EP 11- 2023-1-Gabarito

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EP 11 - Gabarito 
 
Exercícios: 
1) Se U = N (conjunto dos números naturais), qual é o conjunto solução das equações 
abaixo? 
Solução: 
a) -8x = -20  x = N===
−
−
5,2
2
5
8
20
8
20
  S = {} (conjunto vazio) 
b) 
3
1
x = 6  x = 6 3 x = 18  S = { 18} 
c) 4
2
1
=
−
x  -x = 8  x = -8 N  S = {} 
d) 14x = -49  x = 
2
7
14
49 −
=
−
 N  S = {} 
Qual é o conjunto solução dessas mesmas equações se U = Z (conjunto dos números 
inteiros)? 
E se U = Q ( conjunto dos números racionais)? 
 
Se U = Z temos: 
(a) S = {}, (b) S = {18}, (c) S = {-8} e (d) S = {} 
 
Se U = Q temos: 
 (a) S = { 2,5}, (b) S = {18}, (c) S = {-8} e (d) S = 





−
2
7
 ou S = {-3,5} 
 
2) Verifique se 3 é raiz da equação: 
 x (x - 1) = (x – 1) (x + 3). 
 
Solução: 
Substituindo 3 na variável x obtemos: 
3(3 - 1) = (3 - 1) (3 + 3) 3 2 = 2 6  6 = 12 Sentença falsa 
Logo 3 não é raiz desta equação. 
3) Resolva as equações abaixo: 
 
Solução: 
a) 5 – 2x = -13 
 -2x = -13 -5  -2x = -18  x = 9
2
18
=
−
−
 Logo: S = {9} 
 
b) x – 
5
14
 = 7,2 – 2x 
 x + 2x = 7,2 + 
5
14
  3x = 
3
10
103
10
100
3
10
2872
5
14
10
72
===
+
=+ xxx 
Logo S = 






3
10
 
 
c) 2( x + 1) + 5(x -1) = 7 
 2x + 2 + 5x – 5 = 7  2x + 5x = 7 – 2 + 5  7x = 10  x = 
7
10
 
Logo S = 






7
10
 
 
d) 
𝑥
5
− 
1−𝑥
3
= 
2𝑥−1
2
− 1 
 
Temos que o m.m.c. (5, 3, 2) = 30 
Daí, 
𝑥
5
− 
1−𝑥
3
= 
2𝑥−1
2
− 1 ↔ 
6𝑥
30
 − 
10(1−𝑥)
30
= 
15(2𝑥−1)
30
 − 
30
30
 
Abandonando os denominadores temos: 6x - 10(1 - x) = 15(2x - 1) – 30 
 Atenção aos sinais! 
O sinal de menos na frente do parênteses troca os sinais dos resultados das multiplicações. 
Então temos: 6x -10 + 10x = 30x -15 -30 
 
Donde: 16x -30x = -45 + 10 → −14𝑥 = −35 → 𝑥 =
−35
−14
=
35:7
14:7
= 
5
2
 
Logo S = 






2
5
 
 
e) 
5
72
2
1 +
=
− xx
 
5 (x – 1) = 2 ( 2x + 7) 
5x – 5 = 4x + 14  5x – 4x = 14 + 5  x = 1 
Logo S = {19} 
 
f) 1
62
9²
=
+
−
x
x
 
1
)3(2
)3)(3(
=
+
+−
x
xx
  x – 3 = 2  x = 2 + 3 x = 5 
Logo S = { 5 }. 
 
4) Encontre os valores reais de x que resolvem cada uma das equações abaixo: 
Solução: 
 
a) 
243
1
3 2 =−x 
243
1
3 2 =−x  52
5
2 33
3
1
3 −−− == xx 
Resolvendo esta equações exponencial encontraremos o valor de x procurado. 
 
Logo devemos ter: x – 2 = -5 x = -5 + 2  x = -3 
 
b) 
 ↔ 4𝑥 =
1
2√8
 ↔ 4𝑥 =
1
2√4×2
 ↔ 4𝑥 =
1
2×2√2
 ↔ 4𝑥 =
1
2
2+
1
2
 ↔ 
(22)𝑥 =
1
2
5
2
 ↔ 22𝑥 = 2−
5
2 
Logo devemos ter: 2𝑥 = −
5
2
→ 𝑥 = −
5
4
 
 
c) 
 . Resolvendo a equação exponencial obtemos: 
 -2x = 6 
d) Elevando ambos os lados a 1/5 obtemos: 
x=64log
25,0
626 2)2(2
4
1
64)25,0( ==





= − x
x
x
62 22 = − x
3
2
6
−=
−
= x
532log =
x
325 = x
 
NOTE QUE aqui não temos uma equação exponencial. 
 
e) 
Resolvendo a equação exponencial obtemos: 3x = 9 
 
5) Sabendo que log 2 ≅ 0,3010 e sabendo que log 𝑎 = log10 𝑎 encontre um valor 
aproximado para x que torne cada uma das igualdades verdadeiras. 
 
a) 510 =x 
Solução: 
 
Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os lados da igualdade acima, obtemos: 
510 loglog =x 
Aplicando propriedade de logaritmo fica: 
510 loglog =x 
Como a base do logaritmo é 10 temos 110log = e portanto: 
5log=x 
Como log 2 ≅ 0,3010 então usando propriedade de logaritmo podemos calcular o 
valor de x, pois 5 = 
𝟏𝟎
𝟐
. 
 
Logo, 5log=x = log
10
2
= log 10 − log 2 ≅ 1 − 0,3010 ≅ 0,699 
 
 
b) 1002 =x 
Solução: 
 
Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os lados da igualdade acima, obtemos: 
1002 loglog =x 
Aplicando propriedade de logaritmo fica: (*) 
 
1002 loglog =x (*) 
 
Como log 2 ≅ 0,3010 e 2100log = pois 10
2 = 100, substituindo estes valores na 
igualdade (*), obtemos: x × 0,3010 ≅ 2 
Logo: 𝑥 ≅
2
0,3010
≅ 6,645 
23232)( 55
1
5
1
5 === xxx
x=512log
8
9393 222)2(5128 === xxx
3
3
9
== xx
1002 loglog =x