2-Funções de Várias Variáveis e suas Derivadas

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções de várias variáveis e suas derivadas.
PROPÓSITO
Identificar a função de várias variáveis a valores reais, as derivadas parciais e o gradiente
da função, além do conceito da regra da cadeia, derivadas direcionais e derivadas parciais
de ordem superior.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar as funções de várias variáveis
MÓDULO 2
Aplicar a derivação parcial e o gradiente de uma função escalar
MÓDULO 3
Aplicar a regra da cadeia para funções escalares
MÓDULO 4
Aplicar a derivada direcional e a derivada parcial de ordem superior
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 EMPREGAR AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
Existem vários tipos de funções que são definidas dependendo do conjunto escolhido para
seu domínio e sua imagem.
Diversos fenômenos naturais, bem como diversas aplicações do nosso cotidiano
fornecem, como resultado (saída), um valor real, mas que depende de várias variáveis em
suas entradas ao invés de apenas uma.
 EXEMPLO
A temperatura em cada ponto de uma sala depende da posição desse ponto dentro dessa
sala. Assim, a função que representa o valor dessa temperatura dependerá de três
variáveis que representam a posição do ponto no espaço, isto é (x,y,z).
Dito isso, necessitamos definir uma função matemática que possua uma entrada vetorial
(várias variáveis) e forneça como resultado um valor real.
O DOMÍNIO É UM SUBCONJUNTO DE RN E A IMAGEM ESTÁ
NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. ESTAS FUNÇÕES
SÃO DENOMINADAS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
REAIS A VALORES REAIS, OU SIMPLESMENTE FUNÇÕES
ESCALARES.
Este módulo definirá as funções escalares e suas representações gráficas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES ESCALARES
Vamos relembra a definição do conjunto Rn, com n inteiro e n > 1:
RN = X1, X2, …, XN COM X1, X2¸…, XN REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O elemento do conjunto é uma n-upla que representa um vetor com n componentes,
sendo que cada componente xj, 1 ≤ j ≤ n é um número real.
Seja uma função f cujo domínio está em subconjunto de conjunto Rn e sua imagem está
em um subconjunto do Rm, com n e m inteiros maiores ou iguais a 1. Dependendo dos
valores de m e n, teremos definidas funções de tipos diferentes.
Vejamos as possibilidades:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
ETAPA 04
Quando n = 1 e m = 1, se tem uma função de uma variável real a valores reais, ou
simplesmente funções reais (f: R → R). Em outras palavras, a entrada e saída da função
é um número real. Este tipo de função é estudado no cálculo integral e diferencial com
uma variável.
Por exemplo:
f(x) = 3x + 5, x ∈ R, que é uma função f:R → R
g(y) = 4 cos y + 8, y ∈ R, que é uma função g:R → R
Quando n = 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável real a valores vetoriais, ou
simplesmente funções vetoriais (f: R → Rm). Isto é, a entrada é um número real e a
imagem é um vetor.
{( ) }
Por exemplo:
f(t) =〈t2 + 1, cos t ,5t〉 , t ∈ R, que é uma função f: R → R3
h(u) =〈3u, 4- eu〉, u ∈ R, que é uma função h: R → R2
Quando n > 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável vetorial a valores vetoriais, ou
simplesmente campos vetoriais (f: Rn → Rm). Ou seja, a entrada e a saída são vetores.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 〈x + y, tg x + 2〉, que é uma função f: R3 → R2
g(u,v) = 〈3u2+ 5v, sen v + 3u, u - 2v〉, que é uma função f: R2 → R3
Por fim, quando n > 1 e m = 1, se tem a função de uma variável vetorial, ou de várias
variáveis a valores reais ou simplesmente função escalar (f: Rn → R). Isto é, a entrada é
um vetor, e a saída, um número real.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 9xy , que é uma função f: R3 → R
h(u,v) = u2 + 3uv, que é uma função f: R2 → R
As funções escalares, que serão o objeto deste tema, contêm diversas aplicações
práticas, pois, de forma geral, os fenômenos dependem de várias variáveis. Por exemplo,
o volume de um recipiente depende do raio e da altura, ou a temperatura de uma região
na terra depende da latitude, longitude e altura.
Vamos começar por definir formalmente a função escalar.
DEFINIÇÃO
UMA FUNÇÃO ESCALAR SERÁ UMA FUNÇÃO F: S ⊂ RN →
R, NA QUAL S É UM SUBCONJUNTO DO CONJUNTO RN
COM N INTEIRO E N > 1.
Assim, a cada elemento x1, x2, …, xn ∈ S será associado um único número real
denotado por f x1, x2, …, xn .
Portanto, a imagem da função será dada por:
IM F = F X1, X2, …, XN ∈ R / X1, X2, …, XN ∈ S ⊂ RN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As variáveis x1, x2, …, xn são denominadas de variáveis independentes, enquanto que
a variável y = (x1, x2, …, xn é denominada de variável dependente.
 ATENÇÃO
Quando o domínio não é especificado, se considera este como o subconjunto do Rn que
permite, através da equação que define a função, se obter um número real.
EXEMPLO 1:
Determine o domínio da função escalar f(x, y) =
√x + y - 2
x - y .
SOLUÇÃO
Ao se analisar o numerador da função, verifica-se a existência de uma raiz quadrada.
Sabemos que só existe raiz quadrada de um número maior ou igual a zero:
x + y - 2 ≥ 0 → x + y ≥ 2
Outro ponto importante é que o numerador não pode ser zero:
x - y ≠ 0 → x ≠ y
Portanto, o domínio de f(x,y) será:
Dom f = (x, y) ∈ R2 / x + y ≥ 2 e x ≠ y
( )
( )
{ ( ) ( ) }
)
{ }
.
EXEMPLO 2:
Determine, caso seja possível, os valores de f(x, y) =
√x + y - 2
x - y para (x, y) = (4,2) e
(x, y) = (3,3).
SOLUÇÃO
Como calculado no exemplo anterior, o domínio da função será o conjunto S tal que
S = {(x, y) / x + y ≥ 2 e x ≠ y}
O par ordenado (4,2) ∈ S, assim
f(x, y) =
√x + y - 2
x - y → f(4,2) =
√4 + 2 - 2
4 - 2 =
2
2 = 1
O par ordenado (3,3) não pertence a S, pois, apesar de x + y ≥ 2, o valor de x é igual a y,
não pertencendo, portanto, ao domínio da função, não sendo possível obter f(3,3).
EXEMPLO 3:
Determine o domínio da função escalar
g(x, y, z) =
3
√3x + 5 
ln ( 2x + y + z )
y2 + 1
e calcule, caso seja possível, os valores de g(1, 0, 2) e g(1, 0, –3).
SOLUÇÃO
Uma raiz cúbica não tem restrição de domínio. Da mesma forma, o denominador y2 + 1
nunca fornecerá um valor de zero.
