assim  , pela tabela,  o ângulo A é 30º. 
	
	 
	Ref.: 201707111221
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine o comprimento da sombra no chão, formada pelo poste de luz de 10 metros de altura sabendo que esta sombra faz um ângulo de 45 graus com o solo.
		
	
	12 metros.
	
	10,5 metros
	 
	10 metros.
	
	32,01 metros.
	
	20 metros.
	
Explicação:
Faça um desenho do triângulo retângulo sobre o enunciado . A altura 10 é o cateto oposto ao ângulo 45º  e a sombra x  é o cateto adjacente. Portanto tg45º = 10/x  , daí  1 = 10/x    e  x =10m  .
Aula 2 
	Quando o ângulo de elevação do sol é de 60º, a sombra de uma árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, aproximadamente, considerando 3=1,7 .
		
	
	40 m
	 
	25 m
	
	20 m
	
	30 m
	
	35 m
	
Explicação:
NÃO ESTÁ CLARO NO ENUNCIADO QUE É ANGULO DE ELEVAÇÃO DO SOL  .
	
	 
	Ref.: 201707675497
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	João deseja apoiar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que ela forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede João deve apoiar a escada no solo?
		
	 
	4 metros
	
	6 metros
	
	8 metros
	
	12 metros
	
	10 metros
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa com 8m. A distância d no piso, até a parede,  é o cateto adjacente ao ângulo 60º da escada com o piso . A altura na parede  é o outro cateto.  
Então, com esses dados pode-se usar :  cosseno 60º = cateto adjacente / hipotenusa .
Daí, substiuindo os dados :  1/2 = d / 8  , donde, igualando os produtos cruzados,  resulta :  2d = 8   e   d = 4m .
	
	 
	Ref.: 201707134602
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Duas pessoas distanciadas de 100 metros observam um balão segundo ângulos de 60o e 30o, conforme a figura abaixo. Determine a altura em que se encontra o balão.
		
	
	503
	 
	253
	 
	25
	
	50
	
	23
	
	 
	Ref.: 201707674842
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere que um canhão que lance um projétil a velocidade de 40 m/s com um ângulo de inclinação de 30° em relação ao solo. Determine a altura em metros, que esse projétil atinge depois de 3s, supondo sua trajetória retilínea e velocidade constante.
		
	 
	60
	
	120
	
	80
	
	160
	
	50
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo  em que a distância percorrida pelo projétil em trajetória retilínea  é a hipotenusa .
Hipotenusa  =  velocidade x tempo = 40m/s x 3 s  = 120m .
A altura H do projétil em relação ao solo é o cateto oposto ao ângulo de 30º , da trajetória com o solo.
Com esse dados podemos usar : cateto oposto  / hipotenusa = seno 30º   ou seja   H / 120 = 1/2 . 
Daí igualando os produtos cruzados resulta : 2H = 120   donde  H =60 m .
	
	 
	Ref.: 201707336201
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Um observador localizado numa praia avista um adepto de asa delta no alto de um morro, sob um Ângulo de 32° com a horizontal. Sabendo que a distância do observador a base da encosta é de 800m, qual a altura h em que se encontra o esportista? Dado: tg 32° = 0,625
		
	
	200m
	
	600m
	
	300m
	
	400m
	 
	500m
	
	 
	Ref.: 201707762862
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Um poste tem uma altura aproximada de 3raiz3 metros , perpendicular ao solo, e é fixado por cabos de aço esticados, com uma ponta presa no seu topo e a outra presa no solo a 3 metros da base do poste. Qual o ângulo que cada cabo faz com o solo ?
		
	
	45 graus
	 
	60 graus
	
	75 graus
	
	15 graus
	
	30 graus
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que o cabo  é a hipotenusa.  A altura H do poste 3raiz3m é o cateto oposto ao ângulo A do cabo com o solo. O outro cateto  é a distância 3m  no solo  entre a fixação e o poste.  
Com esses dados dos catetos pode-se usar :  tg A  = cateto oposto / cateto adjacente .  
Daí, substiuindo os dados :  tg A = 3raiz3 / 3 = raiz3 , donde, pela tabela da aula :  ângulo A = 60º
 
	
	 
	Ref.: 201707114232
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Uma aeronave levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, a aeronave se encontra a uma altura de:
		
	
	5 Km
	 
	4 Km
	
	7 Km
	
	6Km
	
	8 Km
	
Explicação:
A altura H é o cateto oposto ao ângulo de 30º.  A aeronave  percorre 8 km subindo , é a hipotenusa. .
Então sen 30º = H/ 8   ... 1/2 =  H/8 ..   H = 8/2=4 km 
	
	 
	Ref.: 201707114245
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sem 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42)
		
	 
	113,6m
	
	116,6m
	 
	119,6m
	
	110,6m
	
	122,6m
	
Explicação:
 A altura H é o cateto oposto a 55º .  A distância no solo 80m é o cateto adjacente oas 55º  .
tg 55º =  H / 80  ...  1,42 =  H / 80    ...  h = 1,42 x 80 = 113,6
 
Aula 3
	
	O ponteiro dos minutos do relógio Big Ben em Londres mede 15 metros. Quantos metros sua extremidade percorre durante 15 minutos:
		
	 
	15π2
	
	5
	
	20
	
	10π3
	 
	10
	
Explicação:
O comprimentodo arco é C = radianos x raio .  O raio é  15m do ponteiro. O arco percorrido em 15 minutos é  = 1/ 4 de 60 minutos , portanto 1/4 de 360º  = 90º . Passando para radianos usamos 180º = pi rad , portanto 90º = pi/2 rad .
 Então comprimento C = pi/2 .15 =  15 pi/2  metros.
	
	 
	Ref.: 201707114266
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28 dias. De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?
		
	 
	π14 rad
	
	π12 rad
	
	π8 rad
	
	π10 rad
	
	π6 rad
	
Explicação:
Questão com enunciado errado  : O movimento de translação da Lua  em torno do Sol -  é o que ela faz acompanhando a Terra. Sua duração é de um ano, como o da Terra, portanto, 365 dias.
O movimento de rotação é o que ela faz em torno do seu próprio eixo.
O movimento de revolução é o que ela faz ao redor da Terra.  
Não está claro que a questão quer calcular o percurso completo de uma REVOLUÇÃO EM TORNO DA TERRA  .
Seria = 2pi .distância do centro da Lua ao centro da Terra. 
	
	 
	Ref.: 201707113189
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?
 
		
	
	155 graus
	 
	165 graus
	
	175 graus
	
	145 graus
	
	150 graus
	
Explicação:
A circunferência toda corresponde a  360º.  Entre cada número há 360/12 = 30º .
Às 12h:30 o ponteiro  dos minutos está sobre o 6 . Portanto entre o número 12 e número 6 há 6 x 30º = 180º .
Mas o ponteiro das horas se desloca 30º  cada hora . Portanto  em meia hora se deslocou 30/2 = 15 graus , reduzindo o arco anterior .
Então o angulo entre os ponteiros é 180º - 15º = 165º  graus .
	
