Aula-12

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4- Método de Diferenças Finitas Aplicado 
às Equações Diferenciais Parciais. 
4.1- Aproximação de Funções.
4.1.1- Aproximação por Polinômios.
4.1.2- Ajuste de Dados: M ínimos Quadrados.
4.2- Derivadas e Integrais Numéricas.
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Dif erenças Finitas.
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração 
Numérica.
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
4.3.1- Problema de Val or Inicial.
4.3.2- Problema de Val or de Contorno.
4.4- Solução de Equações Diferenciais Parciais.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFEREN CIAIS PARCIAIS
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
Muitos problemas na ciência e na tecnologia podem ser 
modelados por equações que estabelecem uma relação entre
funções desconhecidas e as derivadas destas fun ções .
Equações deste tipo são chamadas Equações Diferenciais .
Quando a função depende apenas de uma variável a 
equação diferencial é chamada de Equação Diferencial 
Ordinária, já que apenas podem aparecer as derivadas 
ordinárias da função . 
Quando a função depende de mais de e uma vari ável
a equação diferencial é chamada de Equação Diferencial 
Parcial, já que podem aparecer as di ferentes derivadas parciais 
desta função . 
)(xf
)(
)(
o
o
¶
¶f
k
k
dx
xfd )(
)( e ),,1,( kkknji
xx
f
jik
j
k
i
k
ji
=++=
¶¶
¶
LL
L
)(of
),,,( 21 nxxxf L
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
No tópico 4.3 estudaremos Equações Diferenciais Ordin árias. 
No tópico 4.4 estudaremos Equações Diferenciais Parciais .
Se diz que uma Equação Diferencial Ordin ária é de ordem n se 
a ordem da maior derivada que aparece na equa ção é n. 
Resolver esta problema consiste em encontrar a fun ção
que deve ser n vezes continuamente diferenciavel num 
intervalo e satisf az esta equação. 
Em geral, soluções exatas para este problema pode ser uma 
tarefa difícil. Neste caso os métodos numéricos são uma boa 
ferramenta para tentar resolver problemas deste tipo.
)(xf
( ) ( ) ( )( ), , , , (EDO implicita)
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ( ), , , , (EDO explicita)
n
n
n n
n n
df x d f x d f xF f x
dx dx dx
d f x df x d f x d f xF f x
dx dx dx dx
-
-
æ ö
=ç ÷
è ø
æ ö
= ç ÷
è ø
2
2
2 1
2 1
0L
L
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
Equações Diferenciais Ordin árias são classificadas como 
Lineares e Não Lineares .
Se diz que uma EDO é Linear se a função ou dependem 
linearmente de e todas suas derivadas. Isto é, se:
As EDO Lineares verificam as seguintes propriedade: Suponha 
que as funções são m soluções da EDO Linear, 
então a função definida pela combina ção linear destas 
soluções é também 
solução da EDO Linear. A prova desta propriedade é
conseqüência imediata da linearidade da EDO.
)(xf
F Fˆ
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )][ ( ) ( )], , , ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , ( ), , , ,
n
n
n n
n n
d f x f x d f x f x d f x f xF f x f x
dx dx dx
df x d f x d f x df x d f x d f xF f x F f x
dx dx dx dx dx dx
a a aa
a a
æ ö+ + +
+ =ç ÷
è ø
æ ö æ ö
+ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2
1 2 1 2 1 2
1 2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
1 22 2
L
L L
)(,),(),( 21 xfxfxf mL
ˆ ( ) ( ) ( são constantes arbirarias)
m
i i i
i
f x C f x C
=
= å
1
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
A forma geral para uma EDO Linear explicita de ordem n é:
onde as funções não dependem nem da 
função nem de suas derivadas. 
Quando a função se diz que a EDO Linear é
homogênea. Caso contrário se diz que a EDO Linear é não 
homogênea .
