RES MAT II - CAP 11 - AULA 12

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Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Capítulo 11: Projeto de 
vigas e eixos
Prof. Dr. Rodrigo Nogueira de Codes
1
• Objetivos do capítulo:
• Discutir como projetar uma viga de modo que ela possa resistir a cargas de flexão 
e cisalhamento;
• Desenvolver métodos usados para projetar vigas prismáticas e determinar a forma 
de vigas totalmente solicitadas.
• Objetivos da AULA 12: 
• Base para o projeto de vigas;
• Projeto de viga prismática.
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Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
11.1 – Base para o projeto de vigas
Vigas são elementos estruturais projetadas para suportar cargas aplicadas 
perpendicularmente a seus eixos longitudinais.
Por conta dessas cargas, desenvolvem-se:
- Força de cisalhamento interna;
- Momento fletor;
- Força axial costuma ser desprezada.
Quando escolhemos uma viga para resistir a ambas as tensões de 
cisalhamento e flexão, diz-se que ela é projetada com base na resistência.
(material homogêneo, comportamento linear-elástico)
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! = !"! ; ! =
!"
!" 	
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
A aplicação direta de cargas concentradas é geralmente evitada no projeto 
de vigas. Em vez disso, utilizam-se chapas de assento para distribuir essas 
cargas com maior uniformidade pela superfície da viga.
As vigas são projetadas sobretudo pela resistência, mas também para que 
não sofram flambagem ou tornem-se repentinamente instáveis, ou ainda 
para resistir a uma quantidade limitada de deflexão. Por exemplo, quando 
suportam tetos de gesso (material frágil).
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Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
11.2) Projeto de viga prismática
Exige-se que as tensões de flexão e cisalhamento não ultrapassem aquelas 
admissíveis definidas por códigos e manuais de projeto estrutural ou 
mecânico.
- Vão livre longo: momentos internos tornam-se grandes
- Projeto baseado na flexão e verifica-se a resistência ao cisalhamento
Um projeto requer a determinação do módulo de resistência à flexão da 
viga que é a relação entre I e c, isto é, S = I/c. Pela fórmula da flexão, 
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! = !"! ; !"#$%: !!"# =
!!á!
!!"# 	
Determinado 
pelo diagrama
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
Em muitos casos, o peso desconhecido da viga será pequeno e poderá ser 
desprezado. Todavia, se o momento adicional provocado pelo peso tiver 
que ser incluído no projeto, o S escolhido terá que ser ligeiramente maior
que Sreq.
Uma vez selecionada a viga, podemos usar a fórmula para 
confirmar se tadm não foi ultrapassada.
Vigas fabricadas: Apêndice B
Perfis laminados
W460x68
460 mm de altura
0,68 kN/m de peso
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!!"# ≥
!"
!" 	
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
Vigas com seções de aço, seções de madeira e seções compostas 
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Vigas-mestras de 
chapas de aço
Viga caixão 
de madeira
Viga caixão 
de lâminas 
coladas
Soldada Parafusada
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão admissível sadm = 170
MPa e tensão de cisalhamento admissível tadm = 100 MPa. Selecione uma
forma W adequada para suportar a carga mostrada na figura.
Exemplo 11.1
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Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Solução
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Viga biapoiada com uma extremidade em balanço.
1) Calcular as reações de apoio: VA = 30kN e VB = 150kN.
2) Determinar os diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor.
3) Dividir a viga em três seções: determinação das equações para o
Esforço Cortante e o Momento Fletor em cada uma delas.
4) Traçar os diagramas e determinar Vmáx e Mmáx.
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Solução
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Diagramas de força Cortante
e Momento Fletor
A partir dos diagramas,
temos que:
Vmáx = 90 kN e
Mmáx = 120 kN.m
30
60
60 kN
2 m 2 m 2 m
120 kN
30 kN 150 kN
-90
V (kN)
M (kN.m)
2,667 m
60
-120
x (m)
x (m)
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
11Prof. Dr. Rodrigo Codes
Cap. 11– Projeto de eixos e vigas
12Prof. Dr. Rodrigo Codes
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Cap. 11– Projeto de eixos e vigas
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Tensão de Flexão
O módulo de resistência exigido para a viga é determinado pela
fórmula da flexão
Pela tabela do apêndice B, são adequadas as seguintes vigas:
!!"# =
!!á!
!!"# =
120(10!)!.!
170 10! !/!! = 706!10
!!!!	
!610!82 ; ! = 1.870!10!!!!	
!460!52 ; ! = 942!10!!!!	
!410!46 ; ! = 774!10!!!!	
!360!51 ; ! = 794!10!!!!	
!310!67 ; ! = 948!10!!!!	
!250!67 ; ! = 809!10!!!!	
!200!71 ; ! = 709!10!!!!	
