UmEstudoDoDesempenho-Almeida-2018

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Ruanderson Cosme Almeida
UM ESTUDO DO DESEMPENHO DO MÉTODO DE ENTROPIA MÁXIMA
GENERALIZADA NA IDENTIFICAÇÃO DE EFEITOS ATIVOS EM
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM RÉPLICAS
Natal - RN
25 de junho de 2018
Ruanderson Cosme Almeida
UM ESTUDO DO DESEMPENHO DO MÉTODO DE ENTROPIA MÁXIMA
GENERALIZADA NA IDENTIFICAÇÃO DE EFEITOS ATIVOS EM
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM RÉPLICAS
Monografia de Graduação apresentada ao De-
partamento de Estatística do Centro de Ci-
ências Exatas e da Terra da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte como re-
quisito parcial para a obtenção do grau de
Bacharel em Estatística.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Estatística
Orientador: Profa. Dra. Carla Almeida Vivacqua
Natal - RN
25 de junho de 2018
Ruanderson Cosme Almeida
UM ESTUDO DO DESEMPENHO DO MÉTODO DE ENTROPIA MÁXIMA
GENERALIZADA NA IDENTIFICAÇÃO DE EFEITOS ATIVOS EM
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM RÉPLICAS
Monografia de Graduação apresentada ao De-
partamento de Estatística do Centro de Ci-
ências Exatas e da Terra da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte como re-
quisito parcial para a obtenção do grau de
Bacharel em Estatística.
Aprovado em de de .
Profa. Dra. Carla Almeida Vivacqua
Orientador
Prof. Dr. André Luís Santos de Pinho
Examinador
Prof. Dr. Damião Nóbrega da Silva
Examinador
Natal - RN
25 de junho de 2018
Aos meus pais.
Agradecimentos
Agradeço a meus pais, Antônio Carlos e Maria de Fátima, e a minhas irmãs, Rayane,
Ruana e Dayanne, por todo o apoio que me deram ao longo desses de anos de curso.
Aos amigos do curso, principalmente a Rayane, Taynná, Antony, Rodrigo Amorim,
Isabelle, Adryan, Rodrigo Matheus, Lucas e Érika, por todos o apoio e momentos que
passamos juntos.
Minha orientadora Carla Vivacqua por toda ajuda e dedicação na construção desse
trabalho.
Aos professores Damião Nóbrega e André Pinho por terem aceitado fazer parte da
banca.
E a todos os meus professores do curso, especialmente a Pledson, por todo incentivo
dado no começo do curso.
“Construímos muros demais e pontes de menos.”
Isaac Newton
Resumo
Para o estudo da influência de fatores em um processo, uma das abordagens mais empre-
gadas é o experimento fatorial sem réplicas. É comum utilizar gráficos de probabilidade
normal para a análise de dados provenientes deste tipo de plano experimental, porém
há controvérsias sobre o seu uso, devido à subjetividade e dificuldade de interpretação,
especialmente quando a magnitude do efeito é moderada. Os métodos da entropia máxima
generalizada e de Lenth são alternativas propostas para evitar essa subjetividade. O obje-
tivo desse trabalho é avaliar o desempenho do método da entropia máxima generalizada
para identificar efeitos ativos em experimentos fatoriais sem réplicas. Um estudo de simu-
lação é feito considerando um experimento com 16 tratamentos e diferentes cenários para
quantidade de efeitos ativos e suas respectivas magnitudes. Para a avaliação do desempenho
do método de entropia máxima generalizada são utilizadas as porcentagens de erro do tipo
I e do tipo II em comparação com o método de Lenth. Os resultados da simulação indicam
que a abordagem de entropia máxima generalizada facilita a identificação de efeitos ativos
de magnitude moderada. Além disso, o desempenho do método permanece praticamente
inalterado quando a quantidade de efeitos ativos aumenta.
Palavras-chave: Simulação ; Gráfico de probabilidade normal; Método de Lenth.
Abstract
In the study of the influence of factors in a process, one of the most used approaches is
based on unreplicated factorial experiments. It is common to use the normal probability
plot to analyze data from this type of experimental design, but there are controversies
about its use due to subjectivity and difficulty of interpretation, especially when the
magnitude of the effect is moderate. The Generalized maximum entropy and lenth’s
method are alternatives proposals to avoid this subjectivity. The objective of this work
is to evaluate the performance of the generalized maximum entropy method to identify
active effects in unreplicated factorial designs. A simulation study is done considering
an experiment with 16 treatments and different scenarios for quantity of active effects
and their respective magnitudes. For the evaluation of the performance of the generalized
maximum entropy method the type I and type II error percentages are used in comparison
with the Lenth method. The simulation results indicate that the generalized maximum
entropy approach facilitates the identification of active effects of moderate magnitude. In
addition, the performance of the method remains virtually unchanged when the amount
of active effects increases.
Keywords: Simulation; Half-Normal plots; Lenth’s Method.
Lista de ilustrações
Figura 1.1 – Gráfico de probabilidade normal dos efeitos do experimento de moldagem
por injeção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 2.1 – Gráfico do método de Lenth dos efeitos do experimento de moldagem
por injeção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 3.1 – Fluxograma da simulação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 4.1 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da
entropia e de Lenth, para o coeficiente inicial 0,25 (σ2 ). . . . . . . . . . 27
Figura 4.2 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da
entropia e de Lenth, para o coeficiente inicial 0,50 (σ). . . . . . . . . . 28
Lista de tabelas
Tabela 1.1 – Matriz com os contrastes e resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Tabela 3.1 – Tabela ODS do precedimento entropy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tabela 3.2 – Cenários da simulação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tabela 3.3 – Todos os possíveis resultados de um teste de hipótese. . . . . . . . . . 24
Sumário
Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 REVISÃO CONCEITUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Entropia Máxima Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Método de Lenth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Variância do efeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 SIMULAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Cenários da Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Critérios para a avaliação do desempenho . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12
1 Introdução
Devido à simplicidade, desempenho e custo benefício, um dos métodos mais utiliza-
dos para verificar a influência de variáveis em um processo é através de experimentação
planejada. Diferente do que ocorre em um estudo observacional, um estudo experimental
se caracteriza pela interferência externa do pesquisador. Sendo assim, planejamento de
experimentos consiste em preparar e estudar um processo com o objetivo de obter resulta-
dos úteis para o experimentador, de maneira em que o custo em dinheiro e tempo seja o
mínimo possível.
Para uma realização adequada de um experimento fatorial é necessário que ele seja
planejado. O experimentador, antes de qualquer coisa, precisa definir alguns componentes
básicos para o estudo, que serão listados a seguir:• Resposta: é a variável de interesse no estudo;
• Fatores: são as variáveis que sofrem alterações que se avalie o seu impacto na (s)
resposta (s);
• Níveis: são os valores que um fator assume no experimento;
• Tratamentos: é a combinação entre os níveis dos fatores. Caso o experimento tenha
apenas um fator, então os tratamentos serão iguais aos níveis.
