Desenvolvimento de um Simulador de Bombeio por Cavidades Progressivas

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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
Desenvolvimento de um Simulador de Bombeio
por Cavidades Progressivas
Francisco José Targino Vidal
Orientador: Prof. Dr. Andrés Ortiz Salazar
Co-orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Engenha-
ria Elétrica da UFRN (área de concentração:
Automação e Sistemas) como parte dos re-
quisitos para obtenção do título de Mestre
em Ciências.
Natal, RN, Dezembro de 2005
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede
Vidal, Francisco José Targino Vidal.
Desenvolvimento de um simulador de bombeio por cavidade progressivas /
Francisco José Targino Vidal - Natal, 2005.
72 p.
Orientador: Andrés Ortiz Salazar
Co-orientador: André Laurindo Maitelli
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Cen-
tro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.
1. Simulador de bombeio - Dissertação. 2. Elevação artificial - Dissertação. 3.
Bombeio de cavidades progressivas - Dissertação. 4. Modelagem - Dissertação.
5. Simulação computacional - Dissertação. I. Salazar, André Ortiz. II. Maitelli,
André Laurindo. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 533. 6.072
Agradecimentos
Ao professor Andrés Ortiz Salazar pela orientação e dedicação na concepção deste traba-
lho.
Ao professor André Laurindo Maitelli pela co-orientação no trabalho e por ter me dado a
oportunidade de realizar-lo através do projeto AUTPOC..
Ao professor João Alves de Lima pela importante contribuição dada à elaboração do
modelo hidrodinâmico.
Aos professores Adelardo A. Dantas de Medeiros, Luiz Affonso H. Guedes de Oliveira e
Fabio Meneghetti Ugulino de Araujo pelas contribuições dadas na análise dos modelos.
Ao engenheiro Benno Waldemar Assmman pela idealização do trabalho e toda a dedica-
ção prestada na realização do mesmo.
Aos colegas do grupo AUTPOC, pelo apoio e incentivo.
Aos demais colegas de pós-graduação, pelas críticas e sugestões.
À minha família pelo apoio durante esta jornada.
Sumário
Sumário i
Lista de Figuras iii
Lista de Tabelas v
Lista de Símbolos e Abreviaturas vii
Resumo xi
1 Introdução 1
1.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Engenharia de Produção de Petróleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Bombeio por cavidade progressiva (BCP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Objetivo do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Organização do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Modelagem dos Subsistemas 7
2.1 Motor de Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Notação dq0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Simulação do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Coluna de Hastes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Simulação do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Bomba de Cavidades Progressivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Vazão da Bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Simulação do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Dinâmica do fluido no anular (tubing-revestimento) . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Simulação do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Modelagem Hidrodinâmica da Coluna de Produção . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Equações de conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.2 Equação de transporte do Gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Propriedades do Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.4 Metodologia de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
i
2.5.5 Resultados da Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Acoplamento dos Subsistemas 53
3.1 Metodologia de Acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Simulação do acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Interface do Simulador 63
5 Conclusões e Recomendações 69
Referências bibliográficas 70
Lista de Figuras
1.1 Configuração típica de um sistema BCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Cabeçote de acionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Circuito de acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Relação entre abc e dq0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Velocidade de rotação do motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Conjugado eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Distribuição do torque e dos esforços axiais nas haste . . . . . . . . . . . 18
2.7 Circuito equivalente para o modelo da coluna de hastes . . . . . . . . . . 19
2.8 Rotação da haste polida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 Rotação do rotor da bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10 Bomba de cavidades progressivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.11 Geometria do rotor e estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.12 Deslocamento da bomba de cavidades progressivas . . . . . . . . . . . . 24
2.13 Comportamento da vazão da bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.14 Comportamento da curva da IPR para o modelo linear . . . . . . . . . . . 26
2.15 Comportamento da curva IPR para o modelo de Vogel . . . . . . . . . . . 27
2.16 Nível submergência no anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.17 Diagrama de fase para um fluido Black-Oil [McC89]. . . . . . . . . . . . 32
2.18 Esquema de discretização das equações de conservação . . . . . . . . . . 40
2.19 Esquema de discretização para a equação de transporte do gás . . . . . . 41
2.20 Algoritmo para preenchimento da matriz A . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.21 Algoritmo para preenchimento do vetor B . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.22 Comportamento da fração de vazio para diferentes instantes de tempo . . 46
2.23 Comportamento da fração de vazio em diferentes pontos da coluna . . . . 46
2.24 Distribuição de pressão ao longo da coluna de produção . . . . . . . . . . 47
2.25 Distribuição de pressão para diferentes instantes de tempo . . . . . . . . 47
2.26 Distribuição da velocidade ao longo da coluna . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.27 Distribuição da velocidade para diferentes instantes de tempo . . . . . . . 48
2.28 Comportamento da razão de solubilidade ao longo da coluna . . . . . . . 49
2.29 Razão de solubilidade para diferentes instantes de tempo . . . . . . . . . 49
2.30 Comportamento da razão gás-óleo ao longo da coluna . . . . . . . . . . . 50
2.31 Comportamento da razão gás-óleo ao longo do tempo . . . . . . . . . . . 50
2.32 Distribuição da pressão de bolha ao longo da coluna . . . . . . . . . . . . 51
2.33 Distribuição da pressão de bolha ao longo do tempo . . . . . . . . . . . . 51
iii
3.1 Diagrama de acoplamento dos subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Fluxograma da classe SimuladorBCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Dinâmica do nível de fluido anular tubing-revestimento . . . . . . . . . . 58
3.4 Pressão de sucção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Pressão de recalque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Diferencial de pressão na bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Torque hidráulico da bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8 Torque aplicado a haste polida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.9 Resposta do torque de acionamento para a variação do torque de carga. . . 60
3.10 Velocidadede rotação do rotor da bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.11 Vazão da bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1 Janela principal do simulador de BCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Configuração do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Avaliação das características do motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Configuração das características da bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Curva de desempenho da bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Avaliação da dinâmica do fluido e da curva IPR . . . . . . . . . . . . . . 67
Lista de Tabelas
2.1 Características do enrolamento do motor de indução . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Parâmetros para simulação do comportamento dinâmico das hastes . . . . 20
2.3 Parâmetros para análise da curva de vazão da bomba . . . . . . . . . . . 25
2.4 Parâmetros de entrada para simulação da dinâmica do fluido revestimento-
coluna de produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Parâmetros do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Parâmetros de Simulação do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
v
Lista de Símbolos e Abreviaturas
API grau API do fluido
Bg volume de formação do gás bbl/sc f
Bi componente de atrito viscoso do elemento i da coluna de hastes N
Bo volume de formação do óleo bbl/STBO
Bw volume de formação da água bbl/STBW
Bob volume de formação do óleo na pressão de bolha bbl/STBO
Dr diâmetro da haste m
Dt diâmetro da coluna de produção m
I interferência (fração do raio do rotor no estator)
Ip índice de produtividade do poço m3/dia/kg f/cm2
Ji inércia do elemento i da coluna de hastes kg.m2
Ki componente elástica no ponto i da coluna de hastes N
Nt rotação de teste da bomba rpm
Nop rotação de operação da bomba rpm
Pb pressão de bolha psi
Pe pressão estática kg f/cm2
Phidr condição inicial de pressão em cada ponto ao longo da coluna de produção kg f/cm2
Ppsi pressão na qual o fluido esta submetido psi
Psep pressão na cabeça do poço kg f/cm2
Pw f teste pressão de teste de fluxo no fundo do poço kg f/cm2
Pw f pressão de fluxo no fundo do poço kg f/cm2
vii
QN vazão nominal da bomba m3/dia
Qb vazão de operação da bomba m3/dia
Qr vazão do reservatório m3/dia
Qmax Vazão máxima do reservatório m3/dia
RGO razão gás-óleo m3/m3
Rs razão de solubilidade sc f/STBO
TF temperatura em graus farenhait ◦F
TR temperatura em graus rankine ◦R
Tem torque eletromagnético N.m
Thaste torque total que atua ao longo da coluna de hastes N.m
Thid torque hidráulico resultante da ação de bombeio N.m
Thp torque aplicado à haste polida N.m
Top temperatura do fluido de operação 0C
Tres torque resistivo aplicado à coluna de hastes N.m
Ttest temperatura do fluido de teste 0C
∆L comprimento do elemento i da coluna de hastes m
∆PN diferencial de pressão nominal da bomba kg f/cm2
∆PABT diferencial de pressão de abertura de teste kg f/cm2
∆PopABT diferencial de pressão de operação de abertura de selo
∆Pop diferencial de pressão de operação da bomba kg f/cm2
ηPN eficiência da bomba na pressão nominal
γg densidade do gás
γo densidade do óleo
γgd densidade do gás dissolvido
γg f densidade do gás livre
λabcr vetor de fluxos no rotor
λabcs vetor de fluxos no estator
Labcsr matriz de indutâncias mútuas estator-rotor
Labcsr matriz de indutâncias mútuas rotor-estator
Labcss matriz de indutâncias próprias do estator
Labcss matriz de indutâncias próprias do rotor
Tdq0 matriz de transformação abc para dq0
iabcr vetor de correntes no rotor
iabcs vetor de correntes no estator
vabcr vetor de tensões no rotor
vabcs vetor de tensões no estator
µL viscosidade do líquido cp
µg viscosidade do gás cp
µi viscosidade do fluido no elemento i da coluna de hastes
µm viscosidade da mistura cp
µo viscosidade do óleo cp
µt viscosidade do fluido de teste cp
µw viscosidade da água cp
µod viscosidade do óleo morto cp
µop viscosidade do fluido na bomba em operação cp
ωr velocidade angular do rotor rad/s
ρ massa específica do fluido kg/m3
ρL massa específica do líquido lbm/ f t3
ρg massa específica do gás lbm/ f t3
ρm massa específica da mistura lbm/ f t3
ρo massa específica do óleo lbm/ f t3
ρw massa específica da água lbm/ f t3
ρaço massa específica do material kg/m3
fo fração de óleo
fw fração de água
h altura do nível de submergência m
yg fração molar de gás
z fator de compressibilidade do gás
Resumo
O método de elevação artificial por bombeio de cavidades progressivas tem se mos-
trado muito eficiente na produção de óleos com alta viscosidade ou que carreiem uma
grande quantidade de areia. Essa característica tem feito do mesmo o segundo método
de elevação mais utilizado nos campos de produção de petróleo. À medida em que au-
menta o número de suas aplicações cresce também a necessidade de um maior domínio do
conhecimento quanto ao seu funcionamento operacional, de maneira à definir um ponto
ótimo de operação.
A fim de contribuir para a expansão do conhecimento operacional do método de ele-
vação por bombeio de cavidades progressivas, este trabalho propõe o desenvolvimento de
um simulador computacional para poços de petróleo equipados com esse sistema, capaz
de representar o comportamento dinâmico do mesmo quando submetido às mais diversas
condições operacionais.
