AULA 2 - ANALISE DE SINAIS

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Análise de Sinais
Prof. Jordan Paiva
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Introdução - Sistema de Comunicação 
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Componentes de um Sistema de Comunicação
Fonte de informação;
Transmissor;
Canal;
Receptor;
Destino.
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Exercício 1
Identifique um exemplo de um sistema de comunicação. Faça o diagrama em blocos e indique qual o meio de transmissão.
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Introdução - Fundamentos de Transmissão
Domínio do Tempo - análise em função do tempo. Pode-se classificar os sinais em analógicos e digitais;
Sinais analógicos - variação contínua em função do tempo. Ex: voz, música, etc;
Sinais digitais - variação discreta em função do tempo. Ex: transmissão de dados através de bits 1s e 0s;
Para alguns tipos de análise o tempo não é a melhor forma para observar as características dos sinais.
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Introdução - Domínio do Tempo
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Exercício 2
Quantos níveis são possíveis em um sinal analógico?
Quantos níveis são possíveis num trem de bits digital?
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Introdução - Sinais Periódicos
O sinal mais simples em sistemas de comunicação é o Periódico, que se repete periodicamente. Ex: sinal de clock de um computador;
Definições importantes de sinais periódicos, como por exemplo o seno:
Amplitude;
Freqüência;
Fase;
Se um sinal não se repete ele é chamado de não periódico. Ex: informação transmitida entre computadores, voz, música, etc.
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Sinais periódicos
Um sinal periódico obedece a seguinte equação:
 s(t +T ) = s(t ) 	-< t < +
 Onde T é o período
Ou seja, a cada período T o sinal se repete;
A próxima figura mostra exemplos de de dois sinais periódicos.
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Sinais periódicos
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Exercício 3
Qual o período da tensão da rede de 60 Hz?
Qual o período da portadora de uma WLAN em 2,4 GHz?
Qual o período da portadora de uma WLAN em 5,8 GHz?
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Parâmetros de Sinais Periódicos
Período (T ) – tempo de repetição do sinal:
T = 1/f;
f = freqüência da fundamental;
Fase () – medida relativa da posição temporal de um sinal, em função do eixo y ou outro sinal;
Comprimento de onda () - distância ocupada por um ciclo do sinal no espaço;
Ou, a distância entre dois pontos correspondentes de dois ciclos consecutivos. 
Onde C é a velocidade da luz (3x108 m/s) e f a freqüência
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Exemplo
Calcule o comprimento de onda de uma WLAN operando na freqüência de 2,4 GHz.
Antena
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Seno – elemento fundamental
Forma geral de um seno:
s(t ) = A sin(2ft + )
A Figura do seno mostra a variação de cada parâmetro:
(a) A = 1, f = 1 Hz,  = 0; assim T = 1s
(b) Reduzindo o valor de pico; A=0.5
(c) Aumentando a freqüência; f = 2, assim T = ½
(d) Alterando a fase;  = /4 radianos (45 graus) 
Notar: 2 radianos = 360° = 1 período;
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Alteração das grandezas de um seno
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Alteração de Fase
O que é variação de fase;
Mesma amplitude e mesma freqüência;
Deslocamento temporal;
Alteração de fase permite várias aplicações.
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Defasagem entre dois sinais
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Exercício 4
Escreva a equação de uma senoidal com amplitude de 4 volts, freqüência de1 kHz e fase de /4 em relação a uma senoide.
Desenhe este sinal
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Exercício 5
Seja uma portadora (seno) de uma WLAN com freqüência 2,4 GHz. Encontrar:
Mostre um ciclo desta portadora
Mostre esta portadora atrasado de 45 graus
Encontre o período
Encontre o comprimento de onda
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Tempo x Freqüência
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Exercício 6
Escolha uma rádio FM de sua preferência e especifique sua localização em função do período no lugar da freqüência.
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Análise de Fourier
A relação entre o domínio do tempo;
A ferramenta é chamada de transformada de Fourier;
Propriedades de relação entre tempo e freqüência.
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Análise de Fourier
A análise de Fourrier – relação tempo/freqüência;
Análise de Fourrier se fundamenta na representação de um sinal qualquer por soma de senos e co-senos;
Importância da componente fundamental;
Exemplo da representação de um sinal pela soma de senos
Observar a alteração da freqüência e amplitude.
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Soma da Fundamental com Terceira Harmônica
Fundamental
Terceira harmônica
Soma da fundamental
com a terceira harmônica
Volta
Simular
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Soma da Fundamental com Terceira Harmônica
Fundamental
Terceira Harmônica
Soma
1
1/3
1
1/3
Freqüência
Freqüência
Freqüência
Amplitude
Amplitude
Amplitude
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Exercício 7
Encontre a fundamental e terceira harmônica de um clock de um computador de 3 GHz.
Mostre a soma das duas componentes harmônicas considerando uma amplitude de 1 volt para a fundamental. Mostre os valores nas escalas X e Y do espectro de freqüência.
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Exercício 8
Faça simulação das seguintes situações com a ferramenta do Excel:
Primeiro
Fundamental 1 volt
Terceira harmônica 1 volt
Segundo
Fundamental 0 graus
Terceira harmônica /4
Comente o resultados das simulações.
Simulador de soma de senos
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Pontos Importantes
Componentes harmônicas são múltiplas da fundamental;
Sinais simétricos no tempo não possuem componentes pares;
A amplitude e a fase das componentes harmônicas estão amarradas na análise de Fourier;
No domínio da freqüência encontramos quanto de faixa um sinal precisa.
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Pontos Importantes
São necessárias infinitas componentes para representar um sinal;
Um parâmetro muito importante em transmissão digital é a banda ocupada;
Banda (Bandwidth), ocupada pelo sinal anterior BW=3f-f=2f;
Dependendo do formato da onda original haverá alteração do espectro.