Por exemplo, suponha que um estudo quer analisar a influência das peças de um
carro na sua velocidade (km/h). As peças testadas serão dois tipos motores e dois tipos
pneus. Assim, os componentes básicos do exemplo são:
• Resposta: velocidade do carro;
• Fatores: pneu e motor;
• Níveis: pneu tipo 1, pneu tipo 2, motor tipo 1 e motor tipo 2;
• Tratamentos: pneu tipo 1 e motor do tipo 1, pneu tipo 1 e motor do tipo 2, etc.
Há necessidade também de definir se haverá replica. A replicação consiste em
aplicar um mesmo tratamento em mais de uma unidade experimental diferente (BOX;
HUNTER; HUNTER, 2005). A vantagem do erro experimental e, assim, obter a precisão
das estimativas dos efeitos dos fatores.
Capítulo 1. Introdução 13
O gráfico de probabilidade normal (DANIEL, 1959) é um dos métodos mais
utilizados para a análise de experimento fatorial não replicado, porém é um método
subjetivo pelo fato de depender da experiência do analista para definir os fatores ativos
de forma apropriada. Assim, dois analistas podem chegar a conclusões diferentes para o
mesmo experimento.
1.1 Motivação
O exemplo apresentado em Myers, Montgomery e Anderson-Cook (2009) consiste
em um experimento de moldagem por injeção em que o pesquisador buscar minimizar o
encolhimento durante o processo. Para isso é realizado um experimento fatorial fracionado
27−3, ficando assim um total de 16 tratamentos. Os geradores do experimento são E = ABC,
F = BCD e G = ACD. A Tabela 1.1 apresenta os contrastes e a variável resposta.
Tabela 1.1 – Matriz com os contrastes e resposta
A B C D E = ABC F = BCD G = ACD Y
1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6
2 1 −1 −1 −1 1 −1 1 10
3 −1 1 −1 −1 1 1 −1 32
4 1 1 −1 −1 −1 1 1 60
5 −1 −1 1 −1 1 1 1 4
6 1 −1 1 −1 −1 1 −1 15
7 −1 1 1 −1 −1 −1 1 26
8 1 1 1 −1 1 −1 −1 60
9 −1 −1 −1 1 −1 1 1 8
10 1 −1 −1 1 1 1 −1 12
11 −1 1 −1 1 1 −1 1 34
12 1 1 −1 1 −1 −1 −1 60
13 −1 −1 1 1 1 −1 −1 16
14 1 −1 1 1 −1 −1 1 5
15 −1 1 1 1 −1 1 −1 37
16 1 1 1 1 1 1 1 52
A Figura 1.1 mostra o gráfico de probabilidade normal do experimento. Assim,
Myers, Montgomery e Anderson-Cook (2009) concluíram que os efeitos A, B e AB foram
ativos, porém McGrath e Lin (2001) consideraram como efeitos ativos A, B, AB, C = AD
e G = ACD. Como a análise foi feita apenas com gráficos, essa subjetividade pode ocorrer
quando um mesmo experimento é analisado por pessoas diferentes. Para evitar que ocorram
essas divergências, existem métodos alternativos para a identificação dos efeitos ativos,
sendo um deles o método da Entropia Máxima Generalizada, proposto por Golan, Judge e
Miller (1996).
Capítulo 1. Introdução 14
Figura 1.1 – Gráfico de probabilidade normal dos efeitos do experimento de moldagem
por injeção.
Pereira (2015) explica o funcionamento do método da EMG. Este trabalho tem
como motivação avaliar o desempenho do método da Entropia Máxima Generaliza (EMG),
na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais através de uma simulação
computacional.
1.2 Objetivo
O objetivo deste trabalho é verificar o desempenho do método da Entropia máxima
generalizada na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais não replicados
para 16 tratamentos através de uma simulação. Os objetivos específicos são:
• analisar a porcentagem do erro do tipo I (identificar efeitos inativos como ativos) do
método EMG;
• analisar a porcentagem de erro do tipo II (identificar efeitos ativos como inativos)
do método;
• verificar o impacto que a magnitude do efeito e a quantidade de efeitos ativos tem
sobre o método;
• comparar o desempenho do método EMG com o desempenho do método de Lenth.
15
2 Revisão Conceitual
Nesse capítulo são apresentados os conceitos básicos sobre o método da EMG e do
método de Lenth para um melhor entendimento do trabalho.
2.1 Entropia Máxima Generalizada
Na teoria de informação, a entropia é definida por Shannon (1948) como um medida
de incerteza, ou seja, quanto menos informação dos dados maior será a entropia. Para
medir a incerteza Shannon (1948) se baseou em um estudo de Hartley (1928) que propôs
uma medida H para medir a informação. Suponha que temos um conjunto de símbolos s
e H é dada por:
H = Kn
sendo n o número de seleções feitas em um conjunto s e K uma constante que depende de
um número de símbolos do conjunto s disponível em cada seleção. Suponha que temos um
conjunto de eventos possíveis cujas as probabilidades de ocorrência sejam p = p1, p2,..., pn.
Toda a informação que temos sobre os eventos é que as probabilidades p são conhecidas.
Assim, temos que a informação é dada por H(p1, p2,..., pn) e deve seguir as seguintes
propriedades:
• H deve ser contínua em pi;
• Se todos os pi são iguais, pi = 1/n, então H é uma função crescente monótona de
n. Com eventos igualmente prováveis há mais incerteza do que quando se tem mais
eventos possíveis;
• Se uma escolha for dividida em duas escolhas sucessivas, o H original deve ser a
soma ponderada dos valores individuais de Hi.
Assim, Shannon (1948) chegou a conclusão que a única função H que satisfaz essas
propriedades é:
H = −K
n∑
i=1
pi log pi (2.1)
em que K é uma constante positiva.
Para casos que não temos informações suficientes para estimar o modelo com
os métodos usuais,Golan, Judge e Miller (1996) propôs o método da Entropia Máxima
Capítulo 2. Revisão Conceitual 16
Generalizada, baseada na função H dada em (2.1). Para o método da EMG é necessário
reescrever o modelo de regressão linear em função das probabilidades. Então, sendo o
modelo linear dado por
Y = Xβ + �
em que a variável resposta Y é um vetor T × 1, a variável explanatória X é uma matriz
T ×K, β é um vetor K × 1 de parâmetros desconhecidos e � = (�1,�2,..., �T )T é um vetor
T × 1 de erros desconhecidos.
Utilizando a estimativa de quadrados mínimos do vetor β, queremos encontrar
o vetor para β que forneça o menor valor possível para a soma de quadrados dos erros,
obtendo, assim, o seguinte estimador:
β̂ = (X ′X)−1X ′Y
Sejam os valores suporte discretos, fornecidos pelo pesquisador, definidos pelo vetor
z′k = [zk1,zk2,...,zkM ], para todo k, sendo os valores z′k definidos por um conhecimento
a priori. Caso o pesquisador não possua nenhuma informação a priori a respeito do
parâmetro desconhecido βk, os valores de z′k devem ser distribuídos simetricamente em
torno do zero (SATICI; DEMIRHAN, 2012). E seja p′k = [pk1, pk2,...,pkM ], para todo k, um
vetor de probabilidades desconhecidas associados ao conjunto z′k. Assim, reparametrizamos
βk da seguinte maneira:
βk =
M∑
m=1
pkmzkm, k = 1,2,...,K e M ≥ 2
Considerando Z um matriz diagonal K ×KM de pontos suporte, temos:
β = Zpβ =

z′1 0 · · · 0
0 z′2 · · · 0
... ... . . . ...