	 
	Ref.: 201707203724
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 6090 graus são , respectivamente
		
	
	300 graus e - 30 graus
	
	300 graus e - 60 graus
	 
	330 graus e - 30 graus
	 
	330 graus e - 60 graus
	
	330 graus e 30 graus
	
Explicação:
Deve- se dividir o arco por 360º  para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra após essas voltas completas que é  a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos côngruos  A + k 360º .
6090º = 16 x 360º + 330º   ..  primeira determinação positiva  = 330º   
A primeira determinação negativa é 330º - 360º =  - 30º
	
	 
	Ref.: 201707127152
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Em uma roda gigante de 8 metros de raio, existem 12 cadeiras dispostas a espaços regulares, numeradas de maneira seqüencial . Qual a distância, na circunferência, entre a cadeira 2 e 5?
		
	
	7 metros.
	 
	12,56 metros.
	
	3 metros.
	
	50,24 metros
	
	20 metros.
	
Explicação:
Como são 12 cadeiras o arco entre duas cadeiras adjacentes é 360º /12 = 30º  ou  2pi /12 = pi/6 rad .
Entre  as cadeiras 2 e 5 há 3 arcos de pi/6 rad , portanto uma raco de pi/2 rad. .
Comprimento do arco : radianos . raio =  pi/2 . 8  =  4pi metros  =  4 x 3,14 = 12,56 m 
	
	 
	Ref.: 201707127288
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O arco em radianos de medida de 120 graus é:
		
	
	2π
	
	3π
	 
	2π3
	
	π
	
	π4
	
Explicação:
Sabemos que 360º = 2 pi rad e portanto 180º = pi rad . Então, proporcionalmente, se 180º são pi rad  , 60 º são pi/3   e 120º são 2pi/3  . Poderia aplicar regra de três fazendo : 180º para 1 pi  assim como 120 º para  x pi   , donde conclui x = 2/3 . É mais prático e usual fazer da forma anterior para os arcos normalmente usados.  
	
	 
	Ref.: 201707121159
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Quando medimos arcos e ângulos, podemos utilizar o Sistema Sexagesimal e o Circular. O Sistema Sexagesimal baseia-se na divisão da circunferência em 360 partes de mesmo tamanho e determinar 360 arcos de 10 cada, enquanto que o Sistema Circular está relacionado com a medida do comprimento da circunferência. Determine a medida no Sistema Circular de um ângulo que, medido no Sistema Sexagesimal, é de 30o.
		
	
	π3 rad
	
	3π2 rad
	
	2π3 rad
	
	π10 rad
	 
	π6 rad
	
Explicação:
 Sabemos que pi rad = 180 graus , então proporcionalmente x rad  = 30 graus   . 
Aplicando uma Regra de Três , concluimos  que 30 pi  = 180 x   , donde  x = 30 pi /180  =  ( dividindo por 30)  =  pi /6 radianos .
Observe então que na conversão de graus para radianos basta multiplicar o valor em graus por pi/180. 
 
	
	 
	Ref.: 201707111304
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Um balanço tem 2 metros de comprimento entre a cadeira e o topo, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60 graus. Determine o comprimento do arco que a extremidade do balanço descreve.
		
	
	2π5
	
	10π
	
	3π4
	 
	4π
	 
	2π3
	
Explicação:
Comprimento do arco = radianos . raio  
60º = 180º/3 =  pi/3 radianos. 
Raio = 2  .  Então C = 2pi/3 rad
	Determine a expressão geral dos arcos côngruos a 30300.
		
	
	α=600+3600k,k∈ℤ
	
	α=1000+3600k,k∈ℤ
	
	α=1200+3600k,k∈ℤ
	
	α=300+3600k,k∈ℤ
	 
	α=1500+3600k,k∈ℤ
	
Explicação:
Dividindo 3030º por 360º encontramos 8 voltas completas de 360º = 2880º  e sobrando um resto de 3030 - 2880 = 150º que é a primeira determinação positiva de todos os arcos côngruos de 3030º  . Daí  os  arcos côngruos a 3030º  são calculados como :  150º + k. 360º  , sendo k um inteiro.
	
	 
	Ref.: 201707127288
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O arco em radianos de medida de 120 graus é:
		
	
	3π
	
	π4
	
	π
	 
	2π3
	
	2π
	
Explicação:
Sabemos que 360º = 2 pi rad e portanto 180º = pi rad . Então, proporcionalmente, se 180º são pi rad  , 60 º são pi/3   e 120º são 2pi/3  . Poderia aplicar regra de três fazendo : 180º para 1 pi  assim como 120 º para  x pi   , donde conclui x = 2/3 . É mais prático e usual fazer da forma anterior para os arcos normalmente usados.  
	
	 
	Ref.: 201707982802
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o comprimento do arco AB definido numa circunferência de raio 7 cm por um ângulo central de 4,5 rad.
		
	
	34,5 cm
	
	32,5 cm
	
	30,5 cm
	
	33,5 cm
	 
	31,5 cm
	
Explicação:
Comprimento do arco = radianos x raio  = 4,5 x 7cm  =  31,5 cm .
	
	 
	Ref.: 201707111334
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A luz, ao penetrar na água de um reservatório, sofre um fenômeno chamado refração, que altera sua velocidade e sentido. Supondo que um feixe de luz penetre na água com um ângulo de 30 graus em relação ao seu nível, e altere seu sentido em π8rad para o fundo do reservatório, determine em graus essa alteração:
		
	
	30 graus.
	
	10 graus.
	 
	22,5 graus.
	
	90 graus.
	
	60 graus.
	
Explicação:
pi/8 rad = 180º / 8 =   22,5 º 
	
	 
	Ref.: 201707111319
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Um navegador que está rumando para o sul resolve alterar sua rota emπ3rad  para o oeste, então ele alterou sua rota em _______ graus:
		
	 
	60 graus.
	 
	90 graus.
	
	30 graus.
	
	120 graus.
	
	45 graus.
	
Explicação:
A alteração de rumo foi de pi/3 rad e  devemos passar para graus.  Sabemos que  2pi rad são 360º e que portanto pi rad = 180º. Substiuindo fica :
pi rad /3 = 180º /3 = 60º graus .
 
	
	 
	Ref.: 201707203724
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 6090 graus são , respectivamente
		
	 
	330 graus e - 30 graus
	
	300 graus e - 30 graus
	
	300 graus e - 60 graus
	
	330 graus e 30 graus
	
	330 graus e - 60 graus
	
Explicação:
Deve- se dividir o arco por 360º  para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra após essas voltas completas que é  a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos côngruos  A + k 360º .
6090º = 16 x 360º + 330º   ..  primeira determinação positiva  = 330º   
A primeira determinação negativa é 330º - 360º =  - 30º
	
	 
	Ref.: 201707111294
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O ponteiro dos minutos do relógio Big Ben em Londres mede 15 metros. Quantos metros sua extremidade percorre durante 15 minutos:
		
	 
	515π2
	
	10π3
	
	20
	
	10
	
Explicação:
O comprimento do arco é C = radianos x raio .  O raio é  15m do ponteiro. O arco percorrido em 15 minutos é  = 1/ 4 de 60 minutos , portanto 1/4 de 360º  = 90º . Passando para radianos usamos 180º = pi rad , portanto 90º = pi/2 rad .
 Então comprimento C = pi/2 .15 =  15 pi/2  metros.
	