Assim, a única restrição de domínio da função será a referente à função log neperiano,
que só pode ser aplicado a um número maior do que zero. Portanto, devemos ter 2x + y +
z > 0
Então: Dom f = (x, y, z) ∈ R3 / 2x + y + z > 0{ }
Quanto aos valores pedidos para a função:
A trinca ordenada (1, 0, 2) ∈ dom g, assim
g(1, 0,2) =
3
√3.1 + 5 
ln ( 2.1 + 0 + 2 )
02 + 1
=
3
√8 ln(4) = 2ln(4)
A trinca ordenada (1, 0, -3) não pertence ao dom g, pois, 2x + y + z = –1 < 0, não sendo
possível obter g(1, 0, –3).
GRÁFICO, CURVAS DE NÍVEL E
SUPERFÍCIE DE NÍVEL
Vimos a representação da função através de sua equação matemática que relaciona as
suas variáveis independentes e o valor real a ser obtido no resultado da função. Neste
tópico, analisaremos a representação gráfica da função escalar.
Só será possível uma representação gráfica que permite uma visualização geométrica
para funções escalares cujo domínio está no R2 ou no R3.
Quando o domínio é um subconjunto do R2, isto é, S ⊂ R2, o elemento de entrada da
função será um vetor ou par ordenado (x, y). A função, então, será visualizada através de
sua representação gráfica no espaço através dos eixos cartesianos, considerando que z =
f(x, y). Assim, o gráfico da função z = f(x, y) será o conjunto de todos os pontos do espaço
(x, y, z) ∈ R3, tal que z = f(x, y) e (x, y) pertence ao domínio de f(x, y).
Portanto, o gráfico de f(x, y) será definido por
GF = (X, Y, Z) ∈ R3 / Z = F(X, Y) COM (X, Y) ∈ S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O gráfico representará uma superfície que fica acima do conjunto que representa o
domínio S da função f(x, y).
{ }
 Gráfico de uma função escalar no R2.
EXEMPLO 4:
Esboce o gráfico associado à função f(x, y) = 8 -4x - 2y.
SOLUÇÃO
O gráfico de f(x,y) será definido como
Gf = (x, y, z) ∈ R
3 / z = 8 - 4x - 2y
Repare que a equação z = 8 - 4x - 2y é uma função linear, assim representará, no espaço,
um plano.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos.
Para x = y = 0 → z = 8 – 0 – 0 = 8
Para z = 0 → 8 – 4x – 2y = 0 → 4x + 2y = 8 → 2x + y = 4, assim quando x = 0 → y =
4 e para y = 0 → x =2.
Assim a representação será
Fonte: Autor
{ }
A figura apresenta apenas uma parte do plano, pois ele vai tanto para cima quanto para
baixo, até o infinito.
Outra forma de visualizar as funções com domínio em um subconjunto do R2 são as
curvas de nível ou curvas de contorno, que é uma forma de representação planar para
a função.
As curvas de nível são os contornos traçados no plano xy que representam todos os
pontos em que o valor de z = f(x, y) é constante, isto é, z = f(x, y) = k, na qual k é uma
constante real. Assim, definimos uma curva de nível para cada nível k.
 EXEMPLO
Um exemplo prático das curvas de níveis são os mapas topográficos ou mapas que
fornecem temperaturas de determinada região.
EXEMPLO 5:
Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y) = 8 - 2x - 4y.
SOLUÇÃO
Se fosse para traçar o gráfico de f(x, y), seria representado uma figura espacial, que neste
caso seria um plano cuja equação se daria por z = 8 - 2x - 4y.
Como se deseja esboçar as curvas de nível, é preciso desenhar no plano xy os pontos
que atendem a equação 8 - 2x - 4y = k, com k real.
Portanto, 2x + 4y + (k - 8) = 0, que é a equação de uma reta no plano xy.
Por exemplo:
Para k = 0 → 2x + 4y - 8 = 0 → x + 2y - 4 = 0
Para k = –2 → 2x + 4y - 10 = 0 → x + 2y - 5 = 0
Para k = 4 → 2x + 4y - 4 = 0 → x + 2y - 2 = 0
Assim, as curvas de nível do gráfico que seria um plano, serão retas paralelas.
Fonte: Autor
EXEMPLO 6:
Seja a função g(x, y) = 4 - x2 - y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da
grandeza G para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a
superfície formada pelo gráfico da função g(x, y).
SOLUÇÃO
O gráfico de g(x, y) será definido como
Gf = (x, y, z) ∈ R
3 / z = 4 - x2 - y2
Repare que g(x, y) = 4 - x2 - y2 = 4 - (x2 + y2 , como x2 + y2 ≥ 0 → z ≤ 4.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos:
Para x = y = 0 → z = 4 – 0 – 0 = 4
Para z = 0 → 0 = 4 -x2 - y2 → x2 + y2 = 4, que é uma circunferência de centro (x, y) =
(0, 0) e raio √4 = 2
Repare que se mantivermos um valor de z = k , k < 4
k = 4 - x2 - y2 → x2 + y2 = 4 - k , que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0)
e raio √4 - k.
Esboçando a figura no plano cartesiano.
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
{ }
)
( )
EXEMPLO 7:
Seja a função g(x,y) = 16 - x2 - 9y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da
grandeza G para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a
figura formada por todos os pontos do plano que apresentam o valor de G = 7.
SOLUÇÃO
Neste caso, o que está sendo pedido é o esboço de uma curva de nível para um nível
igual a 7.
g(x, y) = 16 - x2 - 9y2 = 7
x2 + 9y2 = 16 - 7
x2 + 9y2 = 9 →
x2
9 +
y2
1 = 1
Que representa uma elipse em (x,y) = (0,0):
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
Quando o domínio for um subconjunto do R3, isto é, S ⊂ R3, o elemento de entrada da
função será um vetor ou terna ordenado (x, y, z). O gráfico da função f(x, y, z) será o
conjunto de todos os pontos do espaço (x, y, z, w) ∈ R4, tal que w = f(x, y, z) e (x, y, z)
pertence ao domínio de f(x, y, z).
Esse gráfico será um subconjunto do R4, portanto, não será possível a representação dele
através de uma forma geométrica. Para se ter uma visão geométrica de tal função, vamos
nos valer das superfícies de nível, que serão o conjunto de pontos do R3, ou as
superfícies do espaço xyz, tais que f(x, y, z) = k, na qual k é uma constante real. Por isso,
definimos uma superfície de nível para cada nível w = f(x, y, z) = k, k real.
EXEMPLO 8:
Determine as superfícies de nível que representam graficamente a função escalar f(x, y, z)
= x2 + y2 + z2.
SOLUÇÃO
As superfícies de nível serão definidas por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = k, k real.
Como x2 + y2 + z2 ≥ 0, para todo (x, y, z), então só é possível se definir níveis k ≥ 0.
Para facilitar a visualização, vamos definir k = R2 que será um número sempre maior ou
igual a zero.
Desse modo, as superfícies de níveis definidas pela equação x2 + y2 + z2 = R2, serão
esferas de centro (0, 0, 0) com raio dado por R, em que R ≥ 0.