0 0 · · · z′k


p1
p2
...
pk

Considerando que w′t = [wt1,wt2,...,wtJ ] é um vetor de probabilidades desconhecidas
e v′t = [vt1,vt2,...,vtJ ] valores de suporte discretos definidos em torno do zero, podemos
reparametrizar o vetor dos erros da seguinte maneira:
�t =
J∑
j=1
wtjvtj, t = 1,2,...,T
Capítulo 2. Revisão Conceitual 17
Definindo V como uma matriz diagonal T × TJ dos pontos suporte vt, w� sendo
um vetor TJ × 1 de probabilidades associado aos pontos suportes, temos:
� = Vw� =

v′1 0 · · · 0
0 v′2 · · · 0
... ... . . . ...
0 0 · · · v′k


w1
w2
...
wk

Assim, podemos reescrever o modelo de regressão linear:
yt =
K∑
k=1
xtkβk + �t =
K∑
k=1
M∑
m=1
zkmpkmxtk +
∑
j
vjwtj
Para obter o estimador da Entropia Máxima Generalizada basta maximar as
entropias conjuntas (GOLAN; JUDGE; MILLER, 1996):
EMG = maxp,w{H(p) +H(w)} = maxp,w{−
∑
k
∑
m
pkm ln pkm −
∑
t
∑
j
wtj lnwtj}
sendo sujeito as condições:
∑
m
pkm = 1∑
jwtj = 1
Para maximar o EMG, utiliza-se o método de multiplicadores de Lagrange para
solucionar p e w, chegando assim, respectivamente, as seguintes soluções:
p̃km =
e−zkm
∑
µtxtk∑
m e
−zkm
∑
t
µtxtk
w̃tj =
e−µtvt∑
j e−µtvt
e as estimativas de βk e �t são:
β̃k =
∑
m
zkmpkm
�̃t =
∑
j
vjwtj
O estimador GME é consistente e possui distribuição assintoticamente normal:
β̂ ∼ N
(
β,
σqγ
Nξ2
ω−1
)
.
Para mais detalhes sobre o método da entropia máxima generalizada consultar
Pereira (2015).
Capítulo 2. Revisão Conceitual 18
2.2 Método de Lenth
Um dos métodos utilizados para evitar a subjetividade do gráfico normal na
identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais é o método de Lenth. O método se
baseia na dispersão dos efeitos e é utilizados quando temos poucos efeitos ativos (LENTH,
1989).
A construção do gráfico é baseada em uma Margem de Erro (ME) e em uma
Margem de Erro Simultânea (SME), dada, respectivamente por
ME = t0,975;glPSE
SME = tγ;glPSE
sendo γ e PSE o Pseudo Erro padrão dado, respectivamente, por:
γ = 1 + 0,95
1/m
2
PSE = 1,5× [mediana|ci|], i = 1,...,m
e ci um vetor M × 1 de efeitos estimados.
Caso o efeito, em módulo, seja maior que o SME, o efeito é considerado ativo;
se assumir um valor entre o SME e o ME, o efeito pode ser considerado ativo. Caso
contrário, se o módulo do efeito for menor que o ME, não é considerado ativo.
O Gráfico 3.1 mostra um exemplo de um gráfico do método Lenth dos efeitos
do experimento de moldagem por injeção. Nota-se que os contrastes representados pelos
rótulos A, B, AB, AD e ACD foram maiores que o modulo do SME, logo eles são ativos.
Todos os outros efeitos foram menores que o ME, ou seja, não foram considerados efeitos
ativos.
Capítulo 2. Revisão Conceitual 19
Figura 2.1 – Gráfico do método de Lenth dos efeitos do experimento de moldagem por
injeção.
2.3 Variância do efeito
A variância do efeito para um experimento fatorial é dada pela seguinte fórmula:
σ2([efeito]) = 4× var([erro])
N
em que N é o número de tratamentos. Neste trabalho temos 16 tratamentos e adotou-se
uma variância do erro igual a 1, ficando então:
σ2([efeito]) = 4× 116 = 0,25
σ([efeito]) = 0,50
20
3 Simulação
Neste capítulo é apresentado o planejamento da simulação. Primeiro, são apresenta-
dos os métodos utilizados para a simulação dos dados no software R (R Core Team, 2017),
em seguida, os método utilizados para a realização da entropia máxima generalizada no
SAS (SAS INSTITUTE INC., 2003). Por fim, são apresentados todos os cenários utilizados
nesse trabalho.
A simulação e a análise dos dados foram feitas nos softwares R e no SAS. Inicial-
mente, é utilizado o software R para gerar os dados e exportar os dados em formato de
valor separado por vírgula (CSV) para a leitura no SAS. Logo após, utiliza-se o SAS para
aplicar o método da EMG. Para analisar o resultado da entropia utiliza-se novamente o
software R.
Figura 3.1 – Fluxograma da simulação.
3.1 Software R
No software R, criou-se uma função para realizar a simulação dos dados (Apêndice
A). Primeiramente foi utilizado o pacote BHH2, para a criação da tabela de contraste. A
simulação é feita da seguinte forma:
y = [contraste]× ([coeficientes]× [magnitude]) + [erro] (3.1)
Capítulo 3. Simulação 21
sendo o coeficiente um vetor 2k × 1, dado pelo usuário, e o erro um vetor 2k × 1 com
distribuição normal padrão. O erro é gerado aleatoriamente pelo software R através da
função rnorm(.), que possui três parâmetros: tamanho da amostra a ser gerado, a média
e o desvio padrão.
Na programação, existem estruturas de repetições para evitar fazer uma tarefa
repetidas vezes desnecessariamente. Como para realizar uma simulação é necessário executar
o processo 3.1, mais de uma vez, então aplica-se o laço de repetição for(.). A sintaxe
desse laço de repetição, no software R, é da seguinte forma:
for(i in m:n){
argumentos
}
sendo i a variável incrementável e m e n os valores de início e fim da repetição, respectiva-
mente. Para identificar cada repetição é criado um variável chamada "ID". Após gerar todos
os dados, utiliza-se a função write.table(.) para exportar os dados e serem utilizados
no SAS.
Estimada a entropia no SAS, utiliza-se novamente o Software R para calcular
a porcentagem do erro do tipo I e II. Para o método de Lenth, foi utilizado o co-
mando source(.), que permite importar um script ou URL para que possa ser aprovei-
tado no código atual sem a necessidade de reescrever os comandos. O script utilizado
foi disponibilizado pelo professor Russell V. Lenth, no site da Universidade de Iowa
(http://homepage.divms.uiowa.edu/ rlenth/).
O script de Russel V. Lenth funciona de maneira bem simples: ao executar o
comando source(.), ele retorna um gráfico como exemplo. O código permite retornar o
pseudo erro padrão utilizando a função pse(x) e permite retornar o gráfico e os valores
do SME e ME com a função plot.con(x), sendo x em ambos os casos um vetor 2k × 1 de
efeitos.
