ACriatividadeEnsino-Silva-2016

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA 
ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO 
 
 
 
 
TEREZINHA DE MEDEIROS SILVA 
 
 
 
 
 
A Criatividade no Ensino do M.D.C. 
Atividades práticas para a sala de aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAICÓ - RN 
2016 
 
2 
TEREZINHA DE MEDEIROS SILVA 
 
 
 
 
 
A Criatividade no Ensino do M.D.C. 
Atividades práticas para a sala de aula 
 
Trabalho apresentado ao programa do 
Curso de Especialização em Matemática 
para o Ensino Médio da Universidade 
Federal do Rio Grande do Norte como 
exigência legal para a obtenção do título de 
Especialista. 
 
 
 
 
 Orientador: Prof. Me. Daniel Ecco 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAICÓ - RN 
2016 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial 
Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET. 
 
Silva, Terezinha de Medeiros. 
 
 A criatividade no ensino do M.D.C.: atividades práticas para a sala de aula / 
Terezinha de Medeiros Silva. - Caicó, RN, 2016. 
 47 f. : il. 
 
Orientador: Prof. Me. Daniel Ecco. 
 
Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. 
Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em 
Ensino de Matemática para o Ensino Médio. 
 
1. Máximo Divisor Comum – Monografia. 2. Ensino – Monografia. 3. 
Aprendizagem significativa – Monografia. 4. Modelagem matemática – Monografia. 
I. Ecco, Daniel. II. Título. 
 
RN/UF/BSE-CCET CDU: 511.172 
3 
 
TEREZINHA DE MEDEIROS SILVA 
 
 
Trabalho apresentado ao programa do 
Curso de Especialização em Matemática 
para o Ensino Médio da Universidade 
Federal do Rio Grande do Norte como 
exigência legal para a obtenção do título de 
especialista. 
 
Banca examinadora: 
 
Prof. Me. Daniel Ecco 
Orientador 
 
 
Prof. Esp. Luciana Viera Andrade 
Examinadora 
 
 
Prof. Me. Odilon Júlio dos Santos 
Examinador 
 
 
 
 
 
 
4 
Dedicatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao meu esposo Vânio, companheiro das 
labutas cotidianas, pelo amor dedicado, 
pelo companheirismo exalado, pelo respeito 
dispensado, pela paciência cativa e pelo 
incentivo nas lutas da vida. Você emana a 
força que preciso para materializar tudo o 
que é necessário para acreditar em mim. Por 
tudo que és, te dedico além deste trabalho o 
meu pleno e infinito amor. 
 
 
 
 
5 
Agradecimentos 
 
Agradeço primeiramente a Deus por ser essencial em minha vida. Meu socorro 
em todas as horas. 
Aos meus pais, por sempre acreditarem em mim e estarem sempre ao meu lado 
em todos os momentos. 
A minha irmã, Sabrina, por estar mais próxima de mim nestes últimos meses, 
sempre me apoiando. 
Agradeço ao meu esposo, Vânio, que mesmo distante, me deu força e coragem 
para concluir este trabalho. 
Ao meu professor e orientador, Daniel Ecco, pela colaboração e as leituras tão 
valiosas. 
Muito obrigada a todos que de alguma forma me ajudaram a chegar onde 
cheguei e em especial a minha companheira de curso, Andréa, que sempre me deu 
força. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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“Quem nunca cometeu um erro, nunca 
tentou algo novo.” 
Albert Einstein 
7 
Resumo 
 
 O alicerce deste trabalho está construído a partir das veredas reveladas pelo 
estudo do Máximo Divisor Comum e das múltiplas formas como este pode ser 
apresentado dentro de sala de aula possibilitando assim uma interação diferenciada no 
processo de ensino-aprendizagem dos conhecimentos matemáticos. Partimos dos 
princípios históricos que giram em torno da construção e definição do conceito de 
Máximo Divisor Comum como o conhecemos hoje. Jornada que começa nos primórdios 
da história humana, pois antes de conceituado o Máximo Divisor Comum já era 
utilizado amplamente em muitas civilizações desde a antiguidade. Depois de caminhar 
pelas estradas que levaram o conhecimento matemático ao patamar que ele se encontra 
hoje, passamos a ver as relações que o Máximo Divisor Comum mantém com outros 
elementos matemáticos como o Mínimo Múltiplo Comum. Desta forma, chegamos ao 
ponto central deste TCC que é o processo de ensino que se aplica em sala de aula para 
elucidar o Máximo Divisor Comum de forma inteiramente ligado ao mundo real e à 
realidade dos educandos. Infinitos são os caminhos que a Matemática e a criatividade 
humana oferecem para que um docente possa mostrar e criar uma aula dentro de um 
ambiente onde o foco principal é a construção de saberes de forma simultaneamente 
coletiva e individual. Exemplos podem ser atrativos e ao mesmo tempo lúdicos. Jogos, 
charadas, exemplos escritos, vale tudo na hora de buscar um ensinamento de maior 
qualidade. 
 
 
Palavras chave: Máximo Divisor Comum. Ensino. Aprendizagem significativa. 
Modelagem matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Abstract 
 
The foundation of this work is built from the paths revealed by the study of the 
Greatest Common Divisor and the multiple ways in which this can be presented in the 
classroom thus enabling a different interaction in the teaching and learning of 
mathematical knowledge process. We leave the historic principles that revolve around 
the construction and definition of Greatest Common Divisor as we know it today. 
Journey that begins in the early days of human history, because before conceptualized 
the greatest common divisor was already used widely in many civilizations since 
antiquity. After walking the roads leading mathematical knowledge to the level it is 
today, we come to see the relationships that the greatest common divisor has with other 
mathematical elements such as the Common Multiple Min. Thus, we come to the 
central point of this TCC is the teaching process that applies in the classroom to 
elucidate the Greatest Common Divisor entirely on way to the real world and the reality 
of students. Infinite are the ways that mathematics and human creativity to offer a 
teacher can show and create a class within an environment where the main focus is the 
construction of both individual and collective form of knowledge. Examples can be 
attractive and playful at the same time. Games, riddles, written examples, anything goes 
when seeking a higher quality teaching. 
 
Keywords: Greatest Common Divisor. Education. Significant learning. 
Mathematical modeling. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Sumário 
 
Introdução ................................................................................................................ 10 
 
1. Capítulo 1: Princípios históricos e teóricos do Máximo Divisor Comum .......... 12 
1.1. Princípios históricos ........................................................................................... 12 
1.2. Princípios teóricos .............................................................................................. 16 
 
2. Capítulo 2: O m.d.c. e sua relação com o m.m.c. .................................................. 20 
2.1. Definição de Mínimo Múltiplo Comum ............................................................. 20 
2.2. Relação entre m.d.c. e m.m.c. ............................................................................ 21 
2.3. Outro método para o cálculo do m.m.c. ............................................................. 23 
 
3. Capítulo 3: O jogo de Euclides com a utilização do baralho ............................... 25 
3.1. Princípios históricos do jogo de baralho ............................................................ 26 
3.2. Baralho do m.d.c. ............................................................................................... 26 
 
4. Capítulo 4: Atividades em sala com a utilização do m.d.c. .................................. 38 
4.1. Atividade Destruindo mosaicos..........................................................................38 
 
5. Conclusão ................................................................................................................. 46 
 
6. Referências bibliográficas ....................................................................................... 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Introdução 
 
