Aula 4 - Função real de várias variáveis e Curva de Nível

Prévia do material em texto

1 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
 
CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
Aula 4 
FUNÇÃO REAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
e 
CURVA DE NÍVEL 
 
 
 
 
 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
2 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
Uma função 𝑓 de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado de números reais 
(𝑥, 𝑦) de um conjunto D, um único valor real denotado por 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
Uma função que relaciona um número 𝑥 a outro número 𝑓(𝑥): 
𝑥 ⟶ 𝑓(𝑥) 
Exemplo 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 
 
Função de duas variáveis relaciona dois números: 𝑥 𝑒 𝑦 a outro número 𝑓(𝑥, 𝑦). 
𝑥, 𝑦 ⟶ 𝑓(𝑥, 𝑦) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 
 
1. Considere a função dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
2𝑥+𝑦
𝑦
. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 
𝑎) 𝑓(1, 1) = 
𝑏) 𝑓(−6, 6) = 
𝑐) 𝑓(8, 9) = 
𝑑) 𝑓(0, 3) + 𝑓(5, 5) = 
𝑒) 
𝑓(0, 2)
𝑓(1, 6)
= 
 
 
2. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦 + 3𝑧𝑦 − 𝑥 + 3. Calcule aos valores de 𝑓 nos pontos: 
𝑎) 𝑓(0, 1, 0) = 
𝑏)𝑓 (−1, 2, 4) = 
𝑐) 𝑓(3, −3, 3) = 
 
 
 
3 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
DOMINIO 
Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma função de duas variáveis é uma 
correspondência que associa a cada par (𝑥, 𝑦). em D exatamente um número real, denotado por 
𝑓(𝑥, 𝑦). O conjunto D é o domínio de 𝑓. O contradomínio de 𝑓 consiste em todos os números reais 
𝑓(𝑥, 𝑦), com (𝑥, 𝑦). em D. 
 
O conjunto D é o domínio de 𝑓 (domínio de existência da função), e sua imagem o conjunto de 
valores de f, ou seja, {𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐷}. 
 
Seja 𝑓 a função dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2. Esboce o gráfico de 𝑓 e exiba os traços nos 
planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 2, 𝑧 = 4, 𝑧 = 6 𝑒 𝑧 = 8. 
 
Solução: = 𝐷(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℜ2| }. 
 
3. Determine o domínio das seguintes funções 
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑥 − 𝑦
 
 
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (𝑦 − 𝑥) 
 
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2 − 1
 
 
𝑒) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 2𝑦
 
 
𝑓) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
 
 
4 – O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua h. 𝑉(𝑟, ℎ) = 𝜋𝑟2ℎ. 
Determine o Domínio da função. 
 
4 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
𝐷(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℜ2| }. 
 
 
 
 
5 - Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,2). 
 
 
 
 
 
Gráficos de Funções de Duas Variáveis 
O gráfico de 𝑓 tem a equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Gráficos de Funções de Três Variáveis 
Uma função de três variáveis (reais) é definida analogamente, com a diferença que o domínio D é 
agora um subconjunto de ℜ3. Para cada (𝑥, 𝑦, 𝑧) em D está associado um número real 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
 
6- Por meio do software gráfico Geogebra construa as curvas de nível das funções: 
 
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 
 
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑦2 
 
 
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
CURVAS DE NÍVEL 
Projetando o traço do gráfico de 𝑓 no plano 𝑥 = 𝑘 para o plano 𝑥, 𝑦, obtemos uma curva 𝐶 de 
equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘. Se um ponto (𝑥, 𝑦, 0) se move ao longo de 𝐶, os valores 𝑓(𝑥, 𝑦) são sempre 
iguais a 𝑘. 𝐶 é chamada de curva de nível de 𝑓. 
APLICAÇÃO DE CURVA DE NÍVEL 
Curva de nível é o nome usado para designar uma linha imaginária que agrupa dois pontos que 
possuem a mesma altitude. Por meio dela são confeccionados os mapas topográficos, pois a partir da 
observação o técnico pode interpretar suas informações através de uma visão tridimensional do 
relevo. 
Uma curva de nível refere-se a curvas altimétricas ou linhas isoípsas (ligam pontos de mesma 
altitude), essa é a mais eficiente maneira de representar as irregularidades da superfície terrestre 
(relevo). 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
As linhas acima são curvas de níveis. Relevos de maiores altitudes possuem curvas de níveis mais 
próximas umas da outras, enquanto as mais distantes representam terrenos mais planos. 
A partir da visualização de uma curva de nível é possível identificar se o relevo de uma determinada 
área é acidentado, plano, montanhoso, íngreme etc. Diante dessa afirmação, percebe-se que a 
configuração das linhas é determinada pelas características do relevo da área mapeada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
Exemplo 2 
 
Representação de um perfil topográfico em curvas de nível 
 
Seja a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2. Circunferência centrada na origem de raio √𝑘 
 As curvas de nível 𝑘 = 0, 1, 4, 9 são: 
𝑘 = 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 0 ( 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (0, 0)𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 0), 
𝑘 = 1 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ( 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (0, 0)𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 1), 
𝑘 = 4 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ( 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (0, 0)𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 2), 
𝑘 = 9 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 9 ( 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (0, 0)𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 3). 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟² 
Essas curvas de nível aparecem representadas nas figuras 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
Exemplo 3 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 4𝑦, nos níveis 𝑘 = 12 𝑒 𝑘 = 24 
 
3𝑥 + 4𝑦 = 12 
𝑥 𝑦 
 
 
 
 
3𝑥 + 4𝑦 = 24 
𝑥 𝑦 
 
 
 
 
 
 
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦, nos níveis 𝐾 = 0, 𝐾 = 1 𝑒 𝐾 = −1; 
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2+𝑦2
, nos níveis 𝐾 = 1 𝑒 𝐾 = 4; 
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥2 + 4, nos níveis 𝐾 = 0 𝑒 𝐾 = 5; 
𝑒) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 − 2, nos níveis 𝐾 = 0 𝑒 𝐾 = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
STEWART, James. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo - SP: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001. 
Disponível em http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf 
acesso em 20 de março de 2020. 
 
http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf