Funções_de_várias_variáveis

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<p>GOVERNO FEDERAL</p><p>MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO</p><p>UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO</p><p>CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA</p><p>PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA</p><p>CÁLCULO II – 2015.2</p><p>Funções de várias variáveis</p><p>1. Ilustração</p><p> A área de um retângulo depende de duas quantidades - comprimento e largura.</p><p> Se um objeto está localizado no espaço, a temperatura em um ponto P do objeto</p><p>depende de três coordenadas retangulares de P.</p><p> Se a temperatura de um objeto no espaço varia com o tempo , então depende de</p><p>quatro variáveis e .</p><p> O número de indivíduos de uma certa colônia de fungos depende essencialmente da</p><p>quantidade de nutrientes ( ), da quantidade de água ( ), da temperatura</p><p>( ) e da presença de uma certa proteína ( ). Experimentalmente foi obtida a</p><p>seguinte tabela:</p><p>possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função</p><p>bem definida por</p><p>Definições</p><p>Suponha que seja um conjunto de -uplas de números reais . Uma função</p><p>a valores reais em é uma regra que associa um único número real</p><p>a cada elemento em . O conjunto é o domínio da função. O conjunto de valores de</p><p>assumidos por é a imagem da função. O símbolo é a variável dependente de , e</p><p>dizemos que é uma função de variáveis independentes a . Também chamamos os</p><p>de variáveis de entrada da função, e denominamos a variável de saída da função.</p><p>Se é uma função de duas variáveis independentes, normalmente denominamos essas</p><p>variáveis independentes por e , e a variável dependente , e representamos o domínio de</p><p>como a região no plano (Figura 1). Se é uma função de três variáveis independentes,</p><p>denominamos as variáveis independentes e , e a variável dependente w, e representamos</p><p>o domínio como uma região no espaço (figura 2).</p><p>2. Curvas de Nível</p><p>Gráficos gerados por computador e curvas de nível de funções de duas variáveis típicas.</p><p>Exemplo 1 Seja</p><p>a) Esboce o domínio de .</p><p>b) Represente os números , e em um eixo .</p><p>Exemplo 2 Seja uma função com domínio dado por</p><p>e</p><p>Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos e .</p><p>Exemplo 3 Esboce algumas curvas de nível da função do Exemplo 2.</p><p>Exemplo 4 Se , esboce algumas curvas de nível de .</p><p>Exemplo 5 Determine o domínio D e a imagem e a imagem w para cada função dada abaixo.</p><p>a) ; b) c)</p><p>;</p><p>d)</p><p>e)</p><p>; f)</p><p>3. Limites e continuidade</p><p>Se os valores de estão arbitrariamente próximo de um número real fixado</p><p>para todos os pontos suficientemente próximo de um ponto . Para se estimar o</p><p>limite de uma função de duas variáveis no ponto é necessário calcular esse valor</p><p>por todas as trajetórias que passem por . Se em todos os casos o resultado for sempre</p><p>o mesmo, ou seja, , diz-se que o limite existe e seu valor é . Caso o limite não exista em</p><p>alguma trajetória ou dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite</p><p>não existe.</p><p>Definição Dizemos que uma função se aproxima do limite á medida que se</p><p>aproxima de e escrevemos</p><p>Se, para todo número existe um número correspondente tal que, para todo</p><p>no domínio de (Figura 3)</p><p>sempre que</p><p>Propriedades dos Limites</p><p>Exemplo 1 Calcule os limites:</p><p>a)</p><p>; b)</p><p>; c)</p><p>d)</p><p>; e)</p><p>; f)</p><p>Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite</p><p>Se uma função tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes no</p><p>domínio de quando se aproxima de , então</p><p>não existe.</p><p>4. Continuidade</p><p>Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de</p><p>limites.</p><p>Definição Uma função é contínua no ponto se:</p><p>1. F for definida em</p><p>2.</p><p>existe;</p><p>3.</p><p>Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.</p><p>Exemplo 01 Mostre que</p><p>é contínua em todo ponto, exceto</p><p>na origem.</p><p>5. Derivadas parciais</p><p>Se for um ponto do domínio de uma função , o plano vertical</p><p>cortará a superfície na curva (Figura 4). Essa curva é o gráfico da</p><p>função no plano . A coordenada horizontal nesse plano é ; a coordenada</p><p>vertical é . O valor de se mantém constante em , portanto não é uma variável.</p><p>Definimos a derivada parcial de em relação à no ponto como a derivada</p><p>ordinária de em relação à no ponto . Para distinguir as derivadas parciais</p><p>das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo no lugar da letra empregada anteriormente.</p><p>Na definição, representa um número real, positivo ou negativo.</p><p>Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é</p><p>Dede que o limite exista.</p><p>O coeficiente angular da curva no ponto no plano</p><p>é o valor da derivada parcial de em relação a em . Na (Figura 4) temos o</p><p>coeficiente angular negativo.</p><p>Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é</p><p>Dede que o limite exista.</p><p>O coeficiente angular da curva no ponto no plano</p><p>é o valor da derivada parcial de em relação a em . Na (Figura 5) temos o</p><p>coeficiente angular negativo.