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Deseja-se montar um mapa topográfico que representa a altura de um monte de 900 m. O
topo do monte é considerado o ponto central do mapa. Cada ponto será marcado pela
distância (x, y) determinada pela distância a dois eixos cartesianos que passam no ponto
central.
O monte será aproximado por uma forma parabólica com concavidade para baixo com
altura, medida em metro, dada por uma equação h (x, y) = H – 2x2 - 3y2, com x e y
também medidos em metros. Esboce o mapa topográfico através das curvas de níveis.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 APLICAR A DERIVAÇÃO PARCIAL E O GRADIENTE DE
UMA FUNÇÃO ESCALAR
INTRODUÇÃO
A operação matemática da derivação pode também ser definida para as funções
escalares, porém de uma forma um pouco diferente do que no caso das funções reais.
Como a função escalar depende de várias variáveis, devemos obter uma operação que
determina a variação da função em relação a uma variável, mantendo as demais
constantes. Esta operação será denominada de derivação parcial
PODEMOS OBTER UMA DERIVADA PARCIAL PARA CADA
VARIÁVEL INDEPENDENTE, ASSIM CONSEGUIMOS
DEFINIR UM VETOR QUE APRESENTA COMO
COMPONENTES ESTAS DERIVADAS PARCIAIS. TAL VETOR
É DENOMINADO DE GRADIENTE DA FUNÇÃO ESCALAR E
APRESENTA APLICAÇÕES PRÁTICAS IMPORTANTES NA
OBTENÇÃO DAS TAXAS DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO PARA
QUALQUER DIREÇÃO.
Neste módulo estudaremos as derivadas parciais e o vetor gradiente.
DERIVADAS PARCIAIS
Quando estudamos a função real, definimos a operação da derivação que representava a
taxa de variação da função em relação a sua variável independente. Isto é, como a função
variava em relação a sua variável de entrada em determinado ponto do seu domínio.
No caso de a função escalar, a entrada é composta por várias variáveis. Ao se tentar
descobrir como uma função varia em relação a uma das variáveis, devemos isolar o efeito
das demais variáveis. Este isolamento é obtido mantendo as demais variáveis constantes.
 EXEMPLO
Imaginemos o volume de um cone que depende de seu raio e de sua altura. Para se obter
a taxa de variação desse volume ao se alterar o raio do cone, devemos manter o valor da
altura constante e observar como o volume se altera ao se alterar o raio. Esta operação
será denominada de derivada parcial. O nome parcial vem do fato que se está analisando
a taxa de variação de apenas uma das variáveis.
Vamos iniciar a definição pelo caso mais simples, ou seja, para uma função com domínio
no R2, ou z = f (x, y).
Seja (x0, y0) um ponto de o domínio da função escalar f. Se fixarmos o valor y0, podemos
definir uma função que depende de apenas uma variável, dada por
h x = f x, y0
A função h(x) será uma função real, pois depende apenas de uma variável, e a derivada
de h(x) no ponto x0 será dada por
h ' x0 = lim
x → x0
h ( x ) - h x0
x - x0
Esta derivada representa como a função h(x) varia em relação a variável x, no ponto x0.
Substituindo a função h(x) pela função escalar f(x,y0)
h ' x0 = lim
x → x0
f x , y0 - f x0 , y0
x - x0
que representará como a função f(x, y) irá variar em relação a variação de x, com y
constante e igual a y0, no ponto (x0, y0). Esta função será denominada de derivada parcial
de f em relação a variável x, representada por
∂ f
∂ x x0, y0 = h
' x0 = lim
x → x0
f x , y0 - f x0 , y0
x - x0
Se considerarmosque Δx = x - x0 podemos obter uma outra definição equivalente:
∂ f
∂ x x0, y0 = limΔx → 0
f x0 + Δx , y0 - f x0 , y0
Δx
Seja D o subconjunto de S, formado por todos os pontos (x, y), tais que 
∂ f
∂ x existe. Assim,
definirmos uma função indicada por 
∂ f
∂ x x, y , definida em D ⊂ S ⊂ R
2, tal que:
∂ f
∂ x (x, y) = limΔx → 0
f ( x + Δx , y ) - f ( x , y )
Δx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
ESTA FUNÇÃO SERÁ DENOMINADA DE DERIVADA
PARCIAL DE PRIMEIRA ORDEM DE F, EM RELAÇÃO A X, OU
SIMPLESMENTE DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A
X.
De forma análoga, podemos definir
∂ f
∂ y (x, y) = limΔy → 0
f ( x , y + Δy ) - f ( x , y )
Δy
que é a derivada parcial de f em relação a y.
Outras notações utilizadas:
∂ f
∂ x (x, y) = fx(x, y) = D1f(x, y)
∂ f
∂ y (x, y) = fy x, y = D2f x, y
Resumindo:
A função fx(x, y) obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y),
no ponto (x0, y0), em relação apenas a variável x, mantendo y constante e igual a y0
A função fy(x, y) obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y),
no ponto (x0, y0), em relação apenas a variável y, mantendo x constante e igual a x0
Podemos agora extrapolar para o caso de a função escalar definida no R3
∂ f
∂ x (x, y, z) = fx(x, y, z) = D1f(x, y, z) = limΔx → 0
f ( x + Δx , y , z ) - f ( x , y , z )
Δx
∂ f
∂ y (x, y, z) = fy(x, y, z) = D2f(x, y, z) = limΔy → 0
f ( x , y + Δy , z ) - f ( x , y , z )
Δy
∂ f
∂ z (x, y, z) = fz(x, y, z) = D3f(x, y, z) = limΔz → 0
f ( x , y , z + Δz ) - f ( x , y , z )
Δz
IMAGINEMOS O CASO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR QUE
REPRESENTA O VALOR DO VOLUME DE UMA CAIXA
RETANGULAR. DESSA FORMA, O VALOR DA FUNÇÃO
DEPENDERÁ DE TRÊS VARIÁVEIS (L, C, A), COM L, C E A
NÚMEROS REAIS QUE REPRESENTAM A LARGURA, O
COMPRIMENTO E A ALTURA DA CAIXA. ASSIM, V(L, C, A).
( ) ( )
DESEJAMOS OBTER COMO O VOLUME DA CAIXA IRÁ
VARIAR COM A VARIAÇÃO DE UMA DE SUAS DIMENSÕES,
OU SEJA, QUAL SERIA A TAXA DE VARIAÇÃO DE V EM
FUNÇÃO, POR EXEMPLO DE L.
Assim, necessitamos usar a derivada parcial da função em relação a variável L,
∂ V
∂ L (L, C, A) = limh → 0
V ( L + h , C , A ) - f ( L , C , A )
h
que será semelhante a derivada de uma função real, pois dependerá da variação de
apenas uma variável, neste caso L, mantendo todas as demais constantes (C e A).
