Matemática financeira_ o que é, conceitos, exemplos - Brasil Escola

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Matemática financeira
Matemática financeira é o campo da matemática que estuda conceitos e ferramentas voltados para o universo monetário.
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A matemática financeira é uma das áreas da matemática responsável por estudar
fenômenos relacionados ao mundo financeiro. Além disso, estudar seus
conceitos faz-se muito importante, uma vez que, em nosso cotidiano, eles estão
cada vez mais presentes, por exemplo, ao recebermos um desconto ao comprar
algo à vista ou um acréscimo ao comprar algo parcelado.
  Estudar matemática financeira requer um conhecimento prévio sobre
porcentagem, veremos que todos os conceitos são baseados nesse tema. 
Leia também: Cálculo de porcentagem com regra de três
Tópicos deste artigo
1 - Para que serve a matemática financeira?
2 - Conceitos básicos da matemática financeira
Acréscimo
Desconto
Juros simples
Juros compostos
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3 - Exercícios resolvidos
Para que serve a matemática financeira?
A matemática financeira é utilizada diariamente, por exemplo, quando vamos realizar uma compra à vista e o vendedor
oferece um desconto de 5% no valor do produto, ou quando optamos em realizar a compra de um produto em parcelas e,
nesse processo, uma taxa de juros é cobrada do comprador ao decorrer do tempo.
Um exemplo da importância de entender-se os conceitos da matemática financeira é o chamado limite de cheque especial.
Ao abrir-se uma conta em determinado banco, é oferecido um dinheiro “extra”, para emergências, por exemplo. Entretanto,
ao usar-se esse limite ou parte dele, é cobrada, além do dinheiro pego, uma taxa a ser paga posteriormente. Essa taxa é
chamada de juros, e, compreendendo melhor esses conceitos, podemos traçar uma melhor estratégia de administração das
finanças.
Exemplo 1
Uma pessoa está precisando de 100 reais para terminar de pagar suas contas mensais, entretanto todo seu salário já foi gasto
com as demais contas. Em analise, essa pessoa verificou que dispunha de duas opções.
Opção 1 – Usar o limite do cheque especial oferecido pelo banco, sob uma taxa de 0,2% ao dia, para ser pago em um mês.
Opção 2 – Pegar com um amigo os 100 reais, sob uma taxa de 2% ao mês, para serem pagos durante dois meses.
Utilizando-nos apenas do conhecimento de porcentagem, vamos analisar qual a melhor opção.
Analisando a opção 1, observe que a taxa de 0,2% é cobrada por dia, ou seja, a cada dia é acrescentado 0,2% do valor do
empréstimo, assim:
Como o empréstimo deve ser pago em um mês, e considerando-se o mês com 30 dias, o valor a ser pago de juros é de:
0,2 · 30
6
Dessa forma, podemos concluir que o valor a ser pago no fim de um mês é de:
100 + 6 = 106 reais
100 → Valor emprestado pelo banco
6 → Valor do juros
Agora analisando-se a opção 2, a taxa cobrada é de 2% ao mês e deve ser paga no período de dois meses, ou seja, a cada
mês, 2% do valor emprestado é acrescido à dívida, assim:
Observe que deve ser acrescido, no valor da dívida, 2 reais por mês:
2 · 2 = 4
Portanto, o valor a ser pago no final do período é de:
100 + 4 = 104 reais
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100 → Valor emprestado pelo amigo
4 → Valor do juros
Assim, podemos concluir que a melhor opção é pegar o dinheiro com o amigo. Essa é uma simples e importante aplicação da
matemática financeira, claro que existem problemas, ferramentas e conceitos mais sofisticados, mas, como tudo na vida,
antes de compreender-se a parte complexa, é necessário entender-se o básico.
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Conceitos básicos da matemática financeira
Os principais conceitos da matemática financeira envolvem o conhecimento prévio sobre porcentagem. Veremos, a seguir,
conceitos como acréscimo, desconto, juros simples e juros compostos.
Acréscimo
A ideia do acréscimo está associada a adicionar ou acrescentar parte do valor a seu valor original, ou seja, adicionamos uma
porcentagem de determinado valor nele mesmo. Veja o exemplo:
Exemplo 2
Um produto custava 35 reais, com o aumento do dólar, ele sofreu um acréscimo de 30%. Determine o novo valor desse
produto.
