Series_Numericas_Parte_2

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4. DU AS SÉRIE S ESPEC I AIS 
 
a) Séries de Encaixe 
 
Uma sér ie é de encaixe , se podemos escrever seu termo geral sob a forma 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1. 
Quando isso acontece, não é di fíci l estabelecer uma fórmula para o cálculo da n -és ima 
soma parc ial 𝑆𝑛, j á que 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛 = (𝑏1 − 𝑏2) + (𝑏2 − 𝑏3) + (𝑏3 − 𝑏4) + ⋯ + (𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1) 
= 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 
Exemplo 03 
 
A sér ie apresentada no Exemplo 01 , anter io r , é de enca ixe, pois, como vimos, 
1
𝑛(𝑛 + 1)
 = 
1
𝑛
 − 
1
𝑛 + 1
 , 
e , por tanto, bas ta que tomemos 𝑏𝑛 =
1
𝑛
 e 𝑏𝑛+1 =
1
𝑛+1
 . 
Dessa forma, 𝑆𝑛 = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 = 1 −
1
𝑛+1
=
𝑛
𝑛+1
 e, como 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑆𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
( 1 −
1
𝑛+1
 ) = 1, a sér ie 
converge , tendo soma igual a 1 . 
Exemplo 04 
 
A sér ie 
∑ 𝑙𝑛 ( 
𝑛
𝑛 + 1
 )
∞
𝑛=1
 
também é de encaixe , já que 𝑙𝑛 ( 
𝑛
𝑛+1
 ) = 𝑙𝑛(𝑛) − 𝑙𝑛 (𝑛 + 1), e , assim, 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1. 
Nesse caso, 𝑆𝑛 = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 = − 𝑙𝑛 (𝑛 + 1), e, como 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑆𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
−𝑙 𝑛(𝑛 + 1) = − ∞, a 
sér ie d iverge . 
Agora, não deixe de observar que 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑙𝑛 ( 
𝑛
𝑛+1
 ) = 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑙𝑛 ( 
1
1 + 1/𝑛
 ) = 𝑙𝑛1 = 0 , e , 
assim, veja que a recíproca do TEOREM A FUN DA MENTAL DE CON VERGÊN CI A é fa lsa. 
 
 
 
b) Séries Geo métr icas 
 
Uma sér ie geométr ica de razão 𝑟 ≠ 1 e pr imeiro termo a , 𝑎 ≠ 0, é uma sér ie da forma 
∑ 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 + ⋯
∞
𝑛 = 1
 . 
As sér ies geométr icas também fac il i tam o cálculo de uma fórmula para a n -és ima soma 
parcial , po is, como 1 − 𝑟𝑛 = (1 − 𝑟)(1 + 𝑟 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑟𝑛−1), vemos que 
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎(1 + 𝑟 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑟𝑛−1) = 𝑎
1−𝑟𝑛
1−𝑟
 . (*) 
PROPO SIÇ ÃO 01 (Convergência das Sér ies Geométr icas) 
Uma sér ie geométr ica con verge se | 𝑟 | < 1, e , nesse caso , 
 
∑ 𝑎𝑟𝑛−1
∞
𝑛 = 1
 = 
𝑎
1 − 𝑟
 . 
Demonstração 
Se | 𝑟 | < 1, então , co mo vimos (Resul tado Complementar de Sequências ) , 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑟𝑛 = 0, e , 
por tanto , 
𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑆𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑎
1 − 𝑟𝑛
1 − 𝑟
 = 
𝑎
1 − 𝑟
𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
(1 − 𝑟𝑛) = 
𝑎
1 − 𝑟
 . 
 
Evidentemente, sob qualquer outra hipó tese re la t iva ao | 𝑟 |, conclui -se pela divergência 
da sér ie geométr ica. 
Exemplo 05 
 




1
13
2
n
n
 é uma sér ie geométr ica de razão 1 /3 e pr imeiro termo 2, logo convergente. Além 
disso, 
∑
2
3𝑛−1
= 
∞
𝑛 = 1
∑ 2
1
3𝑛−1
= ∑ 2 (
1
3
)
𝑛−1
= 
2
1 − 1/3
 = 3.
∞
𝑛 = 1
 
∞
𝑛 = 1
 
Exemplo 06 









1 2
3
n
n
 é uma sér ie geométr ica de razão 3 /2 e pr imeiro termo 3/2 , logo di vergente (Note 
que 
1
11 2
3
2
3
2
3

















n
nn
n
) . 
Exemplo 07 
 
Por meio de uma sér ie geométr ica convergente, podemos expr imir a decimal 0,333 … como 
um número racional . 
De fa to , 
 
0,333 … = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ⋯ = 
3
10
 + 
3
100
 + 
3
1000
 + ⋯ 
= 
3
10
 + 
3
10
.
1
10
 + 
3
10
. (
1
10
)
2
+ … 
= ∑
3
10
∞
𝑛 = 1
( 
1
10
 )
𝑛−1
= 
3/10
1 − 1/10
 = 
1
3
 .