Para o caso geral da função com domínio em S ⊂ Rn. Seja f(x1,x2, ..., xn ), a derivada
parcial de f em relação a variável xj será definida por
∂ f
∂ xj
x1, x2, …, xn = lim
h → 0
f x1 , x2 , … , xj + h , … , xn - f x1 , x2 , … xj , … , xn
h
representando a variação de f em relação a xj, mantendo as n – 1 variáveis constantes.
Podemos também usar as notações
Djf x1, x2, …, xn = fj x1, x2, …, xn
 ATENÇÃO
A notação 
df
dx é usada para derivar a função real f em relação a x, quando a função
depender apenas da variável x.
A notação 
∂ f
∂ x é usada para derivar parcialmente a função escalar f em relação a x,
quando a função depender de outras variáveis, além da variável x.
Na prática, as derivadas parciais não serão obtidas pelo limite, e sim, por fórmulas e
regras de derivação. Como consideraremos a função dependendo de apenas uma
variável, pois todas as demais permaneceram como constantes, então pode ser utilizada
as mesmas propriedades e regras que utilizamos no caso da função real.
REGRA PARA OBTER A DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO
A VARIÁVEL XJ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1) CONSIDERE TODAS AS OUTRAS VARIÁVEIS, QUE NÃO
SEJAM XJ, COMO CONSTANTES.
2) USE AS REGRAS DE DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO REAL
PARA ACHAR A DERIVADA DE F EM RELAÇÃO A XJ.
Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 1
Determine as derivadas parciais da função f(x, y) = 2xy + 3x2 y3 + 5y - 3x e obtenha
seus valores no ponto (2, 1).
SOLUÇÃO
Vamos obter fx(x, y), considerando y como uma constante e aplicando as regras de
derivação em relação a x.
O primeiro termo 2xy será observado como kx, assim (2yx)' = 2y(x)' = 2y.
O termo 3x2 y3 será observado como kx2, assim (3y3 x2 )' = 3y3 (x2 )' = 3y3 . 2x =
6xy3.
O termo 5y será observado apenas como uma constante, independente de x, assim
(5y)' = 0.
Por fim, (-3x)' = -3.
Então, fx (x, y) = 2y + 6xy3 -3 e fx (2, 1) = 2 . 1 + 6 . 2 . 13 -3 = 11
Vamos obter fy(x, y), considerando x como uma constante e aplicando as regras de
derivação em relação a y.
O primeiro termo 2xy será observado como ky, assim (2xy)' = 2x(y)' = 2x.
O termo 3x2 y3 será observado como ky3, assim (3x2 (y3)' = 3x2 (y3 )' = 3x2 3y2 = 9x2
y2.
O termo (-3x) será observado apenas como uma constante, independente de y,
assim (-3x)' = 0
Por fim, (5y)' = 5.
Logo, fy (x, y) = 2x + 9x2 y2 + 5 e fy (2, 1) = 2 . 2 + 9 . 22 12 + 5 = 45
EXEMPLO 2
Deseja obter a taxa de variação da função h(x, y, z, w) = 2yz lnx + 3xew
2
+ zw2y3, em
relação a variável w, no ponto (x, y, z, w)=(1, 1, 1, 1).
SOLUÇÃO
O que está se pedindo é a derivada parcial da função h em relação a variável w.
Assim se mantém na função h todas as demais variáveis (x, y, z) como constantes e
aplica as regras de derivação em relação a variável w.
O termo 2yz lnx será observado como uma constante, pois independe de w, então
(2yz lnx)' = 0.
O termo 3xew
2
 será observado como kew
2
, assim
3xew2
'
= 3x ew2
'
= 3x 2wew2 = 6xwew2.
Por fim, o termo zw2y3, será observado como kw2, assim
zy3w2
'
= zy3 w2 ' = zy32w = 2zy3w.
Então, fw(x, y, z, w) = 6xwew
2 + 2zy3w e fw(1,1, 1,1) = 6.1. 1e1 + 2.1. 1.1 = 2 + 6e
GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR
Seja uma função de várias variáveis a valores reais, com domínio em S⊂ R2, e que
admite as derivadas parciais, em um ponto (x0,y0), para todas as suas duas
variáveis independentes (x e y).
( ) ( )
( ) ( )
Define o vetor gradiente da função f como
∇F X0, Y0 =
∂ F
∂ X X0, Y0 ,
∂ F
∂ Y X0, Y0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A outra notação para o vetor gradiente será grad f.
Observe que só existe gradiente de uma função escalar e o resultado é um vetor
cujas componentes são as derivadas parciais de cada uma das variáveis
independentes.
Portanto,
∇ f x0, y0 =
∂ f
∂ x x0, y0 x̂ +
∂ f
∂ y x0, y0 ŷ
EXEMPLO 3
Obtenha o vetor gradiente para a função f(x, y) = 3x2y, no ponto (x, y) = (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais
∂ f
∂ x =
∂
∂ x 3yx
2 = 3y
∂
∂ x x
2 = 3y 2x = 6xy
∂ f
∂ y =
∂
∂ y 3x
2y = 3x2
∂
∂ y (y) = 3x
2
Logo,
∇ f(x, y) = 6xy, 3x2 e ∇ f(1,2) = 6.1. 2,3. 12 = 12, 3 = 12
^
𝑥 + 3
^
𝑦
O vetor gradiente da função escalar pode ser definido, de forma análoga, para
quando o domínio for S ⊂ Rn. Assim:
∇ f x1, x2, …, xn =
∂ f
∂ x1 x1, x2, …, xn , …, 
∂ f
∂ xj x1, x2, …, xn , …, 
∂ f
∂ xn x1, x2, …, xn
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ))
O vetor gradiente tem uma interpretação geométrica. Ele apontará para direção e
sentido no qual a função f terá a sua maior variação, em relação a suas variáveis
independentes, no ponto analisado.
Por exemplo, obtivemos que no ponto (1, 2) a função f(x, y) = 3x2y tem um vetor
gradiente ∇ f = 12, 3 = 12x̂ + 3ŷ . Vamos supor que esta função f(x, y)
represente a temperatura, em um ponto (x,y), de uma placa plana. Assim, se
estivermos no ponto de coordenada (x,y) = (1,2) e desejarmos saber para que
direção/sentido teremos a maior variação de temperatura ao variar a posição, ela
será dada pela direção/sentido definida pelo vetor ∇ f = 12x̂ + 3ŷ .
EXEMPLO 4
Obtenha o versor que representa a direção e o sentido da maior variação da função
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 no ponto (1, 1, 1)
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de f(x, y, z):
∂ f
∂ x = 2x, 
∂ f
∂ y = 2y e 
∂ f
∂ z = 2z
Assim, o vetor gradiente será ∇ f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z)
No ponto (1, 1, 1), se tem ∇f(1, 1, 1)=(2, 2, 2)
Portanto, o vetor (2,2, 2) = 2x̂ + 2ŷ + 2ẑ representa a direção de maior variação da
função no ponto (1, 1, 1).
