5)Lista 4 - Aplicações de derivadas e integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 2018.1
4a LISTA DE EXERCI´CIOS
1 - Seja f(x) = x3 − 3x2 + 3.
(a) Encontre, caso exista, os ma´ximos e mı´nimos (local e absoluto) de f .
(b) Determine os valore ma´ximos e mı´nimos de f em [−2, 3]. Em que pontos esses
valores sa˜o atingidos?
2 - Determine os pontos de ma´ximos e mı´nimos (local e global) das func¸o˜es:
(a) f(x) =
x
1 + x2
(b) f(x) = xe−2x
(c) f(x) = sen(x) + cos(x), x ∈ [0, pi] (d) f(x) = 3√x3 − x2
3 - Determine os extremos relativos, os intervalos de crescimento e decrescimento das
seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 19
(b) f(x) = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x
4 - Determine dois nu´meros positivos cuja a soma seja 4 e tal que a soma do cubo do
menor com o quadrado do maior seja mı´nima.
5 - Qual e´ o paralelep´ıpedo retangular de base quadrada e volume 8 m3 que tem a
menor a´rea total?
1
6 - Uma caixa em forma de paralelep´ıpedo deve ter comprimento igual ao dobro da
largura. Se a soma da altura com a largura deve ser 48cm, calcule seus valores para
que o volume seja ma´ximo.
7 - Quais devem ser as dimenso˜es de uma pastagem retangular de 10.000 m2 de a´rea,
feita a` margem de um rio reto para que o gasto com a cerca seja o menor poss´ıvel
sabendo que na˜o e´ necessa´rio fazer cerca ao longo do rio?
8 - Utilizando 50 metros de cerca (reta) ja´ existente, deseja-se cerca um retaˆngulo de
10.000 metros quadrados de a´rea. Quais devem ser as dimenso˜es desse retaˆngulo
para minimizar a cerca a ser feita?
9 - Determinar a a´rea da maior pastagem retangular que pode ser cercada fazendo 600
metros de cerca e utilizando 100 metros de cerca (reta) ja´ existente.
10 - Suponha que a a´rea total de um tambor cil´ındrico sem tampa deve ser 3pi m2.
Determine o raio da base e a altura do mesmo para que sua capacidade seja o maior
poss´ıvel. Qual e´ essa capacidade?
11 - Encontre o ponto sobre a para´bola y2 = 2x mais pro´ximo de (1, 4).
12 - Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito em um semic´ırculo de raio
r.
13 - Se 1.200 cm2 de um material estiver dispon´ıvel para fazer uma caixa com uma base
quadrada e sem tampa. Encontre o maior volume poss´ıvel para a caixa.
14 - Encontre o ponto sobre a reta y = 2x+ 3 que esta´ mais pro´ximo da origem.
15 - Encontre os pontos da elipse 4x2 + y2 = 4 que esta˜o mais distantes do ponto (1, 0).
2
16 - Um fazendeiro quer cercar uma a´rea de 15.000 m2 em um campo retangular e enta˜o
dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retaˆngulo. Como fazer
isso de forma que minimize os custos da cerca?
17 - Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo com a maior a´rea que pode ser inscrito em um
c´ırculo de raio r.