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Relação Banda x Taxa
Lembre-se que quanto mais componentes harmônicas mais faixa é ocupada;
Porém, mais componentes harmônicas melhor aproximação pela representação utilizando a análise de Fourier; 
Expressão para representar uma onda quadrada por soma de senos:
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Componentes de Freqüência
Fundamental
terceira harmônica
quinta harmônica
Fundamental +
terceira harmônica +
quinta harmônica +
sétima harmônica
Simular
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Exercício 9
Utilize o simulador para avaliar o quão próximo da onda quadrada se fica quando somamos até a nona harmônica;
Comente o que significa análise de Fourier utilizando a ferramenta de simulação.
Simulador
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 Algumas Definições
Freqüência Fundamental;
Espectro;
Largura de Faixa Absoluta;
Largura de Faixa Efetiva;
A faixa necessária indica o espectro que será ocupado.
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Exercício 10
Seja um clock de 100 MHz e A=1. Encontre:
Período
Freqüência e amplitude da fundamental
Freqüência e amplitude da terceira harmônica
Freqüência e amplitude da nona harmônica
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Relação entre BW e Taxa de Dados
Quanto mais faixa de freqüência, maior a capacidade de transmissão;
Quanto mais componentes harmônicas, mais perfeita a representação;
Porém ocasiona a necessidade de mais banda para transmissão;
Exemplo da transmissão da seqüência 01010101...;
A duração de cada bit será 1/2f; 
Taxa de 2f bits por segundo;
Por exemplo para f=1 Hz temos a taxa de 2 bits transmitidos a cada segundo.
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Relação Banda x Taxa
Infinitas componentes necessitam de faixa infinita;
Pouco peso para componentes de altas ordens;
Qual o problema em não considerar as componentes de mais alta ordem?
Ou seja, qual o problema em filtrar o sinal, eliminando componentes harmônicas?
A resposta é: o problema é ter a capacidade na recepção de identificar se foi transmitido o bit 1 ou 0. 
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 Exemplos de transmissão de um trem de bits
Um caso real: Seja o seguinte trem de bits a ser transmitido
Pergunta: Qual a faixa necessária?
Primeiro deve-se fazer a análise de Fourier;
Quanto mais detalhes devem ser preservado mais componentes harmônicas devem ser preservadas;
Observar que a média do sinal é 0,5 volts.
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Sinais no Tempo e na Freqüência
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Relação Banda x Taxa
Uma senoide não leva informação pois é periódica;
Relação da Banda x Taxa para uma banda de 4 MHz três situações:
I – Seja um sinal com harmônicas 1, 3 e 5;
Suponha que a fundamental tenha 1 MHz;
A faixa ocupada será 4 MHz;
A taxa R=2f=2Mbps;
II - Dobrando a faixa para 8 MHz também dobramos a taxa para 4 Mbps;
III - considerando agora as harmônicas 1 e 3 somente, obtemos também a mesma taxa
de 4 Mbps do caso II; 
Observar que o sinal estará mais distorcido! 
Qual o feito disto?
No segundo caso o receptor será mais sofisticado.
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Análise de Transmissão Digital
A duração do bit determina a faixa ocupada;
Nesta figura o bit 0 é representado pelo nível 0 e o bit 1 é representado pelo nível A;
Necessidade de determinar a banda necessária para transmissão
Observar que o ponto de nulo sempre estará presente em transmissão digital e será um referencial de faixa ocupada.
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Espectro de um Trem de Bits
Domínio do
Tempo
Domínio da
Frequência
Observe as
componentes
harmônicas
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Análise da TX Digital
Tempo
Freqüência
Primeiro
nulo
não muda.
Depende
da duração
do bit
Aumento
do período
sem alterar
a duração do
pulso
A taxa é o
inverso da
duração do
bit
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Tamanho do Bit Versus Largura de Faixa Ocupada
Relação da duração do bit e faixa de freqüência ocupada
1 segundo
0,001 segundo
0,000001 segundo
1Hz
1000 Hz
1000000 Hz
1 bps
1000 bps
1000000 bps
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Exemplo de Filtragem de 1 Bit
O canal provoca
uma distorção
no bit transmitido
Transmissão
de um bit
Interferência
entre os bits
Transmissão
de vários bits
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Aumento de Taxa
Exemplo de aumento da freqüência e conseqüente aumento da ocupação de espectro e a limitação causada por um canal limitado em faixa:
Distorção
com aumento
da taxa
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Pontos Importantes
Sinais digitais possuem banda infinitas;
Filtragem é necessária;
Na filtragem são retiradas componentes harmônicas;
Quanto mais faixa ocupada maior o custo;
Compromisso entre faixa x taxa;
Exemplos: WLAN – IEEE 802.11b e IEEE 802.11g.
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Tempo x Espaço
Observar um sinal do tempo;
Observar um sinal no espaço;
Importante para avaliar propagação de sinais.
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Capacidade do Canal
Defini-se a Capacidade do Canal, que é a máxima taxa que pode ser transmitida;
A questão é: dado um meio, que possui ruído, qual a maior taxa possível?
Quatro conceitos:
Taxa: número de bits transmitidos por segundo [bps];
Banda: faixa ocupada para transmitir [Hz];
Ruído: nível médio do ruído adicionado no processo de transmissão;
Taxa de erro: taxa de ocorrência de erro.
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Capacidade do Canal
Compromisso entre banda e taxa;
Uma faixa de B Hz permite uma taxa de R=2B Hz;
Sinais digitais multi-níveis para economia de faixa;
Para sinais multi-nível a taxa é calculada pela expressão:
Onde M é o número de níveis.