	 
	Ref.: 201707203725
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 6420 graus são , respectivamente
		
	
	300 graus e - 30 graus
	
	330 graus e - 30 graus
	
	300 graus e 60 graus
	 
	300 graus e - 60 graus
	
	330 graus e - 60 graus
	
Explicação:
Deve- se dividir o arco por 360º  para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra após essas voltas completas que é  a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos côngruos  A + k 360º .
6420º = 17 x 360º + 300º   ..  primeira determinação positiva  = 300º   
A primeira determinação negativa é 300º - 360º =  - 60º
	
Aula 4
	Considere os ângulos a = 30° e b = 330° , que são simétricos em relação ao eixo x no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que :
		
	
	sen (a) = cos (b) e cos (a) = sen (b)
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	 
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = cos (b)
	 
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	
Explicação:
Se os ângulos são simétricos em relação ao eixo x no círculo trigonométrico , o cosseno é medido no mesmo ponto do eixo x , portanto tem o mesmo valor Entretando os senos  têm o mesmo módulo , mas um é medido  no eixo y positivo e o outro no eixo y negativo , ou seja têm sinais contrários.  . 
 Daí cos 30º =  cos 330º   e  seno 30º = - seno 330º
 
 
	
	 
	Ref.: 201707127645
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que sen (900 - x) é igual a:
		
	 
	cos x
	
	-tg x
	 
	- cos x
	
	-sen x
	
	tg x
	
Explicação:
Veja na aula 4  as relações entre ângulos nos quadrantes do círculo trigonométrico. Observe  que o seno é 
medido no eixo y e o cos no eixo x  e que há uma relação entre o valor dessas medidas . A medida do cos de um arco x é igual á 
medida do seno do arco ( 90 - x ) . Por ex sen 30º = cos 60º  
	
	 
	Ref.: 201707815696
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x é um arco do 4º quadrante e que cos x = 0,9. Calcule um valor aproximado para 3 sen x.
		
	
	- 0,5
	
	- 0,44
	
	0,44
	 
	- 1,3
	
	1,3
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
cos²x = 0,81   então, sen² x = 1 - 0,81 = 0,19   ... daí sen x=  V 0,19  =  - 0,435  pois x é um arco do 4° quadrante.
Então 3 senx  = 3. ( - 0,435 ) = - 1,3 aproximadamente 
	
	 
	Ref.: 201707720510
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro quadrante . Podemos afirmar então que o valor de sen (a) é :
		
	 
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo y.
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo x.
	 
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	
Explicação:
No círculo trigonométrico o seno de um arco é medido como a projeção no eixo y , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é o valor da coordenada no eixo y  , ou seja , é a ordenada  do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	 
	Ref.: 201707336213
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x é um arco do 2° quadrante e que cos x = - 0,8, qual o valor da cotg x?
		
	 
	-4/3
	
	15/4
	
	-4/5
	
	5/4
	
	4/3
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
cos²x = 0,64   então, sen² x = 1 - 0,64 = 0,36   ... daí sen x=  raiz de 0,36 =  + 0,6  pois x é um arco do 2° quadrante.
Então cotg x =  cos x / sen x  =  - 0,8 / 0,6  =  - 8/6  =  - 4/3. 
	
	 
	Ref.: 201707720516
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro quadrante . Podemos afirmar então que o valor de cos (a) é :
		
	 
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo y.
	 
	a abcissa do ponto M medida no eixo x.
	
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	
Explicação:
No círculo trigonométrico o cosseno de um arco é medido como a projeção no eixo x , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é a coordenada no eixo x  ou a abcissa do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	 
	Ref.: 201707815680
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que x pertence ao terceiro quadrante e sen x = -2/3, calcule a tg x.
		
	 
	2V5/5
	
	- 3/2
	
	V5/3
	 
	- V5/3
	
	-2V5/5
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 4/9   então, cos² x = 1 - 4/9 =  5/9   ... daí cos x=  V 5/9 =  - V5 /3  pois x é um arco do 3° quadrante.
Então tg x =  sen x / cos x  =  (-2/3) / (- V5/3)  =   2/3 . 3/V5 =  2/V5  = ( multiplicando por V5 / V5  para tirar  V do denominador)  = 2V5/5  
	
	 
	Ref.: 201707815682
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x -e um arco do terceiro quadrante e que sen x = - 0,6, calcule a tg x.
		
	 
	3/4
	 
	0,7
	
	-0,8
	
	0,8
	
	- 3/4
	
Explicação:
 Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 0,36  então, cos² x = 1 - 0,36 = 0,64   ... daí cos x=  raiz de 0,64 =  - 0,8  pois x é um arco do 3° quadrante.
Então tg x =  sen x / cos x  =  - 0,6 / - 0,8  =  6/ 8= 3/4
	Seja x um arco do 2° quadrante tal que sen x = 5/13. Desse modo o valor da expressão A= tgx / cos x é:
		
	 
	65/144
	
	-13/144
	
	-79/156
	
	-209/156
	
	-144/65
	
Explicação:
tg x/ cos x =   sen x / cos x  . 1 /cos x  =  sen x / cos² x    ..
sen² x + cos²x  = 1  ... e  como senx = 5/13  ... cos² x  =  1 - 25/169 = 144 /169   ...
Então  senx / cos²x  =   (5/13) . (169/144) =   ( simplificando 169/13 = 13 )  = 5.13 / 144 =  65 /144
	
	 
	Ref.: 201707720516
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro quadrante . Podemos afirmar então que o valor de cos (a) é :
		
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo y.
	 
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	 
	a abcissa do ponto M medida no eixo x.
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	
Explicação:
No círculo trigonométrico o cosseno de um arco é medido como a projeção no eixo x , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é a coordenada no eixo x  ou a abcissa do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	 
	Ref.: 201707815696
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x é um arco do 4º quadrante e que cos x = 0,9. Calcule um valor aproximado para 3 sen x.
		
	 
	- 1,3
	
	0,44
	
	- 0,5
	
	- 0,44
	
	1,3
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõafundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
cos²x = 0,81   então, sen² x = 1 - 0,81 = 0,19   ... daí sen x=  V 0,19  =  - 0,435  pois x é um arco do 4° quadrante.
Então 3 senx  = 3. ( - 0,435 ) = - 1,3 aproximadamente 
	
	 
	Ref.: 201707127645
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que sen (900 - x) é igual a:
		
	
	tg x
	 
	cos x
	
	-tg x
	
	- cos x
	
	-sen x
	
Explicação:
Veja na aula 4  as relações entre ângulos nos quadrantes do círculo trigonométrico. Observe  que o seno é 
medido no eixo y e o cos no eixo x  e que há uma relação entre o valor dessas medidas . A medida do cos de um arco x é igual á 
medida do seno do arco ( 90 - x ) . Por ex sen 30º = cos 60º  
	
	 
	Ref.: 201707336213
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x é um arco do 2° quadrante e que cos x = - 0,8, qual o valor da cotg x?
		
	
	15/4
	 
	-4/3
	
	4/3
	
	5/4
	
	-4/5
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
cos²x = 0,64   então, sen² x = 1 - 0,64 = 0,36   ... daí sen x=  raiz de 0,36 =  + 0,6  pois x é um arco do 2° quadrante.
Então cotg x =  cos x / sen x  =  - 0,8 / 0,6  =  - 8/6  =  - 4/3. 
	
	 
	Ref.: 201707720510
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro quadrante . Podemos afirmar então que o valor de sen (a) é :
		
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo x.
	
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo y.
	 
