RES MAT II - CAP 12 - AULA 15

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CE
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Capítulo 12: Deflexão em 
vigas e eixos
Prof. Dr. Rodrigo Nogueira de Codes
1
• Objetivos da AULA 15: 
• Resolução de exercícios;
• Método da superposição.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
Equação diferencial da linha elástica
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
y
x
y
y’ = q
!"#!! = %		
!"
!# = %			 → 			()*
!!! = %		
!"
!# = −&			 → 			)*+
!" = −&		
Resumo
4Prof. Dr. Rodrigo Codes
Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
!			 → 			$%&'()		
!! = #			 → 			 &'()*+,-ÇÃ*	-0123-+Â0123*	'(	+*5-ÇÃ* 		
!!! 			→ 			$%$&'(%	)*&(%+	(&-!!! = $)		
!!!! 			→ 			$%&Ç(	)%&*(+*,	(,.!!!! = 0)		
!!" 			→ 			$%&'%	()*+&),-Í(%	(0)!!" = −3)		
w
Dw
DV
DM
Dq
Dy
Exemplo:
5Prof. Dr. Rodrigo Codes
Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
Determinar:
a) Equação da flecha;
b) Equação da deformação angular;
c) Flecha máxima com respectivo local. 
Positiva ou negativa?
!"çã%	1	(0	 ≤ 	 +! 	≤ 8	-):		
8 kN
2 kN 10 kN
V (kN)
M (kN.m)
x (m)
x (m)
-2
8
-16
8 m 2 m
2 kN
x1 V1
M1
+↑ Σ$! = 0 → −2 − *" = 0 → *" = −2	,-	
Σ" = 0 → 2'! +"! = 0 → "! = −2'!	
! "!(0) = 0"!(8) = −16	,-./	
A B C
Exemplo:
6Prof. Dr. Rodrigo Codes
Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
Determinar:
a) Equação da flecha;
b) Equação da deformação angular;
c) Flecha máxima com respectivo local. 
Positiva ou negativa?
!"çã%	2	(8	*	 ≤ 	,! 	≤ 10	*):		
8 kN
2 kN 10 kN
V (kN)
M (kN.m)
x (m)
x (m)
-2
8
8 m 2 m
2 kN
8 m
V2
M2
+↑ Σ$! = 0 → −2 + 10 − +" = 0 → +" = 8	./	
Σ" = 0 → 2'! − 10('! − 8) +"! = 0 → "! = 8'! − 80	
!"!(8) = −16	+,..""(10) = 0 	
x2
10 kN
-16
A B C
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
!"#$%&'()	+,	(0 ≤ 0! ≤ 8):		
!! = −2%!	
&'(!"" = −2%!	
&'(!" = −%!# + *	
&'(! = −
%!$
3 + *%! + ,		
!"#$%&'()	+,	(8 ≤ 0! ≤ 10):		
!! = 8$! − 80	
'()!"" = 8$! − 80	
'()!" = 4$!! − 80$! + ,	
'()! =
4$!#
3 − 40$!
! + ,$! + .		
Condições de contorno:
1) x1 = 0 ; y1 = 0
2) x1 = 8 ; y1 = 0 ====>
3) x1 = x2 = 8 ; y1 = y2 => 
4) x1 = x2 = 8 ; y1’ = y2’
y1 = y2 = 0
1) B = 0
2) x1 = 8 ; y1 = 0
4) 
2 e 3) x1 = x2 = 8 ; y2 = 0
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
−8! + $ = 4'8! − 80'8 + )	
) = 	−8! + "#$ − 4'8! + 80'8 =
%$&"#'"#%$&#&"#'$&()&(
$ 			;		) =
*)!#
$ 	
0 = −8
!
3 + 8'			 → 			' =
64
3 		
4
3 #8
! − 40#8" + (10243 +#8 + , = 0	
, = −2048 + 7680 − 81923 	→ , = −
2560
3 		
9Prof. Dr. Rodrigo Codes
Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
!"#$%&'()	+,	(0 ≤ 0! ≤ 8)	
!"#!" = −&!# +
64
3
			→ 			 #!" =
1
3!"
(−3&!# + 64)	
!"#! = −
&!$
3
+
64
3
&! 			→ 			 #! =	
1
3!"
(−&!$ + 64&!)	
#!,&á( 			→ 			!"#!" = 0			 → 			 &!# = ±2
64
3
			
&! = 4,619	5	
6789:;:7;<=>	<?	@A7?çã>	=?	DE@Fℎ?, :@5 − 9@:	
#!,&á( =
65,69
!"
	5	
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
!"#$%&'()	+,	(8 ≤ 0! ≤ 10)	
!"#!" = 4&!! − 80&! +
1024
3 			→ 			 #!
" = 13!" (12&!
! − 240&! + 1024)	
!"#! =
4&!#
3 − 40&!
! + 10243 &! −
2560
3 			→				
#! =	
1
3!" (4&!
# − 120&!! + 1024&! − 2560)	
#!,%á' → &! = 10	4! 			→ 			 #!,%á' = −
106,67
!" 	4	
Flecha máxima de cima para baixo no ponto C.
Raízes da equação de y2’ para determinar os 
pontos de máximo e mínimo:
x2' = 6,17 m; x2’’ = 13,83 m. 
Nenhum convém -> Estão fora do intervalo BC!
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12.5) Método da superposição
Considera-se que a deflexão não altera significativamente a geometria original da viga ou 
do eixo. (v1 + v2 e q1 + q2)
Exemplo 12.13) Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga 
mostrada na Figura. EI é constante.
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Utilizando a tabela no Apêndice C
Para a carga distribuída:
Para a força cortante de 8 kN:
("!)" =
3&'#
128+, =
3(2	.//1)(8	1)#
128+, =
24	./.1$
+, 	
("!)" =
5&'#
768+, =
5(2	/0/2)(8	2)#
768+, =
53,33	/0.2$
+, 	
("!)" =
%&#
48)* =
8	,-(8	.)#
48)* =
85,33	,-..#
)* 	
("!)" =
%&"
16)* =
8	-.(8	/)
16)* =
32	-../"
)* 	
!! = (!!)" + (!!)# =
56	)*.,#
-. 	
!! = (!!)" + (!!)# =
139	*+.-$
./ 	
(84) 3317-8234
rncodes@ufersa.edu.br
Av. Francisco Mota, 572, Bairro Costa e Silva, Mossoró-RN. CEP: 59.625-900.
MUITO OBRIGADO!
15
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