A viga escolhida será a que tiver o menor
peso por metro, isto é: W410x46
Solução
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Solução
Tensão de Cisalhamento
Como a viga é uma seção de abas largas, a tensão de cisalhamento
média no interior da alma será considerada. Aqui, admitimos que a
alma estende-se da parte mais superior até a parte mais inferior da
viga. Pelo apêndice B, para uma viga W410 x 46, d = 403 mm, talma =
6,99 mm. Logo:
Use uma W410 x 46.
!!é! =
!!á!
!!!"# =
90 10! !
(403 !!)(6,99 !!) = 31,95 !"#	
!!é! = 31,95 !"# < 100 !"# (!"!)	
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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A viga T de madeira mostrada na figura é composta por duas tábuas de 200 mm x 30 mm.
Se a tensão de flexão admissível for sadm = 12 MPa e a tensão de cisalhamento admissível
for tadm = 0,8 MPa, determine se a viga suportará com segurança a carga mostrada.
Especifique também o espaçamento exigido entre os pregos para manter as duas tábuas
unidas, se cada prego puder resistir com segurança a 1,50 kN de cisalhamento.
Exemplo 11.2
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Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Solução
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Viga biapoiada.
1) Calcular as reações de apoio: VB = 1,5 kN e VD = 1 kN.
2) Determinar os diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor.
3) Dividir a viga em duas seções: determinação das equações para o
Esforço Cortante e o Momento Fletor em cada uma delas.
4) Traçar os diagramas e determinar Vmáx e Mmáx.
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Solução
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Diagramas de força Cortante
e Momento Fletor
A partir dos diagramas,
temos que:
Vmáx = 1,5 kN e
Mmáx = 2 kN.m
1,5
-1,0
0,5 kN/m
2 m 2 m
1,5 kN
1,5 kN 1 kN
0,5
V (kN)
M (kN.m)
2
x (m)
x (m)
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Tensão de Flexão
Em primeiro lugar, determinamos a localização do eixo neutro,
portanto, calculamos o centróide da viga T
Uma vez obtido o centróide, calculamos o momento de inércia da
seção:
! = !!! =
0,1 ! 0,03 ! 0,2 ! + (0,215 !)(0,03 !)(0,2 !)
0,03 ! 0,2 ! + (0,03 !)(0,2 !) = 0,1575 !	
! = 112 0,03 ! 0,2 !
! + (0,03 !)(0,2 !)(0,1575 ! − 0,1 !)! 	
+ !!" 0,2 ! 0,03 ! ! + (0,03 !)(0,2 !)(0,215 ! − 0,1575 !)! = 60(10)!!!!	
Solução
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Tensão de Flexão
Visto que c = 0,1575 m (e não 0,230 m – 0,1575 m = 0,0725 m), exige-se
!!"# ≥
!!á!!
! 	
Solução
12(10)!!"# ≥ 2 !".! 0,1575 !60,125 10 !! = 5,24(10)
!!"#	 OK!
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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! = #$ !%! = &0,1575	-2 / [(0,1575	-)(0,03	-)] = 0,372(10
"#)-#	
Solução
800	$%& ≥ 1,5	$+[0,372(10
!)]3!
60,125(10)"#3$(0,03	3) = 309	$%&	
Tensão de cisalhamento
A tensão de cisalhamento máxima na viga depende dos valores de Q e
t. Ela ocorre no eixo neutro, considerando-se Q máxima nesse ponto e o
eixo neutro está localizado na alma, onde a espessura t = 0,03 m da
seção transversal é a menor.
De modo que
!!"# ≥
##á%$
%& 	
OK!
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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! = #$!%! = (0,0725	- − 0,015	-)[(0,2	-)(0,03	-)] = 0,345(10"#)-#	
Solução
Espaçamento dos pregos
Pelo diagrama de esforço cortante, vemos que ele varia ao longo de
todo o vão. Como o espaçamento dos pregos depende do valor do
cisalhamento na viga, para simplificar, calcularemos o mesmo tendo
por base V = 1,5kN para o trecho BC e V = 1 kN para CD. Os pregos
unem a aba à alma
O fluxo de cisalhamento para cada região é, portanto:
!!" =
#!"$
% =
1,5	*+[0,345(10#$)]3$
60,125(10#%)3& = 8,61	*+/3	
!!" =
#!"$
% =
1	()[0,345(10#$)]3$
60,125(10#%)3& = 5,74	()/3	
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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Solução
Espaçamento dos pregos
De acordo com o enunciado, um prego pode resistir 1,50 kN sob
cisalhamento, portanto, o espaçamento torna-se
Para facilitar a medição, usamos
!!" =
1,50	()
8,61	()/- = 0,174	-	
!!" =
1,50	()
5,74	()/- = 0,261	-	
!!" = 150	''	
!"# = 250	''	
Cap. 11– Projeto de vigas e eixos
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