Entre as poss íveis soluções da EDO Linear 
estamos interessados em destacar aquelas soluções que são 
linearmente independentes . Isto porque elas formam uma base
que permite representar a solu ção geral da EDO Linear:
)()()()()()()()()( 1011
1
1 xgxfxgdx
xdfxg
dx
xfdxg
dx
xfdxg nn
n
nn
n
n +-
-
- =++++ L
)(,),(),( 01 xgxgxg nn L+
ˆ ( ) ( ), onde são constantes arbirarias e ( ) são funções LI.
m
i i i i
i
f x C f x C f x
=
= å
1
)(xf
0)(1 =+ xgn
0)(1 ¹+ xgn
î
í
ì
=++++ -
-
- Homogênea
Linear EDO
 0)()()()()()()()( 011
1
1 xfxgdx
xdfxg
dx
xfdxg
dx
xfdxg n
n
nn
n
n L
)(,),(),( 21 xfxfxf mL
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
Um conjunto de m soluções da EDO Linear de ordem n é dito 
ser Linearmente Independente (m<n) se o Wronskiano destas 
soluções é diferente de zero . Isto é se
Se as funções são n Soluções Linearmente 
Independentes da EDO Linear Homogênea de ordem n, então 
a função 
é também solução da EDO e é chamada de Solução Geral 
desta EDO Linear Homogênea .
0
)()()(
)()()(
)()()(
))(,),(),((
22
2
11
1
21 ¹=
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
dx
xfd
dx
xdfxf
dx
xfd
dx
xdfxf
dx
xfd
dx
xdfxf
xfxfxfW
L
LLLL
L
L
L
( ) ( ), onde são constantes arbirarias,
n
SG i i i
i
f x C f x C
=
= å
1
)(,),(),( 21 xfxfxf nL
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
Um caso particular de EDO Linear Homogênea de ordem n é
quando as funções são constantes. Neste caso 
temos:
Se procuramos solu ções para esta equa ção na forma , 
então obtemos a chamada Equação Caracter ística da EDO 
Linear Homogênea :
Note que resolver esta equa ção corresponde a encontrar os 
zeros de um polinômio de grau n em . Esta equação 
característica tem n raízes. 
Se estas raízes são todas diferentes , então as n
soluções são Linearmente Independentes e 
xexf l=)(
)(,),( 0 xgxgn L
0)()()()( 011
1
1 =++++ -
-
- xfgdx
xdfg
dx
xfdg
dx
xfdg n
n
nn
n
n L
001
1
1 =++++
-
- gggg
n
n
n
n lll L
l
),,1( nii L=l
x
i
iexf l=)(
( ) , onde são constantes arbirarias.i
n
x
SG i i
i
f x C e Cl
=
= å
1
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
Se as raízes da Equação Caracter ística da EDO Linear 
Homogênea tem multiplicidade, por exemplo, a raiz tem 
multiplicidade , podemos obter as soluções LI que 
correspondem à esta raiz na forma:
No caso que a EDO Linear é Não Homogênea e for 
conhecida uma solu ção particular desta EDO Linear Não 
Homogênea
a Solução Geral desta equação será a soma da Solução da 
Equação Homogênea mais a Solução Particular:
( ) , ( ) , ( ) , , ( ) .k k k kx x x xkk k k k kf x e f x xe f x x e f x x e
l l l l-
+ + + -= = = =
2 1
1 2 1L
kl
Solução da EDO Homogênea
( ) ( ) ( ) , onde são constantes arbirarias.
n
SG SP i i i
i
f x f x C f x C
=
= + å
114243
k k
0)(1 ¹+ xgn
( )SPf x
)()()()()()()()()( 1011
1
1 xgxfxgdx
xdfxg
dx
xfdxg
dx
xfdxg nSPSPn
SP
n
nn
SP
n
n +-
-
- =++++ L
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
Se destacam dois tipos de problemas para as EDO:
A solução geral desta equação possui n constantes arbitr árias, 
que podem ser determinadas se são impostas n restrições:
- Problema de Valor Ini cial: Quando as restri ções são impostas 
num ponto inicial ( Condições Iniciais). Ou seja, quando 
são conhecidas no ponto inicial 
- Problema de Valor de Contorno : Quando as restri ções são 
impostas nos extremos do intervalo ( Condições de 
Contorno).
( ) ( ) ( )( ), , , , (EDO implicita)
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ( ), , , , (EDO explicita)
n
n
n n
n n
df x d f x d f xF fx
dx dx dx
d f x df x d f x d f xF f x
dx dx dx dx
-
-
æ ö
=ç ÷
è ø
æ ö
= ç ÷
è ø
2
2
2 1
2 1
0L
L
( ) ( )( ), , ,
n
n
df x d f xf x
dx dx
-
-
1
0 0
0 1L
x x= 0
[ , ]x a bÎ
Considere que a vari ável independente é o tempo. Então nosso 
Problema de Valor Inicial consiste em encontrar que satisf az:
Problemas que envolvem derivadas de ordem maior podem ser 
transformados num sistema de equa ções de primeira ordem.
