AULA 07 - Probabilidade - Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes Revisão)

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PROFESSOR: KLEBER LIMA
Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade 
(Revisão da aula anterior)
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
AULA -07
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBIÇÃO 
DE PROBABILIDADE (Revisão da 
aula anterior)
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AULA - 07
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Eventos: É um subconjunto do espaço amostral de um experimento
aleatório, será representado letras maiúsculas (A, B, C, ...).
✓ A União de dois eventos A e B, denotada por (A∪B), representa a
ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B;
✓ A Intersecção do evento A com B, denotada por (A∩B), é a ocorrência
simultânea de A e B.
✓ Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos ou
mutuamente excludentes quando não têm elementos em comum. Isto é
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
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Eventos: É um subconjunto do espaço amostral de um experimento
aleatório, será representado letras maiúsculas (A, B, C, ...).
✓ Dizemos que A e B são complementares se sua união é o espaço
amostral e sua intersecção é vazia. O complementar de A será
representado por 𝐴𝐶 e temos que:
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Vamos considerar probabilidade como sendo uma função P(.) que atribui
valores numéricos aos eventos do espaço amostral, conforme definição a
seguir:
Definição: Uma função P(.) é denominada probabilidade se
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Vamos considerar probabilidade como sendo uma função P(.) que atribui
valores numéricos aos eventos do espaço amostral, conforme denição a
seguir:
Definição: Uma função P(.) é denominada probabilidade se
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Vamos considerar probabilidade como sendo uma função P(.) que atribui
valores numéricos aos eventos do espaço amostral, conforme denição a
seguir:
Definição: Uma função P(.) é denominada probabilidade se
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Abordaremos apenas o conceito de probabilidade relacionada com a
ocorrência de um evento em relação a todas as possibilidades possíveis. Se
o evento A pode ocorrer de n(A) maneiras diferentes num total de n(Ω)
modos possíveis, então a probabilidade de ocorrência de A é definida por
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Exemplo (1) 
Uma fábrica produz determinado artigo. Da linha de produção são retirados
três artigos, e cada um é classificado como bom (B) ou defeituoso (D) de
acordo com a ordem de seleção. Um espaço amostral deste experimento é:
Ω = {BBB, BBD, BDB, BDD, DBB, DBD, DDB, DDD} 
Seja A o evento que consiste em obter exatamente dois artigos defeituosos,
então:
A = {BDD, DBD, DDB} 
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Exemplo (2) 
Considere o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e
medir seu “tempo de vida” antes de queimar. Um espaço amostral
conveniente é:
Ω = 𝑡 ∈ 𝑅: 𝑡 > 0
Se A indicar o evento “o tempo de vida da lâmpada é inferior a 20 horas”,
então:
𝐴 = 𝑡: 0 ≤ 𝑡 ≤ 20
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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As operações da união, intersecção e complementação entre eventos
possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos:
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Observação (1)
Fórmulas para o cálculo de probabilidades:
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Observação (1)
Fórmulas para o cálculo de probabilidades:
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Observação (1)
Fórmulas para o cálculo de probabilidades:
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Observação (1)
Fórmulas para o cálculo de probabilidades:
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
A avaliação das chances de que um evento ocorra pode ser muito diferente,
dependendo da informação que temos. Uma estimativa da probabilidade de
sua casa ruir amanhã seria claramente muito maior se um terremoto
violento estiver sendo esperado do que se não houvesse qualquer razão
para esperar uma atividade sísmica.
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B) > 0, definimos a probabilidade condicional
de A dado B, P(A\B), como sendo:
Probabilidade Condicional
Se quisermos definir a probabilidade condicional de B dado A, P(B\A), sendo P(A) > 0,
temos:
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Exemplo 3
A seguir temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de mestrado do
Departamento de Ciências Exatas de uma grande universidade no ano de 2005.
Selecionando um aluno aleatoriamente, sabe-se que ele está matriculado em Estatística.
Calcule a probabilidade deste aluno ser do sexo feminino.
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Exemplo 3
A seguir temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de mestrado do
Departamento de Ciências Exatas de uma grande universidade no ano de 2005.
Selecionando um aluno aleatoriamente, sabe-se que ele está matriculado em Estatística.
Calcule a probabilidade deste aluno ser do sexo feminino.