 Vamos pensar da seguinte forma, quais aspectos nos levam a dizer que 
conhecemos uma pessoa? O que precisamos saber dela para podermos concluir que 
fazemos parte da sua vida e ela faz parte da nossa vida? A resposta é bem óbvia. Não 
podemos conhecer algo ou alguém sem ao menos arranharmos a superfície da sua 
história e do seu processo de construção que lhe levou a tornar-se esse ser. Outro fator 
importante é que conhecemos e aprendemos bem com aqueles e aquilo que de alguma 
forma está ligado à nossa vida cotidiana, ou seja, ao nosso meio de convivência. 
Conviver e conhecer são, portanto, duas palavras que aqui funcionam como chaves para 
abrir as portas dos grandes salões do conhecimento. 
 Talvez até seja possível aprender algo sem ligar este algo à realidade que está 
envolta do indivíduo que aprende. Todavia, este tipo de aprendizagem só pode ser 
formulada quando o aprendiz possui um escopo estrutural muito bem construído dentro 
do universo do saber que ele está aprendendo. O ponto de reflexão exalta-se quando o 
questionamento surge em torno daqueles que ainda estão construindo o seu escopo. 
Quando o conhecimento ainda é uma parte da base e a base nunca para de crescer. 
Pensar no ensino da matemática é ver uma estrada onde o professor é o mapa e os 
discentes são os exploradores. 
 Nenhum mapa revela tudo sem que o seu leitor faça a sua parte. E, todo mapa 
guarda um segredo que desperta a curiosidade daquele que o ler. Metaforicamente, esta 
é a base de uma aula onde os alunos se vejam imersos no processo de construção do seu 
saber e do saber do grupo como um só corpo pensante. 
 Regularmente, a base conceitual do Máximo Divisor Comum é ensinada na 
segunda etapa do ensino fundamental da educação básica brasileira. Contudo, sua 
utilização é para a vida toda. Este último fato pode ser questionado por muitos que 
defendem que alguns saberes matemáticos jamais estarão intricados na realidade de uma 
pessoa que não trabalha nem possui formação na área das Ciências Exatas. A verdade é 
que muitas vezes um ensino sem atrativos leva o educando a desvincular o saber 
matemático da sua realidade e a despi-lo dos seus atrativos. 
 Para um aluno do ensino fundamental, sua visão da matemática já vem carregada 
de preconceitos e concepções formadas ao longo de um ensino mecanizado e 
meramente quantitativo. Quando novos métodos são mostrados, certamente serão 
11 
questionados quanto a sua eficiência e veracidade frente ao objetivo de todo ensino que 
é a aprendizagem. Um jogo que trabalhe o m.d.c., um exemplo que leve o aluno a 
explorar além das paredes de sua sala de aula ou até mesmo uma atividade que instigue 
a sua criatividade são e sempre serão métodos que quebram um pouco a normalidade 
monótona do quadro, pincel e caderno. 
 Desta forma nos deparamos com o objetivo principal que levou ao 
desenvolvimento deste trabalho que é explorar algumas formas inovadoras, atividades 
como o jogo de Euclides utilizando o baralho e o jogo Destruindo mosaicos, de se 
apresentar e ensinar o que é e como se utiliza o Máximo Divisor Comum dentro de 
problemas matemáticos e do dia a dia. Um velho amigo com uma nova roupagem 
sempre se enche de novos valores sem perder seus antigos e preciosos preceitos. Uma 
pequena caminhada que irá revelar grandes passos. Tendo em vista que o Máximo 
Divisor Comum é ensinado entre o sexto e o sétimo ano do Ensino Fundamental II, 
esses são os períodos educacionais para os quais este TCC está voltado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Capítulo 1 
Princípios históricos e teóricos do Máximo Divisor Comum 
 
 “Um número é uma pluralidade composta de unidades.” 
Euclides. 
 
1.1 Princípios históricos 
 
 Pensar as origens históricas do m.d.c. é pensar conjuntamente nas origens do 
processo de divisão o que remonta ao próprio processo de contagem. Existe um 
conjunto unânime de pesquisadores que concordam que os primeiros seres humanos 
aprenderam as primeiras noções de contagem antes mesmo de aprenderem a falar ou a 
escrever. Daí percebe-se que o pensamento lógico matemático mais primitivo e básico é 
algo intrínseco da espécie humana podendo também ser observado em outras espécies 
de animais. 
 O processo de contagem, no entanto, é algo que veio a surgir quando as 
sociedades nômades começaram a se organizar em conjuntos sociais mais complexos e, 
a partir de então, as necessidades foram se tornando cada vez maiores e com mais 
exigências. Antes a comida que alimentava cinco, agora deve ser dividida para 
alimentar dez. Tais necessidades exigiram que o ser humano fosse aos poucos 
sofisticando os seus processos de contagem para que desta forma pudesse manter algum 
controle sobre o seu meio social e de sobrevivência. 
 Como propulsor no desenvolvimento do processo de contagem, e por 
consequência nas operações ligadas a ele, tem-se o fato de que em um dado momento o 
homem passou a comparar conjuntos para poder ter a noção de quantidade. Era 
dobrando os dedos da mão que um pastor podia conferir se o seu rebanho estava 
completo. Caso o número de animais no rebanho fosse superior aos dez dedos da mão 
usava-se um conjunto maior como um monte de pedras ou entalhes num bastão. O 
interessante aqui aparece quando se observa que estas foram as primeiras relações entre 
conjuntos na história humana. 
 Um dos mais antigos registros históricos sobre o processo de contagem que se 
conseguiu tomar conhecimento é o Osso de Ishango. Este artefato arqueológico foi 
encontrado na região de Ishango que se localiza na fronteira entre o Congo e Uganda. 
13 
Suas inscrições revelam os primeiros registros de inscrições de natureza numérica. O 
osso em si carrega três faces onde foram gravados três conjuntos de ordem numérica 
que ao serem analisados e perto revelam um conhecimento um tanto sofisticado dado a 
sua idade histórica de mais de 20 000 anos. 
 
 
Figura 1.1: As faces do Osso de Ishango – Institutroyaldessciencesnaturelles de Belgique 
 
 Para cada face foi designado um conjunto numérico. Em uma das faces é 
possível distinguir o conjunto 9, 19, 21, 11. Em outra se tem os números 19, 17, 13 11. 
Na terceira face tem-se 7, 5, 5, 10, 8, 4, 6, 3. Este último conjunto apresenta soma 60, o 
que pode ser um forte indício de uma relação com os meses lunares. Outra coisa 
importante observada nos entalhes do Osso de Ishangosão os números primos 
sequenciais 11, 13, 17 e 19. Com isso, é possível prever que mesmo nessa época já se 
havia um gradual conhecimento dos números em sua forma primitiva o que não deixa 
de dar abertura para que o processo de divisão fosse desenvolvido de forma prática.1 
 A Matemática em si ainda não estava sendo desenvolvida oudescoberta, mas 
esses primeiros ensaios nos processos de contagem proporcionaram às sociedades 
organizadas como a Mesopotâmica e a Egípcia uma base sólida para que estas 
aventurassem seus primeiros passos no universo dos números. 
 A matemática mesopotâmica já dispunha de um método de registro feito através 
da escrita cuneiforme. Os conhecimentos matemáticos desenvolvidos na sociedade 
mesopotâmica eram de caráter extremamente prático, com algumas exceções, e voltado 
para questões de cunho comercial e econômico. Tal fato é compreensível quando se 
olha pela ótica de que as cidades da sociedade mesopotâmica eram centro comercias em 
sua maioria. 
 1Mol, Rogério S. Introdução à história da Matemática. UFMG, 2013. 
14 
 Pela natureza de suas questões comerciais e econômicas, os babilônicos, povo da 
Babilônia que era a cidade mais desenvolvida de toda a Mesopotâmia, estudaram e 
desenvolveram-se muito em cima do processo de divisão. O trabalho comtaxas de 
juros, câmbio de moedas e divisão de colheitas exigia operações matemáticas de 
natureza diversa. As tábuas de divisão eram frequentemente consultadas para a 
verificação de resultados. Tais tábuas ou tabuletas eram feitas de barro onde eram 
cunhados os resultados e operações matemáticas e depois eram cozidos para aumentar 
sua durabilidade. 
 