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	
Explicação:
No círculo trigonométrico o seno de um arco é medido como a projeção no eixo y , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é o valor da coordenada no eixo y  , ou seja , é a ordenada  do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	 
	Ref.: 201707815680
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que x pertence ao terceiro quadrante e sen x = -2/3, calcule a tg x.
		
	
	V5/3
	
	- 3/2
	
	-2V5/5
	 
	2V5/5
	
	- V5/3
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 4/9   então, cos² x = 1 - 4/9 =  5/9   ... daí cos x=  V 5/9 =  - V5 /3  pois x é um arco do 3° quadrante.
Então tg x =  sen x / cos x  =  (-2/3) / (- V5/3)  =   2/3 . 3/V5 =  2/V5  = ( multiplicando por V5 / V5  para tirar  V do denominador)  = 2V5/5  
	
Aula 5
	Para um determinado ângulo x temos que cos (x+k.360)= cos x. Logo, cos 8500 é igual a:
		
	
	- cos 1300
	 
	cos 1300
	
	- sen 1300
	
	tg 1300
	
	sen 1300
	
Explicação:
cos 850 =  cos (x+k.360)   então  850 = x + k360   ...para k=2  resulta  850 = x + 2. 360   ... 850 = x + 720   .. x =130 
	
	 
	Ref.: 201707121241
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Simplifique a expressão: T = (cossec x + sec x) / (sen x + cos x).
		
	
	tg x
	 
	1/(sen x . cos x)
	
	senx
	
	sen x . cos x
	
	sec x . cos x
	
Explicação:
Desenvolvendo  (cossec x + sec x) / (sen x + cos x)  . 
Primeiro : cossec x + sec x  = 1/sen x + 1/cos x  = ( senx + cos x ) / senx . cosx 
Substituindo isso na expressão inicial e dividindo por (sen x + cos x)  resta apenas  1 / senx . cos x 
	
	 
	Ref.: 201707127655
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que cos (1800 - x) é igual a:
		
	
	-tg x;
	 
	tg x.
	
	-sen x;
	
	sen x;
	 
	-cos x;
	
Explicação:
Obsreve no círculo trigonométrico  que o cos do arco A  medido no eixo x , no primeiro quadrante ,   tem o mesmo tamanho que o cos do arco (180 - A ) no eixo x do segundo quadrante , sendo este lado do eixo x é negativo. P. ex : cos 30º = - cos (150º) .
	
	 
	Ref.: 201707121162
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor do sen 1500.
		
	
	-32
	 
	1/2
	
	32
	
	0
	
	-1/2
	
Explicação:
 150º  =  180º - 30º  no segundo quadrante , então o seno , medido no eixo y  é o mesmo que o seno 30º no primeiro quadrante = 1/2 .
	
	 
	Ref.: 201707815718
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 3 tg x.
		
	
	V3
	
	-V3/3
	
	V3/3
	 
	- V3
	
	1
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.
Então 3 tgx  =  3 sen x /cos x  =  3 ( -1/2) ./ V3/ 2  =    (- 3/2) . (2/ V3)  =  - 3/ V3  =  - V3 .
	
	 
	Ref.: 201707815721
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que sen x = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine cotg x.
		
	
	-V3/3
	
	V3
	
	V3/3
	 
	- V3
	
	1
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.
Então cotg x = cos x /sen x  = V3/ 2 / (- 1/2)  =  V3/ 2 . ( - 2) =  - V3
 
	
	 
	Ref.: 201707134601
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que o cos(7π3) e o sen(7π3) são respectivamente:
		
	
	1 e 0
	
	22 e22
	 
	12e32
	 
	0 e 1
	
	32 e12
	
Explicação:
7pi /3 = pi /3 + 6 pi/3  =  pi/3 + 2pi  = 60º + 360º  ... Então cos 7pi/3 = cos 60º =  1/2   e sen 7pi/3  =  sen 60º = raiz3/2 .
	
	 
	Ref.: 201707127668
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Para um determinado ângulo x temos que tg (x+k360)=tg x. Logo, tg -10000 é igual a:
		
	
	- cos 800
	 
	tg 800
	
	sen 800
	
	tg -800
	
	cos 800
	
Explicação:
tg (x+k360) = tg x.   
Para  tg ( -1000º) temos então que   -1000 = x + k 360   , donde  x  = -1000 - k360 
No caso de k = - 3 , resulta x = -1000  -  (-3).. 360  = -1000 + 1080 =   80 
Então tg ( -1000º) = tg  80º  
	
	AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES
	Marque a opção correta para o sen105°:
	
	
	
	
	6+22
	
	
	3+12
	
	
	6+2
	
	 
	6+24
	
	
	6 -24
	
	
	
		
	
		2.
		Desenvolver a expressão tg 15º + tg 60º.
	
	
	
	
	V3
	
	
	2 - V3
	
	
	2 + V3
	
	 
	-V3
	
	 
	2
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		3.
		Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma ponte sobre o qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, deverá ser de 5,0m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, deverá ser de 22,5o. A distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa que dará acesso à ponte, medida a partir da margem de outra via, conforme mostra a figura abaixo, deverá ser de:
	
	
	
	
	54(3+1)
	
	
	53(2+1)
	
	
	52(2-1)
	
	 
	5(2+1)
	
	
	53(3-1)
	
	
	
		
	
		4.
		Uma haste de 1 metro é erguida formando um ângulo de 45 graus com sua base horizontal e em seguida é abaixada dessa posição em 30 graus. Qual das expressões abaixo representa a altura final em metros da ponta da haste em relação à sua posição horizontal ?
	
	
	
	 
	(raiz de 2 - 1) / 2
	
	
	(raiz de 3 - raiz de 2) / 2
	
	
	(raiz de 6 + raiz de 2) / 4
	
	
	(raiz de 6 - raiz de 2) / 2
	
	 
	(raiz de 6 - raiz de 2) / 4
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		5.
		Indique a resposta correta para o cálculo do cos 15:
	
	
	
	 
	6-24;
	
	
	6+32;6+24;
	
	
	64;
	
	
	6+34;
	
	
	
		
	
		6.
		Se sen x + cos x = 1 / 2 , então o valor de sen (2x) é:
	
	
	
	
	1/2
	
	
	-2/3
	
	 
	-1/2
	
	
	-1/5
	
	 
	2/5
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		7.
		Considerando o primeiro quadrante, calcular sen 2x quando sen x = 3/5.
	
	
	
	 
	5/4
	
	
	4/5
	
	
	25/24
	
	 
	24/25
	
	
	- 4/5
	
		8.
		Sabendo que sen x - cos x = 0,4; determine sen 2x.
	
	
	
	 
	- 21/25
	
	
	20/21
	
	 
	21/25
	
	
	21/20
	
	
	25/21
	Na simplificação da expressão y = cos 2x - cos² x é representada por:
		
	
	sen x cos x
	
	sen² x
	
	sen x
	
	- sen x
	 
	- sen² x
	
Explicação:
y = cos 2x - cos² x 
Como cos 2a = cos²a ¿ sen²a , substituindo  cos 2x  fica : cos²x ¿ sen²x  - cos² x  =  ¿ sen²x  .
	
	 
	Ref.: 201707816037
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Desenvolver a expressão tg 15º + tg 60º.
		