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Capacidade do Canal
Cada nível representa vários bits;
Vários níveis levam à economia de faixa de transmissão;
Exemplo: para M=8 níveis, onde cada nível representa 3 bits, um canal com banda B=3100 Hz a capacidade será C=18600 bps;
Utilizar vários níveis diminui desempenho:
Número de Níveis
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Exemplo 8-ary
Dados binários
Sinal multinível
onde cada nível
representa 3 bits
Transmissão 
Com maior taxa
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Algumas Considerações
Dobrando a faixa dobramos a taxa;
Qual o efeito do ruído?
O ruído corrompe o sinal causando erro na recepção;
Com ruído maior taxa tem maior taxa de erro.
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Fórmula de Capacidade de Shannon
Fórmula de Shannon relaciona capacidade, faixa e relação sinal ruído:
Onde C é a capacidade em bits por segundo, B é a faixa ocupada ( também chamada de BW que significa Band Width) e SNR é a relação entre a potência de sinal e a potência de ruído.
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Exemplo
Seja um espectro entre 3 e 4 MHz e SNRdB=24 dB;
A faixa disponível será B=4-3=1 MHz;
SNR=251=10(24/10);
A capacidade será C=106 log2(1+251)=8Mbps
Ou seja, em 1 MHz de faixa podemos transmitir como limite superior C=8Mbps;
Este valor não poderá ser atingido pois implicaria num receptor com complexidade infinita;
Supondo que poderia se atingida esta taxa podemos calcular o número de níveis utilizando a fórmula de Nyquist: 8x106=2x(106)xlog2M => M=16
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Exercício 11
Qual a banda necessária para transmissão de um sinal com taxa de 11 Mbps e relação sinal ruído de 20 dB?
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Exercício 12
Análise de sinais. X=5 e Y=1
Plotar no tempo e na freqüência um seno com freqüência X kHz em amplitude Y volts mostrando período, freqüência e amplitude, nos dois domínios.
Qual a faixa que este seno ocupa? Explique.
Plotar no tempo este seno atrasado de 180 graus. Em qual função se transformou? 
Se somarmos este seno deslocado com o seno do do item (a) o que acontece? Explique.
Plotar no tempo uma onda quadrada (clock) com freqüência X MHz e amplitude Y volts.
Plote o espectro desta onda quadrada do item (e) até a 7 harmônica. Mostre o cálculo dos coeficientes.
Qual a faixa que este sinal ocupa? Explique indicando no gráfico do item (f).
Qual a taxa de transmissão em bps caso fosse utilizado o clock da letra (e)? Explique.
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Exercício Geral 13
Cálculo de faixa ocupada.
Para uma taxa de dados como Y bps, qual a faixa para uma transmissão binária?
Para um sinal multi-nível com 8 níveis e mesma faixa encontrada no item (a) qual a taxa?
Explique porque foi possível aumentar a taxa sem aumentar a faixa ocupada.
Mostre vantagens e desvantagens deste procedimento.
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Exercício Geral 14
Capacidade de canal. 
Seja um espectro entre X MHz e 3.X MHz. Qual a faixa ocupada?
Para uma relação Y vezes entre sinal e ruído, qual esta relação em dB?
Qual a capacidade limite em bps deste canal?
Porque esta é a capacidade limite?
Supondo que esta taxa poderia ser atingida qual seria o número de níveis necessários?
Se for necessário utilize a relação:
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Referências Bibliográficas
[STALLINGS] STALLINGS, William. Wireless Communications and Networks. Prentice Hall. 2002.
[RAPPAPORT] RAPPAPORT, Theodores S. Wireless Communications – Principles and Practice. Prentice Hall. 1996.
[BATEMAN] BATEMAN, Andy. Digital Communications. Addison Wesley. 1999.
[COUCH] COUCH II, Leon. Digital and Analog Communication Systems. Prentice Hall. 5ed. 1997.
Fundamentos de análise de sinais
Com uma grande esperança de ter convencido você que o mundo sem fio tem suas peculiaridades que não guardam nenhum paralelo com o mundo “capeado”, temos que entrar em um tema não muito agradável para alguns que é a análise de sinais. Neste ponto serão apresentados exemplos simples de faixa ocupada por um sinal e das deformações que um sinal pode sofrer ao ser transmitido via rádio freqüência. Não serão tratados pontos teóricos ou complexos, desnecessários para se ter uma idéia. Serão utilizadas analogias com ondas sonoras, que guardam grande similaridade nos mecanismos de propagação.
Para entender sistemas de comunicação sem fio é necessário primeiramente conceituar sinal, ou seja, entender fisicamente o que significa um sinal elétrico e principalmente entender que um sinal ocupa uma certa faixa de freqüência.
Antes de entrar propriamente na análise de sinais é importante avaliar o diagrama em blocos de um sistema de comunicação. No diagrama apresentado na letra (a) são identificados os elementos chaves que permitem a comunicação entre dois pontos:
Fonte – origina os dados binários
Transmissor – adapta a informação binária a um sistema de transmissão, que no fundo é o meio por onde o sinal elétrico será transmitido
Sistema de Transmissão – meio em que o sinal se propaga para chegar no receptor. Existem meios guiados (par trançado, fibra) e meios não guiados (transmissão rádio)
Receptor – recupera a informação desfazendo os processos feitos na transmissão
Destino – entidade que vai receber a informação transmitida
Fonte de informação: origina a informação a ser transmitida - ex: computador, fontes analógicas (necessário digitalizar), etc;
Transmissor: modifica o sinal de informação digital para obter uma transmissão eficiente para um determinado tipo de canal - ex: modem xDSL, TX satélite, WLAN, celular, etc;
Canal: é o meio de transmissão - ex: “ar” (éter), cabo trançado, fibra, etc. Neste meio o sinal vai sofrer atenuação, adição de ruído e também distorções;
Receptor: faz o processamento inverso da transmissão e deve conter mecanismos para combater distorções ocorridas no processo de transmissão - ex: modem xDSL, RX satélite;
Destino - ex: outro computador, centro de monitoração,
etc
A primeira forma em que observamos um sinal elétrico é no domínio do tempo. Podemos desenhar em um papel como é o comportamento de um certo tipo de sinal. O exemplo mais simples é representar o sinal binário. Por exemplo: bit 0 represento por uma tensão de 0 volts e bit 1 por uma tensão de 5 volts. Neste caso usamos uma tensão para representar mas poderia ser qualquer outra grandeza elétrica.