Figura 1.2: Tábua babilônica com elementos matemáticos 
 
 Considerando o pressuposto das divisões de colheitas entre outras divisões de 
bens comercias que compunha o universo econômico babilônico, elucida-se que, apesar 
de não registrado, os Babilônicos realizavam operações de comparação entre divisores 
de dois ou mais números e, desta forma, fincavam mais uma base para a conceituação 
do Máximo Divisor Comum de dois números ou duas grandezas. 
 Outra grande civilização que deixou suas marcas na história humana foi a 
sociedade Egípcia. Esta ficou marcada por suas grandes construções arquitetônicas que 
foram grandes basilares para o crescimento fértil de muitos conhecimentos 
matemáticos. Pela construção das grandes pirâmides do Egito fez-se necessário o 
desenvolvimento de um grande estoque de registros matemáticos. Os egípcios 
dispunham de um grande conhecimento em relação às operações com grandezas. 
A determinação de divisores de um número, bem como a própria operação de 
divisão, realizado pelos egípcios se dava a partir de um processo conhecido como 
“duplicação”. Isto ocorria devido ao fato de que os egípcios concebiam a adição como a 
operação fundamental da aritmética da qual todas as outras derivavam. 
15 
O maior aprofundamento das divisões matemáticas e das determinações de 
divisores ocorre quando ao fim de cada cheia do rio Nilo era preciso dividir as terras 
novamente aos seus proprietários. 
Muitos registros de problemas matemáticos elaborados e resolvidos pelos 
egípcios chegaram aos dias de hoje através dos papiros escritos em hieróglifos. Tais 
problemas envolvem as mais diversas áreas da matemática hoje conhecida. Em suma 
são problemas de ordem geométrica e aritmética voltados para situações reais que 
requisitaram tais conhecimentos. A ideia de múltiplos e divisores aparece com alguma 
frequência dentro de muitos dos problemas. 
O mais famoso dos registos matemáticos da sociedade egípcia é o papiro de 
Rhind. Este papiro ficou assim conhecido por ter sido adquirido pelo egiptólogo escocês 
Alexander Rhind no ano de 1858. Sua datação é de 1650 a. c. O conteúdo do papiro 
consta de 84 problemas de ordem aritmética e geométrica com suas respectivas 
soluções.2 
 
 
Figura 1.3: O papiro de Rhind 
 
 Todo o conhecimento matemático que foi desenvolvido nas primeiras sociedades 
organizadas foi sendo registrado e passado de um povo para outro através das viagens 
comercias, principalmente. Com este processo de troca e aperfeiçoamento de 
conhecimentos, a sociedade Grega foi uma das principais impulsionadoras dos estudos 
matemáticos em torno dos mais variados ramos da ciência dos números. Foi na Grécia 
 2Mol, Rogério S. Introdução à história da Matemática. UFMG, 2013. 
16 
que a Matemática conheceu seu primeiro grande apogeu de descobertas e estudos 
lógicos apurados. 
 Muito se deve às grandes escolas gregas de estudos matemáticos. Escolas como 
a Sociedade pitagórica, como a Escola de Platão e como os Eleatas. Cada uma dessas 
organizações teve seu papel fundamental no desenvolvimento de toda a base 
matemática conhecida no período clássico. Nesses espaços de estudos os números eram 
adorados e muitas vezes até endeusados pelos seus estudiosos. O conhecimento 
matemático era algo visto como um conhecimento superior e acessível a poucos 
cidadãos da Grécia clássica. 
 Quase que totalidade da produção matemática da Grécia chegou aos tempos 
atuais. No entanto, a mais famosa obra matemática grega é o conhecido compendio de 
livros escritos pelo grego Euclides de Alexandria. Tal compendio é denominado de Os 
elementos de geometria. A coleção de os Elementos é composta por treze livros ou 
capítulos que tratam entre outras coisas de um apanhado muito bem elaborado de 
proposições matemáticas sobre geometria e algumas de ordem aritmética. 
 Sua influência pode ser sentida quando se analisa o fato de que Os elementos foi 
um dos textos que mais influenciaram no desenvolvimento da Matemática como se 
apresenta hoje. Por muito tempo foi um dos livros bases mais utilizados como livro-
texto no ensino da matemática e considerado um dos mais lidos e editados também. 
 O ponto interessante, para este trabalho, encontrado em umas das definições que 
compões Os elementos é fato de que esta é a primeira obra que traz uma linguagem 
lógica e concisa sobre muitos temas da matemática e, entre eles, encontra-se a primeira 
definição de Máximo Divisor Comum. 
 Pouco se alterou da definição de . . . que reside no livro de Euclides para a 
definição de . . . que se estuda e ensina hoje em dia nos meios matemáticos e nas 
escolas. Em contraposição ao pouco que se alterou, tem-se o muito que foi construído e 
descoberto a partir da definição de divisores e de . . . deixadas por Euclides em sua 
obra. A base teórica em torno do . . . consta de séculos, mas sua importância jamais 
cairá nas brumas do tempo. 
 
1.2. Princípios teóricos 
 
 A ideia de Máximo Divisor Comum passa a ser introduzida na educação básica 
desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Isto se dá pelo fato de que o estudo do 
17 
m.d.c. auxilia de forma bastante direcionada o estudo de muitos outros conteúdos 
matemáticos além de ampliar os conceitos que os alunos possuem de divisibilidade e da 
relação que os números mantêm entre si. 
 Inicialmente, será definido o . . . para o conjunto dos números naturais. 
Porém essa definição será expandida para o conjunto dos números inteiros no decorrer 
do desenvolvimento deste trabalho. 
 
 1.2.1. Definição. Sejam a e b números naturais, sendo que a e b não podem ser 
nulos simultaneamente. Chama-se um número natural d de Máximo Divisor Comum de 
a e b se, e somente se, são satisfeitas as seguintes condições: 
i. d é divisor de a e d é divisor de b; 
ii. Se k é um divisor de a e k é um divisor de b, então k é um divisor de d; 
 
Por convenção, sendo do máximo divisor comum de a e b, escreve-se que 
= ( , ). 
 Analisando a primeira condição para a existência do m.d.c. percebe-se que d 
sendo o máximo divisor comum de dois números, então qualquer outro divisor comum 
a estes números deverá ser estritamente menor do que d. Segue ainda que d deverá ser 
estritamente maior do que zero ( > 0).3 
 
 1.2.2. Propriedades do m.d.c. no conjunto dos números naturais 
 
1. Se x é um número natural não nulo, então o ( , 0) = . 
Demonstração. 
Seja a um número natural então pelo algoritmo da divisão segue que 
= . 1 + 0 e 0 = 0. + 0. 
Portanto, | e |0. 
Se é um número natural tal que | e |0, então | ( , 0). 
Logo, ( , 0) = . 
 
2. Dados números naturais não nulos simultaneamente. Se | 
então ( , ) = . 
 3Maier, Rudolf R. Teoria dos números. Texto de aula. Universidade de Brasília, 2005. 
18 
Demonstração. 
 Tem-se que | , pois = . 1 + 0 e | por hipótese. 
 Se é um número natural de modo que | | , então | ( , ). 
 Logo, ( , ) = . 
 
