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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I — FAENG
5a LISTA DE EXERCI´CIOS – 2014
Exerc´ıcios sobre reta tangente e reta normal
(1) Determinar as equac¸o˜es das retas tangente e normal a` curva y = f(x) = x2 + 2x + 9 no ponto
P = (−2, 3). Resp. t : y = −2x− 1 e n : y = x
2
+ 4.
(2) Determinar as equac¸o˜es da reta tangente e da reta normal ao gra´fico de f(x) =
√
x2 − 2x+ 9 no ponto
de abscissa x0 = 2. Resp. t : y =
x
3
+ 7
3
e n : y = −3x+ 9.
(3) Determine a reta tangente ao gra´fico de f(x) =
x
x+ 1
que e´ paralela a` reta
y = x
4
+ 2. Resp. Ha´ duas retas nestas condic¸o˜es: t1 : y =
x
4
+ 9
4
e t2 : y =
x
4
− 5
12
.
Obs. Lembre–se: r//s⇐⇒ (mr = ms ou ambas sa˜o verticais.)
(4) Determine a reta tangente ao gra´fico de f(x) = (x− 3)√x que e´ perpendicular a` reta
9y + 4x − 117 = 0. Resp. 4y − 9x + 7 = 0. Obs. Lembre–se: se r ou s na˜o e´ horizontal, enta˜o
r ⊥ s⇐⇒ mr ·ms = −1.
(5) Seja f(x) = x2 + x+ 1. Pede–se:
(a) a reta tangente e a reta normal ao gra´fico de f em x0 = 4.
Resp. t : y = 9x− 15 e n : y = 193−x
9
(b) A reta tangente e normal ao gra´fico de f em x0 = − 12 . Resp. t : y = 34 e n : x = − 12
(c) A reta tangente ao gra´fico de f que e´ paralela a` reta y + x− 7 = 0. Resp. t : y = −x
(d) A reta tangente ao gra´fico de f que e´ perpendicular a` reta x+ 7y − 2 = 0.
Resp. t : y = 7x− 8
(e) A reta tangente ao gra´fico de f que conte´m a origem (0, 0).
Resp. t1 : y = −x t2 : y = −3x
Problemas de taxa de variac¸a˜o.
(1) Uma ana´lise de uma linha de montagem mostra que a produc¸a˜o dia´ria e´ dada por P (t) = 60t+t2− 1
12
t3
unidades. Apo´s t horas de trabalho, 0 ≤ t ≤ 8. Qual a raza˜o da produc¸a˜o, em unidades por hora,
quando t = 2? Resp. 63 unidades/hora.
(2) Um balonista deixa cair, de um bala˜o, um saco de areia, de 160m acima do solo. Apo´s t segundos, os
saco de areia esta´ a 160− 4,9t2 metros do solo.
(a) Ache a velocidade do saco de areia em t = 1s . Resp −9,8m/s
(b) Com que velocidade o saco de areia atinge o solo? Resp −56m/s
(3) Um bala˜o metereolo´gico e´ solto e sobe verticalmente de modo que sua distaˆncia S(t) do solo durante
so 10 primeiros segundos de voˆo e´ dada por S(t) = 6 + 2t + t2, com S em metros e t em segundos.
Determine a velocidade do bala˜o quando:
1
(a) t = 1, t = 4 e t = 8. Resp. 4m/s , 10m/s e 18m/s , respectivamente.
(b) no instante em que o bala˜o esta´ a 50 metros do solo. Resp. 13,4m/s
(4) O diaˆmetro de uma mancha de o´leo circular e plana aumenta uniformemente a` raza˜o de 1cm/min.
Determinar a variac¸a˜o da a´rea da mancha quando o raio medir 2cm. Resp. 2picm2/min.
(5) Retira–se ar de um bala˜o esfe´rico a uma taxa de 72cm3/s . Determinar a variac¸a˜o do raio quando o
diaˆmetro for de 36cm. Resp. − 1
18pi
cm/s . Obs. Volume de uma esfera de raio r e´ V = 4
3
pir3.