Como foi pedido o versor, isto é, o vetor unitário, devemos dividir pelo seu módulo
∇ f(1,1, 1) = 2,2, 2 → |∇ f| = √22+ 22 + 22 = √12 = 2√3
Portanto, o versor será
∇ f
| ∇ f | =
1
2√3
(2,2, 2) =
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
=
√3
3 ,
√3
3 ,
√3
3
Quanto a amplitude do vetor ∇f, ele representará a maior taxa de variação da função
em relação à variação de suas variáveis. No exemplo anterior, a função terá uma
( )
( )
( ) ( )
variação de 2√3 unidades quando ocorre uma variação ∆ s = ∆ xx̂ + ∆ yŷ + ∆ zẑ de
módulo unitário, na direção do vetor 
√3
3 ,
√3
3 ,
√3
3 .
Por fim, uma última característica do vetor gradiente de uma função, é o fato de ser
sempre normal às curvas de nível da função, ou seja, às curvas ou superfícies de
nível da função.
EXEMPLO 5
Determine a reta tangente a curva de nível da função f(x, y) = 2x2 + y2 no ponto (1,
2).
SOLUÇÃO
Obtendo o gradiente da função:
∂ f
∂ x = 4x e 
∂ f
∂ y = 2y, então ∇ f(x, y) = (4x, 2y)
No ponto (1, 2): ∇f(1, 2) = (4, 4), que é um vetor normal à curva de nível no ponto (1,
2), sendo, portanto, um vetor normal à reta tangente neste ponto.
Por isso, para se obter a equação da reta tangente, seguindo conceitos de
geometria analítica:
(x, y) - x0 - y0 .
→nr = 0 → (x, y) - x0, y0 . ∇ f x0, y0 = 0
Portanto
[(x, y) - (1,2)]. ∇ f(1,2) = 0 → (x - 1, y - 2). (4,4) = 0
4(x - 1) + 4(y - 2) = 0 → 4x + 4y - 12 = 0 → x + y - 3 = 0
Então, a reta x + y - 3 = 0 e tangente à curva de nível da função f(x,y) = 2x2 + y2 no
ponto (1, 2).
( )
[ ( )] [ ( )] ( )
RESUMO DO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
As derivadas parciais de uma função escalar podem ser utilizadas para se
determinar a equação de um plano tangente ao gráfico de uma função z = f(x, y) em
um ponto (x0, y0) e com ele realizar uma aproximação linear para a função. A
equação do plano tangente ao gráfico no ponto (x0, y0, f(x0,y0) será dada por:
z - f x0, y0 = fx x0, y0 x - x0 + fy x0, y0 y - y0 .( ) ( )( ) ( )( )
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x2 + 2y2 + 1 no
ponto (1, 1) e verifique através de uma aproximação linear, a partir deste ponto, o
valor de f 1 +
1
100 , 1 +
1
100
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 APLICAR A REGRA DA CADEIA PARA FUNÇÕES
ESCALARES
INTRODUÇÃO
Seja uma função escalar. Suponha que se conheça a dependência desta função em
relação a um conjunto de variáveis, denominadas de intermediárias, que por sinal,
( )
depende de outro conjunto que são denominados de variáveis independentes.
A REGRA DA CADEIA PODE SER USADA PARA SE OBTER
AS DERIVADAS DA FUNÇÃO ESCALAR EM RELAÇÃO AS
VARIÁVEIS INDEPENDENTES, MESMO NÃO SE OBTENDO A
FUNÇÃO QUE EXPLICITA DIRETAMENTE ESTA RELAÇÃO.
Estudaremos, neste módulo, três teoremas que definem esta regra da cadeia para
serem aplicadas em funções escalares.
REGRA DA CADEIA
Para o caso de uma função real, ou melhor, que dependa de apenas uma variável, a
regra da cadeia permitia a diferenciação de uma função composta. Se y = f(x) e x =
g(t), com as funções f e g diferenciáveis, se obtinha a derivada de y em relação a t
de uma forma indireta:
DY
DT =
DY
DX
DX
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, mesmo não se tendo a relação direta de y em relação a t, podia se obter
como a função y variava em relação a variável t.
Vamos agora definir esta regra que permitirá também calcular a derivada de funções
compostas para as funções escalares. Iremos propor o seguinte teorema:
TEOREMA 1
SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X
= H(T) E Y = G(T). SE AS FUNÇÕES H(T) E G(T) FOREM
DIFERENCIÁVEIS EM T, ENTÃO
DF
DT X(T), Y(T) =
∂ F
∂ X
DX ( T )
DT +
∂ F
∂ Y
DY ( T )
DT
Repare que a regra acima permite calcular a derivada de f em relação a t por uma
forma indireta. Não se conhece a relação explicita da função em relação a variável t,
mas se conhece a relação da função com x e y, e destas variáveis em relação a
variável t.
Outra forma de se representar essa regra seria através do gradiente da função f.
Seja γ(t) = (x(t), y(t))
df
dt y t = ∇ f(γ(t)). γ
' t
Vejamos um exemplo de sua aplicação.
EXEMPLO 1:
Seja a função f(x, y) = 2xy2 e que x = t3 e y = 2t + 5. Obtenha a derivada de f em
relação à variável t.
SOLUÇÃO
Usando a regra da cadeia 
df
dt =
∂ f
∂ x
dx
dt +
∂ f
∂ f
dy
dt
Como 
∂ f
∂ x = 2y
2, 
∂ f
∂ y = 4xy, 
dx
dt = 3t
2 e 
dy
dt = 2, se tem
df
dt =
∂ f
∂ x
dx
dt +
∂ f
∂ f
dy
dt = 2y
23t2 + 4xy. 2 = 6y2t2 + 8xy
Substituindo x e y em relação a variável t
df
dt = 6y
2t2 + 8xy = 6(2t + 5)2t2 + 8t3(2t + 5)
É obvio que neste caso, poderíamos obter o valor de f em relação apenas a t e
depois obter a derivada.
f x , y = 2xy2 → f t3, 2t + 5 = g t = 2 t3 (2t + 5)2
Assim, a derivada 
df
dt será obtida se derivando em relação a t através da regra do
produto
( )
( ( )) ( )
( ) ( ) ( )
df
dt = (2t + 5)
2 6 t2 + 2t3 2 2t + 5 . 2 = 6(2t + 5)2t2 + 8t3(2t + 5) obtendo o mesmo
valor.
Todavia, às vezes, essa forma de obter a dependência e depois derivar é mais
complexa do que usar a regra da cadeia diretamente.
EXEMPLO 2:
Sabendo que o volume de um cilindro é dado pela fórmula V(r, h) = πr2h, na qual r é
o raio da base e h é a altura do cilindro, ambas medidos em metros. Determine a
taxa de variação do volume do cilindro, para r = 1 m e h = 1 m, sabendo que o raio
está variando a uma taxa de 0,5 m/s e a altura a uma taxa de –0,25 m/s.