1.2.3. O cálculo do mdc pelo Algoritmo de Euclides 
 
 Até agora a noção de cálculo do . . . está inteiramente ligada ao 
conhecimento de todos os divisores dos números aos quais se quer conhecer o . . . 
No entanto, este se torna um método cansativo e demasiadamente longo quando se trata 
de números com mais de cinco dígitos. O algoritmo de Euclides permite o cálculo do 
. . . de dois ou mais números sem que haja a necessidade de conhecerem-se todos os 
divisores de tais números. 
 
Proposição 1. (Algoritmo de Euclides) Sejam , , , números naturais com ≠ 0 
e = . + , 0 ≤ < . Então ( , ) = ( , ). 
Demonstração. 
 Seja = ( , ), então | . 
 Por hipótesesegue que = . + e sabendo que | tem-se como resultado 
que | . | . Ou seja, | | . 
 Agora, seja um divisor de . Então, | . | o que implica que 
|( . + ). Daí, | . Assim, é um divisor de o que implica que é um divisor 
de = ( , ). 
 Logo, ( , ) = = ( , ), quando é o resto da divisão euclidiana de 
 por . 
 
 É preferível tomar o maior número como dividendo e o menor como divisor. 
Note ainda que o processo fornecido pelo algoritmo de Euclides tem etapas finitas uma 
vez que este está ligado ao algoritmo da divisão que torna os restos limitados pelo 
divisor. A cada etapa os divisores são os restos e estes diminuem gradativamente. 
 
1.2.4. Resultados relevantes 
 
19 
1. O . . . de três números ou mais é calculado por etapas. Toma-se 
inicialmente dois dos números em questão e calcula-se o seu . . . O 
resultado encontrado fará par com o próximo número para um novo cálculo 
de . . . Ao fim de todas as etapas e quando não restar mais números, o 
. . . encontrado por último será o válido para todos os números em 
questão. 
 
2. Dois números são tidos como primos entre si ou relativamente primos 
quando o . . . desses dois números for igual a 1. Ou seja, sendo 
 números naturais, então são primos entre si se, e somente se, 
( , ) = 1. 
 
3. Proposição. Sejam , números naturais. Se = ( , ), então 
 
= ( , ). 
 
4. Proposição. Sejam , números naturais tais que = ( , ). Então 
os quocientes das divisões de por e de por são números 
relativamente primos. 
 
5. Proposição. Sejam , números naturais. Se | e ( , ) = 1 , 
então | . 
 
6. Dentro do conjunto dos números inteiros o cálculo do . . . precede todas 
as propriedades do cálculo do . . . no conjunto dos números naturais. 
 
7. O . . . sempre será um número positivo não nulo o que implica em 
( , ) = (| |, | |) para < 0 < 0. 
 
 
 
 
 
 
20 
Capítulo 2 
O m.d.c. e sua relação com o m.m.c. 
 
2.1. Definição do Mínimo Múltiplo Comum 
 
2.1.1 Definição. Sejam e números naturais. Um número natural 
denomina-se mínimo múltiplo de e se, e somente se, são satisfeitas as condições: 
 i. é múltiplo de e é múltiplo de ; 
 ii. se é múltiplo de e é múltiplo de , então é múltiplo de . 
 
 Por convenção, denota-se que ( , ) = sempre que for o mínimo 
múltiplo comum de e . A partir de agora, segue-se o uso desta notação para os 
problemas que se seguem. 
 Analisando a primeira condição, concluímos que para que um número seja o 
mínimo múltiplo comum de dois números naturais e é preciso que este número seja 
simultaneamente múltiplo de e de . A segunda condição define que qualquer outro 
número que seja múltiplo de e também será múltiplo de . Desta forma, segue-se a 
minimalidade do . . . de dois números naturais. 
 Outra observação importante sobre o . . . é que, assim como o . . ., a 
ordem dos números não interfere no resultado. Ou seja: 
 
( , ) = ( , ) 
 
 O trabalho de análise de cálculo e entendimento significativo do . . . 
consiste em conhecer os múltiplos de cada um dos números envolvidos no processo de 
determinação do . . . Com isso, o docente possui um leque amplo de abordagens de 
resolução de problemas relacionados ao . . . e suas aplicações. Abaixo segue um 
problema de ordem procedimental o que dá ao aluno uma ampla visão do que de fato 
são os múltiplos de um número e como ocorre a minimalidade de um múltiplo comum a 
dois números. 
 
21 
 2.1.2 Exemplo. Determine o menor número natural que é divisível 
simultaneamente pelos números 12 e 14. 
 A ideia de passo inicial é que o docente conduza os educandos a escreverem 
separadamente uma lista de múltiplos de cada número. A tabela abaixo é formada pelos 
múltiplos do número 12. 
 
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 
 
 O próximo passo é escrever os múltiplos do número 14 como segue na tabela a 
seguir. 
 
14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 
 
 Após a determinação de certa quantidade de múltiplos de cada um dos números 
em questão o passo seguinte é a comparação das duas tabelas em uma terceira tabela 
como a tabela a seguir. 
 
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 
14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 
 
 Pela simples observação da tabela acima é fácil identificar que o primeiro 
múltiplo que se apresenta comum aos números 12 e 14 é o número 84. Este é um 
processo analítico de determinação do . . . de dois números naturais ou inteiros. 
Com isso os alunos ampliam o entendimento dos conceitos de múltiplos e de 
determinação de múltiplos. 
 
2.2. Relação entre m.d.c. e m.m.c. 
 
 Uma das mais interessantes faces da matemática é o fato de que tudo no 
universo matemático está interligado. Aos poucos as relações matemáticas entre duas 
grandezas vão sendo descobertas e devem ser explorados por pesquisadores e por 
professores. Nada no meio matemático está preso a um único caminho. Sempre existe 
22 
mais de uma forma de expor um saber matemático e este sempre deve ser um ponto de 
alicerce para os professores de matemática. 
 Em si tratando do ensino e da construção de uma aprendizagem com sentido e 
significado é preciso renovar e inovar a cada novo passo. O ensino do . . . pode e 
deve ser aliado ao ensino do . . . de muitas formas. No entanto, a principal delas 
consiste na proposição apresentada a seguir. 
 
 Proposição. Sejam e números naturais não nulos. Então, 
 
( , ). ( , ) = . 
 
 Tal proposição nos diz que sabendo o . . . de dois números naturais é 
possível calcular o . . . destes números através da igualdade. Desta forma, temos 
um método mais rápido para o cálculo do . . . de dois números, pois, como já foi 
apresentado, pelo algoritmo de Euclides é possível encontrar o . . . dos números e 
depois basta utilizar a igualdade exposta na proposição acima. 
 
 Exemplo. Dados os números 8 e 18. Calcular o . . . destes números. 
 A ideia aqui é elucidar nos educandos a utilidade da relação entre o . . . e o 
. . . e observar a sua praticidade. Assim, o primeiro passo é calcular o . . . de 8 e 
18. 
 Pelo algoritmo de Euclides temos que 
 
18 2 0 
8 4 
 
 Assim, após as divisões sucessivas do algoritmo de Euclides, chegamos ao 
resultado que (18,8) = 2. 
 Agora, para o cálculo do . . . basta aplicar a igualdade 
( , ) ( , ) = 
 Aplicando, o educando poderá comprovar de forma prática a utilidade da 
igualdade em problemas que exijam as duas grandezas entre números naturais ou 
inteiros. Daí, 
23 
2. (18,8) = 18.8 
(18,8) = 72 
 Após encontrar o . . . e já tendo conhecimento do . . . os alunos podem 
fazer, separadamente, as multiplicações da igualdade da proposição para poderem 
verificar os resultados depois. Portanto, 
(18,8) (18,8) = 18.8 
(18,8) (18,8) = 2.72 = 144 
18.8 = 144 
 Através desta verificação simples os educandos podem atribuir um significado a 
mais aos conceitos de Máximo divisor comum e de Mínimo múltiplo comum e a relação 
que eles mantêm entre si. Uma porta de novas possibilidades de estudos se abre a partir 
destes novos entendimentos. 
 
