RES MAT II - CAP 12 - AULA 16

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CE
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Capítulo 12: Deflexão em 
vigas e eixos
Prof. Dr. Rodrigo Nogueira de Codes
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• Objetivos da AULA 16: 
• Vigas e eixos estaticamente indeterminados;
• Vigas e eixos estaticamente indeterminados – método da superposição.
2Prof. Dr. Rodrigo Codes
Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
12.6) Vigas e eixos estaticamente indeterminados
As reações adicionais dos apoios sobre a viga ou o eixo que não são necessárias para 
mantê-los em equilíbrio estável são denominados reações redundantes. O número dessas 
reações redundantes é denominado grau de indeterminação. 
Ay, By ou MA podem ser 
classificadas como a 
reação redundante, 
pois se qualquer dessas 
reações for removida, a 
viga permanece estável 
e em equilíbrio.
Não é o caso de Ax , pois se fosse removida SFx = 0 não seria 
satisfeita.
A viga 
contínua é 
indeterminada 
do 2º grau.
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A viga está sujeita à carga distribuída mostrada na Figura. Determine as
reações em A. EI é constante.
Exemplo 12.17
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Solução
Σ" = 0 → −'!( +
1
2,"
(#
-
1
3 ( +" = 0 → " = '!( −
1
6,"
($
- 		
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Inclinação e linha elástica
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!"#′′ = &!' −
1
6+"
'#
, 		
!"#! = 12'"(
# − 124+$
(%
, + '		
!"# = 16'!(
" − 1120,#
($
- + '( + /		
Condições de contorno:
1) x = 0; v = 0;
2) x = L; v’= 0;
3) x = L; v = 0.
Logo: 1)	0 = 0 − 0 + 0 + 0 + (		
2)	0 = 12'!(
" − 124+#(
$ + '		
3)	0 = 16(!)
" − 1120,#)
$ + () + .		
!
"! =
1
10&"'
" = − 1120&"'
#; + = 0
		
Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
12.9) Vigas e eixos estaticamente indeterminados – método da superposição
Viga primária
Viga verdadeira
Reação redundante By removida
Somente a reação redundante By aplicada
Condição de compatibilidade
(+↑) 0 = vB + v’B
Podem ser obtidos por meio de qualquer um dos 
métodos discutidos anteriormente:
!! = −
5%&"
48)* 			,			!
#! =
-$&"
3)* 	
0 = −5%&
"
48)* +
-$&"
3)* 	
-$ =
5
16%		
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
Viga verdadeira
Reação redundante MA removida
Somente a reação redundante MA aplicada
Uma vez By conhecido, pelas equações de equilíbrio: Ax = 0; Ay = (11/16)P; MA = (3/16)PL.
A escolha da reação redundante é arbitrária, desde que a viga primária permaneça estável.
Por exemplo, MA também pode ser escolhido como a reação redundante.
Condição de compatibilidade
(+↑) 0 = qA + q’A
Usando o Apêndice C:
!! =
#$"
16'( 			*			!
#! =
+!$
3'( 	
$-.-, 0 = #$
"
16'( +
+!$
3'( 	
+! = −
3
16#$		
Sinal de (-): sentido 
contrário ao escolhido.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
Viga verdadeira
Reações redundantes By e Cy removidas
Somente a reação redundante By aplicada
Serão necessárias duas equações de 
compatibilidade
(+↓) 0 = vB + v’B + v’’B
(+↓) 0 = vC + v’C + v’’C
Somente a reação redundante Cy aplicada
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