Para analisar o método de Lenth, criou-se uma nova função (Apêndice C) que
tem como parâmetro uma matriz com os contrates e com os dados simulados. A função
divide-se em três partes: o cálculo dos efeitos, a execução do método de Lenth e o cálculo
dos erros do tipo 1 e 2.
3.2 SAS
Em programação, macros são rotinas criadas para executar tarefas pré-programadas,
funcionando de maneira similar às funções no Software R. Para esse trabalho, foram
Capítulo 3. Simulação 22
elaborados duas macros no SAS, uma para a importação dos dados e outra para executar
o método da Entropia Máxima Generaliza (Apêndice B).
O SQL (do inglês Structured Query Language) é uma linguagem de pesquisa
utilizada para manipulação de um banco de dados. Dentro do SAS, é possível utilizá-la
através de um procedimento. Supondo que temos uma tabela chamada “dados”, e queremos
selecionar a coluna “nomes” dessa tabela, a sintaxe do procedimento ficaria da seguinte
maneira:
proc sql;
select nomes from dados;
quit;
Antes de calcular a entropia, utiliza-se o proc sql para poder selecionar e dividir
os dados de acordo com a variável “ID”. Assim podemos calcular a entropia para cada
repetição diferente da simulação.
O proc entropy é utilizado para a estimação linear baseada no método da Entropia
Máxima Generalizada. Para utilizá-lo na análise de experimentos fatoriais, é necessário
apenas entrar com os dados utilizando o comando data e entrar com o modelo desejado.
Supondo um experimento fatorial 23, com nenhum informação sobre o vetor beta a priori,
a sintaxe do procedimento seria da seguinte forma:
proc entropy data=dados;
model y=a b c ab ac bc abc;
run;
e assim o obtemos os resultados. É possível ainda inserir mais informação, como por
exemplo, o parâmetro beta (pontos suporte), porém neste trabalho utilizaremos o caso
mais simples. Mais detalhes sobre o procedimento podem ser encontrados no suporte do
SAS.
Na saída, o procedimento entropy retorna muitas informações (gráficos, estimativas,
etc.) que são desnecessárias neste trabalho, visto que utilizar-se-á apenas os efeitos estima-
dos. Uma das maneiras de obter apenas os efeitos estimados é fazendo isso manualmente,
entretanto como serão executados vários cenários com múltiplas repetições, é inviável fazer
isso. No SAS existe uma ferramenta chamada Output Delivery System (ODS), que tem
como finalidade enviar tabelas ou gráficos para um destino de saída.
Um dos destinos utilizados pelo ODS é o OUTPUT. Com ele podemos enviar uma
parte específica de um procedimento para um conjunto de dados do SAS, facilitando a
manipulação dos dados. Todo procedimento tem nomes específicos para as tabelas ODS e
para que se obtenha apenas a parte desejada é necessário pesquisar os nomes no help do
SAS ou utilizar os seguintes comandos:
Capítulo 3. Simulação 23
ods trace on;
proc reg data=dados;
model y = altura peso;
quit;
ods trace off;
em que, dentro do ODS TRACE, encontra-se o procedimento que se deseja saber os nomes
da tabela ODS. O proc entropy tem a seguinte tabela ODS:
Tabela 3.1 – Tabela ODSdo precedimento entropy.
Nome da tabela ODS Descrição Opções
ConvCrit Critérios de convergência para estimativa default
ConvergenceStatus Status da convergência default
DatasetOptions Conjunto de dados usados default
MinSummary Número de Parâmetros, tipo de estimativa default
ObsUsed Observações lidas, usadas e ausentes default
ParameterEstimates Parâmetros estimados default
ResidSummary Resumo do SSE e MSE para as equações default
TestResults Tabela de declaração de teste TEST statement
Neste trabalho será utilizado o ParameterEstimates. Assim a sintaxe do ODS
OUTPUT será da seguinte forma:
ods output ParameterEstimates = NomeDataSetDesejado ;
proc entropy data=dados;
model y=a b ab;
run;
em que o ODS OUTPUT precisa ser declarado antes do procedimento em que se deseja
obter as informações.
3.3 Cenários da Simulação
Primeiro, é necessário decidir a quantidade de repetições que que serão utilizadas
na simulação. Assim, foram testados 100, 200, 500 e 1000 repetições.
Considerando apenas um cenário com dois efeitos ativos de um experimento fatorial
não replicado 24, foi gerado dados com a quantidade de repetições definidas anteriormente.
Em seguida, utiliza-se o método da EMG e analisa-se a porcentagem do erro do tipo I
e II de cada um. Assim, notou-se que com 500 repetições obteve-se um resultado muito
semelhante a 1000 repetições. Então, para minimizar o tempo de execução dos métodos,
foi definido que a simulação deste trabalho seria realizada com 500 repetições.
Capítulo 3. Simulação 24
Para este trabalho é utilizado um experimento fatorial não replicado com quatro
fatores e cada fator com dois níveis (24), resultando em 16 tratamentos. A simulação será
testada com 2, 3, 4 e 5 efeitos ativos, com magnitudes iguais a 1, 2, 3, 4 e 5 e coeficientes
iniciais iguais a 0,25 (que corresponde a metade do desvio padrão do efeito) e 0,50 (que
corresponde ao desvio padrão do efeito).
Assim, temos um total de 40 cenários, visto na Tabela 3.2. Entretanto os Cenários
2 e 21 são iguais (o mesmo vale para os outros cenários da coluna). O mesmo ocorre com
os Cenários 4 e 22 e suas respectivas colunas. Assim, são 32 cenários distintos. Isso ocorre
pelo fato da simulação ter sido feita em duas etapas e a partir de uma análise preliminar
da primeira etapa, decidiu-se incluir magnitudes maiores de efeito para comparação.
Tabela 3.2 – Cenários da simulação.
Coeficiente Efeitos Ativos Constante a ser multiplicada pelo coeficiente1 2 3 4 5
σ(efeito)/2
2 C01 C02 C03 C04 C05
3 C06 C07 C08 C09 C10
4 C11 C12 C13 C14 C15
5 C16 C17 C18 C19 C20
σ(efeito)
2 C21 C22 C23 C24 C25
3 C26 C27 C28 C29 C30
4 C31 C32 C33 C34 C35
5 C36 C37 C38 C39 C40
3.4 Critérios para a avaliação do desempenho
Ao realizar um teste de hipótese, sempre existe a possibilidade de ocorrer dois
tipos de erros, o tipo I e tipo II. O erro do tipo I ocorre quando se rejeita a hipótese nula
quando ela é verdadeira. Já o erro do tipo II ocorre quando não se rejeita a hipótese nula,
quando ela é falsa. A Tabela ?? apresenta todos os possíveis resultados ao realizar um
teste de hipótese.
Tabela 3.3 – Todos os possíveis resultados de um teste de hipótese.
Resultado do Teste Hipótese Verdadeira
H0 H1
H0 Acerto 1 Erro do tipo II
H1 Erro do Tipo I Acerto 2
Supondo que em um julgamento temos as seguinte hipóteses:
H0 : [Réu é inocente]×H1 : [Réu é culpado]
Capítulo 3. Simulação 25
Caso o réu seja realmente inocente e o júri condene-o, estaria cometendo um erro
do tipo I. Já no caso do réu ser culpado e o júri não condená-lo, estaria cometendo o erro
do tipo II.