	 
	2
	
	2 + V3
	
	2 - V3
	
	-V3
	
	V3
	Uma haste de 1 metro é erguida formando um ângulo de 45 graus com sua base horizontal e em seguida é abaixada dessa posição em 30 graus. Qual das expressões abaixo representa a altura final em metros da ponta da haste em relação à sua posição horizontal ?
		
	
	(raiz de 6 - raiz de 2) / 2
	 
	(raiz de 6 - raiz de 2) / 4
	
	(raiz de 3 - raiz de 2) / 2
	 
	(raiz de 2 - 1) / 2
	
	(raiz de 6 + raiz de 2) / 4
	
	
	Utilize a expressão trigonométrica da soma ou da diferença de dois ângulos notáveis e calcule cos 135°.
		
	
	(raiz de 2)/ 2
	 
	- (raiz de 2)/2
	
	-raiz de 2
	
	- 1/2
	
	raiz de 2
	
	
	707816076
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considerando o primeiro quadrante, calcular sen 2x quando sen x = 3/5.
		
	
	- 4/5
	
	5/4
	
	4/5
	
	25/24
	 
	24/25
	
	Se sen x + cos x = 1 / 2 , então o valor de sen (2x) é:
		
	
	-2/3
	
	-1/5
	 
	-1/2
	
	2/5
	
	1/2
	
	
	
	Sabendo que sen x - cos x = 0,4; determine sen 2x.
		
	
	25/21
	
	- 21/25
	 
	21/25
	
	21/20
	
	20/21
AULA 7 – FUNÇÃO CIRCULAR SENO E COSSENO
	Observando o gráfico da função trigonométrica abaixo, é correto afirmar que ele é o grafico representativo da função:
 
		
	 
	seno
	
	cosseno
	
	tangente
	
	cotangente
	
	secante
	
	
	 
	Ref.: 201707121568
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Os corredores balançam seus braços ritmicamente, enquanto correm para frente e para trás, descrevendo uma oscilação completa em 34 do segundo, conforme figura abaixo.
 
O ângulo θ varia em função do tempo t, em segundos, aproximadamente, de acordo com a equação: 
θ=π9sen[8π3(t-34)]
Tomando por base os dados acima, podemos afirmar que o maior valor assumido pelo ângulo θ é:
		
	 
	20o
	 
	15o
	
	30o
	
	45o
	
	25o
	
Explicação:
O maior valor ocorre para o maior valor do seno , que é +1 .  Portanto o maiior valor é  pi/9 .(+1) =  180º /9  =20º .
	
	 
	Ref.: 201707370517
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Numa experiência os resultados y dependem da variável x segundo a função y=200cos4x. Qual o valor de x , de 0 a π, que resulta no valor mínimo de y ?
		
	
	π
	 
	π2
	 
	π4
	
	0
	
	3π4
	
	
	 
	Numa experiência os resultados y dependem da variável x segundo a função y=100sen2x. Qual o valor de x de 0 a π que resulta no valor mínimo de y ?
		
	 
	3π4
	
	π
	
	0
	
	π2
	
	π4
	
	
	 
	Encontre o menor valor que y pode assumir na função y = 1/(3 - cos x) com x real.
		
	
	1/5
	 
	1/4
	
	1/6
	 
	1/2
	
	1/7
	
	Um fenômeno y dependente da variável x se comporta de acordo com a função y = 3 +sen x . Quais os valores máximo e mínimo apresentados pelo fenômeno, respectivamente ?
		
	 
	3 e 2
	 
	4 e 2
	
	3 e -3
	
	1 e -1
	
	4 e 3
	
	
	 
	Suponha que a pressao arterial de uma pessoa no tempo t em segundos seja dados por
P(t)=100+10sen(t)
Com esta informação, encontre o máximo de P (pressao sistólica) e o mínimo valor de P (pressao diastólica).
		
	 
	diastólica 90, sistólica 110.
	 
	diastólica 10, sistólica 150.
	
	diastólica 120, sistólica 150.
	
	diastólica 80, sistólica 90.
	
	diastólica 190, sistólica 110.
	
	
	 
	Determine respectivamente o máximo e o mínimo da função f(x) = 2 - [(3cos4x)/4].
		
	 
	2 e 5/4
	 
	1 e 0
	
	1 e -1
	
	2 e 0
	
	2 e - 3/4
AULA 8 – FUNÇÕES CIRCULARES
	Sendo cos x = 0,8 e x pertencente ao quarto quadrante, determine a 3.cossec x,
		
	
	5
	 
	- 5/3
	
	3
	
	5/3
	 
	-5
	
Explicação:
cossec x=  1 /sen x ....  sen² x  + cos²x  = 1  ...  sen²x  =  1 -  0,64  =  0,36 ...   senx  =  - 0,6 = - 6/10  = = - 3/5   ( quarto quadrante) .
3.cossec x=  3 /sen x = 3.( -5/3 ) = -5 
	
	 
	Ref.: 201707794334
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Analisando a função y = secante x observamos que :
		
	 
	y tem período pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
	y tem período 2pi e seus valores estão limitados ao intervalo fechado [-1, +1]
	
	y tem período 2pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
	y tem período pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	 
	y tem período 2pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
Explicação:
A função secante é o inverso do cosseno e é uma função periódica cujos valores se repetem a  cada período 2 pi .  Como sec = 1/cos , ela tem valores negativos, como o cosseno , para arcos entre pi/2  e 3pi/2, no 2º e  3º quadrantes. O valor máximo -1 ocorre em pi , pois cos pi = -1  e vai tendendo negativamente a menos infinito quando o arco tende a pi/2 ou 3pi/2 , onde o cosseno é zero ..
	
	 
	Ref.: 201707816168
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considerando cos x = 0,25, determine a secante de x.
		
	 
	4
	
	- 4
	
	- 0,25
	
	0,25
	
	1
	
Explicação:
secx = 1/cos x  =  1 / 0,25  = 4  
	
	 
	Ref.: 201707816155
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considerando o segundo quadrante e sabendo que sec x = -2, calcule a tg x.
		
	
	V3
	 
	- V3
	 
	2
	
	-1
	
	3
	
Explicação:
sec x = 1/cos x  =  -2   ...   cos x = -1/2   .   sen² x + cos² x  = 1   ..  sen²x  = 1 - 1/4  =  3/4  ..  senx = +  V3/2  ( positivo no segundo quadrante)  .
Então tg x = sen x  / cos x  =   sen x . sec x   = V3/2 . (-2)  =  -V3  .
	
	 
	Ref.: 201707794442
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Analisando a função y = cotangente x , observamos que:
		
	 
	y tem período pi e será negativa se o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período 2pi e será negativa se o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período 2pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º quadrante.
	 
	y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante ou do 4º quadrante.
	
Explicação:
A função cotangente é o inverso da tangente e é uma função periódica cujos valores se repetem a cada período pi  . Como cotg = 1/tg = cos/sen  , ela só é positiva quando seno e cos tem mesmo sinal , para arcos do 1º e 3º quadrantes , e só é negativa quando seno e cosseno tem sinais contrários,para arcos do 2º e 4º quadrantes.
	
	 
	Ref.: 201707816153
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	considerando o segundo quadrante e sabendo que tg x = -V3 (raiz quadrada de três), calcule a sec x.
		