18 - Calcule os limites:
(a) lim
x→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
(b) lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1
(c) lim
x→0+
xe1/x
(d) lim
x→+∞
e3x
x2
(e) lim
x→+∞
ln(x)
e3x (f) lim
x→+∞
(x2 + 1)
1
ln(x)
(g) lim
x→0+
(
1
x
+ ln(x)
)
(h) lim
x→+∞
x3e−4x
(i) lim
x→0+
sen(x) ln(x) (j) lim
x→0+
(sen(x))x
(k) lim
x→0
xsen(x) (l) lim
x→0
ex − cosx
x
19 - Use a regra de L’Hospital para calcular os limites:
(a) lim
x→0
ex − x− 1
x2
(b) lim
x→0
arcsen(x)
x
(c) lim
x→0
cotg(2x)sen(6x)
(d) lim
x→+∞
xtg
(
1
x
)
(e) lim
x→0
(cosecx− cotgx)
(f) lim
x→0
(
cotgx− 1
x
)
3
(g) lim
x→0+
(
1
x
− 1
ex − 1
)
(h) lim
x→+∞
(x− lnx)
(i) lim
x→0
x
√
x (j) lim
x→+∞
x1/x
(k) lim
x→1+
x1/(1−x) (l) lim
x→0
(1− 2x)1/x
(m) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)3x (n) lim
x→0+
(tg(2x))x
(o) lim
x→+∞
lnx
3
√
x
(p) lim
x→0+
(1 + sen(4x))cotgx
(q) lim
x→+0
(
1
x2
− 1
senx
)
(r) lim
x→0+
xr lnx, com r > 0
(s) lim
x→pi/2−
(cosx)cosx (t) lim
x→+∞
(ex + x)1/x
20 - Esboce o gra´fico.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x
(b) f(x) = x3 − x2 + 1
(c) f(x) =
x
x+ 1 (d) f(x) =
x− 1
x2
(e) f(x) = e−x
2 (f) f(x) = x4 − 2x2
(g) f(x) =
x2 − x+ 1
x2
(h) f(x) = xe−3x
21 - Calcule:
(a)
∫ 1
0
(x+ 3)dx
(b)
∫ 4
0
1
2
dx
(c)
∫ 1
−2
(x2 − 1)dx (d)
∫ 3
1
1
x3
dx
4
(e)
∫ 1
−1
5dx (f)
∫ 1
0
(5x3 − 1
2
)dx
(g)
∫ −1
−2
(
1
x2
+ x)dx (h)
∫ 4
0
√
xdx
(i)
∫ 4
1
1√
x
dx (j)
∫ 8
0
3
√
xdx
(k)
∫ 4
1
1 + x
x3
dx (l)
∫ 1
0
(x− 3)2dx
(m)
∫ 2
1
(
1 + 3x2
x
)dx (n)
∫ 0
−pi
sen(3x)dx
(o)
∫ pi/4
0
senx dx (p)
∫ 0
−1
e−2xdx
(q)
∫ pi/3
0
(3 + cos(3x))dx (r)
∫ pi/2
0
cos2 x dx
(s)
∫ pi/2
0
sen2x dx (t)
∫ pi/4
0
sec2 xdx
22 - Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a a´rea:
(a) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo
gra´fico de y = x3.
(b) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gra´fico
de y =
√
x.
(c) A e´ o conjunto de todos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0.
(d) A e´ o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ 4− x2.
(e) A e´ o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ | senx|, com 0 ≤ x ≤ 2pi.
5
(f) A e´ a regia˜o do plano compreendida entre o eixo 0x e o gra´fico de y = x
2 − x,
com 0 ≤ x ≤ 2.
(g) A e´ o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gra´fico de y = 3−2x−x2,
com −1 ≤ x ≤ 2.
(h) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo
gra´fico de y = x2 + 2x+ 5.
(i) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = pi, y = 0 e pelo gra´fico
de y = cosx.
(j) A e´ o conjunto de todos (x, y) tais que x ≥ 0 e x3 ≤ y ≤ x.
(k) A e´ o conjunto do plano limitado pela reta y = x, pelo gra´fico de y = x3, com
−1 ≤ x ≤ 1.
(l) A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ 3}.
(m) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x =
pi
2
e pelos gra´ficos de
y = senx e y = cosx.
(n) A e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 + 1 ≤ y ≤ x+ 1.
(o) A e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ x+ 1.
(p) A e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x ≥ 0 e −x ≤ y ≤ x− x2.
23 - Calcule:
(a)
∫
(3x− 2)3dx (b)
∫ √
3x− 2dx
(c)
∫
1
(3x− 2)2dx (d)
∫
1
3x− 2dx
(e)
∫
xsen(x2)dx (f)
∫
xex
2
dx
6
(g)
∫
x2ex
3
dx (h)
∫
x3 cos(x4)dx
(i)
∫
cos3 xsenx dx (j)
∫
sen5x cosxdx
(k)
∫
2
x+ 3
dx (l)
∫
5
4x+ 3
dx
(m)
∫
x
1 + 4x2
dx (n)
∫
3x
5 + 6x2
dx
(o)
∫
x
(1 + 4x2)2
dx (p)
∫
x
√
1 + 3x2dx
(q)
∫
ex
√
1 + exdx (r)
∫
senx
cos2 x
dx
24 - Calcule:
(a)
∫
(x2 − 5x)ex dx (b)
∫
3 cosx√
1 + 3senx
dx
(c)
∫ pi/3
pi/4
sec2 x
tgx
dx (d)
∫
dx
ex + e−x
(e)
∫
dx
(1 + x)
√
x (f)
∫
e
√
x
√
x
dx
(g)
∫ epi/3
1
dx
x cos(ln(x))
(h)
∫
9
1 + 9u2
du
(i)
∫
3x+1 dx (j)
∫
2lnx
x
dx
(k)
∫
4
1 + (2x+ 1)2
dx (l)
∫
lnx
x+ 4x ln2 x
dx
7
Gabarito
1. (a) 0 e´ ponto de ma´ximo local e 2 e´ ponto de mı´nimo local.