SOLUÇÃO
Se V(r, h) = πr2h, usando a regra da cadeia, se tem 
dV
dt =
∂ V
∂ r
dr
dt +
∂ V
∂ h
dh
dt
Como 
∂ V
∂ r = 2πhr, 
∂ V
∂ h = πr
2, 
dr
dt = 0,5 e 
dh
dt = - 0,25 m/s, se tem
dV
dt (r, h) = 2πhr. 0,5 + πr
2 - 0,25
dV
dt (r, h) = πhr - 
π
4 r
2
Para r = 1m e h = 1m
dV
dt (1, 1) = π - 
π
4 =
3π
4 m
3 /s
 ATENÇÃO
A demonstração do teorema 1 não será vista neste módulo, e pode ser analisada
nos livros que constam na referência bibliográfica deste material.
Agora vamos analisar outra situação. Seja z = f(x, y), mas x = h(u, v) e y = g(u, v).
Então a função f depende indiretamente de u e de v. Podemos usar o seguinte
teorema para obter as derivadas parciais de f em relação a variável u e em relação a
variável v.
( )
( )
TEOREMA 2
SEJA A FUNÇÃO F(X,Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X =
H(U,V) E Y = G(U,V). SE AS FUNÇÕES H(U,V) E G(U,V) SÃO
DIFERENCIÁVEIS EM U E EM V, ENTÃO
∂ F
∂ U =
∂ F
∂ X
∂ X
∂ U +
∂ F
∂ Y
∂ Y
∂ U E 
∂ F
∂ V =
∂ F
∂ X
∂ X
∂ V +
∂ F
∂ Y
∂ Y
∂ V
As variáveis u e v são denominadas de variáveis independentes, enquanto as
variáveis x e y serão denominadas de variáveis intermediárias, pois serão usadas
para obter a variável dependente z em relação às variáveis independentes.
Observe a aplicação da regra acima no exemplo a seguir.
EXEMPLO 3:
Seja g(x,y) = 2eycos x , na qual x = u2v e y = uv2. Determine as derivadas parciais
de g(x,y) em relação a u e a v para os pontos em que u = 1 e v = 2.
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de g em relação a x e a y.
∂ g
∂ x = - 2e
ysen(x) e 
∂ g
∂ y = 2e
ycos(x)
Além disso,
∂ x
∂ u = 2uv, 
∂ x
∂ v = u
2, 
∂ y
∂ u = v
2, 
∂ y
∂ v = 2uv
Assim,
∂ g
∂ u =
∂ g
∂ x
∂ x
∂ u +
∂ g
∂ y
∂ y
∂ u = -2e
ysen(x) 2uv + 2eycos(x)v2
∂ g
∂ u = 2v
2 eycos(x) - 4uv eysen(x)
∂ g
∂ v =
∂ g
∂ x
∂ x
∂ v +
∂ g
∂ y
∂ y
∂ v = -2e
ysen(x) u2 + 2eycos(x)2uv
∂ g
∂ u = 4uv e
ycos(x) - 2u2eysen(x)
Quando u = 1 e v = 2 → x = u2 v = 2 e y = uv2 = 4.
Deste modo:
( )
( )
( )
∂ g
∂ u (1,2) = 2. 4 e
4cos(2) - 4. 1.2 e4sen(2) = 8e4cos(2) - 8e4sen(2)
∂ g
∂ u (1,2) = 4.1. 2 e
4cos(2) - 2. 12e4sen(2) = 8 e4cos(2) - 2e4sen(2)
Podemos agora definir a situação geral.
Seja a função escalar f: S ⊂ Rn, ou seja, a função dependente z é função de n
variáveis intermediárias (x1,x2,…,xn ). Cada uma das variáveis intermediárias xj, a
seu tempo, depende de m variáveis independentes (u1,u2,…,um ). Se deseja agora
obter o valor da derivada parcial de z em relação a uma das variáveis independentes
ui.
TEOREMA 3
SEJA A FUNÇÃO F: S⊂ RN DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO
AS N VARIÁVEIS (X1, X2, ..., XN),EM QUE CADA XJ É
DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO A M VARIÁVEIS (U1, U2, ...,
UM). ENTÃO:
∂ F
∂ UJ
=
∂ F
∂ X1
∂ X1
∂ UJ
+
∂ F
∂ X2
∂ X2
∂ UJ
+ … +
∂ F
∂ XN
∂ XN
∂ UJ
para cada j = 1,2,..., m.
Vamos aplicar esse teorema em um exemplo.
EXEMPLO 4:
Seja a função h(r, s, t) = sr2 + 2rst, na qual r = xz + 2yz , s = 3x2z e t = 2xy. Determine
as derivadas parciais da função h, em relação as variáveis x, y e z, para os valores
de (x, y, z) = (1, 0, 2).
SOLUÇÃO
Neste exemplo, as variáveis intermediárias serão r,s e t, enquanto as variáveis
independentes serão x, y e z.
Calculando as derivadas parciais da função h
∂ h
∂ r = 2sr + 2st, 
∂ h
∂ s = r
2 + 2rt e 
∂ h
∂ t = 2rs
Mas
∂ r
∂ x = z, 
∂ r
∂ y = 2z e 
∂ r
∂ y = x + 2y
∂ s
∂ x = 6xz, 
∂ s
∂ y = 0 e 
∂ s
∂ z = 3x
2
∂ t
∂ x = 2y, 
∂ t
∂ y = 2x e 
∂ t
∂ z = 0
Desta forma,
a) 
∂ h
∂ x =
∂ h
∂ r
∂ r
∂ x +
∂ h
∂ s
∂ s
∂ x +
∂ h
∂ t
∂ t
∂ x
∂ h
∂ x = (2rs + 2st)z + r
2 + 2rt 6xz + (2rs) 2y
b) 
∂ h
∂ y =
∂ h
∂ r
∂ r
∂ y +
∂ h
∂ s
∂ s
∂ y +
∂ h
∂ t
∂ t
∂ y
∂ h
∂ y = (2rs + 2st) 2z + r
2 + 2rt 0 + (2rs) 2x
c) 
∂ h
∂ z =
∂ h
∂ r
∂ r
∂ z +
∂ h
∂ s
∂ s
∂ z +
∂ h
∂ t
∂ t
∂ z
∂ h
∂ z = (2rs + 2st) x + 2y + r
2 + 2rt 3x2 + (2rs) 0
Para (x, y, z) = (1, 0, 2) → r = xz + 2yz = 1 . 2 + 2 . 0 . 2 = 2, s = 3x2z = 3 . 1 . 2 = 6 e t =
2xy = 2 . 1 . 0 = 0, assim:
a) 
∂ h
∂ x (x, y, z) = (2.2. 6 + 2.6. 0). 2 + 2
2 + 2.2. 0 6.1. 2 + (2.2. 6)2.0
∂ h
∂ x (x, y, z) = 48 + 48 + 0 = 96
b) 
∂ h
∂ y = (2.2. 6 + 2.6. 0). 2.2 + 2
2 + 2.2. 0 0 + (2.2. 6)2.1
∂ h
∂ y = 96 + 0 + 48 = 144
c) 
∂ h
∂ z = (2.2. 6 + 2.6. 0). 1 + 2.0 + 2
2 + 2.2. 0 3.1 + (2.2. 6)0
∂ h
∂ z = 24 + 12 = 36
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa com formato de um paralelepípedo retangular é feita de um material que
apresenta um custo de R$ 10,00 por m2. Sabendo que o comprimento da caixa
cresce a uma taxa de 2 m/s, a largura decresce a uma taxa de 1 m/s e a altura cresce
a uma taxa de 3 m/s, determine a taxa de variação do custo de produção da caixa em
relação ao tempo, para quando comprimento(C) = 10 m, largura(L) = 5m e altura (A)
= 2 m.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 APLICAR A DERIVADA DIRECIONAL E A DERIVADA
PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
INTRODUÇÃO
Em algumas aplicações, se torna necessário obter a taxa de variação de uma função
escalar quando ocorre a variação das variáveis seguindo certa direção. Esta
derivada é denominada de derivada direcional e será determinada através do
gradiente de uma função escalar
A DERIVADA PARCIAL TAMBÉM SERÁ UMA FUNÇÃO
ESCALAR, CAPAZ DE POSSUIR, POR SUA VEZ, UMA
DERIVADA PARCIAL. ESTA DERIVADA É DENOMINADA DE
FUNÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR E SERÁ
CALCULADA ATRAVÉS DAS DERIVAÇÕES PARCIAIS
SUCESSIVAS.
