AOL 3 - Cálculo Integral

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1. Pergunta 1 
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As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo 
Cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de 
áreas, volumes e comprimentos. Identificar as propriedades das integrais 
definidas é essencial para a sua manipulação. 
De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais 
definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) 
II. ( ) 
III. ( ) 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
V, F, V, V. 
2. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
V, V, F, V. 
5. 
F, F, V, F. 
2. Pergunta 2 
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Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e 
o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e 
negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como 
integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, 
precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais 
indefinidas de funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas. 
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é 
igual a 1. 
Porque: 
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por 
substituição de sen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função 
como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva 
pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + 
C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3). 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
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1. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
Resposta correta 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
3. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
4. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma 
justificativa correta da I. 
3. Pergunta 3 
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O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o 
estudante de exatas, ainda mais aquele que busca aplicações no dia a dia. 
Compreender algumas operações, tais como derivada e integral, passa a ser 
essencial para o desenvolvimento desse aluno. 
Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, 
associe os itens a seguir com os significados descritos: 
1) Integral exponencial geral. 
2) Integral exponencial. 
3) Integral com número de Euler na base. 
4) Função exponencial. 
( ) 
( ) , em que d é uma constante. 
( ) 
( ) 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
3, 4, 2, 1. 
2. 
2, 1, 3, 4. 
3. 
1, 2, 4, 3. 
4. 
2, 1, 4, 3. 
Resposta correta 
5. 
1, 2, 3, 4. 
4. Pergunta 4 
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As funções logarítmicas, principalmente na base ‘e’, logaritmo denominado 
logaritmo natural, são muito recorrentes em aplicações da matemática no 
dia a dia. Portanto, entender a dinâmica dessa função, qual sua derivada e 
integral auxilia nos processos de manipulação das funções. Sabe-se que a 
relação do logaritmo natural com uma integral é dada pela integral 
indefinida: 
 
Com base nos seus conhecimentos de integrais logarítmicas e as 
informações do texto, analise as afirmativas a seguir: 
I. Essa relação resolve um problema de derivação/integração da função 
polinomial x^(-1). 
II. Calcula-se aplicando essa relação, e obtém-se . 
III.Essa função é definida para quando x = 0. 
IV. Calcula-se aplicando essa relação, e obtém-se . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
II e III. 
3. 
I e III. 
4. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
5. 
I e II. 
5. Pergunta 5 
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Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. 
Uma aproximação válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa 
mensuração por meio de retângulos. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa 
representação, analise as afirmativas a seguir: 
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo. 
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos. 
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo. 
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV. 
2. 
I e II. 
3. 
I, II e IV. 
4. 
II e IV. 
5. 
I, II e III. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6Crédito total dado 
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As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, 
sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do 
conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de 
forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C. 
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, 
diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um 
número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto. 
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x). 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F. 
2. 
F, F, F, V. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
V, F, F, V. 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
F, V, F, V. 
7. Pergunta 7 
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O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm 
fundamental importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma 
série de fenômenos observados nas ciências naturais. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado 
da derivada como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de 
velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir: 
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função. 
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio 
de limites. 
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x). 
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta 
y = x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
2. 
I, e IV. 
3. 
I, II e III. 
4. 
II e III. 
5. 
II e IV. 
8. Pergunta 8 
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Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos 
naturais, econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a 
derivada e a integral possuem significados práticos para esses modelos, o 
estudo do Cálculo se faz indispensável para a análise quantitativa e 
qualitativa desses fenômenos. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais 
e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, 
qualquer que seja o intervalo de integração. 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual 
a 4. 
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 
4e^(2x). 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 
+ e^x + C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
2. 
V, F, F, F. 
3. 
V, V, F, V. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
F, F, V, V. 
9. Pergunta 9 
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Existem diversaspropriedades de integração, entre elas a de funções 
exponenciais, que são importantes funções que modelam fenômenos 
naturais, econômicos e sociais. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais 
e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral indefinida de f(x) = e^x + e^(2x) resulta na primitiva F(x) = 
(½)(e^x)(e^x + 2). 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = (⅗)x no intervalo [1, e] é 
igual a 3/5. 
III. ( ) A função h(x) = e^x + x² apresenta apenas valores positivos de 
integral, qualquer que seja o intervalo de integração. 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = 1/(2x+1) resulta na primitiva I(x) = 
ln(2x+1)/2 + C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
F, V, V, F. 
3. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
4. 
V, F, V, V. 
5. 
F, F, F, V. 
10. Pergunta 10 
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As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo 
que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do 
conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de 
forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada 
dividindo a figura formada pela curva e o eixo x no maior número possível 
de retângulos de mesmo comprimento e somando as áreas dos mesmos. 
II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243. 
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde 
A1 é a área entre a curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das 
regiões onde f(x) < 0. 
IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é 
uma função par. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V. 
2. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
3. 
F, V, F, V. 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
V, V, F, F.