Podemos classificar quanto ao tipo de função em sinais analógicos que são contínuos no tempo e sinais digitais (mais comumente representado por bits sendo portanto um sinal digital binário) que são discretos no tempo. Os sinais digitais são mais apropriados para transmissão pois tira vantagem deste tipo de representação para tornar mais eficiente o sistema.
Sinal analógico é contínuo no tempo e muito difícil de ser trabalhado pois a informação está nas amplitudes e perder informação significa não recuperar novamente. Qualquer distorção no sinal também ocasiona perda de informação.
Sinal digital binário apresenta somente dois estados possíveis. Mais fácil de trabalhar. Para representar sinais analógicos existe a necessidade de converter sinais analógicos em digitais. Sinal mais robusto uma vez que na recepção basta identificar qual o nível transmitido.
A análise de sinais é bastante simplificada se iniciarmos por entender um sinal periódico. Este tipo de sinal é muito com sendo o exemplo mais fácil o clock de um computador, também conhecida como onda quadrada. As grandezas que definem este clock são somente três: amplitude, freqüência e fase. Informando estas três grandezas é possível analisar no domínio do tempo facilmente como esta função se desenvolve. Sinais periódicos não possuem informação. Isto é fácil de entender uma vez que apenas a repetição de um padrão não apresenta nenhuma informação. 
Para conter informação o sinal deve ser inédito no receptor. Ou seja, deve ser um sinal que não se repete simplesmente. A análise deste tipo de sinal não é tão fácil quanto a análise de um sinal periódico. Em função disto as análises que serão feitas vão considerar na maior parte das vezes sinais periódicos.
Matematicamente um sinal periódico pode ser representado pela equação mostrada no slide. Observa-se que a função s(t) se repete com período de T segundos. Ou seja, se para t=0 o valor de s(0) for 1 volt então para s(T) também será 1 volt se for um sinal periódico. Como já mencionado a análise deste tipo de sinal é bastante simples. Aqui faremos uma análise mais conceitual e qualitativa e não quantitativa. O interesse é que o aluno tenha uma clara noção do que é um sinal e sua análise no domínio do tempo e no domínio da freqüência.
Estes dois sinais são permanente utilizados em sistemas de comunicação. O primeiro é uma senoidal com período T que é o inverso de sua freqüência. Um exemplo clássico é a tensão da rede elétrica que possui uma freqüência de 60 Hz ou seja 60 ciclos em um segundo. Cada ciclo terá um período de 0,01666 segundos. Ou seja, um ciclo completo demora este valor de tempo. Esta função senoidal representa o movimento harmônico simples que pode ser obtido através da descrição do movimento de um pêndulo de um relógio. Esta denominação significa o movimento mais harmônico e suave possível.
A segunda figura mostra uma onda retangular. Pode ser facilmente gerada (pelo menos teoricamente) por uma chave ligando e desligando. Este sinal é impossível de ser conseguido na prática pois apresenta uma descontinuidade que não dá para obter. Ou seja, o tempo entre o nível alto A e o nível baixo –A não é zero. O sinal demora um certo tempo para passar de alto para baixo.
Outra definição importante é a fase. Esta informação é sutil pois indica a diferença temporal entre o eixo y e um ponto de interesse. Mais a frente faremos exercícios quanto a variação de fase e sua relação com atraso.
É muito útil observar um sinal no domínio do tempo onde a variável independente é o tempo. Outra forma de observar um sinal é no espaço. Imagine que você esteja vendo o canal 2 de TV com freqüência central de 57 MHz. Se fosse possível observar este sinal se propagando pelo cabo da TV teríamos uma repetição a cada comprimento de onda =3.108/57.106=5,26 metros. Ou seja, se em um ponto medíssemos um valor de amplitude A volts a uma distância 5,26 metros a frente mediríamos o mesmo valor A volts. A onda tem uma velocidade de propagação igual à velocidade da luz e podemos calcular em qual distância o sinal se repete no espaço. Esta noção de velocidade de propagação será muito explorada quando analisarmos a propagação de sinais.
 
Isto significa que a cada 12,5 centímetros em um cabo coaxial que alimenta uma antena temos a repetição do sinal senoidal que esteja em uma freqüência de 2,4 GHz.
A equação de uma senoidal será a base para análise de sinais. Entender as três grandezas que a representa é importante para avaliar as alterações sofridas no processo de transmissão.
Uma função senoidal representa o movimento harmônico simples. Este tipo de movimento é estudado na física elementar e permeia todos os estudos de sistemas de comunicação. Um passo importante é realmente entender como acontece este movimento na natureza como por exemplo para descrever o movimento de pêndulo. Sem entrar muito em detalhes matemáticos podemos afirmar que não existe informação contida em uma função senoidal e portanto ela não ocupa faixa freqüência. Este conceito é importante pois será intensamente utilizado mais a frente.