</p><p>Notações para derivadas parciais</p><p>,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>,</p><p>Figura 4</p><p>Interseção do plano y = y0 com a superfície</p><p>z = ƒ(x, y) vista de um ponto acima do</p><p>primeiro quadrante do plano xy.</p><p>Figura 5</p><p>Interseção do plano x = x0 com a superfície</p><p>z = ƒ(x, y), vista de cima do primeiro</p><p>quadrante no plano xy.</p><p>As figuras 4 e 5 combinadas. As retas tangentes no ponto (x0, y0, ƒ(x0, y0)) determinam um</p><p>plano que, nesta figura, pelo menos, parece ser tangente à superfície.</p><p>Teorema Sejam o gráfico de e um ponto de onde e</p><p>existem. Sejam e os traços de nos planos e , respectivamente, e sejam</p><p>e as tangentes a e e (Ver Figura 6).</p><p>(i) O coeficiente angular de no plano é</p><p>(ii) O coeficiente angular de no plano é .</p><p>Teorema Seja uma função de duas variáveis e . Se e são contínuas em</p><p>uma região aberta , então em .</p><p>Exemplo ache as derivadas parciais de se</p><p>Incrementos e diferenciais</p><p>Se é uma função de duas variáveis e , então os símbolos e denotam incremento de</p><p>e . Em termos desta notação, podemos escrever</p><p>Define-se como segue o incremento a variável dependente</p><p>Definição Seja , e sejam e incrementos de e , respectivamente. O</p><p>incremento de é</p><p>Vide Figura 7</p><p>Exercícios</p><p>Funções</p><p>Problema 01 De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue ( ) a</p><p>uma distância (em cm) do eixo de um vaso sanguíneo de raio (em cm) e comprimento</p><p>( ) é dado por</p><p>. Onde ( ) é a pressão no interior do</p><p>vaso. Suponha que um certo vaso tem de raio e de comprimento.</p><p>a) Com que velocidade o sangue está circulando a uma distância de do vaso se a</p><p>pressão no vaso é ?</p><p>b) Com que velocidade o sangue está circulando no eixo do vaso sanguíneo se a pressão no</p><p>vaso é ?</p><p>Problema 02 Dada a função e , ache a</p><p>função e seu domínio.</p><p>Problema 03 Descreva o domínio da função . Represente</p><p>num gráfico a região espacial que contém todos os pontos do domínio de . Calcule os</p><p>valores de indicados abaixo, se possível.</p><p>a) b) c)</p><p>Problema 04 Em cada parte descreva o gráfico da função num sistema de coordenadas .</p><p>a)</p><p>b) c)</p><p>Problema 05 Encontre o domínio e a imagem da função</p><p>.</p><p>Limite</p><p>Nos Problemas 06 – 17. Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.</p><p>Coordenadas Esféricas e</p><p>06.</p><p>07.</p><p>08.</p><p>09.</p><p>10.</p><p>11.</p><p>12.</p><p>13.</p><p>14.</p><p>15.</p><p>16.</p><p>17.</p><p>Nos Problemas 18 – 27. Determine as derivadas parciais das funções a seguir.</p><p>18.</p><p>19.</p><p>20.</p><p>21.</p><p>22.</p><p>23.</p><p>24.</p><p>25.</p><p>26.</p><p>27.</p><p>Problema 28 Mostre que</p><p>satisfaz a Equação do Calor</p><p>Uma função é dita harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace. Para duas dimensões é</p><p>dada por</p><p>. Para três dimensões é dada por</p><p>Nos Problemas 29 – 36. Verifique que as funções dadas são harmônicas.</p><p>29.</p><p>30.</p><p>31.</p><p>32.</p><p>33.</p><p>34.</p><p>35.</p><p>36.</p><p>http://www.univasf.edu.br/~pedro.macario/ Página 10</p><p>Se ficarmos em uma praia e tiramos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão</p><p>regular de picos e depressões em dado instantes. Veremos o movimento vertical periódico no</p><p>espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da</p><p>água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo. Na física, essa bela</p><p>simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional.</p><p>Nos Problemas 37 – 40 verifique que as funções são solução da equação da onda.</p><p>37. 38.</p><p>39. 40.</p><p>Regra da Cadeia de Duas Variáveis</p><p>Teorema se e forem diferenciáveis em e se for diferençável</p><p>no ponto , então é diferencial em e</p><p>Onde as derivadas comuns são calculadas em e as derivadas parciais são calculadas em</p><p>.</p><p>Problema 41 Sendo , encontre .</p><p>Problema 42 Sendo , use a regra da cadeia para encontrar</p><p>quando .</p><p>Problema 43 Encontre para</p><p>Regra da Cadeia de Três Variáveis</p><p>Teorema se e forem diferenciáveis em e se for</p><p>diferençável no ponto , então é</p><p>diferencial em e</p><p>Onde as derivadas comuns são calculadas em e as derivadas parciais são calculadas em</p><p>.</p><p>[Digite o título do documento]</p><p>Prof. Pedro Macário de Moura</p><p>http://www.univasf.edu.br/~pedro.macario/ Página 11</p><p>Problema 44 Sendo . Encontre .</p><p>Regra da Cadeia de Duas Variáveis</p><p>Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira ordem no ponto</p><p>e se for diferençável no ponto , então</p><p>tem derivadas parciais de primeira ordem no ponto dadas por</p><p>Problema 44 Encontre e se</p><p>Regra da Cadeia de Duas Variáveis</p><p>Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira</p><p>ordem no ponto e se for diferençável no ponto ,</p><p>então tem derivadas parciais de primeira ordem em</p><p>dadas por</p><p>Nos Problemas 45 – 46 encontre e .</p><p>45. .</p><p>46. e .</p><p>Problema 47 Encontre</p><p>e</p><p>para</p><p>Uma função é denominada homogênea de grau se para todo</p><p>.</p><p>Nos Problemas 48 – 50 mostre que a função é homogênea e determine seu grau</p><p>48. 49. 50.</p>