2.3. Outro método para o cálculo do m.m.c. 
 
 Em si tratando de possibilidades, vale a pena mostrar mais um método que 
permite a determinação do . . . de dois números naturais ou inteiros sem que seja 
necessário o cálculo do . . . destes números. Tal método é conhecido como 
decomposição em fatores primos. 
 Pela Teoria dos números e pelas proposições dos Elementos de Euclides, 
sabemos que todo número natural ou inteiro possui uma e somente uma decomposição 
em fatores primos. Essa é a base do método de decomposição em fatores primos. 
 Após a decomposição de cada um dos números em fatores primos, basta 
selecionar os termos comuns e não comuns de cada decomposição que possuam o maior 
expoente ou que se repitam mais vezes nas decomposições. O exemplo abaixo dá corpo 
ao que foi dito. 
 
 Exemplo. Calcular o (20,6). 
 O docente aqui deve guiar os alunos a realizarem as decomposições 
separadamente nos primeiros problemas trabalhados, pois com esta separação os 
educandos poderão observar melhor os passos da decomposição emfatores primos e do 
seu papel no cálculo do . . . 
 Sejam, as decomposições 
24 
20 = 2 . 5 e 6 = 2.3 
 Utilizando o método de comparação das decomposições, separamos os termos 
que possuem os maiores expoentes nas decomposições. Assim, 
(20,6) = 2 . 3. 5 = 60 
 Observando a última igualdade é possível verificar que o . . ., ao contrário 
do . . . , utiliza todos os fatores que aparecem nas decomposições. Uma vez 
familiarizados com o cálculo a partir das decomposições separadas, os discentes podem 
partir para a utilização da decomposição simultânea dos números. Utilizando os 
mesmos números, segue que 
20 6 2 
10 3 2 
5 3 3 
5 1 5 
1 1 60 
 
 Este método de decomposição simultânea torna o cálculo do . . . ainda mais 
rápido e prático quando utilizado em alguns problemas como aqueles que envolvem 
frações de denominadores variados. 
 Outra observação importante é que, assim como o . . ., o . . . pode ser 
determinado para mais de dois números naturais ou inteiros. O método da 
decomposição simultânea não tem um número restrito de números podendo ser aplicado 
para quantos números o problema exigir. 
 Como já foi mencionado de outras formas, ensinar exige certas remodelagens a 
cada período de tempo. Inovar e renovar são verbos que devem ser bastante utilizados 
por docentes que almejam proporcionar aos seus aprendizes saberes que serão sempre 
os pilares para a elucidação de novos saberes a cada nova etapa na busca pelo 
conhecimento. Desta forma, os próximos capítulos serão construídos em cima de 
algumas atividades de modelagem e aplicação do conceito e cálculo do . . . O ponto 
principal é mostrar novas formas de ensinar o . . . nas séries iniciais do ensino 
fundamental. 
 
 
 
25 
Capítulo 3 
O jogo de Euclides com a utilização do baralho 
 
“Jogo é uma palavra, uma maneira de expressar o 
mundo e, portanto de interpretá-lo. Precisamos, pois 
reconhecer que estamos tratando de uma concepção 
complexa na medida em que, em torno de um nó de 
significações, giram valores bem diferentes: a noção 
aberta a interpretações e, sobretudo, a novas 
possibilidades de análise. Pode-se descobrir um 
paradigma dominante em torno da oposição ao 
trabalho, mas também potencialidades diversas 
conforme se favoreça essa ou aquela direção de seu 
desenvolvimento.” 
Santa Marli Pires dos Santos (1997, p. 90) 
 
 Trabalhar um jogo dentro do universo da sala de aula é dar aos alunos a 
oportunidade de terem uma nova perspectiva dos conteúdos trabalhos e da matemática 
em si. Um jogo traz consigo inúmeros objetivos fundidos ao seu desenvolvimento. Tais 
objetivos quando alcançados levam os alunos a elucidarem de uma nova maneira 
saberes já conhecidos. Há também o vértice da competição saudável. É natural do ser 
humano competir nos mais diversos âmbitos da vida social. Desde os primórdios a 
competição fez o ser humano aprender e evoluir com sua aprendizagem.4 
 Trabalhar o . . . através de um jogo é mostrar de forma interativa o processo 
de construção desta grandeza matemática. O jogo permite interação entre alunos e 
docentes e entre alunos e alunos. A ideia central deste capítulo é apresentar um jogo que 
consiste no cálculo do . . . através das cartas de um baralho moderno. Antes vamos 
entender um pouco da história do baralho. 
 A realização deste jogo é indicada após os alunos já terem uma base formulada 
acerca dos conhecimentos sobre o m.d.c. Isto, pelo fato do jogo exigir um certo domínio 
do Algoritmo de Euclides. Daí, o jogo é mais uma forma de fixar e aprofundar os 
saberes em torno do . . . e da sua multiplicidade de aplicações dentro e fora do 
universo matemático. 
 
 4Ribeiro, Elcy Fernanda Ferreira. O ensino da Matemática por meio de jogos de regras, 2004. 
26 
 3.1. Princípios históricos do jogo de baralho 
 
 Como a maioria dos jogos que se perpetuaram através dos tempos, as origens do 
Jogo de baralho estão envoltas em estórias e lendas que pouco datam e pouco falam dos 
seus criadores. Mas ainda assim alguns destes relatos históricos merecem ser registrados 
devido as suas fundamentações culturais dentro da história da humanidade. 
 Por muito tempo, jogos de cartas foram proibidos na maioria das civilizações 
humanas devido ao fato de serem vistos como jogos que propiciavam a enganação e o 
azar daqueles que estavam envolvidos nas partidas. Os primeiros relatos conhecidos de 
jogos de cartas advêm da China antiga. Muitas pessoas foram presas e condenadas no 
império chinês devido o desenvolvimento de cartas. 
 Contudo, muitas outras civilizações também desenvolveram jogos com base na 
utilização de cartas. Por exemplo, existem baralhos de origem coreana, persa e indiana. 
Cada jogo possui suas regras e seus objetivos. Em síntese, todos eles têm como plano de 
fundo a leitura das jogadas e a busca da vitória através do raciocínio lógico. 
 Hoje, o baralho moderno, como o conhecemos, foi inicialmente criado na China 
por um imperador que o criou para distrair suas várias esposas. Essa é uma das lendas 
contadas, mas que não podem ser ligadas a um nome em específico. 
 Historicamente, o que existe de concreto a respeito do baralho moderno de 52 
cartas é que em meados de 1294 sua existência foi registrada na China. O percurso que 
o levou para a Europa permanece desconhecido até hoje, mas sabe-se que ele chegou 
por volta do século XIV trazido por mamelucos. Foi na Europa que o baralho assumiu a 
forma com a qual permanece até hoje e que oferece infinitas possibilidades de 
divertimento. 
 Das infinitas possibilidades de utilização do baralho, sua utilização em sala de 
aula não poderia ser esquecida. 
 
