Aula 12-2021-1

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Equações - Incógnitas 
 Uma equação é uma sentença aberta expressa por uma igualdade entre duas 
expressões algébricas. 
Exemplos: 
3x + 5 = 11 
2(x + 1) – 3(x – 1) = 5 (x + 1) 
4
3
2 +=+ x
x
x 
Cada uma das letras que aparecem em uma equação é chamada variável ou incógnita. 
Nos exemplos acima só há uma incógnita: x. 
 
Conjunto Universo 
 O conjunto U cujos elementos servem para substituir a variável de uma equação 
é chamado conjunto universo. 
 
Exemplos: 
Na equação 3x + 5 =11, o conjunto U = R. (Isto significa que podemos substituir a variável 
por qualquer número real) 
Na equação 4
3
2 +=+ x
x
x , o conjunto U = R – {0}= R

. (Isto significa que podemos 
substituir a variável por qualquer número real com exceção do zero) 
 
 
AULA 
12 
Equações do Primeiro grau com uma variável 
 e 
Equações exponenciais simples 
2 
 
Conjunto solução (S) ou Conjunto verdade (V) - Raiz 
 O subconjunto S do conjunto-universo U, formado pelos valores da variável para 
os quais a equação é uma sentença verdadeira, é chamado conjunto solução ou conjunto 
verdade da equação em U. Cada um dos elementos do conjunto solução de uma equação 
é chamado raiz da equação. 
Exemplos: 
Na equação 3x + 5 = 11 temos S = {2}. 
2 é raiz pois 3 × 2 + 5 = 6 + 5 = 11 é uma sentença verdadeira. 
 
Na equação 4
3
2 +=+ x
x
x temos S = {1, 3}. 
1 e 3 são raízes pois 43
3
3
3241
1
3
12 +=++=+ e são sentenças verdadeiras. 
 
Equações do primeiro grau - definição 
Uma equação com uma incógnita x e conjunto universo R é denominada equação do 
primeiro grau se pode ser reduzida por operações elementares a forma bxa = , onde a 
e b são números reais e a 0. 
Na equação bxa = temos: 
• x é a incógnita 
• a é denominado coeficiente 
• b é o termo independente 
 
 
Exemplos: 
3x = 6 
3x + 5 = 11 
3 
 
3x + 7 = 2x + 1 
2(x + 1) – 3 ( x -1) = 5(x + 1) 
São exemplos de equações do primeiro grau. 
 
Equações do primeiro grau - resolução 
Resolver uma equação do 1º grau é encontrar as raízes desta equação; ou seja, o conjunto 
solução. 
Exemplo 1: Resolver a equação 3x – 1 = 14 
Solução: 
3x – 1 = 14 
3x – 1 + 1 = 14 + 1 ( adicionamos 1 aos dois membros da equação) 
3x + 0 = 15 
3x = 15 ( usamos o fato do zero ser elemento neutro da adição) 

3
1
3x = 
3
1
15 ( multiplicamos os dois membros da equação por 
3
1
) 
x = 5 
Logo S = { 5 } 
Podemos omitir algumas etapas acima: 
3x – 1 = 14 Isolando a variável x no lado esquerdo obtemos: 
3x = 14 + 1 
3x = 15 
x = 
3
1
15 
x = 5 
 
4 
 
Exemplo 2: Resolver a equação 4x + 7 = x – 8 
Solução: 
4x + 7 = x – 8 
4x – x = - 8 – 7 
3x = - 15 
 x = 
3
15−
 
x = -5 
Logo S = { -5 } 
 
Exemplo 3: Resolver a equação 2(x + 1) – 3(x – 1) = 5(x + 1) 
Solução: 
2(x + 1) – 3(x – 1) = 5(x + 1) 
2x + 2 – 3x + 3 = 5x + 5 Atenção aos sinais! O sinal de menos na frente do parênteses 
2x – 3x -5x = 5 – 2 – 3 troca os sinais dos resultados das multiplicações. 
-6x = 0 
x = 
6
0
−
 
x = 0 
Logo S = { 0 } 
 
Exemplo 4: Resolver a equação 6
3
2
2
1
=
+
+
− xx
 
Solução: 
Para resolver esta equação precisamos encontrar o m.m.c (2,3) que é 6 para igualar os 
denominadores. Assim temos: 
5 
 