O sistema foi dividido em cinco subsistemas: motor de indução, escoamento multifá-
sico na coluna de produção, coluna de haste, bomba de cavidades progressivas e anular
revestimento-coluna de produção. A modelagem e a simulação de cada subsistema per-
mitiram avaliar as características dinâmicas que definiram os critérios de acoplamento dos
mesmos.
Com a realização do acoplamento foi possível obter as características dinâmicas das
principais variáveis pertinentes ao sistema, tais como: pressão de recalque, pressão de
sucção, vazão da bomba, rotação da coluna de haste e o torque aplicado à haste polida.
Os resultados apresentados, somados a uma interface gráfica amigável, fazem do si-
mulador de BCP uma ferramenta de grande potencial, tanto de caráter didático, auxiliando
na capacitação técnica dos operadores do sistema, quanto para auxílio na engenharia de
produção, permitindo realizar uma análise mais detalhada da dinâmica operacional dos
poços de petróleo equipado com esse método de elevação.
Palavras-chave: Elevação artificial, BCP, Modelagem, Simulação computacional.
xi
Abstract
The method of artificial lift of progressing cavity pump is very efficient in the produc-
tion of oils with high viscosity and oils that carry a great amount of sand. This characte-
ristic converted this lift method into the second most useful one in oil fields production.
As it grows the number of its applications it also increases the necessity to dominate its
work in a way to define it the best operational set point.
To contribute to the knowledge of the operational method of artificial lift of progres-
sing cavity pump, this work intends to develop a computational simulator for oil wells
equipped with an artificial lift system. The computational simulator of the system will be
able to represent its dynamic behavior when submitted to the various operational conditi-
ons.
The system was divided into five subsystems: induction motor, multiphase flows into
production tubing, rod string, progressing cavity pump and annular tubing-casing. The
modeling and simulation of each subsystem permitted to evaluate the dynamic characte-
ristics that defined the criteria connections.
With the connections of the subsystems it was possible to obtain the dynamic charac-
teristics of the most important arrays belonging to the system, such as: pressure discharge,
pressure intake, pumping rate, rod string rotation and torque applied to polish string.
The shown results added to a friendly graphical interface converted the PCP simulator
in a great potential tool with a didactic characteristic in serving the technicalcapability
for the system operators and also permitting the production engineering to achieve a more
detail analysis of the dynamic operational oil wells equipped with the progressing cavity
pump.
Keywords: Artificial lift, PCP, Modeling, Computational simulator.
xiii
Capítulo 1
Introdução
1.1 Considerações iniciais
A necessidade de conhecer a relação entre os componentes de um dado sistema e pre-
dizer seu comportamento, quando submetido a novas condições de operação, associado
aos avanços das metodologias da computação numérica, tem feito da simulação compu-
tacional uma das ferramentas mais aceitas e largamente usadas na pesquisa operacional e
na análise de sistemas dinâmicos.
A simulação pode ser definida como um processo de projetar um modelo de um sis-
tema real e submeter esse modelo a vários experimentos com o propósito de entender o
comportamento e/ou avaliar várias estratégias de operação do mesmo [Sha92].
O comportamento do sistema ao longo do tempo é estudado através do desenvolvi-
mento de um modelo que, por sua vez, é baseado em um conjunto de suposições perti-
nentes à operação do sistema [BJSCL95].
A partir da simulação computacional é possível a análise de diferentes tipos de siste-
mas, possibilitando [Chu04]:
• Um maior domínio e conhecimento na operação dos sistemas;
• Desenvolvimento de novas metodologias de operação ou recursos que possibilitem
um melhor desempenho dos sistemas;
• Teste de novos conceitos e/ou sistemas antes da implementação;
• Obtenção de informação sem perturbar o sistema real.
Uma vez que uma aplicação ou projeto tenha sido identificado como objeto de estudo,
através da simulação, decisões deverão ser tomadas acerca de como conduzir os estudos.
Não há normas oficiais sobre como executar um estudo de simulação, no entanto são
recomendadas as seguintes etapas [Sha92, LM01]:
• Formulação do problema;
• Definição dos objetivos;
• Concepção do modelo;
• Levantamento de dados;
• Execução dos experimentos;
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
• Análise das saídas;
• Documentação e relatório.
Os estágios de simulação são raramente executados em uma seqüência estruturada,
começando com a definição do problema e terminando com a documentação. Um projeto
de simulação pode envolver falsas partidas, suposições errôneas, as quais devem, mais
tarde, conduzir a reformulações dos objetivos do problema, repetidas avaliações e repro-
jeto do modelo. Se apropriadamente feito, esse projeto iterativo resultaria em um modelo
de simulação, o qual utiliza alternativas e realça as decisões tomadas no andamento do
processo [PP79].
1.2 Engenharia de Produção de Petróleo
A produção de petróleo envolve vários sistemas distintos, mas intimamente conecta-
dos: o reservatório, que é um meio poroso com características únicas de armazenamento
e de fluxo; e as estruturas artificiais, que incluem o poço, os equipamentos de elevação,
as facilidades de produção, os separadores e os tanques de armazenamento.
A engenharia de elevação é a área, dentro da engenharia de produção, responsável pela
maximização da produção. A aplicação das técnicas de engenharia de elevação está rela-
cionada diretamente com outras áreas de grande importância da engenharia de petróleo,
tais como: avaliação de formações, perfuração e engenharia de reservatórios [EHEE94].
A elevação de petróleo é o transporte de fluidos do fundo do poço até a superfície.
Quando a pressão do reservatório é suficientemente elevada, os fluidos nele contidos al-
cançam livremente a superfície, caracterizando uma produção por elevação natural. Os
poços que apresentam esta característica são denominados de poços surgentes. No en-
tanto, quando a pressão do reservatório é relativamente baixa, os fluidos não alcançam
a superfície, necessitando de uma suplementação da energia natural. Esse suplemento é
fornecido através da instalação de um método de elevação artificial, cujo objetivo é re-
duzir a pressão de fluxo no fundo do poço aumentando o diferencial de pressão sobre o
reservatório, resultando em um aumento de vazão [Tho01].
Os principais métodos de elevação artificial utilizados na indústria do petróleo são:
• Gas-Lift contínuo e intermitente (GLC e GLI);
• Bombeio Mecânico (BM);
• Bombeio Centrífugo submerso (BCS);
• Bombeio por Cavidades Progressivas (BCP).
A seleção do melhor método para um determinado poço depende de vários fatores,
tais como: número de poços, diâmetro do revestimento, produção de areia, razão gás-
líquido, vazão, profundidade do reservatório, viscosidade dos fluidos, custo operacional,
entre outros.
1.3. BOMBEIO POR CAVIDADE PROGRESSIVA (BCP) 3
1.3 Bombeio por cavidade progressiva (BCP)
O bombeio por cavidades progressivas é um método de elevação artificial em que a
transferência de energia ao fluido é feita através de uma bomba de cavidades progressivas.
A bomba de cavidades progressivas foi concebida no final da década de 1920 por Rene
Moineau, a qual consiste de um rotor no formato de uma hélice simples externa que,
quando gira dentro de um estator moldado no formato de uma hélice dupla interna, produz
uma ação de bombeio. Inicialmente foi usada para transferências de fluido em geral e
somente a partir de 1970 dá-se início a sua aplicação na indústria do petróleo, obtendo
um grande sucesso nos campos de produção de fluidos com altos teores de areia.
Ainda é um método novo se comparado aos métodos mais tradicionais como o bom-
beio mecânico e o bombeio centrífugo submerso. No entanto, é o método que tem mos-
trado maior capacidade de superar suas próprias limitações diante das enormes perspec-
tivas de evolução tecnológica que apresenta. Uma configuração típica de um sistema de
elevação por meio de um bombeio por cavidades progressivas é definida por:
• Motor elétrico de indução;
• Sistema de correia e polias;
• Redutor de engrenagens;
• Coluna de hastes;
• Coluna de produção
• Revestimento
• Linha de produção
• Anular haste-tubing
• Anular revestimento-tubing
• Bomba de cavidades progressivas;
A figura 1.1 apresenta o sistema como um todo destacando suas principais partes.
No Brasil, a sua utilização teve início em 1984, no campo da Fazenda Belém, no
Ceará. Devido a simplicidade do método e a eficiência na produção de fluidos viscosos, o
número de instalações têm se difundido rapidamente. Este sistema de elevação é utilizado
na Bacia Potiguar, Sergipe, Alagoas, Bahia e Espírito Santo. É usado também em testes
de poços da Bacia de Campos, no litoral do estado do Rio de Janeiro.
Dentre as principais aplicações do bombeio por cavidades progressivas podemos des-
tacar:
• Produção de petróleo pesado (< 18o API) e altos teores de areia;
• Produção de petróleo médios com limitações de teores de CO2 e H2S;
• Óleos leves com limites de concentração de aromáticos;
• Áreas que exigem baixo impacto visual.
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.1: Configuração típica de um sistema BCP
1.4. OBJETIVO DO TRABALHO 5
Como todo método de elevação, o bombeio de cavidade progressiva apresenta suas
vantagens e desvantagens, tais como:
Vantagens
• Maior adaptação à produção de óleo viscoso;
• Capacidade de produção com altas concentrações de areia;
• Ausência de válvulas que estão sempre sujeitas a acelerado desgaste;
• Boa resistência à abrasividade;
• Baixo investimento inicial;
• Alta eficiência energética;
• Facilidade de instalação e operação;
• Baixa manutenção;
• Dimensões reduzidas dos equipamentos de sub-superfície;
• Baixo ruído.
Desvantagens
• Limitação da produção (máximo de 500 m3/dia);
• Limitação de elevação (máximo de 2000 m);
• Limitação de temperatura (máximo de 170oC);
• Sensível à presença de aromáticos (CO2 e H2S);
• Pequena experiência acumulada.
Em resumo, diferentes estudos realizados nos últimos anos no Brasil e no exterior,
com equipamentos de diversos modelos, marcas e procedências, operando sob variadas
condições, convergem para os seguintes aspectos [Car99]:
• Custos de investimentos iniciais relativamente inferiores;
• Maior eficiência energética, resultando em um menorconsumo de energia;
• Custos potencialmente menores, em comparação com os demais métodos bombea-
dos;
• Na prática, entretanto, muitas vezes, as expectativas de redução de custos não se
confirmam, fundamentalmente devido à obtenção de uma baixa continuidade ope-
racional com os poços.
Diante dessas considerações, se faz necessário conhecer as condições de operação dos
poços equipados com o sistema de bombeio por cavidades progressivas e seus efeitos
sobre os equipamentos.
