3a-VR-atu

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Cálculo III–A 2019/1 – Prova VR
Nome: Turma:
Questão 1 2 3 4 5 Total
Pontuação
Máximo 20 20 20 20 20 100
• Por favor escrever as respostas claramente, de forma leǵıvel.
• Nas questões 1, 2, 4, e 5, respostas sem justificativas não serão consideradas.
1. Seja C a parte da curva x = z2, no plano xz, compreendida entre z = 1 e z = 2, e T a superf́ıcie obtida
girando C em torno do eixo z. Se a densidade de T no ponto (x, y, z) é ρ(x, y, z) = 1/z, encontre a
massa total de T .
2. Seja S o hemisfério x2 + y2 + z2 = 1 em que vale y ≥ 0, orientado de maneira que a normal ~n tenha
componente y positiva. Calcule o fluxo através de S do campo vetorial
~F (x, y, z) = (ye(z+1)
2
, 4, z4).
3. Seja W ⊂ R3 o sólido no primeiro octante limitado pelas superf́ıcies
z + x2 = 1 e z + y = 1.
Escreva o volume de W como uma soma de integrais triplas, preenchendo as lacunas abaixo.
Não precisa justificar.
Vol(W ) =
∫ −−−−
−−−−
∫ −−−−
−−−−
∫ −−−−
−−−−
1 dz dx dy
+
∫ −−−−
−−−−
∫ −−−−
−−−−
∫ −−−−
−−−−
1 dz dx dy.
4. Seja C ⊂ R3 curva de interseção do cilindro x2 + z2 = 4 com o plano y = 0, orientada de modo que, no
ponto (2, 0, 0), o vetor tangente aponte para cima. Calcule∫
C
~F · d~r,
onde
~F (x, y, z) =
(
yz +
−z
x2 + z2
)
~i+ xz~j +
(
xy +
x
x2 + z2
)
~k.
5. SejaW ⊂ R3 o sólido que consiste dos pontos (x, y, z) do primeiro octante que satisfazem as desigualdades
1 ≤ x2 − y2 ≤ 4, 1 ≤ xy ≤ 9, e 0 ≤ z ≤ xy.
O sólido W é uniforme de densidade ρ = 1. Calcule o momento de inércia de W em torno do eixo z.