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
A definição de probabilidade condicional pode ser reescrita para fornecer uma expressão
geral pra a probabilidade da intersecção de dois eventos:
Regra da Multiplicação:
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Exemplo 4
A probabilidade de que uma bateria de automóvel, sujeita a alta temperatura no
compartimento do motor, sofra baixa corrente de carga é 0,7. A probabilidade da bateria
estar sujeita a alta temperatura no compartimento do motor é 0,05. Faça A denotar o
evento em que a bateria sofra baixa corrente de carga e faça B denotar o evento em que a
bateria esteja sujeita a alta temperatura no compartimento do motor. A probabilidade da
bateria estar sujeita a baixa corrente de carga e a alta temperatura no compartimento do
motor é: P(A ∩ B) = P(A\B) · P(B) = 0, 7 · 0, 05 = 0, 035.
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Dois eventos A e B são independentes, se e somente se:
Independência:
Então têm-se que: 
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Vejamos agora o conceito de independência pra três eventos: dizemos que os eventos A, 
B e C são independentes se, e somente se:
Independência:
Se apenas as três primeiras relações estiverem
satisfeitas, dizemos que os eventos A, B, C são
mutuamente independentes. É possível que
três eventos sejam mutuamente
independentes, mas não sejam
completamente independentes.
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Frequentemente, começamos a análise com um cálculo de probabilidade inicial ou prévia
para eventos de interesse específico.
Teorema de Bayes:
Então, a partir de fontes tais como uma amostra, um relatório especial ou um teste de
produto, obtemos informação adicional sobre os eventos.
Dada essa nova informação, atualizamosos valores prévios da probabilidade calculando
as probabilidades adicionais, denotadas probabilidades posteriores.
O Teorema de Bayes fornece um meio de fazer esses cálculos de probabilidade.
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Teorema 1 
(Teorema de Bayes) Suponha que 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 são eventos mutuamente exclusivos cuja
união é o espaço amostral Ω. Então, se A é um evento qualquer, temos que:
Teorema de Bayes:
Isto nos permite encontrar as probabilidades dos vários eventos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 que podem 
ser a causa de ocorrência de A. 
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Da definição de probabilidade condicional temos:
Teorema de Bayes: (Demonstração)
O numerador desta expressão pode ser reescrito pela regra do produto, condicionado à
𝐴𝑘, isto é,
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Teorema de Bayes: (Demonstração)
Note que:
Então:
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Exemplo 5
Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de
treinamento durante uma semana. No final do curso, eles são submetidos a uma prova e
25% são classificados como bons (B), 50% como médios (M) e os restantes 25% como
fracos (F). Para facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um
teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos. Para isso,
gostaria de conhecer qual é a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser
considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano, antes do início do curso, os
candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado
(R). No final do curso, obtiveram-se as seguintes probabilidades condicionais:
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Dados
𝑃 𝐵 = 0,25; 𝑃 𝑀 = 0,5; 𝑃 𝐹 = 0,25
Solução:
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Dados
𝑃 𝐵 = 0,25; 𝑃 𝑀 = 0,5; 𝑃 𝐹 = 0,25
Solução:
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Probabilidade Condicional, Independência e Teorema de Bayes
Dados
𝑃 𝐵 = 0,25; 𝑃 𝑀 = 0,5; 𝑃 𝐹 = 0,25
Solução:
Então, apenas 10% dos aprovados é que seriam classificados como fracos durante o curso. 
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Exercício
1. Indentique o que está errado nas armações seguintes:
a) A probabilidade de um experimento químico ser bem sucedido é 0, 44 e a
probabilidade de falhar é 0, 53;
b) De acordo com um médico, a probabilidade de um paciente contrair gripe é 1, 2;
c) A probabilidade de dois eventos mutuamente exclusivos ocorrerem simultaneamente é
sempre igual a 1.
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Exercício
2. Os problemas de assédio sexual têm recebido muita atenção nos últimos anos. Em uma
pesquisa, 420 trabalhadores (240 dos quais homens) consideram uma simples batida no
ombro como uma forma de assédio sexual, enquanto que 580 trabalhadores (380 dos
quais homens) não consideram isso como assédio (com base nos dados de
Bruskin/Goldrin Research). Escolhido aleatoriamente um dos trabalhadores pesquisados,
determine a probabilidade de obter um homem que não considere um simples tapa no
ombro como um forma de assédio sexual.