(6) Uma bola de neve esfe´rica esta´ se derretendo uniformemente de modo que seu volume diminui a uma
taxa de 32cm3/min. Determinar a variac¸a˜o do raio e da a´rea da superf´ıcie (S = 4pir2) quando o raio
medir 16cm. Resp. − 1
16pi
cm2/min e −8cm2/min, respectivamente.
(7) Os lados de um triaˆngulo equila´tero se expadem uniformemente a` raza˜o de 1mm/min. Determinar a
raza˜o segundo a qual a a´rea do triaˆngulo varia quando o lado medir 1,2m. Resp. 600
√
3mm2/min.
(8) Um atleta percorre uma pista de 100m de modo que a distaˆncia S(t) percorrida em t segundos e´ dada
por S(t) = 1
5
t2 + 8t, com S medido em metros. Determine a velocidade do atleta: (a) no in´ıcio da
corrida, (b) quando t = 5s, (c) na reta final. Resp. (a) 8m/s , (b) 10m/s , (c) 12m/s .
(9) Um bala˜o esfe´rico esta´ sendo inflado. Determine a taxa na qual seu volume varia em relac¸a˜o ao raio
quando r = 3m. Resp. 36pim3/m
(10) Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo uniformemente a` raza˜o
constante, passando de 30cm para 20cm em 45 minutos. Qual a variac¸a˜o do volume quando o raio
esta´ com 25cm? Resp. − 5000pi
9
cm3/min
(11) Um reservato´rio tem a forma de um cone circular reto invertido com 12m de altura e raio da base igual
a 4m. Injeta–se a´gua a uma taxa de 0,1m3/min. Determinar a raza˜o segundo a qual o n´ıvel de a´gua
esta se elevando quando a altura da a´gua e´ de 8m. Resp. 9
640pi
m/min.
(12) Uma escada de 6m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada comec¸a
a deslizar horizontalmente, a` raza˜o constante de 0, 6m/s , com que velocidade o topo da escada percorre
a parede, quando esta´ a 4m do solo? Resp. −0, 3
√
5m/s .
(13) A´gua e´ colocada para ferver num frasco cil´ındrico reto de raio 10cm e altura 12cm. No in´ıcio do
processo a a´gua ocupa metade da capacidade do frasco e evapora numa raza˜o constante de 2ml/s.
Determine:
(a) o tempo necessa´rio para completar a evaporac¸a˜o. Resp. 300pis
(b) a raza˜o segundo a qual a altura do n´ıvel de a´gua do frasco varia em qualquer instante do processo.
Resp. − 1
50pi
ml/s
(14) Uma mancha de o´leo se alastra sempre circularmente. Acha a taxa na qual a a´rea da superf´ıcie da
mancha varia em relac¸a˜o ao raio do c´ırculo quando r = 200m. Resp 400pim2/m
(15) Duas estradas se cruzam perpendicularmente em O. No instante t = 0, o carro A se encontra numa
das estradas dirigindo–se para o entroncamento a 80km/h e esta´ a 248km do mesmo, e o carro B, na
outra estrada, se encontra a 10km do entroncamento, afastando–se a 50km/h. Apo´s exatamente 96
minutos, determinar a raza˜o segundo a qual um carro se aproxima ou afasta do outro. Resp. −34km/h.
(16) Os lados de um quadrado se expandem uniformemente a` raza˜o de 1cm/min. Determinar a taxa se-
gundo a qual a a´rea do quadradao varia quando o lado medir 1m. Resp. 200cm2/min
(17) Uma barra de 5m de comprimento tem suas extremidades deslizando sobre os suportes de um aˆngulo
reto de origem O. Uma das extremidades se afasta da origem a` raza˜o de 6m/h. Determinar como varia
a outra extremidade quando a que esta´ se afastando se encontra a 4m da origem. Resp. −8m/h.
2
(18) As faces de um cubo esta˜o se expandindo uniformemente a` raza˜o de 2m2/min. Determine a raza˜o se-
gundo a qual: (i) o volume do cubo esta´ variando quando a aresta( =lado) medir 1m Resp. 6m3/min;
(ii) as arestas esta˜o variando quando estas tiverem o comprimento de 1m. Resp. 1m/min.