1.4 Objetivo do trabalho
A grande expansão do bombeio por cavidades progressivas em todo o mundo tem
originado a necessidade de se empreender pesquisas no sentido de entender melhor o
comportamento dinâmico deste sistema e as possíveis formas de otimização do processo
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
segundo diversos critérios, além da identificação automática dos diversos modos de falhas
que podem ocorrer nesse processo.
O presente trabalho se propõe a contribuir para a diminuição da lacuna existente en-
tre a grande expansão da aplicação do método BCP e o dominio do conhecimento do
seu comportamento dinâmico através do desenvolvimento de um simulador computacio-
nal capaz de reproduzir o seu comportamento operacional apresentando a dinâmica das
seguintes variávies:
• Torque desenvolvido pelo o motor elétrico;
• Velocidade de rotação da bomba de cavidades progressivas;
• Carga axial na bomba;
• Carga axial ao longo da coluna de haste;
• Pressão de sucção na bomba;
• Nível de fluido no anular tubing-revestimento;
• Distribuição de pressão e velocidade de fluido ao longo da coluna de produção;
• Desempenho do motor de acionamento;
• Esforços no cabeçote de acionamento;
O simulador proposto será capaz de fornecer respostas transientes, adequando-se para
análise e projeto do sistema de controle automático de velocidade, testar e otimizar novos
algoritmos de controle, identificar a capacidade do sistema de suportar os esforços durante
situações transitórias, além de possibilitar o treinamento de operadores e técnicos para
operar e identificar situações anormais de operação do mesmo.
1.5 Organização do texto
Os próximos capítulos desse trabalho encontram-se assim organizados. O capítulo
2 apresenta a formulação matemática do problema estudado, as considerações emprega-
das na solução do problema, a metodologia utilizada para solucionar o equacionamento,
as relações constitutivas e as simulações dos modelos dos seguintes subsistemas: motor
elétrico, coluna de haste, bomba de cavidades progressivas, reservatório e o escoamento
bifásico na coluna de produção. No capítulo 3, apresenta-se o acoplamento dos subsiste-
mas, formando o sistema como um todo; e a discussão dos resultados apresentados. No
capítulo 4 é apresentada a interface gráfica do simulador e suas principais característi-
cas. Finalmente, no capítulo 5, são apresentadas as conclusões finais e as sugestões para
trabalhos futuros.
Capítulo 2
Modelagem dos Subsistemas
Um modelo é definido como uma representação de um sistema com o propósito de
análise do comportamento do mesmo. Para a maioria dos estudos, é necessário con-
siderar apenas aqueles aspectos que afetam o sistema em questão. Esses aspectos são
representados no modelo do sistema e, o modelo, por sua vez, é uma simplificação desse
sistema. Por outro lado, o modelo deveria ser detalhado o suficientemente, para que se
pudesse extrair conclusões válidas sobre o sistema real. Para um mesmo sistema podem
haver vários modelos, dependendo do propósito do estudo.
A arte de modelar é realçada por uma habilidade de abstrair as características essenci-
ais de um problema, de selecionar e de modificar as suposições básicas que caracterizam
o sistema, de enriquecê-las e elaborar então o modelo até que sejam obtidos resultados
válidos de uma aproximação do sistema.
Para simplificar a presente análise e a obtenção do modelo, o sistema como um todo
será divido nos seguintes subsistemas:
1. Acionamento (motor elétrico);
2. Coluna de hastes;
3. Bomba de cavidade progressiva;
4. Anular (revestimento - coluna de produção);
5. Escoamento do fluido na coluna de produção (modelagem hidrodinâmica);
2.1 Motor de Indução
O cabeçote de acionamento, como mostrado na figura a seguir, compreende uma es-
trutura de suporte, um rolamento e um redutor fixo ou sistema de polia e correia. Ele pode
ser enroscado diretamente na cabeça de produção ou através de uma conexão flangeada.
A estrutura inclui o stuffing box que faz a vedação na passagem da haste polida. Os ca-
beçotes também são fabricados com pedestal que permite a instalação do motor. Uma
das funções mais importantes do cabeçote é suportar a carga axial do poço. O mancal de
rolamento suporta essa carga e permite que as hastes possam girar com um mínimo de
atrito.
7
8 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Figura 2.1: Cabeçote de acionamento
A maioria dos cabeçotes têm um eixo vazado ou inteiriço para facilitar a conexão
à haste polida. O eixo vazado permite que a haste polida atravesse todo o cabeçote e
é suspenso por um clamps que se assenta numa cavidade no topo do acionador. Numa
modificação desse esquema, o cabeçote tem um eixo hexagonal em substituição à haste
polida e o cabeçote tem um eixo vazado no mesmo formato através do qual ele transmite
a rotação e o torque. A estrutura do cabeçote pode tanto ser fechada como aberta. A
vantagem do eixo vazado é que pode ser feito um ajuste na altura em que o clamps fixa a
haste polida.
O motor pode ser acoplado diretamente no eixo de entrada dos cabeçotes verticais. Os
cabeçotes angulares possuem um redutor em engrenagens espiraladas que podem reduzir
a velocidade em até 4 vezes. Tem-se dado preferência aos cabeçotes angulares por tra-
balharem com menores velocidades de rotação. Deve-se respeitar os limites de torque e
velocidade recomendados pelos fabricantes de maneira a ter uma vida longa do sistema.
O dimensionamento do cabeçote consiste em determinar a carga axial máxima, o tor-
que máximo e a velocidade máxima de operação. Deve se escolher um cabeçote que
atenda a esses parâmetros de projeto.
O sistema de transmissão de potência consiste, na maior parte dos casos, de um sis-
tema de polias e correias. As polias são escolhidas de tal forma a fornecerem a velocidade
de rotação adequada de um redutor. O objetivo é alterar a direção de rotação quando o
cabeçote é angular e reduzir a velocidade de rotação do eixo do rotor para a rotação re-
querida pelas condições operacionais do poço. Uma redução de velocidade adicional é
feita no redutor que compõe o cabeçote. A regulagem de velocidade pode, ainda, ser feita
por um variador de freqüência.
2.1. MOTOR DE INDUÇÃO 9
Os motores elétricos usados para acionar o sistema são motores de indução trifásicos
tipo gaiola de esquilo, com valores típicos de potência de 7,5 kW a 75 kW . Para trabalhar
com uma rotação de 100 a 500 rpm, os fabricantes fornecem um conjunto redutor e polias
que juntamente com o cabeçote permitem combinações que devem prover uma redução
total de 12:1 a 6:1.
O motor de indução é o tipo de motor elétrico largamente utilizado e difundido, tanto
para motorização de sistemas, quanto para processos industriais, graças à robustez, sim-
plicidade e baixo custo proporcionado pelo mesmo.
Mesmo com essas vantagens, os motores de indução não tinham muita importância até
alguns anos atrás, quando se levava em consideração aplicações com velocidade variável.
Durante décadas, todas as soluções realizáveis eram muito complicadas e/ou muito caras.
Uma primeira solução foi obtida com relação às técnicas de modelagem, com o pro-
pósito de se obter um conjunto de equações dinâmicas mais simples e voltadas para apli-
cações de controle, mas sua implementação exigia grande esforço computacional. Os
avanços tecnológicos tornaram possível a evolução das técnicas de modelagem, uma vez
que os novos processadores e softwares existentes no mercado possibilitaram o estudo
e aprimoramento dessas técnicas com o propósito de se obter um conjunto de equações
mais simples e voltadaspara aplicações de controle [Cad00].
2.1.1 Modelo Matemático
Para viabilizar uma formulação matemática do modelo da máquina, algumas conside-
rações devem ser feitas, tais como [Bar85]:
• A máquina é simétrica com enrolamentos de estator idênticos e defasados no espaço
de 2π/3 radianos elétricos, o mesmo acontecendo com os enrolamentos do rotor;
• A permeabilidade magnética do ferro da máquina é supostamente infinita; as perdas
no ferro e os efeitos das ranhuras são desprezados;
• A estator e o rotor da máquina possuem superficies lisas e cilíndricas e seus enrola-
mentos são ligados em Y com os neutros isolados.
Dentre os inúmeros modelos propostos na literatura, o modelo adotado aqui foi pro-
posto por Ong [Ong98].
Equações de Tensão
As equações de tensão do estator e do rotor que estão magneticamente acopladas,
como mostra a figura 2.2, são descritas respectivamente como [Ong98]:
vas = iasrs +
dλas
dt
vbs = ibsrs +
dλbs
dt
(2.1)
vcs = icsrs +
dλcs
dt
10 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
var = iarrr +
dλar
dt
vbr = ibrrr +
dλbr
dt
(2.2)
vcr = icrrr +
dλcr
dt
Figura 2.2: Circuito de acoplamento
Equações de Fluxo
O fluxo de dispersão dos enrolamentos do estator e do rotor em função das indutâncias
podem ser representados por:[
λabcs
λabcr
]
=
[
Labcss L
abc
sr
Labcrs L
abc
rr
][
iabcs
iabcr
]
(2.3)
onde,
λabcs = (λas,λbs,λcs)
t
λabcr = (λar,λbr,λcr)
t (2.4)
iabcs = (ias, ias, ias)
t
iabcr = (iar, iar, iar)
t (2.5)
2.1. MOTOR DE INDUÇÃO 11
As matrizes de indutâncias próprias do estator e do rotor são descritas respectivamente
por:
Labcss =
⎡
⎣ Lls +Lss Lsm LsmLsm Lls +Lss Lsm
Lsm Lsm Lls +Lss
⎤
⎦ (2.6)
Labcrr =
⎡
⎣ Llr +Lrr Lrm LrmLrm Llr +Lrr Lrm
Lrm Lrm Llr +Lrr
⎤
⎦ (2.7)
Já as matrizes de indutâncias mutuas entre o rotor e o estator são dependentes do
ângulo do rotor, isto é:
Labcsr =
[
Labcrs
]t
= Lsr
⎡
⎢⎢⎢⎣
cosθr cos
(
θr + 2π3
)
cos
(
θr + 2π3
)
cos
(
θr + 2π3
)
cosθr cos
(
θr + 2π3
)
cos
(
θr + 2π3
)
cos
(
θr + 2π3
)
cosθr
⎤
⎥⎥⎥⎦ (2.8)
2.1.2 Notação dq0
Com base nas equações acima pode-se observar que a máquina idealizada é descrita
por seis equações diferenciais de primeira ordem, sendo uma para cada enrolamento,
apresentando um caráter não linear e de difícil solução. Estas equações diferenciais estão
acopladas pela indutância mutua entre os enrolamentos, que é função do ângulo de posi-
ção do rotor; logo, quando o rotor gira, os termos de acoplamento variam com o tempo
[Ong98].
Para facilitar o cálculo das equações acima será adotada a transformada dq, que per-
mite a transformação das equações diferenciais com indutâncias variantes no tempo, em
equações diferenciais com indutâncias constantes.