Muitas vezes, quando vamos fazer as contas relacionadas a acréscimo, elas são executadas de maneira errada escrevendo-se:
35 + 30%
A porcentagem representa parte de algo, assim, para essa conta ficar correta, devemos calcular primeiro 30% do valor inicial,
nesse caso, 35. Assim:
35 + 30% de 35
Resolvendo primeiro a porcentagem e, em seguida, somando os valores, teremos que:
Portanto, com o acréscimo, o valor no produto será de 45,5 reais (quarenta e cinco reais e cinquenta centavos).
De modo geral, podemos deduzir uma fórmula para o acréscimo. Considere um valor x e que ele sofra um acréscimo de p%.
De acordo com o que acabamos de definir, podemos escrever esse acréscimo da seguinte maneira:
x + p% de x
Desenvolvendo essa expressão, teremos que:
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Vamos refazer o exemplo 2 utilizando a fórmula anterior. Observe que x = 35 e que o acréscimo foi de 30%, ou seja, p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Observe que foi obtido o mesmo valor, e é uma opção utilizar tal fórmula.
Veja também: Grandezas inversamente proporcionais
Desconto
A ideia de desconto é similar à ideia de acréscimo, a única diferença é que, em vez de adicionar, devemos subtrair uma
porcentagem do valor original.
Exemplo 3 – Um produto que custa 60 reais, quando comprado à vista, possui um desconto de 30%. Determine o novo
valor desse produto.
De maneira similar ao acréscimo, teremos que:
De modo análogo ao acréscimo, podemos deduzir uma fórmula para o desconto. Considere um valor x e que ele sofra um
desconto de p%. De acordo com que definimos, podemos escrever esse acréscimo da seguinte maneira:
x – p% de x
Desenvolvendoessa expressão, teremos que:
Vamos refazer o exemplo 3 utilizando a fórmula anterior, observe que x = 60 e que o acréscimo foi de 30%, ou seja, p = 30%.
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x · (1 – 0,01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Veja que, utilizando a fórmula, obtivemos o mesmo resultado, assim, no desconto também temos duas opções para
determiná-lo.
Juros simples
A ideia por trás do juros simples também é similar à ideia do acréscimo, a diferença entre eles é dada pelo período em que
são calculados. Enquanto a taxa do acréscimo é aplicada uma vez, a do juros simples é calculada em um intervalo de tempo.
Podemos calcular o juros simples de determinado capital C, aplicado à determinada taxa a regime de juros simples (i), em um
determinado período de tempo t, pela fórmula:
J = C · i · t
O valor pago ao final dessa aplicação deve ser dado pelo dinheiro aplicado mais o valor do juros e recebe o nome de
montante (M). O montante é dado pela expressão:
M = C + J
M = C + C · i · t
M = C (1 + it)
A única preocupação que devemos ter em relação a problemas envolvendo juros simples é com as unidades de medida de
taxa e tempo, elas devem sempre estar em unidades iguais.
Exemplo 4
Marta deseja aplicar R$ 6000 em uma empresa que promete gerar lucros de 20% ao ano sob regime de juros simples. O
contrato feito por Marta afirma que ela só pode tirar o dinheiro após seis meses, determine qual foi o rendimento de seu
dinheiro no final desse período.