Para a análise da EMG e do método de Lenth, serão utilizados as porcentagens do
erro do tipo I e do tipo II. O resultado desejado é uma baixa porcentagem para ambos os
erros.
26
4 Resultados
Este capítulo tem como objetivo apresentar os resultados obtidos com a simulação
descrita no Capítulo 3. Para a análise dos resultados será utilizado a porcentagem do erro
do tipo I e do tipo II, além de uma comparação com o método de Lenth.
Sejam as hipóteses testadas:
H0 : [Efeito Inativo]×H1 : [Efeito Ativo],
então, nesse trabalho, será considerado que ocorreu o erro do tipo I quando um efeito for
considerado ativo, porém ele é inativo. Já o erro do tipo II ocorrerá quando um efeito for
considerado inativo, porém ele é ativo. Para o método da da EMG, um efeito é considerado
ativo quando o valor p ≤ 0,05; para o método de Lenth um efeito é considerado ativo
quando o |efeito| ≥ SME. As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam gráficos de linhas com as
médias dos erros do tipo 1 e do tipo 2. As tabelas utilizadas para criação dos gráficos
encontram-se no Apêndice D.
A Figura 4.1 apresenta apresenta as porcentagens médias dos erros do tipo I e
II do método EMG e de Lenth, considerando o coeficiente inicial 0,25. Nota-se que a
porcentagem do erro do tipo I para o método de Lenth tem valor próximo 0% independente
da magnitude ou da quantidade de efeitos ativos. A porcentagem do tipo I para o método
EMG diminui a medida que aumentamos a magnitude. Quando aumentamos a quantidade
de efeitos ativos a porcentagem do erro to tipo I fica em torno de 50% quando consideramos
magnitude 1σ/2, porém se considerarmos magnitude 5σ/2 nota-se que porcentagem do
erro do tipo I diminui, chegando a ficar próximo de 10% quando temos 5 efeitos ativos.
O erro do tipo II diminui a medida que aumentamos a magnitude, para ambos os
métodos. Considerando o método de Lenth, a porcentagem do erro do tipo II fica próximo
a 100%, independente da quantidade de efeitos ativos, quando temos a magnitude 1σ/2. A
medida que aumentamos a magnitude o erro do tipo II vai diminuindo, porém essa queda é
menor quando temos mais efeitos ativos. Para o método EMG, nota-se que a porcentagem
do erro do tipo II é aproximadamente 50%, independente da quantidade de efeitos ativos,
para a magnitude 1σ/2. A medida que a magnitude o erro do tipo II vai diminuindo e
essa queda fica maior quando temos mais efeitos ativos.
Capítulo 4. Resultados 27
Figura 4.1 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da entropia
e de Lenth, para o coeficiente inicial 0,25 (σ2 ).
A Figura 4.2 apresenta apresenta as porcentagens médias dos erros do tipo I e II
do método EMG e de Lenth, considerando o coeficiente inicial 0,50. Pode-se observar as
porcentagens dos erros do tipo I e II tiveram resultados semelhantes a Figura 4.1. Nota-se
também que como temos um coeficiente inicial maior, os erros de ambos os métodos
convergem para 0%.
Capítulo 4. Resultados 28
Figura 4.2 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da entropia
e de Lenth, para o coeficiente inicial 0,50 (σ).
29
5 Considerações Finais
Esse capítulo apresenta as conclusões obtidas com os resultados do Capítulo 4
e sugestões para trabalhos futuros. Neste trabalho foi realizado um estudo através de
uma simulação computacional para verificar o desempenho do uso do método da entropia
máxima generalizada na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais não
replicados. Também foi realizado uma comparação com o método de Lenth.
Em relação ao método da entropia máxima generalizada, nota-se que à medida
que aumenta a magnitude, o erro do tipo I e do tipo II diminuem. Para magnitude
σ/2, porcentagem do erro do tipo II apresentou um resultado parecido independente da
quantidade de efeitos ativos. Com magnitude 1σ/2, o erro do tipo II ficou em torno de
30,0%, caindo para cerca de 2,0% na magnitude 3σ/2 e convergindo para 0,0% a partir da
magnitude 4σ/2. Considerando σ, nota-se que a partir da magnitude 3σ, a porcentagem
do erro do tipo II é igual a 0%, independente da quantidade de efeitos ativos. Porém,
quando consideramos as magnitudes 1σ e 2σ, há um aumento nas porcentagens do erro do
tipo II quando aumenta-se a quantidade de efeitos ativos.
Nota-se que a porcentagem do erro do tipo I apresenta um decaimento a medida
que aumenta-se a magnitude. Porém, diferente do erro do tipo II, a porcentagem do erro
do tipo I também apresenta um decaimento amedida que aumenta-se a quantidade de
efeitos ativos.
Em relação ao método de Lenth, nota-se que o erro do tipo II diminui a medida que
aumenta-se a magnitude. Considerando σ/2, a porcentagem do erro do tipo II fica muita
alta, mesmo com a magnitude 5σ/2. Considerando σ ocorre uma melhora no desempenho
do erro do tipo II, ficando abaixo dos 5% a partir da magnitude 4σ. Nota-se que também
houve um aumento no erro do tipo II a medida que aumenta-se a quantidade de efeitos
ativos. O erro do tipo II apresentou, independente da magnitude e da quantidade de efeito
ativo, valores abaixo de 1%.
O método da entropia máxima generalizada apresentou uma porcentagem de erro
do tipo II muito baixa, chegando a valores próximo de zero sem precisar ter um magnitude
alta. O erro do tipo I apresentou melhorias à medida que se aumentava a quantidade de
efeitos ativos, precisando de uma magnitude cada vez menor para a porcentagem do erro
do tipo I se aproximar de 5%. Já o método de Lenth apresentou um desempenho melhor
quando se tem uma quantidade menor de efeitos ativos e uma magnitude maior.
Concluindo, o uso do método da entropia máxima generalizada é mais indicado
quando se tem uma quantidade grande de efeitos ativos, assim, teremos uma baixa
porcentagem de erro do tipo I e do erro do tipo II, sem precisar de uma magnitude alta.
Capítulo 5. Considerações Finais 30
Já o uso do método de Lenth é mais indicado quando temos poucos efeitos ativos e uma
magnitude moderada.
Para trabalhos futuros, o método da entropia máxima generalizada poderia ser
testado com uma quantidade maior de efeitos ativos na simulação. Além disso, também
seria interessante testar valores de magnitudes diferentes dentro do cenário. Por exemplo,
um cenário que o efeito ativo A tenha coeficiente de 0,5σ(efeito) e o efeito ativo B tenha
coeficiente ativo 5σ(efeito). Outra sugestão seria testar o método com outra quantidade
de tratamentos.
31
Referências
BOX, G. E. P.; HUNTER, J. S.; HUNTER, W. G. Statistics for experimenters : design,
innovation, and discovery. [S.l.]: Wiley-Interscience, 2005.
DANIEL, C. Use of half-normal plots in interpreting factorial two-level experiments. New
York: Technometrics, 1959.