 3.2. O baralho do MDC 
 
 Objetivos do jogo 
 O objetivo principal do baralho do . . . é desenvolver o cálculo do . . . de 
dois números naturais através de um jogo que exige além dos saberes matemáticos das 
operações um raciocínio lógico perspicaz e um pouco de sorte nas jogadas realizadas. 
27 
Outro objetivo resida no incentivo a interação dos alunos entre si bem como dos alunos 
com novos materiais de estudo. 
 
 Material necessário 
 O jogo foi pensado para ser executado em duplas. Desta forma, o docente deve 
dispor de um número de baralhos de 52 cartas cada correspondente ao número de duplas 
que existir na turma de alunos onde a atividade será realizada. 
 
 Regras 
1. O baralho deve conter exatamente 52 duas cartas divididas em 4 naipes; 
2. Cada jogador deverá sacar inicialmente cinco cartas; 
3. O Baralho deve estar devidamente embaralhado para as cartas variarem os 
naipes; 
4. Para cada baralho devem ser apenas dois jogadores; 
5. Após o saque inicial cada jogador terá direito de sacar quantas cartas forem 
necessárias até conseguir o resto recorrente para ele encerrar sua jogada; 
6. Caso as cartas do montante de saque se esgotem, ambos os jogadores devem 
embaralhar novamente as cartas que possuem na mão e no montante de descarte 
para poder prosseguir com o jogo; 
7. O jogo termina quando apenas um dos jogadores possuir resto na mesa; 
8. Vence que estiver como o resto na mesa. 
 
 Desenvolvimento 
 Vamos discorrer sobre o desenvolvimento e as regras do jogo através da 
elucidação de um exemplo aplicacional do próprio jogo. 
 Antes de tudo é preciso conhecer os valores de cada carta do baralho. Conforme 
conhecido um baralho de jogo moderno é formado por quatro naipes: paus, espada, 
copas e ouro. Cada naipe é constituído por 13 cartas. Nove das cartas são numeradas de 
2 a 10 e seus valores serão correspondentes a sua numeração. Existem também em cada 
naipe as cartas de ás, valete, dama e rei. Respectivamente, seus valores são 1, 11, 12 e 
13. Os baralhos utilizados são conforme o representado na figura abaixo: 
 
28 
 
Figura 3.1. Baralho moderno de 52 cartas5 
 
 Após o docente explicar aos alunos o valor de cada carta, o próximo passo é 
dividir as duplas para poder distribuir os baralhos entre as duplas. Caso o número de 
alunos presentes seja um número ímpar, o professorpoderá ocupar lugar em uma dupla 
para que o número de jogadores se torne par e assim o jogo possa fluir. Embaralhar as 
cartas é um passo muito importante pois assim os valores das cartas se tornam aleatórios 
dentro do montante e o resultado do jogo fica indeterminado até o final da partida. 
 Quando cada dupla embaralhar suas cartas, o professor deve orientar que o 
montante seja colocado com a face de valores oculta pela face rendada em desenhos. 
Então, cada aluno da dupla deve retirar cinco cartas do montante. No nosso exemplo, 
vamos definir dois jogadores: Jogador 1 e Jogador 2. 
 O Jogador 1 faz sua retirada de cartas conforme a Figura 3.2. 
 
 
Figura 3.2. Cartas do Jogador 16 
 5 Imagem do autor, 2016; 6 Imagem do autor, 2016; 
29 
 Em seguida, o Jogador 2 faz sua retirada conforme mostra a Figura 3.3. 
 
 
 
Figura 3.3.Cartas do Jogador 27 
 
 Agora que ambos os jogadores fizeram suas retiradas, o passo seguinte é definir 
os números que serão a base para o cálculo do . . ., ou seja, vamos definir e para 
poder calcular ( , ). Cada um dos números será definido pela soma dos valores de 
cada carta. 
 Para o Jogador 1 temos os seguintes valores: 1, 6, 8, 9 e 12. Daí a soma vale 36. 
Para o Jogador 2 temos os seguintes valores: 1, 2, 6, 7, 10. Segue que a soma do 
Jogador 2 equivale a 26. Pela comparação dos valores obtidos pelas somas determinadas 
tem-se que o jogador que tiver o maior valor começa o jogo. Assim, o Jogador 1 é quem 
começa. 
 O Jogador 1 deve dividir o valor das suas cartas pelo valor das cartas do Jogador 
2. Segue que: 
36
26 = 1.26 + 10 
 
 Através da operação acima é possível perceber que temos o resto 10. Esse resto 
determinar que o Jogador 1 deve sacar cartas do montante até que possua em sua mão o 
valor 10. Vejamos a primeira carta puxada conforme a Figura 3.4. 
 
 
 7 Imagem do autor, 2016; 
30 
 
Figura 3.4. Primeira carta sacada pelo Jogador 18 
 
 Como o valor ainda não corresponde ao resto da divisão, o Jogador 1 deve sacar 
mais uma carta do montante. 
 
 
Figura 3.5. Cartas sacadas pelo Jogador 19 
 
 Das cartas sacadas pelo Jogador 1 segue que seus valores implicam que 
 
7 + 3 = 10 
 
 Desta forma, o jogador 1 deve substituir suas cartas de soma 36 pelas cartas de 
soma 10. As cartas de soma 36 são descartadas em um montante separado do montante 
 8 Imagem do autor, 2016; 9 Imagem do autor, 2016; 
31 
de saque. Com isso o Jogador 1 encerra sua jogada. Neste momento, o discente deve 
perceber que aquele que está jogando sempre possui o número maior definido pela soma 
de suas cartas. 
 Da mesma forma que o Jogador 1 o Jogador 2 deve realizar a divisão do seu 
valor pelo valor do Jogador 1. Daí: 
 
26
10 = 2.10 + 6 
 
 Mais uma vez temos a existência de um resto na divisão. Agora, o Jogador 2 
deve sacar cartas até conseguir uma soma igual a 6. 
 
 
 
Figura 3.6. Primeiro saque do Jogador 210 
 
 10 Imagem do autor, 2016; 
32 
 
Figura 3.7. Segundo saque do Jogador 211 
 
 Com os dois primeiros saques o Jogador 2 não obteve ainda uma soma igual a 6. 
Seus saques devem prosseguir então. 
 
 
Figura 3.8. Terceiro saque do Jogador 212 
 11 Imagem do autor, 2016; 12 Imagem do autor, 2016; 
33 
 
Figura 3.9. Quarto saque do Jogador 213 
 
 
Figura 3.10. Quinto saque do Jogador 214 
 
 
Figura 3.11. Resultado após sete saques do Jogador 215 
 13 Imagem do autor, 2016; 14 Imagem do autor, 2016; 
34 
 Com a realização de sete saques, o Jogador 2 consegue uma com valor 1 e outra 
com valor 5 o que lhe dá soma 6. Daí as cartas de soma 26 são descartadas no montante 
de descarte e no seu lugar são colocadas as cartas de soma 6 conforme a figura abaixo. 
 
 
Figura 3.12. Cartas de soma seis16 
 
 Encerrada a jogada o Jogador 2 passa a vez para o Jogador 1. O Jogador 1 deve 
efetuar a operação seguinte: 
 
10
6 = 1.6 + 4 
 
 Como o Jogador 1 não possui nenhuma carta sacada, ele deve sacar cartas até 
obter a soma 4. Segue a sequência de saques na figura 3.13. 
 