(b) f(−2) = −17 e valor de mı´nimo de f em [−2, 3] e f(0) = f(3) = 3 e´ valor de
ma´ximo de f em [−2, 3].
2. (a) 1 e´ ponto de ma´ximo local e −1 e´ ponto de mı´nimo local.
(b) −2 e´ ponto de ma´ximo global.
(c)
pi
4
e´ ponto de ma´ximo global e pi e´ ponto de mı´nimo global.
(d) 0 e´ ponto de ma´ximo local e
2
3
e´ ponto de mı´nimo local.
3. (a) f cresce par x ∈ (−∞,−1) ∪ (3,+∞) e f decresce para x ∈ (−1, 3).
Pontos cr´ıticos: −1 e 3. Ma´ximo local: −1. Mı´nimo local: 3.
(b) f cresce par x ∈ (−2, 1) ∪ (2,+∞) e f decresce para x ∈ (−∞,−2) ∪ (1, 2).
Pontos cr´ıticos: −2, 1 e 2. Ma´ximo local:1. Mı´nimo local: −2 e 2.
4.
4
3
e
8
3
. 5. cubo de aresta 2. 6. largura: 32, comprimento: 64 e altura: 16.
7. 50
√
2 e 100
√
2. 8. um quadrado de 100 m de lado. 9. 30.625 m2.
10. 1, 1 e pim3. 11. (2, 2) 12. r2 13. 4.000cm3 14.
(
−6
5
,
3
5
)
15.
(
−1
3
,
4
3
√
2
)
e
(
−1
3
,−4
3
√
2
)
16. 150m e 100m
17. Um quadrado de lado r
√
2.
18. (a) 2 (b)
99
10
(c) +∞ (d) +∞ (e) +∞ (f) e2 (g) +∞ (h) 0
(i) 0 (j) 1 (k) 1 (l) 1.
19. (a) 1/2 (b) 1 (c) 3 (d) 1 (e) 0 (f) 0 (g) 1/2 (h) ∞ (i) 1
8
(j) 1 (k) 1/e (l) e−2 (m) e6 (n) 1 (o) 0 (p) e4 (q) ∞ (r) 0 (s) 1
(t) e
21. (a)
7
2
(b) 2 (c) 0 (d)
4
9
(e) 10 (f)
3
4
(g) −1 (h) 16
3
(i) 2 (j) 12
(k)
39
32
(l)
19
3
(m) ln 2 +
9
2
(n) −2
3
(o)
2−√2
2
(p)
1
2
(e2 − 1) (q) pi
(r)
pi
4
(s)
pi
4
(t) 1
22. (a) 20 (b)
14
3
(c)
4
3
(d)
32
3
(e) 4 (f) 1 (g)
23
3
(h) 21 (i) 2
(j)
1
4
(k)
1
2
(l)
7
3
(m) 2(
√
2− 1) (n) 1
6
(o)
9
2
(p)
4
3
23. (a)
(3x− 2)4
12
+ k (b)
2
9
√
(3x− 2)3 + k (c) − 1
3(3x− 2)2 + k
(d)
1
3
ln |3x−2|+k (e) −1
2
cosx2+k (f)
1
2
ex
2
+k (g)
1
3
ex
3
+k (h)
1
4
sen(x4)+k
(i) −cos
4 x
4
+ k (j)
sen6x
6
+ k (k) 2 ln |x+ 3|+ k (l) 5
4
ln |4x+ 3|+ k
(m)
1
8
ln(1 + 4x2) + k (n)
1
4
ln(5 + 6x2) + k (o) − 1
8(1 + 4x2)
+ k
(p)
1
9
√
(1 + 3x2)3 + k (q)
2
3
√
(1 + ex)3 + k (r)
1
cosx
+ k
24. a) (x2 − 7x+ 7)ex + k b) 2√1 + 3senx+ k c) 1
2
ln 3 d) arctg(ex) + k
9
e) 2arctg
√
x+ k f) 2e
√
x + k g) ln(2 +
√
3) h) 3arctg(3u) + k i)
3x+1
3
+ k
j)
2lnx
ln 2
+ k k) 2arctg(2x+ 1) + k l)
1
8
ln |1 + 4 ln2 x|+ k
10