	
	- V3
	 
	V3
	
	4
	 
	-2
	
	2
	
Explicação:
sec x  = 1/cos x   .. . tgx = senx /cos x  = - V3  ...  senx = -V3cos x  ...   sen²x + cos² x = 1   . .. 
substituindo , fica :   3 cos²x  + cos²x  = 1   ...  4 cos²x  = 1   ... cos² x = 1/4   .. cos x  = - 1/2   pois o arco é do 2º qudrante 
Portanto sec x  = 1/cos x  = - 2.
	
	 
	Ref.: 201707816191
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de y na expressão y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º
		
	
	3
	
	-2
	 
	0
	
	- V3
	
	V3
	
Explicação:
 y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º  ...
cotg 30º =  1/tg 30º =  3/V3 = V3 ...cotg π/2 = 1/ tg 90º =  cos90º / sen 90º = 0 / 1 = 0 ... 
cotg 330º =  cotg ( - 30º) = cos (-30º) / sen(-30º)  = ( V3/2) / (-1/2)    =  ( V3/2) . (-2)  =  -V3  ... .
Então a soma  é  V3 + 0 - V3  =  0
 
	
	 
	Ref.: 201707816097
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Para que valores de x a função f(x) = sec x não é definida?
		
	
	135º e 315º
	 
	180º e 270º
	
	180º , 0º e 360 º
	
	45º e 135º
	 
	90º e 270º
	
	Sendo cos x = 0,8 e x pertencente ao quarto quadrante, determine a 3.cossec x,
		
	
	5
	 
	- 5/3
	
	3
	
	5/3
	 
	-5
	
Explicação:
cossec x=  1 /sen x ....  sen² x  + cos²x  = 1  ...  sen²x  =  1 -  0,64  =  0,36 ...   senx  =  - 0,6 = - 6/10  = = - 3/5   ( quarto quadrante) .
3.cossec x=  3 /sen x = 3.( -5/3 ) = -5 
	
	 
	Ref.: 201707794334
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Analisando a função y = secante x observamos que :
		
	 
	y tem período pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
	y tem período 2pi e seus valores estão limitados ao intervalo fechado [-1, +1]
	
	y tem período 2pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
	y tem período pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	 
	y tem período 2pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
Explicação:
A função secante é o inverso do cosseno e é uma função periódica cujos valores se repetem a  cada período 2 pi .  Como sec = 1/cos , ela tem valores negativos, como o cosseno , para arcos entre pi/2  e 3pi/2, no 2º e  3º quadrantes. O valor máximo -1 ocorre em pi , pois cos pi = -1  e vai tendendo negativamente a menos infinito quando o arco tende a pi/2 ou 3pi/2 , onde o cosseno é zero ..
	
	 
	Ref.: 201707816168
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considerando cos x = 0,25, determine a secante de x.
		
	 
	4
	
	- 4
	
	- 0,25
	
	0,25
	
	1
	
Explicação:
secx = 1/cos x  =  1 / 0,25  = 4  
	
	 
	Ref.: 201707816155
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considerando o segundo quadrante e sabendo que sec x = -2, calcule a tg x.
		
	
	V3
	 
	- V3
	 
	2
	
	-1
	
	3
	
Explicação:
sec x = 1/cos x  =  -2   ...   cos x = -1/2   .   sen² x + cos² x  = 1   ..  sen²x  = 1 - 1/4  =  3/4  ..  senx = +  V3/2  ( positivo no segundo quadrante)  .
Então tg x = sen x  / cos x  =   sen x . sec x   = V3/2 . (-2)  =  -V3  .
	
	 
	Ref.: 201707794442
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Analisando a função y = cotangente x , observamos que:
		
	 
	y tem período pi e será negativa se o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período 2pi e será negativa se o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período 2pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º quadrante.
	 
	y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante ou do 4º quadrante.
	
Explicação:
A função cotangente é o inverso da tangente e é uma função periódica cujos valores se repetem a cada período pi  . Como cotg = 1/tg = cos/sen  , ela só é positiva quando seno e cos tem mesmo sinal , para arcos do 1º e 3º quadrantes , e só é negativa quando seno e cosseno tem sinais contrários,para arcos do 2º e 4º quadrantes.
	
	 
	Ref.: 201707816153
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	considerando o segundo quadrante e sabendo que tg x = -V3 (raiz quadrada de três), calcule a sec x.
		
	
	- V3
	 
	V3
	
	4
	 
	-2
	
	2
	
Explicação:
sec x  = 1/cos x   .. . tgx = senx /cos x  = - V3  ...  senx = -V3cos x  ...   sen²x + cos² x = 1   . .. 
substituindo , fica :   3 cos²x  + cos²x  = 1   ...  4 cos²x  = 1   ... cos² x = 1/4   .. cos x  = - 1/2   pois o arco é do 2º qudrante 
Portanto sec x  = 1/cos x  = - 2.
	
	 
	Ref.: 201707816191
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de y na expressão y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º
		
	
	3
	
	-2
	 
	0
	
	- V3
	
	V3
	
Explicação:
 y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º  ...
cotg 30º =  1/tg 30º =  3/V3 = V3 ... 
cotg π/2 = 1/ tg 90º =  cos90º / sen 90º = 0 / 1 = 0 ... 
cotg 330º =  cotg ( - 30º) = cos (-30º) / sen(-30º)  = ( V3/2) / (-1/2)    =  ( V3/2) . (-2)  =  -V3  ... .
Então a soma  é  V3 + 0 - V3  =  0
 
	
	 
	Ref.: 201707816097
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Para que valores de x a função f(x) = sec x não é definida?
		
	
	135º e 315º
	 
	180º e 270º
	
	180º , 0º e 360 º
	
	45º e 135º
	 
	90º e 270º
	
AULA 9 - FUNÇÃO IDENTIDADE
	Desenvolvendo a expressão sen b . cos (a-b) + cos b . sen (a-b) encontraremos :
		
	
	sen b
	
	cos a
	 
	sen a
	
	cos b
	 
	tg a
	
Explicação:
sen b . cos (a-b)  =   sen b . ( cos a .cos b + sen a. sen b ) =   sen b .cos a .cos b  + sen b .sen a. sen b 
cos b .sen (a - b)  =   cos b . (sen a cos b  -  sen b .cos a )  =  cos b .sen a .cos b  -  cos b. sen b .cos a  
Observando a soma dessas expressões , duas parcelas  se cancelam e  resta apenas : 
sen b .sen a. sen b  +  cos b .sen a cos b  =  sen a ( sen b . sen b  +  cos b. cos b)   =  sen a ( sen²b +  cos² b)  = sen a  .1  = sen a.
	
	 
	Ref.: 201707836778
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Desenvolvendo a expressão (1 + cotg²x) (1-cos²x) encontranos o valor Real igual a :
		
	 
	1/2
	
	-1
	
	1/4
	 
	1
	
	- 1/2
	
Explicação:
1 + cotg²x   = 1  +  (cos²x / sen²x)  =  (sen²x + cos²x ) / sen²x  =  1/ sen²x  ...
1- cos²x  = sen²x ...
Então:  (1 + cotg²x) . (1-cos²x)  =  (1/ sen²x) .  sen²x  = 1 .
 
	
	 
	Ref.: 201707806377
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que tg²x + 1 é igual a:
		
	 
	cossec² x
	
	cos² x
	 
	sec² x
	
	cotg² x
	
	sen² x
	
Explicação:
 tg²x + 1  =  sen²x/ cos²x  + 1   =   [(1 - cos²x  )/cos²x ]  +1    =  [  (1/cos²x ) - (cos²x /cos²x) ] +1  =  sec²x  -1 + 1    =  sec²x ..
	
