Teoria de Integrais e Cálculo de Áreas

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ETAPA 1
PASSO 1
1. Pesquisar informações relacionadas ao estudo e utilização da teoria de integrais 
indefinidas, definidas e cálculo de áreas.
2. Elaborar um texto dissertativo contendo as principais informações obtidas na 
pesquisa realizada no passo anterior.
3. Download do software: Geogebra.
Integrais definida, indefinidas e cálculo de áreas.
Desde a antiguidade os matemáticos se preocupam em determinar a área de uma figura
plana. Matematicamente podemos dizer que a área pode ser definida como quantidade de
espaço bidimensional, ou seja, de uma superfície. O método mais utilizado foi o da exaustão,
que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras com áreas já conhecidas. A partir
do Teorema Fundamental do Cálculo, Leibniz e Newton perceberam a possibilidade de
calcular facilmente áreas e integrais sem a necessidade de utilizar o método de limites de
soma descrito matemático Riemann.
A integral indefinida é uma função ou também podemos entender como uma família
de funções É a integral que consiste no processo inverso da derivação, onde uma função F(x)
é chamada de primitiva da função f(x) que estão está sempre definida sobre algum intervalo.
Quando não determinamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f,
entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo i. 
A integral definida teve origem com a formalização matemática dos problemas de
áreas e problemas físicos. Inicialmente conhecida como soma de Riemann, a integral definida
de uma função pode ser entendida como a soma de pequenos retângulo, ou subintervalos,
onde o produto entre a altura e a base de cada um destes retângulos resultam na sua área e que
somadas em um intervalo de `a’ a `b’ resultam na área da figura plana. Uma integral definida
pode ser classificada como própria ou imprópria, convergentes ou divergentes. No caso do
limite do intervalo definido não existir ou não ser finito, dizemos que a integral imprópria
diverge, se o limite existe e é um numero real a integral imprópria converge. Ao contrário da
integral indefinida, a integral definida é um número e não depende de uma variável x. 
PASSO 2
DESAFIO A
∫( t
3
3
+
3
t3
+
3
t )dt
∫(
t ³
3
. t3+
1
t3
.3+
1
t
.3)dt
∫(13 . t
3
+3. t−3+
1
t
.3)dt
1
3
+
t 4
4
+3.
t−2
−2
+ ln|t|3
t 4
12
−
3
2 t2
+3. ln|t|+c
DESAFIO B
Supor que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$
10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em
pés. Sabendo que C’(0) =1000+50q, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se
perfurar q pés, é:
C’(q)=1.000+50q
C(q)=∫ (1000+50q)dq
1.000q+50.
q ²
2
+c
1.000q+25q²+c
C(q)= 1.000q+25q²+c
C(0)=10.000
C(0)=1.000(0)+25(0)²+c
10.000=0+0+c
C=10.000
C(q)=1.000q+25q²+10.000
DESAFIO C
Supor que no início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu
exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de
anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por:
C(t)=16,1e0,07 t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo
consumida entre 1992 e 1994?
y=e
x
2 x [-3,2]
∫ e
x
2 dx
∫
−3
2
e
x
2 dx=∫
−3
2
e
1
2
x
dx
e
1
2
x
1
2
2e
1
2
x
2∗e
1
2
∗2
−2∗e
1
2
∗(−3)
2∗2,7182−(2∗0,2231)5,4364−0,4462
4,9902
DESAFIO D.
 A área sob a curva y = e
x
2 de x = -3a x = 2 é dada por:
(a)4,99 (b)3,22 (c)6,88 (d)1,11 (e)2,22
PASSO 3
1. Desafio A: 
Associar o número 7, se a resposta correta for a alternativa (d).
2. Desafio B: 
Associar o número A, se a resposta correta for a alternativa (e).
3. Desafio C: 
Associar o número S, se a resposta correta for a alternativa (a).