A figura 2.3 mostra a relação entre as grandezas de fase e as grandezas vetoriais qd0
em um referencial girante a uma velocidade angular ω.
A equação de transformação de abc para dq0 é dada por:⎡
⎣ fqfd
f0
⎤
⎦= [Tdq0(θ)]
⎡
⎣ fafb
fc
⎤
⎦ (2.9)
onde f representa as grandezas de fase, tensão, corrente ou o fluxo de dispersão da má-
quina. A matriz de transformação, Tqdo(θ), é descrita por:
Tqd0(θ)] =
2
3
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
cosθ cos
(
θ− 2π
3
)
cos
(
θ+
2π
3
)
sinθ sin
(
θ− 2π
3
)
sin
(
θ+
2π
3
)
1
2
1
2
1
2
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (2.10)
12 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Figura 2.3: Relação entre abc e dq0
e sua inversa é dada por:
[Tqd0(θ)]−1 =
2
3
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
cosθ sinθ 1
cos
(
θ− 2π
3
)
sin
(
θ− 2π
3
)
1
cos
(
θ+
2π
3
)
sin
(
θ+
2π
3
)
1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ (2.11)
Equações de Tensão em dq0
Em notação matricial, as equações 2.1 e 2.2 podem ser representadas respectivamente
por:
vabcs = pλ
abc
s + r
abc
s i
abc
s (2.12)
vabcr = pλ
abc
r + r
abc
r i
abc
r (2.13)
Aplicando a matriz de transformação, equação 2.10, à tensão, à corrente e ao fluxo
concatenado, a equação 2.12 torna-se:
vqd0s = [Tqd0(θ)]p[Tqd0(θ)
−1][λqd0s ]+ [Tqd0(θ)]r
abc
s [Tqd0(θ)]
−1[iqd0s ] (2.14)
2.1. MOTOR DE INDUÇÃO 13
que resulta em:
vqd0s = ω
⎡
⎣ 0 1 0−1 0 0
0 0 0
⎤
⎦λqd0s + pλqd0s + rqd0s iqd0s (2.15)
Da figura 2.3, pode-se observar que o ângulo entre o eixo do rotor e o eixo qd0 é
dado por (θ−θr). Aplicando a matriz de transformação Tqd0(θ−θr) à equação 2.13, as
equações de tensão dos enrolamentos do rotor no eixo qd0 são descrita por:
vqd0r = (ω−ωr)
⎡
⎣ 0 1 0−1 0 0
0 0 0
⎤
⎦λqd0r + pλqd0r + rqd0r iqd0r (2.16)
Fluxo de Dispersão em dq0
Os fluxos do estator qd0 são obtidos aplicando a matriz de transformação Tqd0(θ) às
equações de fluxo do estator abc, equação 2.3, resultando em:
λqd0s = [Tqd0(θ)](L
abc
ss i
abc
s +L
abc
sr i
abc
r ) (2.17)
Usando as transformadas inversas apropriadas para substituir as correntes do estator e
as correntes do rotor pelas suas repectivas correntes qd0, a equação 2.17 torna-se:
λqd0s = [Tqd0(θ)]L
abc
ss [Tqd0(θ)]
−1iqd0s +[Tqd0(θ)]L
abc
sr [Tqd0(θ−θr)]−1iqd0r (2.18)
que resulta em:
λqd0s =
⎡
⎢⎢⎢⎣
Lls +
3
2
Lss 0 0
0 Lls +
3
2
Lss 0
0 0 Lls
⎤
⎥⎥⎥⎦ iqd0s +
⎡
⎢⎢⎢⎣
3
2
Lsr 0 0
0
3
2
Lsr 0
0 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎦ iqd0r (2.19)
Similarmente, os fluxos qd0 para o rotor são dados por:
λqd0r = [Tqd0(θ−θr)]Labcrs [Tqd0(θ)]−1iqd0s +[Tqd0(θ−θr)]Labcrr [Tqd0(θ−θr)]−1iqd0r
(2.20)
resultando em:
λqd0s =
⎡
⎣ 32Lsr 0 00 32Lsr 0
0 0 0
⎤
⎦ iqd0s +
⎡
⎣ Llr + 32Lrr 0 00 Llr + 32Lrr 0
0 0 Llr
⎤
⎦ iqd0r (2.21)
14 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Logo, as equações 2.19 e 2.21 podem ser expressas como:⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λqs
λds
λ0s
λqr
λdr
λ0r
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Lls +Lm 0 0 Lm 0 0
0 Lls +Lm 0 0 Lm 0
0 0 Lls 0 0 0
Lm 0 0 Llr +Lm 0 0
0 Lm 0 0 Llr +Lm 0
0 0 0 0 0 Llr
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
iqs
ids
i0s
iqr
idr
i0r
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(2.22)
Equação do Torque em dq0
As somas das potências instantâneas de entrada dos enrolamentos do estator e do rotor
são dadas por:
pin = vasias + vbsibs + vcsics + v′ari
′
ar + v
′
bri
′
br + v
′
cri
′
cr (2.23)
em termos das grandezas qd0, a potência instantânea de entrada é descrita como:
pin =
3
2
(vqsiqs + vdsids + v0si0s + v′qri
′
qr + v
′
dri
′
dr + v
′
0ri
′
0r) (2.24)
Aplicando as equações 2.15 e 2.16 em 2.24, obtem-se os seguintes termos: i2r, ipλ e
ωλi. O termo i2r representa as perdas no cobre. O termo ipλ representa a taxa de variação
de energia no campo magnético. O termo ωλi representa a taxa de energia convertida em
trabalho mecânico. O torque eletromagnético desenvolvido pela máquina é a soma dos
termos ωλi dividido pela velocidade mecânica, dessa forma a equação do torque é descrita
por:
Tem =
3
2
P
2ωr
[
ω(λdsiqs −λqsids)+(ω−ωr)(λdriqr −λqridr)
]
(2.25)
Usando as relações de fluxo dada na equação 2.22, tem-se que:
λdsiqs −λqsids = −(λdriqr −λqridr) = Lm(idriqs − iqrids) (2.26)
Logo, o torque eletromagnético pode também ser expresso das seguintes formas:
Tem =
3
2
(λdriqr −λqridr)
=
3
2
(λdsiqs −λqsids) (2.27)
=
3
2
Lm(idriqs − iqrids)
2.1. MOTOR DE INDUÇÃO 15
2.1.3 Simulação do Modelo
O modelo matemático para o motor de indução em dq0, descrito na seção anterior,
foi desenvolvido para um referencial arbitrário, podendo ser tanto para um referencial
estacionário quanto para um referencial girante, cada um com suas vantagens para cada
propósito. Adotou-se então o modelo para um referencial estacionário, sendo obtido sim-
plesmente fazendo-se ω = 0, que implica em θ = 0, na equação 2.10. As equações que
descrevem o modelo da máquina de indução em um referencial estacionário qd0 são des-
critas por:
vqs =
2
3
vas − 13vbs −
1
3
vcs
vds =
1√
3
(vcs − vbs) (2.28)
v0s =
1
3
(vas + vbs + vcs)
λqs =
� {
vqs +
Rs
Ls
(λmq −λqs)
}
dt
λds =
� {
vds +
Rs
Ls
(λmd −λds)
}
dt (2.29)
Com os enrolamentos do rotor, supostamente ligados em Y, têm seus terminais curto-
circuitados, as tensões de cada fase em relação ao neutro são nulas o que implica em:
λqr =
� {
ωrλdr +
Rr
Lr
(λmq −λqr)
}
dt
λdr =
� {
−ωrλqr + RrLr (λmd −λdr)
}
dt (2.30)
onde:
iqs =
λqs −λmq
Ls
ids =
λds −λmd
Ls
(2.31)
λmq = LM
(
λqs
Ls
+
λqr
Lr
)
λmd = LM
(
λds
Ls
+
λdr
Lr
)
(2.32)
LM =
LmLsLr
LmLs +LmLr +LsLr
(2.33)
16 CAPÍTULO 2. MODELAGEMDOS SUBSISTEMAS
o torque e a velocidade angular do rotor são descritos pelas equações 2.34 e 2.35, respec-
tivamente.
Tem =
3
2
P
2ωr
(
λdsiqs −λqsids
)
(2.34)
ωr =
� {
P
2J
(Tem +Tmec −Tdamp)
}
dt (2.35)
Para a avaliação do modelo descrito acima foi utilizado um motor de indução trifásico
de 10 HP, 6 pólos, velocidade nominal de 1160 rpm, tensão nominal de 440 V , frequência
nominal de 60 Hz e inercia do eixo de 0.0659 kgm2. As caracteristicas de enrolamento
foram fornecidos pelo fabricante e são apresentados na tabela a seguir.
Resistência do estator (Rs) 1,5467 Ω
Resistência do rotor (Rr) 1,4387 Ω
Reatância do estator (Xs) 6,4420 Ω
Reatância do rotor (Xr) 7,5713 Ω
Reatância de magnetização (Xm) 96,6692 Ω
Tabela 2.1: Características do enrolamento do motor de indução
As equações 2.29, 2.30 e 2.35 foram solucionadas utilizando como método de inte-
gração Runge- Kutta de quarta ordem com passo de integração igual a 10−5 e passo de
amostragem de 10−3. Como resultado, as figuras a seguir apresentam o comportamento
da velocidade e do conjugado eletromagnético respectivamente para um tempo de simu-
lação de 1s, onde é possível avaliar as características transitórias da máquina que são
essenciais para o acoplamento com as outras partes do sistema.
Figura 2.4: Velocidade de rotação do motor
2.2. COLUNA DE HASTES 17
Figura 2.5: Conjugado eletromagnético
2.2 Coluna de Hastes
Num sistema de elevação por BCP, a coluna de hastes deve ser capaz de suportar uma
carga axial e transmitir torque para o rotor da bomba. A carga axial e os esforços rotacio-
nais em qualquer ponto da coluna de hastes são resultantes de uma série de componentes,
como mostra a figura 2.6.
A carga axial da bomba é aplicada na extremidade da coluna, enquanto o peso das
hastes e as forças de flutuação se desenvolvem ao longo dela, sendo a carga máxima
aplicada na haste polida.
Os esforços rotacionais que atuam na coluna de hastes são o torque do rotor, o torque
de fricção na bomba, o torque de atrito viscoso na bomba e o torque hidráulico na bomba.
A soma destes esforços é constante ao longo de toda a extensão da coluna. O torque re-
sistivo do fluido nas hastes atua ao longo do corpo da mesma e, portanto, vai aumentando
à medida que se aproxima da superfície. O torque total que atua ao longo da coluna de
hastes é descrito pela seguinte equação [Mat02].
Thaste = Thid +Tf ric +∑Tres (2.36)
O torque hidráulico é resultante da ação de bombeio. Ele depende diretamente da
capacidade de deslocamento da bomba e do diferencial de pressão na qual a bomba está
submetida, como mostra a equação seguinte.