Observe que  representa a defasagem. A diferença de fase entre dois sinais é um aspecto muito importante em comunicação via rádio e é utilizada freqüentemente.
Pegando a primeira figura como referência observamos que:
A figura acima do lado direito possui a mesma freqüenta e fase e metade da amplitude
A figura em baixo do lado esquerdo possui a mesma fase inicial e mesma amplitude com o dobro da freqüência
A figura em baixo do lado direito possui a mesma amplitude e mesma freqüência com uma defasagem de +/4 aproximadamente
Uma função senoidal em sistemas de transmissão é utilizada como portadora. É utilizando uma função senoidal que permite transportar informação de um ponto a outro através de ondas eletromagnéticas.
Para entender a variação de fase sempre se lembre de pensar em uma referência. Sem isto não é possível imaginar a variação de fase.
Um aspecto nem sempre bem compreendido em comunicação é a variação de fase de um sinal.
Neste caso não existe alteração de amplitude nem freqüência.
Existe apenas um deslocamento temporal entre duas ondas, sendo uma delas uma referência para avaliação do deslocamento.
A defasagem é utilizada para modular e também é encontrada em fenômenos de propagação que provocam defasagem do sinal.
A próxima figura mostra um seno defasado, neste caso adiantado de um ângulo .
Estas duas funções senoidais possuem mesma amplitude e freqüência. Uma destas funções será considerada como referência
Existe uma defasagem entre as duas formas de onda de cerca de /4. Neste caso específico estamos falando das funções seno co-seno tão estudadas em trigonometria. Sem muito exagero pode-se dizer que entendendo a figura acima fica muito fácil entender a maioria dos processos que acontecem em um sistema de comunicação.
A onda tracejada está adiantada em relação à onda com traço contínuo. 
A noção de defasagem é muito importante em sistemas de comunicação pois permite entender importantes processos de modulação e efeitos de propagação.
Um sinal elétrico é mais comumente visto no domínio do tempo. Fica fácil observar que uma função senoidal possui ao longo do tempo uma oscilação. Porém, este mesmo sinal pode ser visto através do domínio da freqüência.
No nosso dia a dia esta visão no domínio da freqüência é muito comum. Pense na sua rádio FM favorita que por exemplo esteja em 100 MHz. Para você sintonizar esta rádio seria perfeitamente possível especificar através de seu período, que seria T=1/F=1x10-8. Veja que podemos usar uma rádio operando com período de 0,01 micro segundos. Com certeza seria complicado
principalmente porque já é utilizada por definição a freqüência de operação.
Esta figura é bastante útil para uma primeira abordagem o que significa uma análise no domínio da freqüência e sua relação com o domínio do tempo. Se somamos três funções senoidais com freqüências diferentes ficará difícil observar no domínio do tempo, como mostrado no lado esquerdo. Por outro lado sabemos que existem três funções senoidais a princípio independentes. No domínio da freqüência observamos claramente a presença de três componentes de freqüência. Esta observação no domínio da freqüência é de fundamental importância uma vez que a maioria das análises de sinais, sistemas e fenômenos de propagação é feita neste domínio.
A relação entre o domínio do tempo e o domínio da freqüência é feita através de uma ferramenta matemática descoberta por Fourier
Esta ferramenta permite determinar a partir de uma função no tempo qual sua representação no domínio da freqüência
A ferramenta é chamada de transformada direta de Fourier
Para ir do domínio do tempo para o domínio da freqüência a ferramenta é chamada de transformada inversa de Fourier
A relação entre tempo e freqüência é estabelecida através de propriedades
A transformada de Fourier estabelece várias relações entre os domínios do tempo e da freqüência. Aqui faremos uso mais fortemente de uma propriedade que estabelece que se um sinal for comprimido no tempo ele será alargado na freqüência. O entendimento desta propriedade vai permitir entender porque um trem de bits de 1 kbps precisa de uma banda não modulada de 1 kHz e um sinal de 1 Mbps necessita de uma banda não modulada de 1 MHz. Daí será fácil entender porque o modem faixa larga das operadores telefônicas para acesso à Internet tem sua taxa de transmissão diminuída em função da distância.
A maneira mais simples de entender a análise de Fourier é realizar a soma de duas senoides com amplitude e freqüência escolhidos, de forma a reproduzir uma certa onda. Neste caso estamos reconstituindo uma onda quadrada como será visto na próxima figura.
Em última análise a transformada de Fourier mostra que é possível representar uma sinal qualquer pela soma de funções senoidais.
A análise de Fourier é uma poderosa ferramenta que mostra a relação entre os domínios do tempo e da freqüência;
É possível mostrar que um sinal pode ser representado pela soma de senos e co-senos, como na expressão abaixo, que representa a soma da fundamental com a terceira harmônica de uma forma de onda quadrada de um clock por exemplo.
A fundamental é a primeira componente presente no sinal.
Observar as amplitudes da fundamental e terceira harmônica.
Veja na próxima figura a soma da fundamental com a terceira harmônica, resultando em uma aproximação de uma onda quadrada.
Entender esta figura é muito importante. Definimos uma fundamental e sua terceira harmônica, ou seja uma função senoidal com três vezes a freqüência da fundamental, com uma amplitude reduzida por um fator de 1/3. Observe que não houve alteração da fase inicial, ou seja tanto fundamental quanto terceira harmônica se iniciam no mesmo instante.
A soma destas duas componentes está mostrada na terceira figura. Observe que o resultado da soma tende para uma onda quadrada.
Utilize a simulação para verificar o processo da soma de duas senoides. Neste caso estamos utilizando a primeira e a terceira harmônicas para chegar em um sinal elétrico que começa a ter a aparência de uma onda quadrada. Este tipo de onda quadrada é por exemplo o clock do computador.
