RES MAT II - CAP 12 - AULA 14

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CE
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Capítulo 12: Deflexão em 
vigas e eixos
Prof. Dr. Rodrigo Nogueira de Codes
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• Objetivos do Capítulo 12:
• Muitas vezes é preciso limitar o grau de deflexão que uma viga ou eixo pode sofrer 
quando submetido a uma carga; portanto discutiremos métodos para determinar 
a deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos.
• Objetivos da AULA 14: 
• A linha elástica;
• Inclinação e deslocamento por integração.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
12.1) A linha elástica
Antes de determinar a inclinação ou o deslocamento em um ponto de uma viga (ou
eixo), geralmente convém traçar um rascunho da forma defletida da viga quando
carregada, de modo a “visualizar” quaisquer resultados calculados e, com isso, fazer
uma verificação parcial desses resultados.
Linha elástica: diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide
de cada área da seção transversal da viga.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
P P
Roletes e pinos → restringem deslocamento.
Engastes → restringem deslocamento e rotação.
Se a linha elástica de uma viga parecer difícil de se determinar, sugerimos
primeiramente traçar o diagrama de momento fletor da viga.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
M interno (+): concavidade para cima; M interno (-): concavidade para baixo.
+M +M -M -M
Diagrama de 
momento fletor
Diagrama de 
momento fletor
Ponto de inflexão
Ponto de inflexão
Relação momento-curvatura
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
Exceto dx, qualquer arco sobre o 
elemento sofre uma deformação 
normal.
No arco ds: ! = #$
! − #$
#$ 	
#$ = #& = '#(			*			#$! = (' − ,)#(	
./0/, ! = [(' − ,)#( − '#(]'#( 	
/4	
1
' = −
!
,		
Se o material for homogêneo e se comporta de maneira linear elástica, e = s/E (Lei
de Hooke é aplicável). Além disso, aplica-se também s = -My/I (Fórmula da
Flexão). Logo:
EI = rigidez à flexão (sempre positivo).
Sinal de r depende da direção do momento.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
1
" =
$
%&		
Podemos expressar também a curvatura 
em termos da tensão na viga.
1
" = −
%
&'		
12.2) Inclinação e deslocamento por integração.
A curva da linha elástica para uma viga pode ser expressa matematicamente como
s = f(x).
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
1
" =
$!%
$&!
'1 + )$%$&*
!
+
"/! 		
!!"
!#!
$1 + '!"!#(
!
)
"/! =
+
,-		
Equação diferencial não linear de segunda ordem.
Sua solução dá a forma exata da linha elástica (caso em que as deflexões na viga
ocorrem apenas por flexão).
A maioria dos códigos e manuais de engenharia especifica limitações para as
deflexões visando questões de tolerância ou estética, e o resultado é que as
deflexões elásticas para a maioria das vigas e eixos formam uma curva rasa. Logo,
a inclinação (dv/dx) será muito pequena e o quadrado dessa inclinação será
desprezível em comparação com a unidade.
Logo a curvatura pode ser aproximada por
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
1
" =
$!%
$&!		
!!"
!#! =
%
&'		
! = #$#% 			→ 			
#
#% ()*
#!+
#%!, = !(%)		
−" = $%$& 			→ 			
$!
$&!)*+
$!,
$&!- = −"(&)		
Na maioria dos problemas, a rigidez à flexão será constante ao longo do
comprimento da viga.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
Convenção de sinais e coordenadas
!" #
!$
#%! = −((%)		; 			!"
#"$
#%" = -(%)			; 			!"
##$
#%# = .(%)		
w (x)
+ V
+ V
+ M+ M
v ↑
q anti-horário
q ≈ tg q = dv/dx
q muito pequeno
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Condições de contorno e continuidade.
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Cap. 12– Deflexão em vigas e eixos
q1(a) = q2(a)
v1(a) = v2(a)
Linha elástica fisicamente contínua.
2 equações devido à continuidade.
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v1, v2
x
y
y’ = q
P
x1
x2
a b
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