GOLAN, A.; JUDGE, G.; MILLER, D. . Maximum Entropy Econometrics: Robust
Estimation With Limited Data. [S.l.]: John Wiley Sons, 1996.
HARTLEY, R. V. L. Transmission of Information, Bell System Technical Journal. [S.l.]:
Wiley, 1928.
LENTH, R. V. Quick and easy analysis of unreplicated factorials. v. 31, p. 469–473, 11
1989.
MCGRATH, R. N.; LIN, D. K. J. Confounding of location and dispersion effects in
unreplicated fractional factorials. Journal of Quality Technology, Taylor Francis, 2001.
MYERS, R. H.; MONTGOMERY, D. C.; ANDERSON-COOK, C. M. Response Surface
Methodology: Process and Product Optimization Using Designed Experiments. [S.l.]: Wiley,
2009.
PEREIRA, I. F. de S. Uso da Entropia Máxima Generalizada para identificar efeitos
ativos em experimentos fatoriais sem Réplicas. RN: Universidade Federal do Rio Grande
do Norte, 2015.
R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna,
Austria, 2017.
SAS INSTITUTE INC. SAS/STAT Software, Version 9.1. Cary, NC, 2003.
SATICI, E.; DEMIRHAN, H. Use of generalized maximum entropy estimation for freight
flows modelling and an application. v. 10, 2012.
SHANNON, C. E. A mathematical theory of communication. The Bell System Technical
Journal, v. 27, 1948.
32
Apêndice
Apêndice A
Segue o código para a simulação dos dados com magnitude 1, 2 efeitos efeitos e
coeficentes dos efeitos igual a 0,25. Para os outros cenário é análogo.
rm(list=ls())
### instalação do pacote BHH@
install.packages("BHH2")
library(BHH2)
### k=quantidade de fatores
### efAt=quantidade de efeitos ativos
k=4
efAt=2
### matriz com os contrastes (uso do pacote BHH2)
si <- ffFullMatrix(ffDesMatrix(k)[,1:k],x=c(1:k),maxInt=k)$Xa
### função para nomear os fatores
letras=c("a","b","c","d","e","f","g","h","i","j","k","k","m","n",
"o","p","q","r","s","t","u","v","w","x","y","z")
nomes=c(rep(0,2^k))
aux=1
for(i in 1:k){
a=combn(letras[1:k],i)
for(j in 1:dim(a)[2]){
aux=aux+1
nomes[aux]=paste(c(a[(1:i),j]),collapse="")
}
};nomes[1]="um"
### função para realizar a simulação dos dados
Referências 33
simulacao=function(coeficientes,k,w){
si <- ffFullMatrix(ffDesMatrix(k)[,1:k],x=c(1:k),maxInt=k)$Xa
y=vector()
id=vector()
for(t in 1:w){
erro=0
erro=matrix(rnorm(2^k, 0, 1))
y=rbind(y,si%*%coeficientes+erro)
id=c(id,rep(t,2^k))
};y=data.frame(cbind(y,id));y
return(y)
}
#############magnitude 1 e 2 ef ativos
### quantidade de repetições
rep=500
erroef=0.25
###vetor com os coeficentes
co=rep(erroef,efAt)
(coef1=c(0,co,0,0,0,rep(0,10)))
### execução da simulação (coef1=coeficentes, k= numeros de fatores, rep= ###quantidade de repetições)
res=simulacao(coef1,k,rep)
### nomeando a varivael resposta e a varivael para identificar a repetição
names(res)=c("y","id")
###nomeando os efeitos
si=data.frame(si);si
names(si)=nomes;si
### juntar a tabela de contraste com o resultado da simulação (variavel ###resposta e id)
export1=cbind(si,res)
###exportar os dados no
write.table(export1,
Referências 34
"C:\\Users\\Aluno.Labest-01\\Desktop\\Resultados\\Resultados1\\dados1.CSV",
row.names = F,sep="\t")
Apêndice B
/*macro para importar os dados*/
%macro Importar (input);
proc import out=dados file=&input
dbms=tab replace ;
run;
data final;
stop;
run;
%mend;
/*macro executar o m t o d o da entropia m x i m a generalizada *
/
%macro Entropia ;
%do index = 1 %to & varCount ;
ods output ParameterEstimates =teste;
proc entropy data=dados(where =(id=&& varVal &
index .));
model y=a b c d ab ac ad bc bd cd abc abd
acd bcd abcd;
run;
data final;
set final teste;
run;
%end;
%mend;
Referências 35
/* dados1 */
/* importando os dados*/
% Importar ("C:\ Users\Aluno.Labest -01\ Desktop \ Resultados \
Resultados2 \ dados1 .txt ")
/* s e l e o de cada r e p e t i o de acordo com o id*/
proc sql noprint ;
select strip(put(count( distinct id) ,15.)) into :
varCount from dados;
select distinct id into :varVal1 - : varVal & varCount
from dados;
quit;
/* e x e c u o do macro para fazer a entropia */
% Entropia ;
/* exportando o resultado da entropia */
proc export data=final
outfile =
"C:\ Users\Aluno. Labest \ Desktop \ Resultados \
Resultados2 \ ResultEntropia1 .txt"
dbms=tab replace label;
run;
Apêndice C
### função para utilizar o código de Russel_Lenth
source("C:\\Users\\ruand\\OneDrive\\Área de Trabalho\\Final\\Russel_Lenth.r")
###vetores para armazenar os resultados
v1=vector()
v2=vector()
v3=vector()
v4=vector()
###função para calcular a quantidade dos erros utlizadando o metodo de lenth
###parâmetro dados= matrix com os contraste e a variável respotas
Referências 36
lenth=function(dados){
a=1
b=16
res=vector()
res1=vector()
aux=vector()
for(i in 1:500){
aux=dados[a:b,]
res=(dados[,2:16]*dados[,17])/8
res1=rbind(res1,res)
a=a+16
b=b+16
print(i)
}
a=1
b=16
res=vector()
dim(res1)
head(res1)
efeitos=vector()
for(i in 1:500){
efeitos=rbind(efeitos,apply(res1[a:b,],2,sum))
res=rbind(res,plot.con(efeitos[i,]))
a=a+16
b=b+16
print(i)
}
head(res)
head(efeitos)
dim(efeitos)
final=vector()
for(i in 1:15){
final[i]=sum(efeitos[,i]>res[,2])
}
return(final)
}
####importando os dados
Referências 37
d=read.table("C:\\Users\\ruand\\OneDrive\\Área de Trabalho\\Final\\0,25\\Resultados1\\Dados1.txt",head=T,sep="\t")