Vamos agora utilizar uma representação gráfica que permite estabelecer uma direta relação com a figura anterior. De fato estamos representado os mesmos sinais (fundamental, terceira harmônica e a soma das duas). É inegável que a forma de representar acima é muito mais simples que a forma da figura anterior.
O primeiro gráfico é a representação da fundamental no domínio da freqüência.
O segundo gráfico é a representação da terceira harmônica no domínio da freqüência.
O terceiro gráfico mostra a soma da fundamental com sua terceira harmônica.
A segunda componente tem freqüência múltipla inteira em relação à fundamental (primeira componente), neste caso de três vezes;
É curioso que sinais quadrados não possuem as componentes harmônicas pares. Fica fácil de entender o porque analisando a figura anterior, onde para recompor este tipo de sinal, somente as componentes ímpares devem estar presentes;
Quando as componentes possuem freqüências múltiplas da fundamental defini-se como componentes harmônicas;
A amplitude e a fase das componentes harmônicas devem ter uma relação bem determinada para que a composição dos sinais, após a soma, seja efetivamente a reprodução, neste caso, do sinal de clock;
A análise das relações entre freqüência, amplitude e fase das componentes harmônicas é conhecida como análise de Fourrier;
Da análise de Fourier chegamos no espectro de freqüência.
Quanto mais componentes harmônicas (com amplitude, freqüência e fase adequadas) melhor a aproximação pela soma de senos e co-senos;
Um parâmetro muito importante em transmissão digital é a banda ocupada, ou seja, qual a faixa de freqüência que ocupa um determinado sinal. Esta informação está relacionada diretamente com a taxa de transmissão, como veremos mais a frente;
Na figura anterior temos duas componentes com freqüências f e 3f. A largura de faixa, ou largura de banda (Bandwidth), ocupada será BW=3f-f=2f;
A definição acima é de cunho geral uma vez que depende muito do tipo de formato do sinal digital para definir a largura de faixa ocupada;
Como já observado, adicionando mais componentes harmônicas na composição da onda quadrada (clock) vamos obtendo um aproximação cada vez melhor;
A próxima figura mostra a inclusão das harmônicas 5 e 7, além da fundamental e da terceira harmônica; 
Observar a aproximação com a onda quadrada; 
Isto mostra o princípio da análise de Fourier, já mencionado, que diz que qualquer sinal pode ser representado pela soma de senos e co-senos;
A expressão que mostra esta aproximação da onda quadrada por infinitas componentes harmônicas está mostrada acima. Esta expressão nada mais é que uma forma sintética para informar que uma onda quadrada para ser representada adequadamente deveria ter infinitas componentes harmônicas. Porém, possuir infinitas componentes harmônicas significa ocupar uma faixa de freqüência infinita, o que é impossível!
Continuando o exemplo da soma de senos para representar uma onda quadrada observar que quanto mais componentes harmônicas são adicionadas mais o resultado da somo se aproxima da onda quadrada.
Não se esquecer que a perfeição da representação implica na ocupação de uma grande faixa de freqüência. 
Do ponto de vista prático não existe de fato uma onda quadrada (por exemplo um clock de um computador) perfeito. Observe que para uma onda perfeita existe uma descontinuidade entre o nível 0 e 1. Na prática isto é impossível!
Frequência Fundamental – quando todas as componentes de frequência de um sinal são múltiplos inteiros de uma frequência, esta é a fundamental;
Espectro – faixa de frequências que um sinal contém;
Largura de Faixa Absoluta – largura do espectro de um sinal ( na Figura 2.4 já vimos que BW=3f-f=2f);
Largura de Faixa Efetiva – faixa de frequência estreita, onde a maior parte da energia do sinal está presente;
Esta última definição está relacionada diretamente com a banda necessária para transmissão de um sinal digital;
Qualquer sinal eletromagnético pode ser mostrado como sendo um conjunto de sinais analógicos (por exemplo senos) com diferentes amplitudes, frequências e fases (A análise de Fourier mostra isto).
Uma importante noção necessária para análise de sinais e sistemas é qual a largura de faixa necessária para transmissão de um sinal.
Quanto mais faixa maior a capacidade de transmissão, ou seja, mais bits podem ser transmitidos por segundo, definindo assim a unidade Bits Por Segundo (bps);
Para mostrar esta relação entre faixa e taxa de transmissão vamos adicionar mais componentes harmônicas
na aproximação do sinal de clock, que foi feita na figura;
Vamos considerar que a onda quadrada seja na verdade a transmissão de bits 0s e 1s, ou seja, a transmissão de 01010101...;
A duração de cada bit será 1/2f, como podemos ver na figura 2.2b; 
Assim, a taxa de transmissão será 2f bits por segundo.
Para um sinal com infinitas componentes harmônicas a faixa ocupada será também infinita;
Porém, as componentes de mais alta ordem vão ter amplitudes cada vez menores (1/k), como pode ser visto na expressão anterior, que mostrava a representação por soma de senos;
Qual o problema em não considerar as componentes de mais alta ordem? 
Ou seja, qual o problema em filtrar o sinal, eliminando componentes harmônicas?
A resposta é: o problema é identificar se foi enviado bit 1 ou 0. 
Não existirá problema caso o sinal resultante, após a eliminação das componentes de alta ordem permita na recepção a perfeita identificação do bit transmitido;
Observar nas figuras que o bit transmitido é perfeitamente identificado com algumas componentes harmônicas no caso da transmissão 1010101010....