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Exercício
3. Quatro executivos têm a responsabilidade de decidir se uma nova lial da empresa deve
ser instalada no interior de São Paulo. De acordo com a ordem de questionamento e
indicando C, para quem concorda com a nova filial e D, para quem discorda da
implantação da nova filial, faça:
a) Monte o espaço amostral; 
b) Monte o seguinte evento: pelo menos dois concordam com a nova filial e calcule sua 
probabilidade; 
c) Monte o evento complementar do item b).
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Exercício
4. (Magalhães & Lima. Noções de Probabilidade e Estatística) Dois processadores tipo A e
B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que um erro de cálculo
aconteça em um processador do tipo A é de 1/30, no tipo B, 1/80 e ambos, 1/1000. Qual
a probabilidade de que:
a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
b) Nenhum processador tenha apresentado erro?
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro?
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Exercício
5. Uma amostra de 500 famílias foi selecionada em uma grande área metropolitana para
determinar várias informações acerca do comportamento do consumidor. Entre as
questões indagadas, estava "Você gosta de comprar roupas?". De 240 homens, 136
responderam que sim. De 260 mulheres, 224 responderam que sim.
a) Represente as informações dadas anteriormente por meio de uma tabela de dupla
entrada;
b) Qual é a probabilidade de que um entrevistado, aleatoriamente selecionado,
b.1 seja um homem e não goste de comprar roupas?
b.2 seja uma mulher ou goste de comprar roupas?
b.3 não goste de comprar roupas?
b.4 goste de comprar roupa, dado que o entrevistado seja um homem?
b.5 seja uma mulher, dado que o entrevistado não goste de comprar roupas?
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Exercício
6. Em uma indústria de enlatados, as linhas de Produção I, II, III respondem por 50%, 30%,
20% da produção, respectivamente. As proporções de latas com defeito de produção nas
linhas I, II, e III são 0, 4%, 0, 6% e 1, 2%.
Qual a probabilidade de uma lata defeituosa (descoberta ao nal da inspeção do produto
acabado) provir da linha I?
7. Se P(A) = 0, 4 e P(B) = 0, 5, que se pode dizer quanto a P(A ∪ B), se A e B não são
mutuamente exclusivos?
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Exercício
8. Os trabalhadores de uma fábrica são encorajados constantemente para que se
pratique a tolerância zero a acidentes de trabalho. Os acidentes podem ocorrer devido ao
ambiente de trabalho ou a condições que não são seguras. Por outro lado, eles podem
ocorrer por descuido ou erro humano. Além disso, os turnoa de trabalho dos
funcionários, que são das 7h às 15h de trabalho (turno matutino), das 15 às 23h (turno
vespertino) e das 23 às 7h (turno noturno), podem ser outro fator de acidentes. Durante
o ano passado, ocorreram 300 acidentes. As porcentagens de acidentes para as
combinações de condições são:
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Exercício
Se um acidente reportado é selecionado aleatoriamente dentre os 300,
a) Qual é a probabilidade de que o acidente tenha ocorrido durante o turno
noturno?
b) Qual é a probabilidade de que o acidente tenha ocorrido devido a erro humano?
c) Qual é a probabilidade de que o acidente tenha ocorrido no turno vespertino ou no
turno noturno?
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Exercício
9. Um a empresa de sementes fiscalizadas vende pacotes com 20 Kg cada. As
máquinas A, B, e C enchem 25%, 35% e 40% do total produzido, respectivamente. Da
produção de cada máquina 5%, 4% e 2% respectivamente, são pacotes fora do peso
aceitável. Escolhe-se ao acaso um pacote e verifica-se que está fora do peso aceitável.
Qual a probabilidade de que o pacote tenha vindo da máquina A?
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Exercício
10. As probabilidades prévias para os eventos A1 e A2 são P(A1) = 0, 40 e P(A2) = 0,
60. Sabe-se também que P(A1 ∩ A2) = 0. Suponha que P(B\A1) = 0 e P(B\A2) = 0, 05.
a) A1 e A2 são mutuamente exclusivos? Por quê?
b) Calcule P(A1 ∩ B) e P(A2 ∩ B)
BORA?
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