	 
	Ref.: 201707336246
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A expressão 2tg x / 1+tg²x é idêntica a:
		
	 
	cos (2x)
	
	2 sen x
	
	cos x sen x
	 
	sen (2x)
	
	tg (2x)
	
Explicação:
tg = sen/cos2tg x / 1+tg²x .   e   1+ tg² =  1 + se²n/co²s  = (sen² + cos²)  /cos²   =  1 /cos²  ...
Então:  2tg x / (1+tg²x)   =  2 (sen x / cos x)  . cos²x   = 2 senx  cosx =    sen 2x 
	
	 
	Ref.: 201707669493
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere as afirmações abaixo.
(I)  cosx.tgx.cscx=1
(II) tg2x.csc2x=1+tg2x
(III) tg2x.csc2x=1
Assinale a opção correta.
(Nota: csc= cossecante)
		
	 
	As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa.
	
	A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas.
	
	A afirmação II é verdadeira e as afirmações I e III são falsas.
	 
	Todas as afirmações são verdadeiras.
	
	Todas as afirmações são falsas.
	
Explicação:
(I)  cosx.tgx.cscx =  cos  . (sen/cos) .  (1/ sen)  =  cortando cos e sen =  1 ...  VERDADE
(II) tg2x.csc2x =   (sen²/cos² )  . (1/sen²)  =   cortando sen² = 1/cos² =  
          =  (sen² + cos²) / cos² =   sen²/cos² + cos² /cos² =    tg2x  +1 ... VERDADE .
(III) tg2x.csc2x  , como em (II) não é  = 1   ... FALSO .
 
	
	 
	Ref.: 201707372864
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão sen2x.secxcorresponde a :
		
	 
	2cosx
	 
	2senx
	
	senx
	
	2tgx
	
	cosx
	
Explicação:
  sen2x  = 2 senx cosx  , portanto  sen2x.secx  =  2 senx cosx . (1/cosx)  =  2 senx  
	
	 
	Ref.: 201707121512
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Associe as expressões equivalentes das duas colunas e assinale a alternativa correspondente à associação correta:
	(A)1(cosx)2
	
	(1)(cosx)2+(senx)2cosx
	(B)secx
	
	(2)(tgx)2+1
	(C)(secx)2-1
	
	(3)1
	(D)(cossecx)2-(cotgx)2
	
	(4)(tgx)2
		
	 
	A2, B4, C1, D3
	 
	A2, B1, C4, D3
	
	A2, B1, C3, D4
	
	A2, B3, C4, D1
	
	A3, B1, C4, D2
	
Explicação:
Basta aplicar as fórmulas básicas como : sec = 1/cos , cotg = 1/tg , tg = sen /cos   e sen² + cos² = 1 .
	
	 
	Ref.: 201707786121
		
	
	 8aQuestão
	
	
	
	
	Determine sec x, sabendo que sen x =2ab/(a^2+b^2) .
		
	 
	1 / (a^2 + b^2 )
	 
	(a^2 + b^2) / (a^2 - b^2)
	
	(a^2 - b^2) / (a^2 + b^2)
	
	1 / (a^2 - b^2 )
	
	a^2 + b^2
	A expressão 2tg x / 1+tg²x é idêntica a:
		
	
	tg (2x)
	
	cos (2x)
	
	cos x sen x
	
	2 sen x
	 
	sen (2x)
	
Explicação:
tg = sen/cos2tg x / 1+tg²x .   e   1+ tg² =  1 + se²n/co²s  = (sen² + cos²)  /cos²   =  1 /cos²  ...
Então:  2tg x / (1+tg²x)   =  2 (sen x / cos x)  . cos²x   = 2 senx  cosx =    sen 2x 
	
	 
	Ref.: 201707806399
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Desenvolvendo a expressão cos x . tg x . cossec x encontramos:
		
	
	sen x
	
	1 - sen x
	
	2
	
	1/2
	 
	1
	
Explicação:
cos x . tg x . cossec x    =   cos x  . senx / cosx  . 1/ senx ,  cortando cos x  e sen x  , resulta   =  1 .
	
	 
	Ref.: 201707806393
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que cotg² x + 1 é igual a:
		
	
	sen² x
	 
	cos² x
	
	sec² x
	 
	cosec² x
	
	tg² x
	
Explicação:
cotg² x + 1   =  (cos²x  / sen²x)  + 1   =   [(1 - sen²x) / sen²x ]  +1    =  [  (1/sen²x ) - (sen²x /sen²x) ] +1  =  cosec²x  -1 + 1    =  cosec²x ..
	
	 
	Ref.: 201707806407
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Desenvolvendo a expressão (tg x + 1) ( 1 - tg x) encontramos:
		
	 
	2 + cosec² x
	
	2 + sec² x
	
	2 - Cosec² x
	 
	2 - sec² x
	
	1 - cosec² x
	
Explicação:
(tg x + 1) ( 1 - tg x)   =  ( 1 + tg x) ( 1 - tg x)   =  ( produto notável ) =  1 - tg² x 
tgx = senx / cosx    , então  1 - tg² x  =  1 - (sen²x / cos²x )   e também  sen²x = 1 - cos²x   , então substituindo fica  :
 1 - [ (1 - cos² x ) /cos² x) ]   =   1 -  [ 1/cos²x  - cos²x/cos²x ]   =  1 - sec²x   + 1  =  2 - sec²x 
	
	 
	Ref.: 201707806377
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que tg²x + 1 é igual a:
		
	
	cos² x
	 
	sec² x
	
	cossec² x
	
	cotg² x
	
	sen² x
	
Explicação:
 tg²x + 1  =  sen²x/ cos²x  + 1   =   [(1 - cos²x  )/cos²x ]  +1    =  [  (1/cos²x ) - (cos²x /cos²x) ] +1  =  sec²x  -1 + 1    =  sec²x ..
	
	 
	Ref.: 201707836776
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Desenvolvendo a expressão (1 - sen² x) / (cotg x . senx) podemos reduzi-la a:
		
	 
	cos x
	 
	cotg x
	
	tg x
	
	cossec x
	
	sen x
	
Explicação:
1 - sen² x =  cos²x  ... 
cotg x .senx   =   cos x / senx  . sen x  = cos x ... 
Então (1 - sen² x) / (cotg x . senx)  =  cos²x   / cos x   =  cos x 
 
	
	 
	Ref.: 201707806416
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da expressão sen x . cosec x
		
	
	-1
	 
	2
	
	-1/2
	
	1/2
	 
	1
	
Explicação:
sen x . cosec x =   senx  .  1 /senx  = 1. 
	
	 
	Considere as afirmações abaixo.
(I)  cosx.tgx.cscx=1
(II) tg2x.csc2x=1+tg2x
(III) tg2x.csc2x=1
Assinale a opção correta.
(Nota: csc= cossecante)
		
	 
	As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa.
	