Thid = 0,111×QPD ×∆P (2.37)
O torque de fricção é resultante do cisalhamento do rotor sobre o estator através da
linha de interferência e depende da intensidade da interferência. Não existe modelo para
representar este efeito, no entanto ele pode ser estimado baseado nos dados de teste da
bomba [Mat02].
18 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Figura 2.6: Distribuição do torque e dos esforços axiais nas haste
Enquanto as hastes giram dentro da coluna de produção, forças cisilhantes superficiais
se desenvolvem entre o fluido e a coluna de hastes. Estas forças produzem um torque
denominado torque resistivo. A magnitude desse torque é expressa por:
Tres = 1,643×10−10 × D
3
r LµN
Dt −Dr (2.38)
Para fluidos com viscosidade abaixo de 1000 cp, o efeito do torque resistivo é despre-
zado.
2.2.1 Modelo Matemático
A coluna de hastes foi modelada dividindo-a em elementos cilíndricos distribuídos em
N pontos, cada um deles, composto de momento de inércia, amortecedor viscoso e mola
de torção, representados na figura 2.7, que mostra a relação entre os mesmos.
2.2. COLUNA DE HASTES 19
Figura 2.7: Circuito equivalente para o modelo da coluna de hastes
As equações em cada nó são descritas por um balanço de forças que atuam sobre os
elementos cilíndricos, tais como:
Nó 1:
Thp −B1 dθ1dt −K1(θ1 −θ2) = J1
d2θ1
dt2
(2.39)
Nó 2:
K1(θ1 −θ2)−B2 dθ2dt −K2(θ2 −θ3) = J2
d2θ2
dt2
(2.40)
Nó 3:
K2(θ2 −θ3)−B3 dθ3dt −K3(θ3 −θ4) = J3
d2θ3
dt2
(2.41)
Nó N:
KN−1(θN−1 −θN)−BN dθNdt −Tb = JN
d2θN
dt2
(2.42)
Quando em operação, a entrada do sistema é o torque desenvolvido pelo motor apli-
cado à haste polida, Thp. O sistema rotativo, por sua vez, se comporta como carga para
o motor. Será considerado que o torque fornecido pela bomba, Tb, terá a contribuição
apenas da parcela do torque hidráulico descrito pela equação 2.37, logo:
Tb = Thid (2.43)
O momento de inércia dos elementos de superfície, combinados com o do primeiro
elemento da coluna, pode ser calculado conforme a equação 2.44.
J1 = Jelem1 + Jcab +
Jpoliaredutor
n2red
+
Jpoliamotor
n2redn
2
polias
+
Jmotor
n2redn
2
polias
(2.44)
Para os demais elementos (i > 1 até N), o momento de inércia é calculado conforme
a equação abaixo.
Ji =
π
32
ρ∆LD4r (2.45)
20 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Já o coeficiente de atrito viscoso de cada elemento é dado pela seguinte equação:
Bi = 4π∆Lµi
D2t D
2
r
D2t −D2r
(2.46)
O efeito elástico em cada elemento de haste foi desenvolvido a partir da expressão
genérica da constante de mola de torção, conforme a equação 2.47, onde G representa o
modulo de cisalhamento do material.
Ki =
πD4r G
32∆L
(2.47)
2.2.2 Simulação do Modelo
Considerando uma haste de 500m de comprimento, dividindo-a em 10 elementos ao
longo da mesma, as equações que representam o comportamento de cada elemento de
haste, como descrito nas equações 2.39 à 2.42, foram solucionadas utilizando-se o Runge-
Kutta de quarta ordem, como método de integração, com um passo de integração de 1×
10−3 e um período de amostragem de 1s, para os dados de entrada apresentados na tabela
a seguir:
Torque na haste polida (Thp) 25 N.m
Torque da bomba (Tb) 22 N.m
Inércia dos elementos de superfície (J1) 31 kg.m2
Diâmetro do tubing (Dt) 2 7/8 pol.
Diâmetro da haste (Dr) 7/8 pol.
Viscosidade do fluido (µ) 10 cp
Tabela 2.2: Parâmetros para simulação do comportamento dinâmico das hastes
Como resultado da simulação do modelo da coluna de hastes, para os parâmetros
apresentados na tabela acima, a figura 2.8 apresenta o comportamento dinâmico da rota-
ção desenvolvida pela haste polida, onde pode-se observar uma dinâmica bem mais lenta
comparada à dinâmica desenvolvida pelo motor de indução; o mesmo pode ser obser-
vado na figura 2.9, que apresenta o comportamento dinâmico da rotação desenvolvida no
ultimo elemento da coluna de hastes que estar acoplado ao rotor da bomba.
2.3 Bomba de Cavidades Progressivas
A bomba de cavidades progressivas é composta de duas partes: o estator, elemento
fixo; e o rotor, o elemento girante, como mostra a figura a 2.10.
O estator é composto por um tubo de aço revestido internamente com elastômero
e cuja superfície externa é o envelope de um helicóide de N passos. Dependendo da
2.3. BOMBA DE CAVIDADES PROGRESSIVAS 21
Figura 2.8: Rotação da haste polida
Figura 2.9: Rotação do rotor da bomba
22 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Figura 2.10: Bomba de cavidades progressivas
composição química e do processo de cura do elastômero, as propriedades químicas e
mecânicas do material podem variar consideravelmente. O rotor é metálico, tem uma
superfície externa com a forma do envelope de um helicóide de N − 1 passos e passo
igual à metade do passo do estator. Além disso, é revestido por uma camada de cromo
para reduzir o efeito da abrasão.
Quando o rotor está inserido dentro do estator, forma-se uma série de cavidades, onde
irá se alojar o fluido produzido, isoladas umas das outras por linhas de interferência. Ao
girar o rotor dentro do estator, acionado pela coluna de hastes, as cavidades se movimen-
tam axialmente da sucção para o recalque da bomba, promovendo uma ação de bombeio.
A geometria de uma bomba BCP é caracterizada pelo passo do rotor, passo do estator,
diâmetro do rotor e excentricidade como mostra a figura 2.11.
2.3.1 Vazão da Bomba
Quando o rotor perfaz uma revolução em torno de seu eixo, uma cavidade se desloca
deum passo de estator. O deslocamento volumétrico será, portanto, proporcional ao
número de voltas que o rotor dá em torno de seu próprio eixo.
Dá-se o nome de deslocamento volumétrico, pump displacement, ao volume nominal
produzido por uma bomba por revolução. A área ocupada pelo fluido numa seção trans-
versal ao eixo da bomba é igual à área interna da seção transversal do estator menos a
área externa do rotor, como mostra a figura 2.12.
O volume deslocado pela bomba em uma revolução é igual a esta área multiplicada
pelo passo do estator, já que esta área será deslocada de um passo. A vazão nominal
da bomba a uma dada velocidade de rotação expressa em RPM (rotações por minuto) é
o produto do deslocamento volumétrico da bomba pela velocidade de rotação. Esta é a
vazão que a bomba deve teoricamente bombear contra um diferencial de pressão nulo em
bancada de teste com rotor de ajuste padrão, Standard.
A vazão real é a vazão nominal multiplicada pela eficiência. Devido ao escorrega-
2.3. BOMBA DE CAVIDADES PROGRESSIVAS 23
Figura 2.11: Geometria do rotor e estator
24 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Figura 2.12: Deslocamento da bomba de cavidades progressivas
mento que ocorre através das linhas de interferência, extensão de contato entre o estator e
o rotor, a vazão real é menor que a vazão nominal.
O escorregamento depende de diversos fatores, tais como:
• Interferência;
• Número de estágios;
• Temperatura;
• Viscosidade do fluido;
• Quantidade de gás.
Com base nos modelos apresentados por Gamboa [GU04], chegou-se à um modelo
para prever o comportamento da vazão da bomba numa condição qualquer a partir das
condições e resultados de teste de bancada [Ass05].
Considerando que o diferencial de pressão de operação, ∆Pop, é menor do que o dife-
rencial de abertura de selo de operação da bomba, ∆PopABT , despreza-se o efeito do escor-
regamento e o modelo matemático que representa o comportamento da vazão da bomba é
descrito por:
Qb = QN × Nop100 (2.48)
Caso contrário, o modelo leva em conta os efeitos do escorregamento representado
pela equação seguinte.
Qb = QN × Nop100 −
3
√
µt
µop
× (1−ηPN)QN × Nt100 ×
(
∆Pop −∆PopABT
∆PN −∆PABT
)
(2.49)
onde:
∆PopABT = ∆PABT ×1.25× [1+ I +(Top −Ttest)×0.0033] (2.50)
2.3. BOMBA DE CAVIDADES PROGRESSIVAS 25
2.3.2 Simulação do Modelo
A figura 2.13 apresenta o comportamento da vazão da bomba descrita nas equações
2.48 e 2.49 para uma variação do diferencial de pressão sobre a bomba para os dados
apresentados na tabela a seguir:
Vazão Nominal (Qn) 10 m3/dia@100rpm
Eficiência de teste (ηPN) 0,8 N.m
Rotação de teste (Nt) 250 rpm
Rotação de operação (Nop) 200 rpm
Viscosidade do fluido de operação (µop) 10 cp
Viscosidade do fluido de teste (µt) 10 cp
Diferencial de pressão nominal (∆PN) 100 kg f/cm2
Diferencial de pressão de abertura de selo (∆PABT ) 50 kg f/cm2
Temperatura do fluido de teste (Ttest) 50 0C
Temperatura do fluido de operação (Top) 100 0C
Interferência (I) 0.012
Tabela 2.3: Parâmetros para análise da curva de vazão da bomba
Pode-se observar que a bomba mantém uma vazão constante de 20 m3/dia enquanto o
diferencial de pressão na qual ela está submetida seja menor que o diferencial de pressão
de abertura de selo de operação. A partir desse ponto, aproximadamente 64,25 kg f/cm2,
a bomba começa a apresentar o fenômeno de escorregamento provocando uma redução
na vazão produzida pela mesma.
Figura 2.13: Comportamento da vazão da bomba
26 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
2.4 Dinâmica do fluido no anular (tubing-revestimento)
A vazão de alimentação do reservatório depende, essencialmente, de suas caracterís-
ticas e da pressão de fluxo. Para um poço, em um dado momento de sua vida produtiva,
existe uma relação entre a vazão de líquido e a pressão de fluxo denominada IPR (Inflow
Perfomance Relationships). A IPR varia ao longo da vida produtiva do poço por conta da
queda da pressão estática, à medida que o reservatório vai sendo drenado, e em função
das saturações dos fluidos (gás, água e óleo). A capacidade de produção do reservatório
pode ser avaliada por dois modelos: o modelo linear e o modelo de Vogel [BB77].