 15 Imagem do autor, 2016; 16 Imagem do autor, 2016; 
35 
 
Figura 3.13. Sequência de saques do Jogador 117 
 
 Tendo conseguido uma carta de valor 4, o Jogador 1 substitui seu montante de 
valor 10 pela carta de valor 4 e encerra sua jogada. 
 
 
Figura 3.14. Montante do Jogador 1 ao final da jogada atual18 
 
 O jogo será encerrado e o ganhador conhecido quando um dos jogadores não 
dispor mais de um resto para substituir o seu montante. Ou seja, quando o resultado da 
divisão for exato o que implica em resto igual a zero. Agora, o Jogador 2 inicia sua 
jogada com a operação de divisão para definir qual resto substituirá o seu montante 
atual. Pela operação determina-se que o resto da divisão de 6 por 4 é igual a 2. Feito 
isso é hora de conferir as cartas, resultantes dos saques anteriores, que o Jogador 2 
 17 Imagem do autor, 2016; 18 Imagem do autor, 2016; 
36 
possui na mão. Pela figura 3.11. é possível notar que o Jogador 2 não possui cartas cuja 
soma seja igual a dois, então é necessário sacar para se obter tal soma. 
 
 
Figura 3.15. Cartas da mão do Jogador 2 após o saque19 
 
 Agora, o Jogador 2 possui uma carta de valor 2 que será substituída pelo seu 
montante em jogo. Desta forma, o Jogador 2 encerra sua jogada e passa a vez para o 
Jogador 1 iniciar a sua jogada. O Jogador 1 realiza a operação abaixo mostrada: 
 
4
2 = 2 
 
 O montante do Jogador 1 quando dividido pelo montante do Jogador 2 fornece 
um valor exato e não deixa resto de divisão. Com isso, o Jogador 1 fica impossibilitado 
de prosseguir sua jogada, pois seu montante de soma 4 é descartado o que implica que 
ele não terá mais montante para pôr no jogo. A conclusão do jogo é que o Jogador 2 
vence a partida pelo fato deste ainda possuir seu montante de valor 2. 
 Conforme observado no decorrer da descrição do exemplo elucidativo do 
baralho do . . ., os passos de cada jogada nada mais são do que os passos realizados 
pelo Algoritmo de Euclides para a determinação do . . . de dois números naturais 
quaisquer. O vencedor é aquele que possui o . . . das somas inicias ao final da 
partida. Logo, os discentes percebem que o . . . de 26 e 36 é igual a 2. 
 19 Imagem do autor, 2016; 
37 
 O jogo baralho do . . . pode ser desenvolvido de outras formas como, por 
exemplo, os jogadores podem iniciar uma nova partida tomando como base as cartas 
que possuem na mão que são resultado da última partida realizada. Ou seja, se o 
Jogador 1 e o Jogador 2 fossem iniciar uma nova partida tomando como base o critério 
das cartas na mão seus valores seriam 52 e 60. Respectivamente para o Jogador 1 e para 
o Jogador 2. 
 Uma nova partida, novos valores, novas aprendizagens. Os discentes 
conseguem, a partir do jogo, iniciar a previsão dos passos e desta forma prever suas 
jogadas de modo a definir o . . . e vencer o jogo. Outra possibilidade de jogar é 
utilizar o produto dos valores das cartas como ponto de partida e como operação base na 
determinação dos montantes em cada jogada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
Capítulo 4 
Atividade em sala com a utilização do m.d.c. 
 
 Aqui abordaremos e apresentaremos atividades que envolvem a descoberta do 
m.d.c. através da utilização de objetos e ferramentas de carátergeométrico. O princípio 
básico é que os alunos utilizem o menor número possível de cálculos e que, ainda assim, 
cheguem a um resultado plausível para o cálculo do . . . Outro ponto chave é o fato 
do despendimento da ideia do Máximo Divisor Comum está somente ligado a 
problemas de ordem algébrica e de caráter meramente mecânico. 
 Vale salientar ainda que esta é uma atividade prévia do conteúdo do . . . Ou 
seja, a partir desta atividade os educandos juntamente com o professor irão firmar as 
bases para os próximos estudos em torno dos conceitos e conteúdos que envolvem o 
. . . 
 
 
4.1. Atividade Destruindo mosaicos 
 Objetivo da atividade 
 A atividade constitui em uma forma lúdica e divertida de se reforçar o conceito e 
as aprendizagens que envolvem o . . . e os problemas que requerem o uso deste. 
Outro objetivo implícito na atividade é o incentivo ao desenvolvimento das relações 
entre os alunos de uma mesma turma, uma vez que, o processo de convivência quando 
flui de forma positiva é um fator fortificador do processo de ensino-aprendizagem em 
qualquer área do conhecimento. Segue ainda que de uma forma explicita ou implícita os 
saberes em torno do . . . sempre estarão sendo utilizados. O próprio Algoritmo de 
Euclides permeia tanto o Jogo com baralho quanto esta atividade com mosaicos. 
 
 Material necessário 
 Folhas de papel A4 em branco na quantidade suficiente para que cada aluno 
possua sua folha individual; 
 Tesouras sem ponta em quantidade suficiente para os alunos da turma em 
questão; 
 Canetas esferográficas; 
39 
 Réguas com escala de 1 cm; 
 Lápis de cor pode ser uma opção utilizável ou não. 
 
Desenvolvimento do jogo 
 Inicialmente o professor irá distribuir o material para cada aluno. Quando cada 
um possuir em sua carteira uma folha de papel, uma tesoura, uma caneta ou lápis de cor 
vem o próximo passo. A ideia agora é que cada aluno pegue a folha de papel A4 e nela 
desenhe, com auxílio da régua e da caneta esferográfica, uma malha esquadrilhada de 
pequenos quadrados com um centímetro de lado cada quadrado. Tal malha deve ficar 
igual à apresentada na figura 4.1.1. 
 
 
Figura 4.1.1. Malha que deve ser desenhada por cada aluno20 
 
 O processo de incentivo da criação da malha por parte dos alunos também serve 
de reforço nas habilidades de utilização de ferramentas de desenho geométrico como a 
régua. Após cada aluno criar a sua malha quadriculada ou seu plano cartesiano sem 
retas é hora de passar para a próxima etapa. Vale salientar que tal atividade ainda não 
teve a oportunidade de ser experimentada e aplicada dentro de um ambiente de sala de 
aula onde o verdadeiro objetivo se faz real e os ajustes aparecem para que a atividade 
torne-se cada vez melhor e mais lúdica. 
 Em muitos lugares do espaço urbano nos deparamos com imagens constituídas 
pela sobreposição e superposição de figuras geométricas que juntas formam um 
panorama maior e trazem consigo o sentido e o significado de sua criação. Algumas 
 20 Imagem do autor, 2016; 
40 
técnicas de artesanato como o Ponto de Cruz utilizam muito desses mosaicos para 
elaborarem aquilo que será transportado para o tecido. Esse é apenas um dos exemplos 
das muitas aplicações das formas geométricas na arte assim com em todos os âmbitos 
da cultura humana. São estes gráficos que utilizam apenas quadrados justapostos que 
caracterizaram a próxima etapa da atividade. 
 