###executando a função
v1=lenth(d)
Apêndice D
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A e B como
efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia
máxima generalizada.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 31,6 10,6 2,0 0,0 0,0
B 25,0 8,0 1,2 0,0 0,0
C 55,2 48,2 46,0 36,8 32,4
D 54,6 43,4 43,6 37,0 32,6
AB 53,8 50,2 45,6 36,6 35,4
AC 50,6 49,8 45,8 42,2 34,2
AD 52,2 48,2 45,8 35,6 35,0
BC 53,0 50,6 44,2 41,2 31,0
BD 57,2 50,6 39,8 35,8 31,4
CD 51,0 45,4 39,8 36,8 35,0
ABC 49,6 42,2 39,637,6 29,8
ABD 54,4 48,8 46,4 42,4 36,4
ACD 52,2 49,8 37,6 35,2 33,2
BCD 53,4 52,0 40,4 37,8 35,8
ABCD 57,2 50,0 40,2 39,0 27,6
Referências 38
Tabela - Porcentagem de erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B e C como
efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia
máxima generalizada.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 31,4 11,0 2,4 0,0 0,0
B 29,6 7,8 2,0 0,2 0,0
C 26,6 8,8 1,6 0,0 0,0
D 54,2 47,4 37,6 27,6 26,8
AB 56,2 41,8 33,6 30,8 25,8
AC 52,2 44,2 40,6 29,6 21,6
AD 51,4 44,8 38,8 28,0 22,4
Bc 50,8 44,4 39,0 28,6 30,0
BD 52,8 44,2 36,8 27,4 28,4
CD 53,4 43,8 41,6 28,2 22,8
ABC 51,0 43,8 36,0 30,2 23,6
ABD 51,0 43,8 37,8 30,4 24,0
ACD 52,0 47,4 34,0 29,2 23,2
BCD 52,8 45,6 34,4 30,4 25,6
ABCD 52,4 46,2 36,0 27,6 27,8
Tabela - Porcentagem de erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C e D
como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da
entropia máxima generalizada.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 30,6 8,8 1,6 0,0 0,2
B 31,8 10,4 2,2 0,0 0,0
C 31,2 8,0 1,8 0,2 0,0
D 31,8 11,2 1,6 0,0 0,0
AB 53,6 40,0 33,0 27,2 18,4
AC 51,0 41,0 31,8 24,6 15,2
AD 50,2 44,4 31,0 24,6 17,2
BC 50,2 39,4 34,8 21,4 19,8
BD 48,0 42,6 33,2 23,2 19,0
CD 52,8 44,4 29,8 24,0 16,6
ABC 51,8 43,0 36,0 24,6 14,8
ABD 51,4 43,4 25,4 23,8 16,4
ACD 51,0 42,4 32,0 27,4 20,4
BCD 50,2 39,6 33,6 23,8 18,0
ABCD 49,6 40,4 32,6 22,0 19,6
Referências 39
Tabela - Porcentagem de do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C, D e
AB como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método
da entropia máxima generalizada.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 31,8 13,4 1,6 0,4 0,0
B 27,4 12,6 1,8 0,6 0,0
C 33,6 12,0 2,2 0,2 0,0
D 33,2 10,4 3,4 0,6 0,0
AB 29,6 10,8 3,4 0,6 0,0
AC 49,0 41,0 26,8 19,4 10,4
AD 53,0 39,8 26,0 20,4 12,8
BC 47,2 39,4 27,8 22,0 12,6
BD 52,4 39,4 26,6 19,0 11,4
CD 52,6 42,0 27,6 17,8 10,8
ABC 46,8 35,4 28,6 16,2 14,0
ABD 49,6 38,0 27,6 20,0 11,0
ACD 52,6 38,0 23,4 19,0 11,6
BCD 49,6 37,0 23,4 18,6 13,2
ABCD 51,8 38,4 26,4 16,6 12,2
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A e B efeitos
principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima
generalizada.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 8,2 0,2 0,0 0,0 0,0
B 8,0 0,0 0,0 0,0 0,0
C 46,6 33,2 32,6 26,2 18,6
D 46,8 34,2 30,2 20,2 17,2
AB 51,6 35,0 31,2 24,8 20,2
AC 51,0 36,8 28,2 22,8 18,0
AD 51,0 35,8 28,4 21,8 21,0
BC 47,8 37,8 29,2 22,8 19,0
BD 42,8 37,8 29,4 24,0 19,8
CD 46,6 35,0 33,2 19,8 17,4
ABC 50,0 39,4 28,8 22,4 21,8
ABD 48,0 34,4 31,4 25,2 19,4
ACD 49,6 37,4 28,8 22,0 19,6
BCD 49,0 34,6 29,8 25,2 19,0
ABCD 50,6 38,8 31,6 28,4 19,2
Referências 40
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B e C efeitos
principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima
generalizada.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 9,8 0,0 0,0 0,0 0,0
B 9,4 0,4 0,0 0,0 0,0
C 9,4 0,2 0,0 0,0 0,0
D 42,6 32,0 19,4 14,8 9,8
AB 45,8 34,0 20,6 14,8 9,6
AC 42,6 33,0 19,2 17,2 10,0
AD 43,8 30,8 24,0 14,4 9,8
BC 48,4 25,0 18,6 15,4 9,8
BD 44,2 30,8 19,6 16,2 10,6
CD 45,6 33,4 20,6 17,0 9,6
ABC 47,0 32,4 21,8 13,6 11,6
ABD 45,2 29,4 25,8 13,4 13,0
ACD 44,0 29,6 18,6 12,0 8,8
BCD 41,8 31,2 20,8 15,2 11,6
ABCD 41,8 32,0 19,8 15,2 9,8
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C e D
efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia
máxima generalizada.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 11,8 0,4 0,0 0,0 0,0
B 11,6 0,0 0,0 0,0 0,0
C 10,8 0,0 0,0 0,0 0,0
D 12,8 0,6 0,0 0,0 0,0
AB 38,6 25,6 11,8 5,4 2,8
AC 39,0 24,0 13,2 9,0 2,6
AD 41,6 25,0 13,8 7,6 2,8
BC 41,8 20,8 12,0 8,8 3,4
BD 40,4 22,4 12,0 7,0 4,2
CD 37,2 24,2 13,0 6,2 3,8
ABC 41,0 23,6 13,2 6,8 3,0
ABD 40,2 26,6 15,8 8,6 5,2
ACD 43,2 20,4 14,0 8,2 3,8
BCD 42,8 22,6 14,2 6,6 2,8
ABCD 41,8 25,8 13,2 7,4 3,6
Referências 41
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C, D e AB
efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia
máxima generalizada.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 14,2 0,2 0,0 0,0 0,0
B 14,2 0,2 0,0 0,0 0,0
C 11,4 0,8 0,0 0,0 0,0
D 12,4 0,4 0,0 0,0 0,0
AB 12,8 0,2 0,0 0,0 0,0
AC 34,0 20,0 7,8 3,0 0,6
AD 39,2 17,8 7,0 3,4 1,4
BC 36,0 20,6 8,4 3,0 0,4
BD 36,2 19,6 8,0 2,8 0,2
CD 32,8 18,6 7,0 2,6 1,0
ABC 44,6 18,4 6,4 2,6 1,0
ABD 38,0 17,4 8,4 2,8 0,6
ACD 39,0 17,2 8,8 2,8 0,8
BCD 40,6 20,2 8,2 5,0 0,4
ABCD 39,4 20,2 5,6 2,8 0,6
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A e B efeitos principais
ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 98,2 94,2 83,2 61,6 33,0