A figura 2.14 representa o comportamento da IPR linear descrita pela seguinte equa-
ção:
Qr = Ip(Pe −Pw f ) (2.51)
Figura 2.14: Comportamento da curva da IPR para o modelo linear
O índice de produtividade, IP, é um termo utilizado apenas quando a razão da vazão
versus o diferencial de pressão é constante, ou seja, uma reta. Portanto, o índice de
produtividade surge apenas no modelo linear de curvas IPR [BB77].
O modelo linear para IPR não se aplica quando as pressões no meio poroso estão
abaixo da pressão de saturação do óleo, pois neste caso o gás sai de solução aumentando
a saturação. O aumento da saturação do gás provoca um aumento em sua permeabilidade
relativa ao óleo. Esta variação da permeabilidade relativa ao óleo com a pressão faz com
que o índice de produtividade do poço também varie com a pressão, tornando inadequada
a representação do fluxo no meio poroso através de uma IPR linear [Tho01]. Nestes casos,
onde o reservatório produz óleo com gás em solução, se faz necessária a utilização do mo-
delo de Vogel, que é representado pela equação 2.53, cujo comportamento é apresentado
na figura 2.15.
Qr = Qmax
(
1−0.2Pw f
Pe
−0.8P
2
w f
P2e
)
(2.52)
2.4. DINÂMICA DO FLUIDO NO ANULAR (TUBING-REVESTIMENTO) 27
onde:
Qmax =
Qteste
1−0.2Pw f teste
Pe
−0.8P
2
w f teste
P2e
(2.53)
Figura 2.15: Comportamento da curva IPR para o modelo de Vogel
Pode-se, ainda, combiná-los, admitindo um comportamento linear quando a pressão
está acima da pressão de saturação e um comportamento Vogel para pressões abaixo da
pressão de saturação.
Considerando que o poço está produzindo em condições estabilizadas a uma vazão
constante, Qr, e a bomba de cavidades progressivas está trabalhando a uma vazão, Qb, a
variação no volume de fluido no anular tubing-revestimento é dada por:
∆V = (Qr −Qb)∆t (2.54)
O volume ocupado pelo fluido no anular, é descrito por:
∆V = Aanular∆h (2.55)
Substituindo a Eq. 2.55 em 2.56 a variação da altura do nível no anular é representada
pela equação seguinte.
∆h
∆t
=
(Qr −Qb)
Aanular
(2.56)
Considerando que o poço está produzindo com uma IPR linear, tem-se que:
dh
dt
=
IP(Pe −Pw f )−Qb
π
4
(D2r −D2t )
(2.57)
onde,
Pw f = Prev −ρgh (2.58)
28 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
2.4.1 Simulação do Modelo
Utilizando-se um Runge-Kutta de quarta ordem para um passo de integração de 10s,
dada as condições listadas na tabela 2.4, observa-se na figura 2.16 que a dinâmica do
fluido no anular revestimento-coluna de produção apresenta um comportamento exponen-
cial decrescente, uma vez que a vazão da bomba é maior que a vazão do reservatório, com
uma constante de tempo muito grande, provocando uma dinâmica muito lenta quando
comparada a dinâmica dos demais subsistemas já avaliados.
Altura inicial do nível (h0) 500 m
Diâmetro do revestimento (Dr) 7 pol.
Diâmetro da coluna de produção (Dt) 7/8 m3/m3
Índice de produtividade (Ip) 0,06 m3/dia/kg f/cm2
Pressão estática (Pe) 50 kg f/cm2
Pressão de revestimento (Prev) 0 kg f/cm2
Massa específica do óleo (ρ) 830 kg/m3
Vazão da bomba (Qb) 20 m3/dia
Tabela 2.4: Parâmetros de entrada para simulação da dinâmica do fluido revestimento-
coluna de produção
Figura 2.16: Nível submergência no anular
2.5. MODELAGEM HIDRODINÂMICA DA COLUNA DE PRODUÇÃO 29
2.5 Modelagem Hidrodinâmica da Coluna de Produção
A modelagem hidrodinâmica da coluna de produção de um sistema de elevação de
petróleo tem como objetivo avaliar a distribuição dos campos de pressão e velocidade
do fluido ao longo da mesma. Embora exista uma grande quantidade de correlações,
compiladas nos trabalhos clássicos de Brown e Beggs [BB77] e de Brill e Beggs [BB74],
que fornecem excelentes resultados dependendo das condições de escoamento, a base
teórica para o escoamento de fluidos são as equações de transporte de conservação da
massa, conservação da quantidade de movimentoe conservação da energia. Sob essa base
diversos modelos hidrodinâmicos foram propostos para o cálculo do escoamento bifásico.
Dentre tais modelos, três modelos unidimensionais são particularmente de interesse e uso
amplo na indústria de petróleo.
O modelo mais geral (e mais complexo) é o modelo de dois fluidos, que trata to-
das as variáveis características de cada fase de maneira separada, ou seja, a pressão, a
temperatura e a velocidade de cada uma das fases são diferentes numa mesma seção. É
necessário escrever equações de conservação de massa, quantidade de movimento e ener-
gia para cada uma das fases, de forma que são necessárias seis equações diferenciais para
descrever completamente o modelo.
O modelo de deslizamento considera apenas as velocidades das fases diferentes em
uma seção do duto e adota as hipóteses de equilíbrio térmico e mecânico, ou seja, pres-
sões e temperaturas das fases iguais numa mesma seção. Essas hipóteses são adequadas
quando as interações térmicas entre as fases são rápidas. Isto ocorre quando a fase gasosa
se encontra dispersa na fase líquida. Na prática, esta condição é melhor atendida para
o padrão de escoamento denominado bolhas dispersas, entretanto, pode-se utilizar essa
modelagem para o padrão de fase dispersa. Tal modelo é descrito por quatro equações
diferenciais: duas de continuidade (uma para cada fase ou uma para a mistura e uma para
uma das fases), uma de quantidade de movimento para a mistura e uma de energia para
mistura, além de uma equação adicional de fechamento, normalmente uma correlação
empírica para descrever o deslizamento entre as fases [Ass94].
O último modelo, na verdade um caso particular do anterior, é o modelo homogêneo, o
qual assume a hipótese de total equilíbrio entre as fases, isto é, as fases estão em equilíbrio
de pressão, equilíbrio térmico e possuem a mesma velocidade, logo assumindo velocidade
de deslizamento nula. A utilização de tal modelo, pelo presente trabalho, justifica-se ape-
nas como um ponto de partida para futuras implementações de modelos mais gerais e
complexos, na busca de construção de um simulador de um sistema de bombeamento
equipado com BCP. Todavia, sob certas circunstâncias, o modelo homogêneo pode re-
produzir satisfatoriamente resultados de escoamentos verticais.
2.5.1 Equações de conservação
Considerando o escoamento isotérmico, a formulação matemática para o modelo ho-
mogêneo é descrita pelas equações de conservação da massa e da quantidade de movi-
30 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
mento, respectivamente [Ass94, Wal69].
∂ρm
∂t
+
∂ρmv
∂x
= 0 (2.59)
∂ρmv
∂t
+
∂ρmv2
∂x
= −ρmg− ∂P∂x −
∂P
∂x
∣∣∣∣
f
(2.60)
onde t é o tempo, x é a coordenada ao longo da coluna, ρm é massa específica da mistura,
v é a velocidade da mistura, g é a aceleração da gravidade,
∂P
∂x
é o gradiente de pres-
são ao longo da coluna e
∂P
∂x
∣∣∣∣
f
é a perda de carga por atrito para o escoamento anular
concêntrico. No sistema de elevação por BCP, tal perda é descrita pela seguinte equação:
∂P
∂x
∣∣∣∣
f
=
8Qµ
πr41F
(2.61)
onde,
F =
[
(1− k4)+ (1− k
2)2
lnk
]
(2.62)
k =
r2
r1
(2.63)
Expressando as derivadas em função das variáveis de estado, v e P , as equações 2.59
e 2.60 são reescritas como:(
∂ρm
∂P
)
T
∂P
∂t
+ρm
∂v
∂x
+ v
(
∂ρm
∂P
)
T
∂P
∂x
= 0 (2.64)
ρm
∂v
∂t
+ρmv
∂v
∂x
+
∂P
∂x
= −ρmg− ∂P∂x
∣∣∣∣
f
(2.65)
As condições de contorno para as equações, equação 2.64 e equação 2.65 acima, são
obtidas a partir das características do sistema de elevação, no presente caso, BCP. Assim,
na entrada da coluna (ou saída da bomba), a condição de contorno para a velocidade é
decorrente da vazão imposta para a mesma (obtida através da rotação do rotor, a qual
pode variar a cada instante de tempo), sendo a pressão obtida dinamicamente em função
desta vazão (é uma incógnita do sistema). Logo:
v(0, t) =
Qbomba
Aanular
(2.66)
Por sua vez, na saída da coluna de elevação (cabeça do poço, ou no separador), a
pressão é considerada constante e, agora, a velocidade é obtida dinamicamente em função
desta pressão (é uma incógnita do sistema):
P(L, t) = Psep = cte (2.67)
2.5. MODELAGEM HIDRODINÂMICA DA COLUNA DE PRODUÇÃO 31
As condições iniciais serão as condições hidrostáticas antes do início da operação
do sistema com o rotor parado (a velocidade do fluido é zero ao longo da coluna). A
perturbação inicial do sistema será provocada pelo acionamento do motor, que faz com
que o rotor da BCP gire, resultando em uma descarga da bomba diferente de zero. Logo,
sob estas circunstâncias, as condições iniciais para a pressão e para a velocidade são
descritas como:
P(x,0) = Phidr +Psep = ρmgx+Psep (2.68)
v(x,0) = 0 (2.69)
2.5.2 Equação de transporte do Gás
Segundo Asmann [Ass94], as equações de conservação, Eq. 2.64 e Eq. 2.65, não são
suficientes para descrever completamente a dinâmica do escoamento do sistema. Isto por-
que a propriedade razão gás-líquido (RGL) do sistema não permanece constante em todos
seus pontos. As condições iniciais reais na coluna de produção impõem a necessidade de
um processo de propagação do gás através da mesma. Após uma parada de produção,
o fluido que está mais próximo da extremidade inferior da coluna contém mais gás e é,
portanto, mais leve que o fluido que está mais próximo da superfície. Há um transporte
e liberação de todo gás residual em solução. Após uma parada de produção, o fluido
que amortece o poço não deve ter nenhum conteúdo de gás em solução depois de um
certo tempo. No transiente que se estabelece na coluna de produção, após o reinício da
produção, o fluido sem gás que a preenche inicialmente, será deslocado pelo fluido com
gás em solução que está sendo bombeado. A descrição desta situação transiente exige
a utilização de uma equação de transporte para o gás (juntamente com suas condições
iniciais e de contorno), representado pela razão gás-líquido de produção, Rp, obtida a
partir da equação de conservação da massa para a mistura. A equação que representa esse
comportamento é descrita por:
∂Rp
∂t
+ v
∂Rp
∂x
= 0 (2.70)
com as condições de contorno e inicial descritas respectivamentes como:
Rp(x,0) = 0
Rp(0, t) = RGO (2.71)
2.5.3 Propriedades do Fluido
Para a determinação dos campos de pressão e velocidade, ao longo da coluna de pro-
dução, a partir da modelagem apresentada, faz-se necessário o cálculo das propriedades
do fluido que está sendo elevado.