DERIVADAS DIRECIONAIS
Certas práticas exigem a obtenção da taxa de variação de uma função escalar em
determinada direção/sentido. Essa taxa será denominada de derivação direcional da
função e dependerá do ponto analisado e do vetor que determina a direção/sentido
desejado.
 ATENÇÃO
A direção/sentido desejado deve ser definido através de um vetor unitário (versor).
Vamos iniciar a definição para funções escalares com domínio em R2.
Seja a função f: S ⊂ R2 → R, a derivada direcional de f em um ponto (x0, y0) na
direção e no sentido do vetor unitário →v(a,b) é
DVF X0, Y0 = LIM
H → 0
F X0 + AH , Y0 + BH - F X0 , Y0
H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta derivada vai existir se o limite acima existir.
Observe que se →v ⃗(a, b) = (1, 0), a derivada direcional será a própria derivada parcial
em relação a variável x. E se →v(a,b) = (0, 1), a derivada direcional será a própria
derivada parcial em relação a variável y. Dizemos, portando, que as derivadas
parciais de f em relação a x e a y são casos particulares da derivada direcional.
( ) ( ) ( )
Não iremos calcular a derivada direcional através de sua definição, ou melhor,
através do cálculo do limite. Para a determinação da derivada direcional, usaremos
o teorema, a seguir, por permitir seu cálculo pelo gradiente da função escalar f.
TEOREMA
SE F É UMA FUNÇÃO ESCALAR DIFERENCIÁVEL EM X E
EM Y, ENTÃO A DERIVADA DIRECIONAL NA DIREÇÃO E NO
SENTIDO DE QUALQUER VETOR UNITÁRIO →V(A, B) É DADO
POR
DVF(X, Y) = ∇F X, Y .
→V A, B = AFX(X, Y) + B FY X, Y
Observe que o maior valor da derivada direcional será quando o vetor unitário tiver
a mesma direção e sentido que o ∇f, tendo o módulo desta derivada o valor do
módulo do ∇f. Este fato comprova o que foi dito: que o gradiente da função é o vetor
que representa a maior taxa de variação da função.
A derivada direcional pode ser analisada como sendo a projeção do vetor gradiente
sobre a direção e sentido definidos pelo vetor unitário →v.
EXEMPLO 1:
Determine a derivada direcional da função f(x, y) = 5x3 y + 5 na direção do vetor →v(3,
4), para o ponto (x, y) = (1, 1)
SOLUÇÃO
Observe que o vetor →v(3, 4) não é um versor, ou seja, um vetor unitário. Assim,
necessitamos achar o vetor unitário na direção/sentido de →v(3, 4).
→v = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
Dessa forma, o versor será
v̂ =
→v
→
v
=
1
5 (3,4) =
3
5 ,
4
5
( ) ( ) ( )
| |
| | ( )
Sabe-se que f(x, y) = 5x3 y + 5, então
∂ f
∂ x = 5y x
3 ' = 5y 3x2 = 15yx2
∂ f
∂ y = 5x
3(y)' = 5x3
Portanto, ∇f(x, y) = (15yx2, 5x3)
Assim, a derivada direcional será dada por
Dv(x, y) = ∇ f. v̂ = 15yx
2 3
5 + 5x
3 4
5 = 9yx
2 + 4x3
Para o ponto (x,y)=(1,1)
Dv(x, y) = ∇ = 9.1. 1
2 + 4. 13 = 9 + 4 = 13
DERIVADA PARCIAL DE ORDEM
SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar, conforme já estudada neste tema, é
também uma função escalar. Por serem funções escalares, podemos também
determinar as suas derivadas parciais em relação as variáveis independentes.
A DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO QUE JÁ É
DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO É DENOMINADA DE
DERIVADA PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM. SE
REPETIRMOS O PROCESSO, TEREMOS AS DERIVADAS
PARCIAIS DE TERCEIRA, QUARTA, ..., ENÉSIMA ORDEM.
ESTAS DERIVADAS PARCIAIS SÃO CONHECIDAS COMO
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR.
Iniciaremos nosso estudo pelas derivadas parciais de segunda ordem para uma
função escalar f(x,y), isto é, com domínio no R2. Por exemplo, seja f(x, y) = 4x2y3,
então
fx(x, y) = 8xy
3 e fy(x, y) = 12x
2y2
Vamos agora determinar as derivadas parciais de segunda ordem, ou, a derivada
parcial da função escalar fx (x, y) = 8xy3
( )
fx(x, y) = 8xy3 →
∂ fx
∂ x = 8y
3
fx(x, y) = 8xy
3 →
∂ fx
∂ y = 24xy
2
Usamos a seguinte notação
∂ fx
∂ x =
∂
∂ x
∂ f
∂ x =
∂2f
∂ x2
= 8y3 ou fx x = fxx = 8y
3
∂ fx
∂ y =
∂
∂ y
∂ f
∂ x =
∂2f
∂ y ∂ x = 24xy
2 ou fx y = fxy = 24xy
2
De forma análoga, podemos fazer o mesmo raciocínio para as derivadas parciais da
função escalar fy (x, y) = 12x2 y2
fy(x, y) = 12x2y2 →
∂ fy
∂ x = 24xy
2
fy(x, y) = 12x
2y2 →
∂ fy
∂ y = 24x
2y
Usamos a notação
∂ fy
∂ x =
∂
∂ x
∂ f
∂ y =
∂2f
∂ x ∂ y = 24xy
2 ou fy x = fyx = 24xy
2
∂ fy
∂ y =
∂
∂ y
∂ f
∂ y =
∂2f
∂ y2
= 24x2y ou fy y = fyy = 24x
2y
Portanto, as funções fx(x, y) e fy(x, y) são denominadas de derivadas parciais de
primeira ordem da função f(x, y). As funções fxx(x, y) , fxy(x, y), fyx(x, y) e fyy(x, y) são
as derivadas de segunda ordem da função f(x, y).