Considere agora a próxima figura, que apresenta uma transmissão digital de um trem de bits;
Um aspecto a ser observado é a largura do espectro;
Observar que sinais discretos, com transições abruptas possuem um espectro infinito; 
Sinais com espectro infinito são inapropriados para transmissão, principalmente em sistemas sem fio;
Porém, no exemplo, somente com a fundamental não é possível recuperar os bits transmitidos, como no caso anterior;
Sendo o espectro de freqüência um recurso escasso deve-se ao máximo limitar a banda ocupada pelos sinais no processo de transmissão;
Observe na figura que quanto mais componentes são adicionadas mais se aproxima do sinal digital original;
No limite com infinitas componentes teremos o próprio sinal digital transmitido, que é a primeira figura.
Neste exemplo fica claro que para representar com todos os detalhes um trem de bits a ser transmitido são necessárias infinitas componentes harmônicas.
Existe um compromisso entre a largura do espectro necessário para transmissão e a perfeição com que se deseja que os bits cheguem no receptor.
A última figura mostra claramente que os bits transmitidos podem ser recuperados com boa precisão. Porém se comparado com as duas figuras logo acima pode-se avaliar claramente que existe a necessidade de uma maior ocupação de espectro.
A grande preocupação com o espectro necessário para transmissão é que em redes sem fio o espectro é um bem escasso e caro. Assim, todas as técnicas de comunicação têm por objetivo minimizar o uso do espectro e mesmo assim permitir a comunicação.
Outro aspecto importante é a quantidade de informação que um sinal transporta. Uma senoide ocupa um mínimo de faixa. Porém, não leva informação alguma em função da previsibilidade do seno;
Pode-se agora ilustrar a relação da Banda x Taxa avaliando por exemplo para uma banda de 4 MHz três situações:
I - considerando o sinal recebido com harmônicas 1, 3 e 5, e fazendo f=1 MHz tem-se uma faixa de 4 MHz e uma taxa R=2f=2Mbps;
II - se dobrarmos a faixa para 8 MHz também dobramos a taxa para 4 Mbps;
III - considerando agora as harmônicas 1 e 3 somente obtemos também a mesma taxa de 4 Mbps do caso II. Observar que o sinal estará mais distorcido!
Uma análise interessante agora é verificar o espectro de uma transmissão digital, ou seja, analisar as relações entre um bit e o espectro correspondente;
A próxima figura mostra que a duração do bit é que vai determinar o ponto de nulo da função senx/x, como mostrado na expressão de s(t);
Nesta figura o bit 0 é representado pelo nível 0 e o bit 1 é representado pelo nível A;
Esta relação é importante para avaliar a faixa ocupada por uma transmissão digital;
Observar que o ponto de nulo sempre estará presente em transmissão digital e será um referencial de faixa ocupada.
Sem entrar em muitos detalhes vamos fazer uma análise de um sinal através dos domínios do tempo e da freqüência. Mais importante ainda é fundamental que seja observada a relação entre os dois domínios. Ou seja, o que acontece quando alteramos uma grandeza do sinal, como por exemplo a duração do pulso e sua conseqüência no domínio da freqüência?
A figura acima mostra a relação tempo freqüência de um trem de pulsos periódico, que pode ser considerado um trem de bits para efeitos práticos de transmissão digital. Especificamente como está mostrado acima a duração do pulso é exatamente a metade do período. Isto caracteriza uma onda quadrada que tem somente componentes impares. Caso esta relação entre duração de pulso e período for diferente (o nome deste fator é duty cicle) as componentes pares irão aparecer.
Esta figura apresenta de forma clara que a ocupação de faixa é diretamente dependente da duração do bit. Observe que o nulo do espectro não muda de posição uma vez que depende exclusivamente da duração do bit. Aumentar o período significa aumentar o número de componentes harmônicas tornando o espectro denso como é o caso da última figura.
Esta figura apresenta a relação entre duração do bit, taxa de transmissão e faixa ocupada. Ou seja, quando temos bits com grande duração temos baixas taxas de transmissão e seria necessária uma pequena faixa. Quanto a taxa de transmissão aumenta significa que o bit tem menor duração e conseqüentemente ocupab mais faixa de freqüência.
A representação acima só é válida para código de linha polar sem retorno a zero (polar NRZ). Também é importante informar que foi feita uma consideração de banda utilizando o primeiro nulo do espectro. Em sistemas sofisticados é possível ocupar menos faixa. Porém, esta definição de faixa como sendo aquela obtida com o primeiro nulo é útil para entender o processo de análise de tempo versus freqüência.
A figura mostra o que acontece com um bit quando passa por um filtro passa baixas;
Primeiramente é importante dizer que um bit na sua forma original será sempre representado de forma retangular, como mostrado na figura.
Passar um bit por um filtro significa eliminar componentes harmônicas o que provoca uma distorção. Quanto mais componentes harmônicas forem filtradas mais distorcido ser bit na recepção. Um fato efetivamente importante é que o bit sobre um espalhamento temporal. Ou seja, o bit após o filtro ocupa mais tempo que o bit puro. Este espalhamento temporal faz com que um bit interfira no próximo. Este efeito é chamado de interferência inter-simbólica.
A vantagem da transmissão digital é o custo, se comparado com a transmissão analógica;
Trabalhar com sinais digitais é muito mais simples que trabalhar com sinais analógicos;
Porém, a transmissão digital sofre com a atenuação, distorção e filtragem das altas componentes harmônicas, no processo de transmissão, podendo levar à perda de informação;
Na figura observa-se, que para um certo canal, quando diminuímos o bit, ou seja, aumentamos a taxa, vai haver distorção do sinal transmitido.