B 98,6 92,6 84,6 58,6 33,6
C 0,40 0,60 0,20 0,80 0,20
D 0,20 0,20 0,20 0,20 0,00
AB 0,80 0,00 0,40 0,20 0,20
AC 0,20 0,00 0,40 0,40 0,20
AD 0,00 0,00 0,00 0,20 0,40
BC 0,40 0,40 0,20 0,40 0,20
BD 0,40 0,40 0,00 0,00 0,20
CD 0,20 0,20 0,00 0,40 0,20
ABC 0,40 0,20 0,40 0,40 0,00
ABD 0,20 0,20 0,00 0,20 0,20
ACD 1,00 0,20 0,20 0,00 0,20
BCD 0,20 0,40 0,00 0,00 0,00
ABCD 0,00 0,20 0,20 0,20 0,00
Referências 42
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B e C efeitos principais
ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 98,8 94,8 83,4 60,6 36,6
B 99,6 93,4 84,4 61,2 34,4
C 98,8 95,2 82,6 60,4 36,2
D 0,00 0,00 0,00 0,40 0,40
AB 0,20 0,00 0,00 0,20 0,00
AC 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20
AD 0,40 0,20 0,20 0,00 0,20
BC 0,20 0,00 0,20 0,40 0,20
BD 0,20 0,40 0,40 0,00 0,40
CD 0,00 0,20 0,40 0,20 0,00
ABC 0,20 0,00 0,40 0,00 0,00
ABD 0,00 0,00 0,40 0,20 0,20
ACD 0,20 0,00 0,00 0,20 0,00
BCD 0,20 0,20 0,60 0,20 0,00
ABCD 0,00 0,00 0,20 0,00 0,80
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2, considerando A, B, C e D efeitos
principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 98,60 96,8 88,4 67,6 44,2
B 98,00 95,0 87,8 69,8 43,8
C 98,60 95,2 88,8 66,0 44,0
D 99,00 96,4 88,6 67,0 44 ,0
AB 0,00 0,20 0,00 0,20 0,20
AC 0,20 0,00 0,00 0,00 0,40
AD 0,00 0,00 0,00 0,00 0,60
BC 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00
BD 0,00 0,00 0,00 0,00 0,20
CD 0,00 0,00 0,20 0,20 0,00
ABC 0,40 0,00 0,00 0,20 0,00
ABD 0,20 0,00 0,00 0,00 0,20
ACD 0,00 0,00 0,40 0,20 0,00
BCD 0,20 0,00 0,20 0,00 0,60
ABCD 0,40 0,00 0,00 0,00 0,00
Referências 43
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2, considerando A, B, C, D e AB efeitos
principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ2 2
σ
2 3
σ
2 4
σ
2 5
σ
2
A 98,6 98,2 89,8 77,5 46,8
B 99,0 97,8 89,4 78,4 49,0
C 98,6 97,8 89,8 76,8 44,8
D 99,6 97,4 90,6 79,6 48,8
AB 98,6 98,0 90,4 78,4 47,4
AC 0,40 0,20 0,00 0,00 0,20
AD 0,40 0,00 0,00 0,00 0,20
BC 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20
BD 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00
CD 0,40 0,20 0,00 0,00 0,20
ABC 0,20 0,00 0,00 0,20 0,60
ABD 0,20 0,00 0,20 0,00 0,20
ACD 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00
BCD 0,00 0,00 0,00 0,20 0,20
ABCD 0,00 0,20 0,00 0,00 0,00
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A e B como efeitos
principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 90,4 58,0 18,8 1,4 0,0
B 93,8 55,4 18,2 1,6 0,0
C 0,40 0,20 0,40 0,40 0,20
D 0,00 0,80 0,00 0,40 0,00
AB 0,00 0,60 0,00 0,60 0,20
AC 0,20 0,20 0,20 0,80 0,20
AD 0,20 0,20 0,20 0,00 0,40
BC 0,00 0,80 0,00 0,40 0,40
BD 0,20 0,00 0,60 0,40 0,20
CD 0,20 0,40 0,60 0,00 0,60
ABC 0,00 0,00 0,20 0,20 0,40
ABD 0,20 0,00 0,20 0,00 0,00
ACD 0,40 0,20 0,20 0,40 0,00
BCD 0,20 0,60 0,40 0,20 0,20
ABCD 0,40 0,40 0,20 0,20 0,60
Referências 44
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B e C como efeitos
principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 94,6 61,0 16,2 1,8 0,2
B 94,6 63,4 16,2 1,0 0,4
C 94,8 62,4 15,8 2,20,2
D 0,00 0,20 0,20 0,00 0,20
AB 0,20 0,20 0,20 0,20 0,60
AC 0,40 0,20 0,20 0,60 0,00
AD 0,00 0,00 0,00 0,00 0,20
BC 0,40 0,20 0,20 0,00 0,00
BD 0,40 0,40 0,00 0,00 0,00
CD 0,40 0,40 0,60 0,40 0,40
ABC 0,00 0,20 0,40 0,00 0,00
ABD 0,20 0,00 0,00 0,40 0,00
ACD 0,20 0,40 0,20 0,20 0,00
BCD 0,00 0,60 0,00 0,60 0,00
ABCD 0,20 0,20 0,20 0,40 0,20
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B, C e D como efeitos
principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 95,8 66,0 23,8 2,8 0,8
B 94,6 69,0 20,6 1,6 0,4
C 95,2 68,0 22,8 2,0 0,0
D 94,6 67,8 21,4 2,0 0,2
AB 0,00 0,20 0,40 0,20 0,00
AC 0,00 0,00 0,00 0,00 0,20
AD 0,00 0,00 0,00 0,00 0,20
BC 0,00 0,20 0,40 0,40 0,60
BD 0,00 0,20 0,40 0,00 0,00
CD 0,20 0,00 0,80 0,20 0,40
ABC 0,20 0,00 0,20 0,00 0,20
ABD 0,20 0,00 0,20 0,20 0,20
ACD 0,20 0,20 0,20 0,40 0,20
BCD 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00
ABCD 0,00 0,20 0,40 0,40 0,20
Referências 45
Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B, C, D e AB como
efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.
Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ
A 96,6 78,6 24,2 4,6 0,2
B 98,0 77,8 25,8 4,4 0,2
C 97,2 78,4 25,8 3,2 0,0
D 97,0 78,2 27,6 4,4 0,2
AB 97,4 78,8 24,2 3,8 0,2
AC 0,20 0,00 0,00 0,60 0,00
AD 0,00 0,00 0,20 0,00 0,20
BC 0,20 0,20 0,00 0,00 0,00
BD 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
CD 0,00 0,40 0,20 0,20 0,40
ABC 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00
ABD 0,00 0,00 0,20 0,00 0,20
ACD 0,00 0,00 0,00 0,40 0,20
BCD 0,00 0,40 0,00 0,40 0,00
ABCD 0,00 0,00 0,20 0,20 0,20
	Folha de rosto
	Folha de aprovação
	Dedicatória
	Agradecimentos
	Epígrafe
	Resumo
	Abstract
	Lista de ilustrações
	Lista de tabelas
	Lista de tabelas
	Sumário
	Introdução
	Motivação
	Objetivo
	Revisão Conceitual
	Entropia Máxima Generalizada
	Método de Lenth
	Variância do efeito
	Simulação
	Software R
	SAS
	Cenários da Simulação
	Critérios para a avaliação do desempenho
	Resultados
	Considerações Finais
	Referências