(19) Joga–se predra em uma piscina, ocasionadno ondas circulares conceˆntricas. Se apo´s t segundos, o raio
de uma das ondas e´ 40t cent´ımetros, ache a taxa de variac¸a˜o, em relac¸a˜o a t, da a´rea do c´ırculo causado
pela onda quando t = 1, t = 2 e t = 3. Resp. 3200picm2/s , 6400picm2/s , 9600picm2/s .
(20) No instante t = 0 a distaˆnca entre os navios A e B e´ de 200km e eles esta˜o na linha do equador. O navio
A navega para o norte a uma velocidade de 40km/h e o navio B navega para o sul a uma velocidade
de 30 km/h. Considerando que as trajeto´rias sa˜o retas paralelas, determinar qua˜o ra´pido esta´ variando
a distaˆncia entre eles exatamente apo´s 10 horas. Resp. 490
√
53
53
km/h.
(21) Um avia˜o voando em linha reta a 300km/h e subindo numa inclinac¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o ao solo, passa,
no instante t = 0, sobre uma estac¸a˜o de rastreamento no solo a uma altitude de 1km. Determinar a
raza˜o segundo a qual o avia˜o se afasta da estac¸a˜o apo´s exatamente 5 minutos. Resp. 2550
√
651
217
km/h
Exerc´ıcios sobre crescimento/decrescimento de uma func¸a˜o
Encontre o domı´nio, os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos de ma´ximo/mı´nimo local de:
(i) f(x) = x4 − 8x2 (ii) f(x) = 2x
x2 + 1
(iii) f(x) = (x− 3)√x
Respostas
(a) f e´ decrescente em ]−∞,−1[ e e´ crescente em ]1,+∞[. x = −1 e´ ponto de mı´nimo local (e global) de f .
(b) f e´ decrescente em ]0, 3/2[ e e´ crescente em ]3/2,+∞[. x = 3/2 e´ ponto de mı´nimo local de f . Obs.
x = 0 pode ser considerado ponto de ma´ximo local de f .
(c) f e´ decrescenteem ]−∞,−1[∪ ]1,+∞[ e e´ crescente em ]−1, 1[. x = −1 e´ ponto de mı´nimo local de f
e x = 1 e´ ponto de ma´ximo local de f .
Problemas de otimizac¸a˜o
(1) Determinar dois nu´meros positivos cuja soma e´ 50 e cujo produto e´ o maior poss´ıvel.
Resp. Os dois nu´meros sa˜o iguais a 25.
(2) Determinar as dimenso˜es de um jardim retangular com 100m2 de a´rea, de modo que a quantidade de
tela para cerca´–lo seja a menor poss´ıvel. Resp. 10m × 10m.
(3) De uma folha quadrada de cartolina de 24cm retira–se quadrados iguais de cada canto da folha e, pelo
processo da dobradura, monta–se uma caixa sem tampa. Determinar a medida do lado dos quadrados
retirados de modo que o volume da caixa seja ma´ximo. Resp. 10cm.
(4) Uma caixa aberta de base quadrada deve conter 32cm3. Determine as dimenso˜es da caixa tal que o
material gasto na sua construc¸a˜o seja o mı´nimo poss´ıvel. Resp. 4cm × 4cm × 2cm.
(5) Um fabricante ao comprar caixas em forma de paralelep´ıpedo exige que o comprimento seja de 2m e
o volume de 3m3. Quais devem ser as dimenso˜es da caixa para que se gaste o mı´nimo de material na
sua construc¸a˜o? Resp. 2m ×
√
6
2
m ×
√
6
2
m.
3
(6) Determinar as dimenso˜es do cilindro reto de maior volume que pode ser inscrito num cone reto com
raio da base R = 3m e altura H = 9m.
(7) Uma indu´stria de alimentos precisa de latas em forma cil´ındrica com capacidade de 128picm3. Calcule
as dimenso˜es da lata para que o gasto de material em sua confecc¸a˜o seja o menor poss´ıvel. Resp. Raio
da lata r = 4cm e altura h = 8cm.
(8) Achar as dimenso˜es de um retaˆngulo de a´rea ma´xima com um dos lados
sobre a reta y = 3 e os outros dois ve´rtices sobre a para´bola y = x
2
16
.