Em condições de pressão crescente ou temperatura decrescente, o petróleo absorve
o gás em solução, isto é, o gás se torna líquido. Se a pressão diminui ou a temperatura
aumenta, as frações voláteis saem de solução do petróleo, ou seja, as frações mais leves
se vaporizam. A composição das fases líquida e gasosa em cada condição de pressão e
32 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
temperatura é um problema de equilíbrio vapor-líquido. Para misturas de hidrocarbone-
tos leves, esse equilíbrio pode ser predito pelo cálculo de flash. Entretanto, em mistu-
ras de hidrocarbonetos pesadas, esses cálculos não podem ser feitos e devem ser usadas
correlações empíricas que tratam o petróleo como um fluido de dois componentes. Tal
abordagem só deve ser utilizada nos óleos produzidos como black-oils. Em uma situação
qualquer, o fluido será composto de três partes: o gás livre, o gás em solução e o líquido
[Ass05].
A figura 2.17 mostra um diagrama de fase típico de um fluido black-oil. A linha
vertical 123 indica uma redução na pressão que ocorre no reservatório durante a produção
à uma temperatura constante. Quando a pressão do reservatório se encontra em qualquer
ponto ao longo da linha 12, pode-se dizer então que o óleo está subsaturado, ou seja, todo
o gás presente nessas condições está dissolvido no óleo. Se a pressão do reservatório
estiver no ponto 2, o óleo estará no seu ponto de bolha e é dito saturado. A partir desse
ponto uma redução na pressão tornará livre o gás no reservatório. Diminuindo a pressão
do reservatório ao longo da linha 23, aumentará a presença de gás no reservatório ao longo
dessa linhae o óleo é dito saturado. O ponto de bolha, o ponto 2, é um caso especial de
saturação em que será formada a primeira bolha de gás, logo, a palavra saturado é, às
vezes, usada para significar ponto de bolha [McC89].
Figura 2.17: Diagrama de fase para um fluido Black-Oil [McC89].
Os black-oils consistem da mistura de uma grande variedade de espécies químicas,
incluindo moléculas grandes, pesadas e não voláteis. São caracterizados por possuírem
razão gás-óleo de produção não superior a 350 m3/m3, densidade do óleo de tanque me-
nor que 45oAPI, de cor muito escura (indicando a presença de hidrocarbonetos pesados,
freqüentemente pretos e algumas vezes verde escuro ou marrom). O modelo black-oil
trata, simplificadamente, a mistura complexa de hidrocarbonetos, que é o petróleo bruto,
como se fosse uma mistura de apenas dois componentes. Um dos componentes é o fluido,
2.5. MODELAGEM HIDRODINÂMICA DA COLUNA DE PRODUÇÃO 33
que constitui a fase líquida nas condições padrão; o outro, é a fase gasosa nas mesmas
condições.
Para o cálculo das propriedades Black-Oils, se faz necessário o conhecimento de algu-
mas condições nas quais está submetido o fluido, tais como: grau API, densidade relativa
do gás livre, dGF , razão gás-óleo, RGO, percentual de água na fase líquida, BSW , pressão
e temperatura. As principais propriedades Black-Oils apresentadas a seguir baseiam-se
em McCain [McC89] e Brill [BB74]:
Razão de Solubilidade
Freqüentemente, refere-se à solubilidade do gás natural em óleo como se estivesse
relacionando um sistema de dois componentes. Embora seja conveniente discutir gás
dissolvido dessa maneira, na verdade, o gás e o óleo, ambos, são misturas de multicom-
ponentes, e as quantidades de óleo e gás são estabelecidas por uma relação de equilíbrio
gás-oleo.
Razão de solução gás-óleo ou razão de solubilidade é a quantidade de gás que está
presente no óleo quando o mesmo está sendo transportado do reservatório para as condi-
ções de superfície. Esta razão é definida em termos da quantidade de gás e de óleo que
aparecem na superfície durante a produção. As correlações empíricas mais usuais para o
cálculo da razão de solubilidade foram desenvolvidas por Lasater e Standing.
A correlação de Lasater, descrita a seguir, é considerada a mais precisa e foi obtida
a partir de dados do sistema Black-Oil produzidos no Canada, Médio-Oeste dos Estados
Unidos, e América do Sul, sendo apropriada para um fluido de grau API > 15.
Rs =
[
379,3×350× γo
Mo
](
yg
1− yg
)
(2.72)
Esta correlação tem como base um gráfico que correlaciona o fator de pressão de
bolha, Fpb, e a fração molar de gás, yg, através do seguinte polinômio apresentado em
Brill [BB74].
yg = −0,0000554437×Fpb5 −0,0002635095×Fpb4 +0,0140300282×Fpb3
−0,1062725991×Fpb2 +0,3989530267×Fpb −0,003237893 (2.73)
Conhecendo-se o valor da pressão P em psi, Ppsi, na qual o fluido está submetido, sua
temperatura em graus Rankine, TR, e a densidade do gás presente, yg, calcula-se o fator de
pressão de bolha na equação 2.74 e aplica o valor calculado na equação 2.73, para obter a
fração molar de gás.
Fpb =
Ppsi × γg
TR
∝ yg (2.74)
A correlação de Standing é baseada apenas nos sistemas gás-óleo da Califórnia, apli-
cada para um fluido de grau API < 15. O cálculo da razão de solubilidade através dessa
correlação é realizada de maneira direta aplicando os valores de pressão (Ppsi) e tempera-
34 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
tura (TF ), grau API do fluido e a densidade do gás na equação seguinte:
Rs = γg
[
Ppsi
18
× 10
0,0125×API
100,00091×TF
] 1
0,83
(2.75)
É importante lembrar que o valor calculado da razão de solubilidade deve sempre
respeitar a razão gás-óleo do poço, que é o limite máximo de razão de solubilidade de
gás.
Massa Molecular
Para um óleo de grau API < 51,1; a massa molecular é calculada pela seguinte equa-
ção:
Mo = 0,00137771×API3 −0,069121×API2 −9,71673×API +646,384 (2.76)
para um grau API > 51,1; a massa molecular é dada por:
Mo =
6084,0
API−5,9 (2.77)
Pressão de Bolha
O cálculo da pressão de bolha pode ser obtido tanto pela correlação de Lasater como
pela correlação de Standing. A correlação de Lasater é descrita por:
Pb = Fpb × 459,67+TFγg (2.78)
Para o cálculo da pressão de bolha usando esta correlação se faz necessário calcular o
valor do fator de pressão de bolha, Fpb, dado uma fração molar de gás, yg, através de um
ajuste polinomial, descrito por:
Fpb = 9,499217× yg6 −0,5787563× yg5 +2,5187595× yg4 +1,6491861× yg3
+2,5173997× yg +0,0081338 (2.79)
Neste caso, a fração molar de gás é calculada fazendo-se a razão de solubilidade, Rs,
igual a razão gás-óleo total de produção, Rp.
yg =
Rp
379,3
Rp
379,3
+
350γo
Mo
(2.80)
Para a correlação de Standing, o cálculo da pressão de bolha é obtido de maneira direta
dada a temperatura em graus Farenheit, TF , o grau API do fluido, a razão gás-óleo total
2.5. MODELAGEM HIDRODINÂMICA DA COLUNA DE PRODUÇÃO 35
de produção, RGO, e a densidade do gás, γg, como mostra a equação a seguir:
Pb =
18,0
10(0,0125×API−0,00091×TF )
×
(
RGO
γg
)0,83
(2.81)
Volume de formação do óleo
O volume de óleo que entra no tanque de armazenamento na superfície é menor do
que o volume do óleo que flui do reservatório para o fundo do poço. A mudança nesse
volume é uma combinação dos efeitos de compressibilidade, expansão térmica e transfe-
rência de massa. A queda de pressão do reservatório até a superfície provoca uma redução
significante no volume do óleo quando existe uma grande quantidade de gás dissolvido,
esta redução na pressão provoca uma rápida expansão no óleo restante, sendo essa expan-
são compensada pela contração do óleo devido à redução da temperatura. A mudança no
volume do óleo devido a esses fatores é expresso em termos do fator volume de formação
do óleo, Bo. Por definição o fator volume de formação do óleo é a razão entre o volume
que a fase líquida ocupa em condições de pressão e temperatura quaisquer e o volume que
ela ocupa nas condições de superfície. O Bo, expressa que volume de óleo de reservatório
é necessário para produzir um barril de óleo de tanque. A equação a seguir, desenvol-
vida por Standing, é a correlação empírica mais usada para calcular o valor do volume de
formação do óleo [BB74].
Bo = 0,972+0,000147
[
Rs
√
γg
γo
+1,25×TF
]1,175
(2.82)
Acima do ponto de pressão de bolha, o volume de formação do óleo, Bo, é calculado
pela seguinte equação:
Bo = Bobe−co(Pb−Ppsi) (2.83)
onde Bob é calculado pela equação 2.82, fazendo-se a razão de solubilidade, Rs, igual a
razão gás-óleo total de produção, Rp. A compressibilidade do óleo, co, é calculado pela
correlação de Vazquez [BB74], expressa como:
co =
−1433+5×RGO+17,2×T −1180× γg(114,7) +12,61×API
Ppsi ×105 (2.84)
A correlação de Vazquez, para o cálculo do fator de compressibilidade, foi obtida
para uma densidade do gás a 114.7 psi, γg(114,7), cuja relação com a densidade do gás nas
condições de separador, γg, é dada por:
γg(114,7) = γg +0,5912× γg ×API×TF × log10
(
Ppsi
114,7
)
×10−4 (2.85)
Para pressões acima do ponto de bolha, o Bo inclui todo gás em solução, para pressões
abaixo do ponto do bolha, o Bo refere-se à fase líquida e ao restante de gás dissolvido
naquela pressão.
36 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Massa específica da mistura
Para uma mistura bifásica, sua massa específica ρm, é definida em função das massas
específicas do líquido, ρL, e do gás livre, ρGF , e é expressa como:
ρm = (1−α)ρL +αρGF (2.86)
Massa específica do líquido
A massa específica do líquido corresponde a uma ponderação das frações da massa
específica do óleo, ρo, e da água, ρw, presente na mistura, descrita pela equação seguinte.