Sinais digitais possuem infinitas componentes harmônicas e portanto ocupam uma faixa infinita;
Sempre será necessário filtrar o sinal digital antes de transmitir;
Na filtragem são retiradas componentes harmônicas, ocasionando a deformação da forma de onda, potencialmente aumentando a taxa de bits errados;
Quanto mais faixa ocupada maior o custo;
Em qualquer processo de transmissão haverá o compromisso entre faixa x taxa, tendo como balizadores o desempenho e o custo do sistema;
Exemplos: WLAN – IEEE 802.11b e IEEE 802.11g.
Quando o eixo horizontal é o tempo, como na Figura 2.3, o gráfico mostra o valor do sinal num certo ponto no espaço em função do tempo;
Quando o eixo horizontal é espaço, o gráfico mostra o valor de um sinal num certo ponto no tempo como uma função da distância;
Em um instante de tempo particular, a intensidade do sinal varia como uma função da distância em relação a fonte.
No processo de transmissão existe a adição de ruído que vai corromper o sinal digital transmitido, causando erros na transmissão;
A questão é: dado um meio qual a maior taxa possível?
Defini-se
a Capacidade do Canal, que é a máxima taxa que pode ser transmitida;
Quatro conceitos:
Taxa: número de bits transmitidos por segundo [bps]
Banda: faixa ocupada para transmitir [Hz]
Ruído: nível médio do ruído adicionado no processo de transmissão
Taxa de erro: taxa de ocorrência de erro
Na transmissão digital procura-se obter a maior taxa possível para uma determinada banda alocada;
Para transmissão digital binária uma faixa de B Hz permite uma taxa de R=2B Hz. Ex: sistema telefônico com B=3100 Hz permite taxa de R=6200 Hz;
Porém, pode-se utilizar sinais digitais multi-níveis para economia de faixa. Ex: modem que utiliza modulação QAM;
Para sinais multi-nível a taxa é calculada pela expressão:
Cada nível representa vários bits. Ex: níveis 0,1,2 e 3, cada nível representa dois bits, próxima figura;
Assim, a utilização de vários níveis resulta na economia de faixa de transmissão;
Exemplo: para M=8 níveis, onde cada nível representa 3 bits, um canal com banda B=3100 Hz a capacidade será C=18600 bps;
A implicância em utilizar vários níveis para representar palavras binárias está no receptor que deverá distinguir entre vários níveis em vez de somente nível 0 e 1.
Considere o caso de um trem de bits sendo convertido para um sinal multi-nível com 8 níveis.
No traçado A temos a transmissão digital binária;
Como estamos usando um sinal multi-nível de 8-ary encontramos que são necessários 3 bits para definir um nível, como pode ser visto pela figura do traçado B;
Fica claro pela figura que a taxa foi reduzida por um fator de 3, como era de se esperar;
Neste caso temos uma economia de faixa;
O traçado C traz uma interessante consideração, onde a taxa do sinal multi-nível é igual à taxa do sinal binário do traçado A, mostrando que a banda necessária seria a mesma do sinal binário, porém, a taxa de informação seria 3 vezes maior.
Claramente é possível observar que a faixa ocupada foi dividi por três.
O problema é que a decisão não é mais entre dois níveis e sim entre oito níveis. Isto torna o sistema mais frágil.
A última figura é bastante interessante pois mostra que é possível acelerar a transmissão com múltiplos níveis ocupando cada nível uma quadrícula. Existe um aumento de taxa de três vezes ocupando a mesma manda. 
Este raciocínio simples é bastante poderoso pois permite justificar como é possível a transmissão de altas taxas em meios com pouca banda, como por exemplo o canal de voz sendo utilizado por um modem analógico.
Como vimos, se dobramos a faixa dobramos também a taxa em bps;
Vamos considerar agora a relação entre taxa, ruído e taxa de erro;
O ruído é adicionado ao sinal provocando eventualmente a corrupção do sinal e causando erro na recepção;
Quanto maior a taxa de transmissão menor será a duração do bit;
Dado um certo nível de ruído, quanto maior a taxa de transmissão, maior a taxa de erro;
A próxima figura mostra a contaminação do sinal transmitido pelo ruído e a ocorrência de erro.
A relação entre capacidade, faixa e ruído, foi sintetizada em uma única expressão desenvolvida por Shannon, que determina a capacidade máxima possível relacionando estas três grandezas.
Esta expressão é muito importante pois permite relacionar as três grandezas que afetam a transmissão de sinais:
Capacidade em bits por segundo
Faixa ou banda de freqüência que será utilizada
Relação entre potência de sinal e potência de ruído
A capacidade calculada pela fórmula de Shannon considera uma taxa máxima de transmissão de bits por segundo sem a ocorrência de erros em um sistema de transmissão digital.
Na verdade este limite nunca será atingido, sendo um limite superior, somente uma capacidade abaixo desta pode ser obtida para sistemas reais de transmissão. Para atingir a taxa obtida pela expressão de Shannon o receptor teria uma complexidade infinita.
A expressão mostra que para se manter a capacidade de transmissão em bits por segundo (C) pode ser realizada uma troca entre banda de freqüência ocupada (B) e potência do sinal (S), para uma certa potência de ruído (N), ou seja, se aumentarmos a banda de freqüência ocupada através de algum processo, podemos diminuir a potência do sinal (S) , permanecendo a mesma capacidade;
A expressão leva em consideração ruído AWGN (Additive White Gaussian Noise), ou seja ruído com uma distribuição gaussiana e densidade espectral de potência de ruído constante na faixa considerada, denominado de branco por possuir todas as componentes espectrais. Esta expressão não leva em consideração ruídos impulsivos.
Este exemplo é bastante útil uma vez que reúne todos conceitos tratados na relação entre taxa de transmissão, banda ocupada e relação sinal ruído. Especificamente sobre relação sinal ruído será visto mais a frente com mais detalhe como obter este valor.