Resp. Base b = 8 e altura h = 2.
x
y
y=3
0
y=x /162
(9) Determine as dimenso˜es de um retaˆngulo de a´rea ma´xima que tem um lado sobre o eixo x e os outros
dois ve´rtices sobre o semi–c´ırculo y =
√
8− x2. Resp. b = 4 e h = 2.
(10) Uma folha retangular de papelaˆo com 2m2 de a´rea sera´ utilizada pra confeccionar um cartaz. As mar-
gens do topo e da base do cartaz devem ter 25cm e as margens laterais 15cm. Determinar as dimenso˜es
da folha de modo que a a´rea impressa seja ma´xima. Resp. x =
√
6/5m e y = 2
√
5/6m.
(11) Desejando–se construir um canal com a secc¸a˜o transversal S indicada
na figura, qual e´ o vlor de α para que a a´rea S seja ma´xima.
Resp. α = pi/3 = (ou α = 60◦).
α α
S
k
kk
(12) De uma longa folha retangular de metal de 30cm de largura deve–se fazer uma calha dobrando as
bordas perpendicularmente a` folha. Quantos cent´ımetros devem ser dobrados de cada lado de modo
que a calha tenha capacidade ma´xima? Resp. 7,5cm
(13) Um homem esta´ num barco em P a 5km de A e deseja chagar a B a 6km de A
no menor tempo poss´ıvel. Determinar o caminho sabendo que ele pode
remar a 2km/h e andar a 4km/h.
Resp. O caminho PCB e´ tal que x = 5
3
√
3 ≈ 2, 89km.
B
P
x
CA
(14) a`s 9 horas um navio B encontra–se a 65km a leste do navio A. O navio B navega rumo a oeste a
10km/h, enquanto o navio A navega rumo a o sul a 15km/h. Se eles continuarem nos respectivos ru-
mos, qual sera´ a menor distaˆncia que os separara´ e a que horas isto acontecera´? (Despreze a curvatura
da terra, isto e´, suponha que as trajeto´rias dos navios sa˜o retas num plano). Resp. d =
√
2925 km a`s
11 horas.
(15) Determinar dois nu´meros positivos cuja soma e´ 50 e cujo produto do quadrado de um deles pelo outro
e´ o maior poss´ıvel. Resp. Os nu´meros sa˜o 100/3 e 50/3.
(16) Uma barra de 16m de comprimento deve ser cortada em treˆs partes para construir uma trave. Deter-
mine as dimenso˜es da trave de a´rea ma´xima assim constru´ıda. Resp. altura igual a 4m e comprimento
igual a 8m.
(17) Determine o per´ımetro ma´ximo poss´ıvel de um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa 5cm.
Resp. 5(
√
2 + 1)cm.
(18) Determinar a a´rea ma´xima poss´ıvel de um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa 6cm.
Resp. 9cm2.
(19) Na confecc¸a˜o de uma caixa reta, de base quadrada, sem tampa e de espessura desprez´ıvel, o custo do
material usado na base e´ de 3 centavos por cm2 e o custo do material usado nas laterais e´ de 2 centavos
por cm2. Se a caixa deve conter 384cm3, determinar as dimenso˜es da caixa de modo que o custo seja
mı´nimo. Resp. 8cm × 8cm × 6cm.
4
(20) Determinar a equac¸a˜o da reta que passa por M = (2, 3) e que forma com os eixos coordenados no
primeiro quadrante, um triaˆngulo de a´rea mı´nima. Resp. y = − 3
2
x+ 6.
(21) Num trecho de rio de largura igual a 20m, com margens retas e
paralelas, um atleta parte de um ponto A em uma das margens em
direc¸a˜o a um ponto B na margem oposta e distando 20
√
26m de A.
Ao atleta e´ permitido nadar (o que ele faz a uma velocidade ma´xima
de 30m/min) e andar (o que ele faz a uma velocidade ma´xima de 50m/min). Determine o tempo
mı´nimo necessa´rio para o atleta atingir o ponto B. Resp. 2 minutos e 32 segundos.
A
B
20 26 m20 m
5