A sequência encontrada após a associação foi: 7AS
Relatório 2 – Técnicas de Integração
PASSO 2
Considerar as seguintes igualdades: 
I)∫ (3−a).¿¿
 
II)
∫
0
5
a
√a+4
da=4,67
Podemos afirmar que: 
(a) (I) é falsa e (II) é verdadeira 
(b) (I) é verdadeira e (II) é falsa 
(c) (I) e (II) são verdadeiras 
(d) (I) e (II) são falsas 
PASSO 3
I)
∫ (3−a).¿¿
∫(3−a).¿¿
u = a2 – 6a
du
da
=2a−6
(2a – 6)da = du
(2.a – 2.3)da = du
2(a - 3)da = du
(a – 3)da = 
du
2
(-1)(3 – a)da = 
du
2
(3 – a)da = - 
du
2
∫ (3−a).¿¿
∫ (3−a).¿¿
∫(3−a).¿¿
∫ (3−a).¿¿
∫ (3−a).¿¿
∫ (3−a).¿¿
Resposta: Verdadeiro
II)
∫
0
5
a
√a+4
da=4,67
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3.12
(a−2.4 )√a+4¿
∫
0
5
a
√a+4
da=
2
3
(a−2.4)√a+4
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3
(5−8) .√5+4¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3
(5−8) .3¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3
−9
1
¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
−18
3
¿
∫
0
5
a
√a+4
da=−6
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3
(0−8)√0+4 ¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3
(0−8) .2¿
∫
0
5
a
√a+4
dt=¿
2
3
(−8) .2¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3
(−8).2¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿
2
3
−16¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿−
32
3
¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿−10,67 ¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿−6−(−10,67)¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿−6+10,67 ¿
∫
0
5
a
√a+4
da=¿ 4,67¿
Resposta: Verdadeiro
Portanto, a resposta correta é a letra (c) (I) e (II) são verdadeiras.
Para o desafio: 
Associar o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c). 
A sequência encontrada após a associação foi: 3
ANEXO I
1-PARA OS PROBLEMAS A SEGUIR, CALCULE A INTEGRADA:
RELATÓRIO 1
DESAFIO A:
∫(a
3
3
+
3
a3
+
3
a)
∫
1
3
a3da+∫ 3
1
a3
da+∫3
1
a
da
1
3∫
a3da+3∫
1
a3
da+3∫
1
a
da
1
3
a3+1
3+1
+
31+1
1+1a3
+
3
a
ln|a|+C
a3
12
−
3
2a2
+3 ln|a|+C
RESPOSTA: LETRA B
DESAFIO B:
∫(1000+50q)dq=∫ 1000dq+∫50qdq
1000∫ q
0dq+50∫ q
1dq
1000 q
0+1
0+1
 + 50 q
1+1
1+1
 + C
1000q + 
50
2
q2 + C
1000q + 25 + q2 + C
Como ‘C = 10.000’, então:
C(q) = 10.000 + 1.000q + 25q2
RESPOSTA: LETRA A
DESAFIO C:
C(t) = 16.1e0,07 t
∫
1992−1990
1994−1990
16,1 e0,07 t dt=¿¿
 4 
16,1∫
2
4
e0,07 t dt=16,1.
e0,07 t
0,07
 2
16,1∫
2
4
e0,07 t dt=16,1.
e0,07 x 4=0.28
0,07
−16,1.
e0,07 x 2=0.14
0,07
16,1∫
2
4
e0,07 t dt=16,1.
1,323
0,07
−16,1
1,150
0,07
16,1∫
2
4
e0,07 t dt=16,1∗18,901−16,1∗16,432
16,1∫
2
4
e0,07 t dt=304,306−264,555
16,1∫
2
4
e0,07 t dt=39,76
RESPOSTA: LETRA C
DESAFIO D: 
y=e
x
2 x [-3,2]
∫ e
x
2 dx
∫ e
kx dx=
1
k
ekx+C
∫ ekx dx=
ekx
k
+C
∫
−3
2
e
x
2 dx=∫
−3
2
e
1
2
x
dx
∫
−3
2
e
x
2 dx=
e
1
2
x
1
2
∫
−3
2
e
x
2 dx=2e
1
2
x
│
∫
−3
2
e
x
2 dx=2∗e
1
2
∗2
−2∗e
1
2
∗(−3)
∫
−3
2
e
x
2 dx=2∗2,7182−(2∗0,2231)∫
−3
2
e
x
2 dx=5,4364−0,4462
∫
−3
2
e
x
2 dx=4,9902
RESPOSTA: LETRA A