 ATENÇÃO
É preciso cuidado com a notação utilizada, pois a ordem das variáveis na notação
determina a ordem da derivação.
Veja a primeira notação:
∂2f
∂ x ∂ y → a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável y
e depois em relação a variável x.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∂2f
∂ y ∂ x → a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável x
e depois em relação a variável y.
 COMENTÁRIO
Observe que a ordem de derivação parcial no denominador aparece da direita para a
esquerda.
Agora analisemos a segunda notação:
fyx → a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variávely e
depois em relação a variável x.
fxy → a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável x e
depois em relação a variável y.
 COMENTÁRIO
Observe que, neste caso, a ordem da derivação parcial no índice aparece da
esquerda para a direita.
O número de derivadas parciais de segunda ordem dependerá do domínio da
função. Como vimos no exemplo, a função f(x . y) tinha domínio no R2, assim
possuía 4 derivadas de segunda ordem, correspondendo a 2 variáveis vezes 2
variáveis.
Desse modo, se o domínio da função escalar for no Rn, ela possuirá n2 derivadas de
segunda ordem. Vamos ver o caso do R3, seja g(x, y, z): S ⊂ R3, as derivadas de
segunda ordem de g(x, y, z) serão nove:
∂2G
∂ X2
, 
∂2G
∂ Y ∂ X , 
∂2G
∂ Z ∂ X ,
∂2G
∂ X ∂ Y 
∂2G
∂ Y2
, 
∂2G
∂ Z ∂ Y , 
∂2G
∂ X ∂ Z , 
∂2G
∂ Y ∂ Z E 
∂2G
∂ Z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função h(x, y) = 4x3y + y2
cos(x)
SOLUÇÃO
Inicialmente, precisamos obter as derivadas parciais de primeira ordem
∂ h
∂ x = 12x
2y - y2 sen x
∂ h
∂ y = 4x
3y + 2y cos x
Agora iremos derivar parcialmente as derivadas parciais de primeira ordem para
obter as quatro derivadas parciais de segunda ordem.
∂
∂ x
∂ h
∂ x =
∂2h
∂ x2
= 24xy - y2 cos x
∂
∂ y
∂ h
∂ x =
∂2h
∂ y ∂ x = 12x
2 - 2y sen x
∂
∂ x
∂ h
∂ y =
∂2h
∂ x ∂ y = 12x
2y - 2y sen x
∂
∂ y
∂ h
∂ y =
∂2h
∂ y2
= 4x3 + 2 cos x
 ATENÇÃO
Foram dados exemplos de derivadas parciais de segunda ordem, mas as derivadas
parciais de ordem maiores do que a segunda seguem a mesma notação e o mesmo
procedimento.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
EXEMPLO 3:
Seja a função f(x, y, z) = 2xez + 3x2y3z – 2 cos x. Determine as derivadas parciais de
ordem superior fxyz.
SOLUÇÃO
Como visto na teoria, a notação fxyz, representa uma derivada parcial de terceira
ordem com a seguinte sequência de derivadas x, y e por último z.
Assim fxyz =
∂3f
∂ z ∂ y ∂ x
∂ f
∂ x = 2e
z(x)' + 3y3z x2 ' - 2(cosx)' = 2ez + 3y3z 2x - 2(-senx)
∂ f
∂ x = 2e
z + 6xy3z + 2senx
∂2f
∂ y ∂ x =
∂
∂ y
∂ f
∂ x = 2e
z ' + 6xz y3 ' + (2senx)' = 0 + 6xz 3y2 + 0 = 18xzy2
∂3f
∂ z ∂ y ∂ x =
∂
∂ z
∂2f
∂ y ∂ x = 18xy
2(z)' = 18xy2
As derivadas parciais de ordem superior que envolvem variáveis diferentes são
denominadas derivadas mistas da função.
NOS EXEMPLOS APRESENTADOS ATÉ AQUI, AS
DERIVADAS MISTAS ENVOLVENDO AS MESMAS
VARIÁVEIS APRESENTARAM OS MESMOS VALORES, MAS
NEM SEMPRE ISSO ACONTECE. AS DERIVADAS MISTAS,
ENVOLVENDO O MESMO CONJUNTO DE VARIÁVEIS,
APENAS EM ORDEM DIFERENTE, SERÃO IGUAIS SE
FOREM FUNÇÕES CONTÍNUAS.
Por exemplo, para o caso do R2, elas serão 
∂2f
∂ x ∂ y e 
∂2f
∂ y ∂ x . Estas derivadas serão
iguais se, e somente se, as derivadas 
∂2f
∂ x ∂ y e 
∂2f
∂ y ∂ x forem contínuas. Assim, se uma
for contínua, obrigatoriamente a outra também será e terá o mesmo valor da
primeira.
( )
( ) ( ) ( )
( )
Esta conclusão diminui o número de cálculo para obter as derivadas de ordem
superior, pois necessitaremos apenas fazer a conta uma vez para cada conjunto de
derivadas mistas.
RESUMO DO MÓDULO 4
TEORIA NA PRÁTICA
A temperatura em uma placa plana é dada pela equação T(x, y) = √x2 + 2y2, que
apresenta a temperatura (T), medido em °C em um ponto (x, y), com x e y medida em
metros. Um objeto se encontra no ponto (1,√2). Determine a taxa de variação da
temperatura sofrida pelo objeto, quando ele segue uma trajetória definida pelo vetor
(2, 4).
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito de função de várias variáveis, também
conhecida como função escalar, e suas derivadas.
No primeiro módulo, definimos a função escalar e vimos as suas representações,
além de analisarmos o gráfico e as curvas e superfícies de nível.
No segundo e terceiro módulos, aplicamos as derivadas parciais, o gradiente e a
regra da cadeia, bem como algumas de suas aplicações no cálculo diferencial e
integral de várias variáveis. Por fim, apresentamos a derivada direcional e as
derivadas parciais de ordem superior.
Temos certeza de que, a partir deste momento, você saberá definir e trabalhar com
funções escalares e aplicar suas derivadas.
-->
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. 1 ed. Barcelona – Espanha: Editorial Reverte SA,
1985. cap. 8, p. 243-281
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 8, p.147-162,
cap. 12, p. 211-225, cap. 13, p. 245-273 e cap. 14, p. 274-287.
STEWART, J. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 14,
p. 884-977
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet e nas
referências:
Sobre funções escalares, derivadas parciais e derivadas direcionais.
Sobre as superfícies planas e espaciais, de forma a conhecer possíveis
representações gráficas obtidas por uma função escalar no plano ou no
espaço.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);