ρL = foρo + fwρw (2.87)
As frações de óleo, fo, e de água, fw, presentes na mistura são calculadas respectiva-
mente pelas seguintes equações.
fo = 1− fw (2.88)
fw =
1
1−BSW (2.89)
Massa específica do óleo
A massa específica do óleo, ρo, em qualquer pressão e temperatura, é calculada por:
ρo =
62,4× γo +0,014× γgd ×Rs
Bo
(2.90)
Para uma pressão acimado ponto de bolha, a massa especifica do óleo é calculada pela
equação 2.91, onde ρob é obtido pela equação 2.90 fazendo-se a razão de solubilidade, Rs,
igual à razão gás-óleo total de produção, RP. O fator de compressibilidade é calculado
pela expressão 2.84.
ρo = ρobeco(Ppsi−Pb) (2.91)
Massa específica do gás
A massa específica do gás livre, ρGF , é calculada usando-se a equação de estado (para
gases reais), onde o Z é o fator de compressibilidade do gás e R é a constante universal
dos gases. O fator de compressibilidade de gás real, Z, é calculado pela correlação de
Dranchuck et. al.[DPR74], a qual é uma equação de estado do tipo Bennedict-Webb-
Rubin correlacionando a carta de fator de compressibilidade de Katz-Standing [BB74].
ρg = 2,7× Ppsiγg fzTR (2.92)
2.5. MODELAGEM HIDRODINÂMICA DA COLUNA DE PRODUÇÃO 37
Massa específica da água
A massa específica da água é definida como a razão entre a sua densidade nas condi-
ções padrão de pressão e temperatura, γw, e o seu volume de formação, Bw, desprezando
os efeitos do gás em solução, representada por:
ρw =
γw
Bw
(2.93)
Volume de formação da água
O volume de formação da água, Bw, representa as mudanças no volume da água sali-
nada enquanto é transportada das condições de reservatório às condições de superfície. O
valor final desse volume, como função da pressão e temperatura, gás em solução e sólidos
dissolvidos, é calculado pela seguinte expressão:
Bw = 1−1,2×10−4Tx +1×10−6T 2x −3,33×10−6P (2.94)
onde:
Tx = TF −60 (2.95)
Densidade do óleo
A densidade relativa do óleo é calculada a partir do seu grau API como mostra a
equação a seguir:
γo =
141,5
131,4+API
(2.96)
Densidade do gás-livre
A densidade do gás livre em condições padrão é calculada a partir das densidades
relativas do gás produzido e do gás em solução, deduzida a partir de um balanço de massa
no gás produzido. Isto é:
γg f =
RGOγg −Rsγgd
RGO−Rs (2.97)
onde todas as densidades relativas referem-se às condições padrão . Este valor é limitado
pela densidade relativa do metano (0,56) e a densidade relativa do gás produzido.
Densidade do Gás Dissolvido
O gás dissolvido é a fração de gás produzido que se encontra na fase líquida em uma
determinada pressão e temperatura. A densidade relativa desse gás é calculada a partir da
tabela apresentada por Katz em função da razão de solubilidade e do grau API do óleo.
Este valor é limitado pelo valor da densidade de gás produzido. A densidade relativa
do gás em solução deve ser maior ou igual à densidade relativa do gás produzido em
38 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
condições padrão.
γgd =
API +12,5
50,0
−3,5715e−6 ×API×Rs (2.98)
Volume de formação do gás
Quando se encontra dentro do reservatório, o gás ocupa um certo volume que depende
das condições de pressão e temperatura presentes no reservatório. Quando levado para a
superfície, o gás fica sujeito a outras condições, o que acarreta uma alteração considerável
no volume ocupado pelo mesmo.
O fator volume de formação do gás, Bg, pode então ser definido como a razão entre
o volume de gás ocupado numa condição de pressão e temperatura qualquer e o volume
que ele ocupa nas condiçoes padrão (1 atm e 20oC). Conhecida a composição do gás, o
seu fator volume de formação pode ser facilmente obtido a partir da lei dos gases reais,
expressa pela equação a seguir.
Bg = 0,00503× zTRPpsi (2.99)
Viscosidade da mistura
Assim como a massa específica, a viscosidade da mistura é calculada a partir da soma
ponderada da viscosidade do liquido, µl , e do gás, µg, presente na mistura.
µm = (1−α)µl +αµg (2.100)
A viscosidade do líquido, µl , representa a soma da viscosidade do óleo, µo, e da água,
µw, ponderadas pela fração de óleo, fo, e de água, fw.
µl = µo fo +µw fw (2.101)
onde,
fo =
1
1− BSW
100
fw = 1− fw
Para o cálculo da viscosidade do óleo, µo, utilizou-se as correlações de Beggs e Vaz-
quez. A correlação de Beggs é utilizada para valores de pressão abaixo da pressão de
bolha e é calculada em função da viscosidade do óleo morto, µod .
µo = AµBod (2.102)
2.5. MODELAGEM HIDRODINÂMICA DA COLUNA DE PRODUÇÃO 39
A = 10.715(Rs +100)−0.515
B = 5.44(Rs +150)−0.338
µod = 1010
(3.0324−0.02023×API)×T−1.163F
A equação a seguir representa a correlação de Vazquez para o cálculo da viscosidade
do óleo para pressões acima da pressão de bolha, onde a viscosidade do óleo na pressão
de bolha, µob, é calculado pela correlação de Beggs, equação 2.102, [BB74].
µo = µob
(
Ppsi
Pb
)m
(2.103)
m = 2,6P1,187 ×10−(0,039P×10−3 +5)
A viscosidade da água é calculada pela expressão seguinte.
µw = exp
(1,003−1,479×10−2Tf +1,982×10−5T 2f ) (2.104)
A viscosidade do gás é calculada pela correlação de Lee et al. dada pelas seguintes
equações [BB74]:
µg = K×10−4exp(Xρyg) (2.105)
onde:
K =
(9,4+0,02M)T 1,5R
209+19M +TR
X = 3,5+
986
TR
+0,01M
y = 2,4−0,2X
M = 28,96γg f
Fração de vazio
A fração de vazio, α, representa o quanto da coluna de produção está ocupada por gás
livres. O seu valor é calculado em função da razão de gás-óleo total de produção, Rp,
da razão de solubilidade, Rs, do volume de formação do gás, Bg, volume de formação do
óleo, Bo e da fração de óleo presente na mistura, fo.
α =
(RGO−Rs)Bg
(RGO−Rs)Bg + Bofo
(2.106)
40 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
2.5.4 Metodologia de Solução
As equações que governam o fenômeno são discretizadas através da metodologia das
diferenças finitas, empregando-se o esquema atrasado no espaço e implícito no tempo,
como mostra a figura a seguir.
Figura 2.18: Esquema de discretização das equações de conservação
Assim, as equações da continuidade e quantidade de movimento assumem as formas:
∂P
∂t
=
Pk+1i −Pki
∆t
∂P
∂x
=
Pk+1i −Pk+1i−1
∆x
(2.107)
∂V
∂t
=
V k+1i −V ki
∆t
∂V
∂x
=
V k+1i −V k+1i−1
∆x
(2.108)
Substituindo as derivadas parciais e temporais nas equações 2.64 e 2.65, por sua dis-
cretização tem-se:
(
∂ρm
∂P
)i,k
T
Pk+1i −Pki
∆t
+ρi,km
vk+1i − vk+1i−1
∆x
+ vki
(
∂ρm
∂P
)i,k
T
Pk+1i −Pk+1i−1
∆x
= 0 (2.109)
2.5. MODELAGEM HIDRODINÂMICA DA COLUNA DE PRODUÇÃO 41
ρi,km
vk+1i − vki
∆t
+ρi,km v
k
i
vk+1i − vk+1i−1
∆x
+
Pk+1i −Pk+1i−1
∆x
= −ρi,km g−
(
∂P
∂x
)i,k
f
(2.110)
Para a equação que descreve o transporte do gás, equação 2.70, adotou-se o método
de discretização explícito atrasado como apresentado na figura a seguir. onde:
Figura 2.19: Esquema de discretização para a equação de transporte do gás
∂Rp
∂t
=
Rpk+1i −Rpki
∆t
(2.111)
∂Rp
∂x
=
Rpki −Rpki−1
∆x
(2.112)
Substituindo as equações 2.111 e 2.112 na equação 2.70, obtem-se:
Rpk+1i −Rpki
∆t
+ vki
Rpki −Rpki−1
∆x
= 0 (2.113)
Logo,
Rpk+1i = Rp
k
i − vki
∆t
∆x
(Rpki −Rpki−1) (2.114)
Representando as equações 2.109 e 2.110 na forma matricial tem-se:[
a1,1(i,k) a1,2(i,k)
a2,1(i,k) a2,2(i,k)
][
Pk+1i
V k+1i
]
=
[
b1,1
b1,2
]
(2.115)
42 CAPÍTULO 2. MODELAGEM DOS SUBSISTEMAS
Onde:
a1,1(i,k) =
1
∆t
(
∂ρm
∂t
)i,k
T
+
V ki
∆x
(
∂ρm
∂t
)i,k
T
a1,2(i,k) =
ρi,km
∆x
a2,1(i,k) =
1
∆x
a2,2(i,k) =
ρi,km
∆x
+
ρi,km ·V ki
∆t
b1(i,k) =
(
∂ρm
∂t
)i,k
T
· P
k
i
∆t
+
ρi,km ·V k+1i−1
∆x
+
(
∂ρm
∂t
)i,k
T
· P
k
i ·V ki
∆t
b2(i,k) =
ρi,km ·V ki
∆t
+
ρi,km ·V ki ·V k+1i−1
∆x
+
Pk+1i−1
∆t
−ρmg−
(
∂P
∂x
)i,k
T
da equação 2.61 tem-se que: (
∂P
∂x
)i,k
T
=
8 ·Qki ·µki
πr41F
(2.116)
Logo, pode-se calcular as pressões e velocidades no passo de tempo k+1 pelas seguintes
relações:
Pk+1i =
∣∣∣∣ b1(i,k) a1,2(i,k)b1(i,k) a2,2(i,k)
∣∣∣∣∣∣∣∣ a1,1(i,k) a1,2(i,k)a2,2(i,k) a2,1(i,k)
∣∣∣∣
(2.117)
V k+1i =
∣∣∣∣ a1,1(i,k) b1(i,k)a1,2(i,k) b2(i,k)
∣∣∣∣∣∣∣∣ a1,1(i,k) a1,2(i,k)a2,2(i,k) a2,1(i,k)
∣∣∣∣
(2.118)
Definidas as condições de contorno, atribui-se um valor para a pressão no instante de
tempo k +1 no recalque da bomba, P0, e calcula-se toda distribuição de pressão ao longo
da coluna de produção até que o valor calculado de pressão na cabeça do poço, Pcab, atinja
o valor da condição de contorno estabelecida dentro de uma tolerância permitida.
Após a realização de algumas simulações, verificou-se que o método de solução