6
3
2
2
1
=
+
+
− xx
 
6
66
6
)2(2
6
)1(3 
=
+
+
−

xx
 (Abandonamos os denominadores) 
36)2(2)1(3 =++− xx  3x – 3 + 2x + 4 = 36  5x + 1 = 36  5x = 36-1 
 5x = 35  x = 
5
35
  x = 7 Logo S = { 7 } 
Exemplo 5: Resolver a equação 
4
75
=
+
x
x
 
Solução: 
Note que: U = R – {0} 
4
75
=
+
x
x
 
4 (x + 5) = 7 x 
4x + 20 = 7x 
4x – 7x = -20 → -3x = -20 → x = 
3
20
−
−
 
3
20
= x 
Logo S = 






3
20
 
 
 
Equação Exponencial 
Equação exponencial é toda equação que apresenta a variável (ou incógnita) no expoente 
de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1. 
 
Exemplos: 
255 =x 
639 2 =− xx 
 
6 
 
Como resolver uma equação exponencial? 
Basicamente usamos a seguinte propriedade: 
Dado a > 0 e a  1 temos: 
 
 (*) 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo: Resolver em R a equação exponencial 3264 =x . 
Decompondo em fatores primos os números 64 e 32 obtemos: 
56 232264 == e . Assim substituindo na equação temos: 
6
5
56222)2( 5656 ==== xxxx 
 (*) 
O conjunto solução da equação é S = 






6
5
. 
Note que, neste exemplo, ao aplicarmos a propriedade de potência (*) obtemos uma 
equação do primeiro grau na variável x. 
 
Exemplo: Determine o valor real de x que resolve a seguinte equação: 
27
9
1
2
=





− x
. 
Decompondo em fatores primos os números 27 e 9, e em seguida aplicando propriedades 
de potências, obtemos: 
27
9
1
2
=





− x
  ( ) 3243223
2
2
33333
3
1
===




 +−−−
−
xx
x
 (*) 
 
 yxaa yx == 
 
7 
 
Como as bases são iguais temos expoentes iguais: - 4 + 2x = 3 
Assim, basta resolver esta equação do primeiro grau que encontraremos o valor de x 
procurado. 
Logo: 2x = 3 + 4  2x = 7  x = 
2
7
 
Portanto o conjunto solução desta equação em R é S = 






2
7
. 
 
Observação: Muitas vezes para calcular o logaritmo precisamos resolver uma equação 
exponencial. Veja o exemplo abaixo: 
Exemplo: Calcule o valor de x tal que x=
125
1
log
25
. 
Solução: 
Sabemos pela definição de logaritmo que: 
125
1
25
125
1
log
25
== xx 
Resolvendo a equação exponencial obtemos: 
2
3
32555)5( 3232 −=−=== −− xxxx 
 (*) 
Assim, 
2
3
125
1
log
25
−= . 
 
 No próximo exemplo vamos mostrar que também podemos fazer o inverso, isto é, 
usar o logaritmo para resolver uma equação exponencial. 
 
Exemplo: Considerando log 2 ≅ 0,301 e sabendo que log 𝑎 = log10 𝑎 , calcule um 
valor aproximado para x na equação 10𝑥 =
1
8
 . 
8 
 
Solução: 
Aplicando logaritmo de base 10 a ambos os lados da equação exponencial dada, 
obtemos: 
log 10𝑥 = log
1
8
 ↔ log 10𝑥 = log
1
23
 ↔ log 10𝑥 = log 2−3 
Aplicando propriedade de logaritmo obtemos: 
𝑥 log 10 = −3 log 2 
Como log 10 = 1 e log 2 ≅ 0,301 fica: 𝑥 ≅ −3 × 0,301 = −0,903