Figura 4.1.2. Exemplo de gráfico com mosaico de coruja21 
 
 Através da apresentação de gráficos de mosaicos como o apresentado na Figura 
4.1.2 o professor deve instigar os alunos a criarem seus próprios desenhos com a 
utilização dos lápis de cor que foram fornecidos. Esta se consuma como a etapa seguinte 
da atividade. 
 Dar um tempo para que cada aluno fertilize sua criatividade e pense em qual 
mosaico irá criar dentro da sua malha quadriculada é algo extremamente importante 
para que a realização da atividade seja bem sucedida. Terminado o tempo necessário 
para que cada aluno crie seu mosaico, o professor deve agora orientar que cada um deles 
recorte seu desenho no contorno eliminando assim o excesso de malha quadriculada que 
se encontra ao redor do mosaico. Vamos tomar como exemplo o mosaico de um barco e 
o mosaico de um coração, criados pelos alunos João e Maria, respectiva e 
hipoteticamente. 
 21 Disponível em: www.artesanatobrasil.net 
41 
 
Figura 4.1.3. Mosaico de barco22 
 
Figura 4.1.4. Mosaico de coração23 
 
 Assim que os alunos apresentarem suas artes em mosaicos matemáticos a todos 
da sala é hora de forma duplas para realizarem a etapa que iniciará com a determinação 
da máxima área comum que existe entre os dois mosaicos de cada membro da dupla. 
Tomemos que João e Maria formaram uma dupla. Assim, cada um deve saber qual a 
área em centímetros quadrados do seu mosaico. O professor deve conduzir os alunos ao 
fato de que sendo os mosaicos formados por pequenos quadrados de um centímetro de 
lado, sua área é obtida pela contagem total dos quadrados que constituem o mosaico 
como um todo. 
 Ao realizarem suas contas de quantos quadrados cada um dos seus mosaicos 
possuem, João chegou ao número de sessenta e cinco quadrados de um centímetro de 
lado e Maria chegou ao número de oitenta e um quadrados de um centímetro de lado. 
 22 Imagem do autor, 2016; 23 Imagem do autor, 2016; 
42 
Daí o mosaico de João possui sessenta e cinco centímetros quadrados de área e o 
mosaico de Maria possui 81 centímetros quadrados de área. 
 O passo seguinte é dado pelo aluno da dupla que possuir o mosaico com a menor 
área. Desta forma, João irá iniciar o passo seguinte. O professor deve então repassar a 
orientação de que o aluno que possuir o mosaico com a menor área deverá analisar 
quantas vezes o seu mosaico cabe dentro do mosaico do colega e quanto de resto sobra. 
Em linguagem matemática, a maior área deve ser dividida pela menor e o resto da 
divisão, sempre que houver, deve ser guardado. 
 Realizando esse processo, João verifica que seu mosaico de sessenta e cinco 
centímetros quadrados cabe exatamente uma vez dentro do mosaico de Maria e que gera 
um resto de dezesseis centímetros quadrados. A maneira modeladora de se fazer isso é 
recortar do mosaico maior a quantidade de quadrados de um centímetro de lado 
referente ao mosaico menor. Assim, João recorta do mosaico de Maria sessenta e cinco 
quadrados de um centímetro. 
 
 
Figura 4.1.5. Recorte dos sessenta e cinco quadrados do mosaico de coração24 
 
 Assim que João realizar o recorte com o auxílio da tesoura sem ponta, a área 
removida deve ser descartada e o novo mosaico, restante do corte, deve ser devolvido a 
Maria. 
 24 Imagem do autor, 2016; 
43 
 
Figura 4.1.6. Mosaico devolvido a Maria25 
 
 Agora é a vez de Maria realizar passo semelhante ao que João realizou no início. 
Primeiro ela deve observar que o seu novo mosaico possui um área de dezesseis 
centímetros quadrados. Daí, ela deverá ir removendo áreas de dezesseis centímetros 
quadrados do mosaico de João até que a área restante seja menor que a área do seu 
mosaico. Após alguns recortes, Maria irá remover sessenta e quatro quadrados do 
mosaico de João. 
 
Figura 4.1.7. Recorte dos sessenta e quatro quadrados do mosaico de barco26 
 
 Com a remoção de sessenta e quatro quadrados de seu mosaico, João recebe ao 
fim da etapa um mosaico de apenas um quadrado como mostra a figura abaixo. 
 25 Imagem do autor, 2016; 26 Imagem do autor, 2016; 
44 
 
Figura 4.1.8. Mosaico devolvido a João27 
 
 Na etapa seguinte, João irá destruir o mosaico de Maria pois como o seu 
mosaico possui apenas um centímetro quadrado de área, ele poderá remover todos os 
quadrados do mosaico de Maria e desta formaapenas ele permanecerá com um mosaico 
em mãos. 
 
Figura 4.1.9. Remoção de todos os quadrados do mosaico de coração28 
 
 Com isso, João é o vencedor da etapa da atividade e a área do seu mosaico 
constitui o Máximo Divisor Comum entre as áreas iniciais dos dois mosaicos. O 
professor deve mostrar ao fim desta etapa que o . . . pode apresentar-se de diversas 
formas e que os meios geométricos também são um caminho viável para a interpretação 
do cálculo e da definição do que na verdade significa o . . . 
 27 Imagem do autor, 2016; 28 Imagem do autor, 2016; 
45 
 Os alunos constituintes da dupla devem observar que o Máximo Divisor Comum 
entre as áreas de oitenta e um centímetros quadrados e sessenta e cinco centímetros 
quadrados é de exatamente um centímetro quadrado, ou seja, essa área definiria por 
exemplo a quantidade de cores que deveria ser utilizada em cada quantidade de 
quadrados para que os dois mosaicos possuíssem cores homogêneas e iguais para um 
determinado agrupamento de quadrados. 
 Olhar o desenvolvimento da descoberta do Máximo Divisor Comum sobre esta 
ótica torna a elucidação do conhecimento abordado algo mais palpável e lúdico dentro 
do ambiente de sala de aula e fora dele também. Pensar a distância comum entre dois 
lados ortogonais do muro da escola pode levar ao plantio homogêneo de árvores no 
decorrer de cada lado e de forma equidistante. 
Portanto, chegamos à conclusão de que pode sim ser possível elucidar a 
determinação do . . . por métodos que utilizem ferramentas de caráter geométrico e 
não necessariamente a utilização da álgebra para o cálculo em questão. A atividade pode 
ser ampliada para outras formas de abordagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão 
 
 Chegar ao ponto de inovar-se e renovar-se leva qualquer docente a parar e 
avaliar todo o percurso da sua atuação dentro de sala de aula. É buscar novas formas de 
ver o saber ensinar e ver o saber a ser ensinado. Pensar um conceito que foi elaborado 
séculos atrás de uma nova forma é sem sombra de dúvidas um desafio a ser tomado e 
explorado em todos os sentidos do princípio de ser professor. 
 Novas abordagens geram novos questionamentos que consequentemente geram 
novas respostas. O produto de tudo isso são novas formas de aprendizagem e novas 
formas de ensinar. É prosseguir no rigor matemático sem, contudo, abandonar a ternura 
que a educação exige. 
 O patamar que abriga os saberes em volta do contexto do . . . e de suas 
formas de ensino fornece grandes modelagens para a construção de saberes dentro da 
sala de aula. O professor que fica preso a um único método prende os seus alunos à 
monotonia das aulas mecânicas tão populares no século passado. Assim, criar e recriar 
aparatos de forma constante é sempre uma maneira de desprender-se do tradicional e de 
fornecer aos alunos opções diversas para o aprendizado em questão. 
 O simples fato de parar e pensar em uma aula mais dinâmica e que ligue o saber 
ensinado à realidade dos discentes já faz com que qualquer docente amplie o seu campo 
de visão sobre a matéria prima de suas aulas. Tudo pode ser material para uma nova 
forma de se aplicar matemática. Quando se trata de ensinar, a dosagem de criatividade 
nunca deve ser medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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