funes-variasvariaveisI

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Funções de varias variáveis
)x,..,x,F(xw )x,...,x,(x 
:
321n21 


RRF n
nRSFDom )( S é um subconjunto de Rn
Exemplo 1: Seja F tal que
1w y)(x, 
:
22
2


yx
RRF

Identifique o domínio e a imagem de F
Exemplos
Exemplos
221 yxz 
Exemplos
Dominio f : semi-plano superior a y=x
Imagen f : toda reta real.
Observações importantes
Disco aberto, disco fechado
Identifique o domínio e a imagem de F
Gráfico ={(x,y, z) ϵ R 3 ,z=f(x,y)}  (x,y,c) : curva de nível
Gráfico ={(x,y, z, w) ϵ R 4 , w=f(x,y,z)} 
(x,y,z,c) : superfície de nível
Curvas de nível: c=f(x,y); c=cte. Gráfico: z=f(x,y)
122  yxw
Gráfico
Curvas de nível
f: R3 R
w= f(x,y,z) = z-x2-y2, gráfica: 4D
não da para ver
Superfície de nível: c=z-x2-y2
Limite e continuidade
Limite e continuidade
Limite e continuidade
Exemplo:
Calcule o limite de f(x,y) quando (x,y)  (0,0)
22
),(
yx
x
yxf



Limite e continuidade
Exemplo:
22
),(
yx
x
yxf



seja
Analisar continuidade no ponto (1,1)
a) f(1,1)=-1 existe
b) existe
c) os dois são iguais.
Logo, f(x,y) é contínua no ponto (1,1). 
1
11
1
),(lim )1,1( 


 yxfx
Derivada parcial
Derivada parcial em relação a x
Desde que o limite exista.
h
yxfyhxf
x
f
hyx
),(),(
lim| 00000),( 00





Derivada parcial em relação a y
h
yxfhyxf
y
f
hyx
),(),(
lim| 00000),( 00





Desde que o limite exista
Derivada parcial : interpretação geométrica
Derivada parcial : interpretação geométrica: f(x,y)
),()( 0 yx
y
f
yh


),()( 0yx
x
f
xg



Coef. angular da reta tangente 
as curvas vermelhas 
)1ln( 22  yxf
)1(
2
22 




yx
y
y
f
h
)1(
2
22 




yx
x
x
f
g
Derivada parcial como taxa de variação.
A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo 
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
),( 00 yx
x
f


A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo 
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),
),( 00 yx
y
f


Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da 
variação parcial da função em relação a cada variável, 
quando as outras estão fixadas.
Notação:
Derivada parcial de segunda ordem.
yx f
y
f
f
x
f






 ;
fxy
xy
f
fyx
yx
f
f
y
f
f
x
f
yyxx 










 22
2
2
2
2
;; ;
)();( 
22
y
f
x
f
yx
f
x
f
y
f
xy
f
yxxy














notação
Teorema das derivas mistas.
Se f(x,y) e suas derivadas parciais fx,fy,fxy
forem definidas em uma região contendo o ponto 
(a,b) e todas forem contínuas em (a,b) então
),(
2
),(
2
|| baba
xy
f
yx
f





Diferenciabilidade de uma função z=f(x,y).
A função z=f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se fx, fy
sejam definidas em uma região que contenha o 
ponto (x0,y0) e que
),(),( 0000 yxfyyxxfz 
yxyyxfxyxfz yx  210000 ),(),( 
satisfaz
Na qual quando 
0,0 21  
0,0  yx
Continuidade de derivadas parciais implica
Diferenciabilidade.
Dada a função z=f(x,y) se fx, fy são contínuas ao 
longo de uma região do seu domínio então f
é diferenciável.
Diferenciabilidade implica continuidade
Regra da cadeia:funções de 2 variáveis 
independes
Dada a função w=f(x,y), e se fx, fy são contínuas e 
se x=g(t), y=h(t) forem funções diferenciáveis de t 
então a função composta w(t)=f(g(t),h(t)) será uma 
função diferençável de t, logo
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
df
..






Exemplo :
Seja f(x,y)= x2 y; e seja x= cos(t), y= t, determine
dt
df
f
dt
df 
é chamada de derivada 
total 
,
dt
df
Esta derivada total indica como esta variando a função f ao longo da 
curva r(t) = (cos(t),t, cos(t)2 t) que descansa na superfície z=f(x,y)
Taxa de variação da função z=f(x,y) ao longo da curva
r(t) = (cos(t), t, cos(t)2 t)
Regra da cadeia
,...
...
ds
dz
z
f
ds
dy
y
f
ds
dx
x
f
ds
df
t
f
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
df




















São chamadas de derivadas totais. 
,
Regra da cadeia:funções de 2 variáveis independes
Dada a função w=f(x,y,z), e se fx, fy , fz são contínuas e se 
x=g(t,s), y=h(t,s),z=k(t,s) forem funções diferenciáveis de t 
e s então a função composta w(t,s) = f(g(t,s),h(t,s),k(t,s)) 
será uma função diferençável de t, logo
dt
df
ds
df
,
Exercícios
1.- identifique o domínio e a imagem da função w = 
w(x,y) definida assim
2.-Desenhe a superfície definida pela equação
122  yxw
41
22 yx
z 
3.- encontre as curvas de nível da equação z=16-x2-y2
4.-Calcule se 
a) b)
),(lim )0,0(),( yxfyx 
yx
yyx
yxf



2
22
),(
22
),(
yx
x
yxf



Exercícios
5.- A função z=f(x,y) esta definida como 
quando para (x,y)≠(0,0), e seria 0 para (x,y)=(0,0).
Mostre se ela não é continua no ponto (x,y)=(0,0).
6.- utilize o teste dos caminhos para mostrar que
não existe,
7.- Dado f(x,y)= x2y + 2y, determine fx, fxx, fy, fyy
8.- Sendo f(x,y,z)=x+ xy+ cos(2z+x), determine fx, fxy, fxz,
fyy, fzz, 
9.- Seja determine fxy e fyx
10.- Mostrar a diferenciabilidade de f(x,y) = y2+4x, em 
qualquer ponto do se domínio.
32
22
yx
xy
z


),(lim )0,0(),( yxfyx  24
42
),(
yx
xyx
yxf



yx
x
yxf

),(
Exercícios
11) Uma caixa em forma de paralelepípedo de lados x y e 
z estão variando de volume, de tal forma que num 
instante dado esses 3 lados medem x0=1m, y0=2m, 
z0=3m respectivamente. No mesmo instante a taxa de 
variação dos lados x, y e z em relação ao tempo é 
respectivamente 1m/s, 1m/s e -3m/s. Determine a taxa 
de variação do volume e da superfície total da caixa em 
relação ao tempo no mesmo instante.
12) Seja f uma função duas vezes diferençável em R; seja 
u(x, t) = a f(x+c t) + b f(x-c t) sendo a, b, c constantes 
reais e c ≠ 0. Mostre que 
0
1
2
2
22
2






t
u
cx
u
Equação de 
onda