	A expressão 2tg x / 1+tg²x é idêntica a:
	 
	sen (2x)
	
	
	 
	Desenvolvendo a expressão cos x . tg x . cossec x encontramos:
		
	 
	1
	 
	Podemos afirmar que cotg² x + 1 é igual a:
		
	
	sen² x
	 
	cos² x
	
	sec² x
	 
	cosec² x
	
	tg² x
	
Explicação:
cotg² x + 1   =  (cos²x  / sen²x)  + 1   =   [(1 - sen²x) / sen²x ]  +1    =  [  (1/sen²x ) - (sen²x /sen²x) ] +1  =  cosec²x  -1 + 1    =  cosec²x ..
	
	 
	Ref.: 201707806407
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Desenvolvendo a expressão (tg x + 1) ( 1 - tg x) encontramos:
		
	 
	2 + cosec² x
	
	2 + sec² x
	
	2 - Cosec² x
	 
	2 - sec² x
	
	1 - cosec² x
	
Explicação:
(tg x + 1) ( 1 - tg x)   =  ( 1 + tg x) ( 1 - tg x)   =  ( produto notável ) =  1 - tg² x 
tgx = senx / cosx    , então  1 - tg² x  =  1 - (sen²x / cos²x )   e também  sen²x = 1 - cos²x   , então substituindo fica  :
 1 - [ (1 - cos² x ) /cos² x) ]   =   1 -  [ 1/cos²x  - cos²x/cos²x ]   =  1 - sec²x   + 1  =  2 - sec²x 
	
	 
	Podemos afirmar que tg²x + 1 é igual a:
		
	 
	sec² x
	
	 
	Desenvolvendo a expressão (1 - sen² x) / (cotg x . senx) podemos reduzi-la a:
		
	 
	cos x
	 
	Determine o valor da expressão sen x . cosec x
		
	  1
	
	Considere as afirmações abaixo.
(I)  cosx.tgx.cscx=1
(II) tg2x.csc2x=1+tg2x
(III) tg2x.csc2x=1
Assinale a opção correta.
(Nota: csc= cossecante)
		
	 
	As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa.
	
	
	 
	Desenvolvendo a expressão (1 - sen² x) / (cotg x . senx) podemos reduzi-la a:
		
	 
	cos x
	
	
	 
	Podemos afirmar que cotg² x + 1 é igual a:
		
	 
	cosec² x
	
	 
	Determine o valor da expressão sen x . cosec x
		
	
	-1
	 
	1
	
	 
	Desenvolvendo a expressão (tg x + 1) ( 1 - tg x) encontramos:
		
	 
	2 - sec² x
	
	 
	Podemos afirmar que tg²x + 1 é igual a:
	 
	sec² x
	 
	Desenvolvendo a expressão cos x . tg x . cossec x encontramos:
	 
	1
	Dadas as afirmações:
I) sec²x = 1 + tg²x 
II) Cossex² x = 1 - tg² x 
III) sen x + cos x = 1 
 São verdadeiras as equações
	 
	Apenas I
AULA 10 - 
 
	Analise e determine a solução da equação cos x = (sqrt(2) / 2)
		
	 
	S = {x pertence R tal que x = + - (pi /4) + 2 k pi, k pertence a Z}
	
	
	 
	As soluções da equação `2secx - 2cosx = 3`que pertence ao intervalo `(- pi/2,pi/2)` são:
		
	 
	duas
	
	
	 
	Analise e determine a solução da equação cos x = cos (5pi /por 6)
	 
	S = { x pertece R tal que x = + - (5pi/6) + 2 k pi, k pertence Z}
	 
	Resolva a equação trigonométrica tg x + 1 = 0 e determine o conjunto verdade.
		
	 
	V = (x ϵ R| x = 3π/4 + kπ, k ϵ Z}
	 
	Analise e determine a solução da equação sen x = sen (V3/ 2)
	
	 
	S = { x = (π/3) + 2 k π ou x = [(2π/3] + 2kπ, k pertence Z}
	
	
	Resolver a equação tg 2x - V3 = 0 e determinar o conjunto verdade.
	 
	V = (x ϵ R| x = π/6 + kπ/2, k ϵ Z}
	 
	Resolvendo a equação cos x= - `1/2`, obtemos:
		
	 
	`S={ x E R/ x= (2pi)/ 3 + 2kpi ou x=(4 pi)/3 + 2kpi, k E Z}`
	
	
	 
	Analise e determine a solução para a equação elementar
 sen x = ½
		
	 
	S = {x| x pertence R; x =(2k + 1) pi - (pi/6) ou x = 2kpi + (pi/6), k pertence Z}
	
	O número de soluções da equação cosx=56   , com 0<x<π, é:
	 
	1
	 
	Determine as raízes da equação 1 - 4cos²x = 0, compreendidas entre 0 e π. A soma delas é:
		
	
	π/3
	
	Resolver a equação 2 cos 2x - 1 = 0 e determinar seu conjunto verdade.
	 
	V = {x ϵ R| x = π/6 + kπ ou x = 5π/6 + kπ , k ϵZ}
	Analise e determine a solução da equação sen x = sen (π/4)
		
	 
	S = { x pertence R tal que x = π/4 + 2 k π ou x = [3 π/4 + 2 π k, k pertence Z}
	Resolvendo a equação cosx=-22, obtemos:
		
	 
	S={x ∈ Rx=3π4+2kπ ou x=5π4+2kπ,k ∈Z}
	Resolver a equação 2 sen x + 1 = 0 e determinar seu conjunto verdade.
	 
	V = {x ϵ R| x = 7π/6 + 2kπ ou x = 11π/6 + kπ, k ϵ Z }
	Resolvendo a equação cosx=- 32, obtemos:
	 
	S={ x ∈R  tal que x=5π6+2kπ ou x=7π6+2kπ,k ∈Z}
	Achar o conjunto verdade da equação 2 sen 2x - 1 = 0.
		
	 
	V = {x ϵ R| x = π/12 + kπ ou x = 5π/12 + kπ; k ϵ Z}
		Analise e determine a solução para a equação elementar sen x = ½
	
	
	
	 
	S = {x| x pertence R; x =(2k + 1) pi - (pi/6) ou x = 2kpi + (pi/6), k pertence Z}
	
		2.
		Analise e determine a solução da equação cos x = (sqrt(2) / 2)
	
	
	
	 
	S = {x pertence R tal que x = + - (pi /4) + 2 k pi, k pertence a Z}
	
		3.
		Analise e determine a solução da equação cos x = cos (5pi /por 6)
	
	
	
	 
	S = { x pertece R tal que x = + - (5pi/6) + 2 k pi, k pertence Z}
		4.
		Resolva a equação trigonométrica tg x + 1 = 0 e determine o conjunto verdade.
	
	
	
	
	V = (x ϵ R| x = 3π/4 + kπ, k ϵ Z}
	
		5.
		As soluções da equação 2secx-2cosx=3 que pertence ao intervalo
 (-π2,π2) são:
	
	
	
	 
	duas
		6.
		Resolver a equação tg 2x - V3 = 0 e determinar o conjunto verdade.
	
	 
	V = (x ϵ R| x = π/6 + kπ/2,k ϵ Z}
		7.
		Analise e determine a solução da equação sen x = sen (V3/ 2)
	
	
	
	 
	S = { x = (π/3) + 2 k π ou x = [(2π/3] + 2kπ, k pertence Z}
	
		8.
		Resolvendo a equação cos x= - 12, obtemos:
	
	
	 
	S={x E Rx=2π3+2kπ ou x=4π3+2kπ,k E Z}