Observando o enunciado, veja que o capital é igual a 6000, logo, temos que C = 6000. A taxa de juros é de 20% ao ano, e o
dinheiro ficará aplicado durante seis meses. Observe que a taxa foi dada ao ano, e a do tempo, em meses, e sabemos que a
unidade de medida de ambas devem ser a mesma. Vamos encontrar o valor mensal da taxa, veja:
Sabemos que a taxa é de 20% ao ano, como um ano tem 12 meses, logo, a taxa mensal será de:
20% : 12
1,66% ao mês
0,016 ao mês
Substituindo esses dados na fórmula, temos que:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reais
Portando, o valor a ser retirado no fim dos seis meses é de 576 reais, e o montante é de:
M = 6000 + 576
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M = 6576 reais
Leia mais: Noções sobre utilização de uma calculadora financeira
Juros compostos
No juros simples, o valor da taxa de juros é sempre calculado em cima do capital inicial, a diferença entre esses dois sistemas
(juros simples e compostos) está justamente nesse ponto, ou seja, na forma como a taxa é calculada. No juros composto, a
taxa de juros é sempre calculada em cima do capital do mês anterior, isso faz com que o juros aumente de maneira
exponencial seu valor. A fórmula para calcular-se o juros no sistema de amortização de juros compostos é dada por:
M = C · (1 + i)t
Em que M é o montante acumulado, C é o valor do capital inicial, i é a taxa de juros dada em porcentagem, e t é o período
no qual o capital ficou aplicado no sistema. Da mesma forma que no juros simples, no sistema de juros compostos, a taxa e o
tempo devem ficar na mesma unidade.
Exemplo 5
Calcule o valor do montante que Marta recolheria no final dos seis meses ao aplicar seus 6000 reais sob taxa de juros de 20%
ao ano no regime de juros compostos.
(Dado: 1,20,5 ≈ 1,095)
Observe que os dados são os mesmos do exemplo 4, logo, temos que:
C = 6000
i = 0,2 a.a
t = 0,5 anos
Substituindo os dados na fórmula de juros compostos, temos que:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1,095
M = 6572,67 reais
Portanto, o montante a ser retirado por Marta no sistema de juros simples é de 6572, 67 reais. Veja que o montante no
sistema de juros compostos é maior que no de juros simples, e isso ocorre em todos os casos. Para compreender melhor
como é o cálculo dessa taxa, acesse: Juros compostos.
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A matemática financeira envolve conhecimentos para lidar com questões relacionadas ao dinheiro.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (FGV – SP) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em:
a) 75 meses
b) 80 meses
c) 85 meses
d) 90 meses
e) 95 meses
Resolução
Alternativa B.
Devemos encontrar o tempo em que o juros seja igual a 2C, uma vez que, com o juros dessa forma junto ao capital aplicado
inicialmente de C, teremos o montante de 3C (triplo do capital). Assim:
J = 2C; C = C; i = 2,5% ao mês; t = ?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Assim, o tempo para que esse capital triplique é de 80 meses.
Observação: 80 meses equivale a 6,6 anos.
Questão 2 – Uma mercadoria, após sofrer um amento de 24%, teve seu preço alterado para 1041,60 reais. Determine o valor
antes do acréscimo.
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Resolução
Podemos utilizar a fórmula geral do acréscimo para determinar o valor da mercadoria antes do acréscimo.
x · (1 + 0,01p)
Na fórmula, o valor x é o que buscamos e p é o valor do acréscimo, e essa expressão fornece-nos o valor do produto após o
acréscimo, logo:
1041,60 = x · (1 + 0,01p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Veja que temos uma equação do primeiro grau, para resolvê-la, devemos isolar a incógnita x, dividindo ambos lados da
igualdade por 1,24, ou, simplesmente, passar o 1,24 dividindo. Assim:
Portanto, o valor da mercadoria antes do acréscimo era de 840 reais.
 
Por Robson Luiz
Professor de Matemática     
Videoaulas
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou
acadêmico? Veja:
LUIZ, Robson. "Matemática financeira"; Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm.
Acesso em 30 de abril de 2023.
Vídeos
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Exercício 1 Ver Todos
(FGV-SP)
Uma empresa desconta do salário anual de seus funcionários certa porcentagem para um
plano de previdência privada. O desconto é de p% sobre             R$ 28.000,00 de renda anual,
mais (p + 2)% sobre o montante anual do salário que excede R$ 28.000,00. João teve
desconto total de (p + 0,25)% do seu salário anual para o plano de previdência privada. O
salário anual de João, em reais, sem o desconto do plano de previdência é:
a) 28.000,00.
b) 32.000,00.
c) 35.000,00.
d) 42.000,00.
e) 56.000,00.
 
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Dividindo proporcionalmente lucros e receitas.
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Aprenda a utilizar a regra de três composta para encontrar valores desconhecidos e problemas com três ou quatro grandezas.
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