Se a EDO é linear.
Estudaremos alguns m étodos numéricos que aproximam a 
solução deste PVI. Note que a solu ção aproximada consiste em 
aproximar a derivada e partindo do dado inicial avan çar no 
tempo de forma a encontrar aproximadamente . 
Discretizamos o tempo da seguinte forma:
onde é o passo de tempo.
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
( )( ) ( ), (EDO) ( )
( ) (Condição Inicial) (2)
du t f u t t t t
dt
u t u
= " >
=
0
0 0
1
( )u t
( )( ), ( ) ( ) ( )f u t t g t u t g t= +1 2
( )n nU u t»
tD
 com nt n t n= D ³ 0
Método de Euler: Quando aproximamos a deri vada na forma 
obtemos o problema aproximado ( discretizado)
Desta forma est á explicitado em função de e partindo da 
condição inicial podemos obter uma aproxima ção da 
solução para os instantes de tempo seguintes
Quando aproximamos a derivada na f orma retardada obtemos
outro problema aproximado ( discretizado)
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
( ) , ( ) , , ( ) nnu t U u t U u t U» » »
1 2
1 2 L
U u=0 0
1+nU nU
{ formula difference-backward )(Retardado Esquerdo Lado
1
1 )()()()())(()(
t
UU
t
tUtU
t
ttututuD
dt
tdu nnnnnn
n
n
D
-
=
D
-
»
D
D--
=»
-
-
-
)(ImplícitoEuler -Backward ),(ou ),( 1
1
n
nnn
n
n
nn
tUftUUtUf
t
UU
D+==
D
- -
-
)(ExplícitoEuler -Forward ),(ou ),( 1
1
n
nnn
n
n
nn
tUftUUtUf
t
UU
D+==
D
- +
+
{ formula difference-forward )(Adiantado Direito Lado
1
1 )()()()())(()(
t
UU
t
tUtU
t
tuttutuD
dt
tdu nnnnnn
n
n
D
-
=
D
-
»
D
-D+
=»
+
+
+
Desta forma est á implícito em função de e partindo da 
condição inicial podemos obter uma aproxima ção da 
solução para os instantes de tempo seguintes
De qualquer f orma o Método Implícito de Euler deve ser 
resolvido com respeito a e est á equação pode ser não linear
se for não linear. Neste caso devemos usar algum 
método iterativo para resolver a equa ção não linear.
Ambos métodos são chamados método de um passo (one-step) 
que signif ica que para determinar precisa do conheciment o 
de apenas um valor pr évio . Ambos m étodos têm precisão de 
primeira ordem !
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
( ) , ( ) , , ( ) nnu t U u t U u t U» » »
1 2
1 2 L
U u=0 0
nU 1-nU
)(ImplícitoEuler -Backward ),(ou ),( 1
1
n
nnn
n
n
nn
tUftUUtUf
t
UU
D+==
D
- -
-
)(ExplícitoEuler -Forward ),(ou ),( 1
1
n
nnn
n
n
nn
tUftUUtUf
t
UU
D+==
D
- +
+
),( n
n tUf
nU
1+nU
nU
Erro do Método de Euler: Para estimar o erro local escrevemos 
a equação de diferenças na forma que assemelha a derivada e 
substituímos nesta equa ção a solução exata da EDO. Depois 
usamos expansão em serie de Taylor para cancelar os termos 
comuns:
Similarmente, o erro para o Método Backward Euler é de 
primeira ordem .
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
Forward-Euler (Explícito)
( , ) 
Equação de Diferenças
n n
n
n
U U f U t
t
+ ì-
= íD î
1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ), ) EDO ( ),n n n n nn n n
u t u t u t u t du t du te f u t t f u t t
t t dt dt
+ +- - æ ö= - = - =ç ÷D D è ø
1 1
ne
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )!
n
n nn n n n
n n n
du t d u t d u t d u tu t u t t t t t O t
dt dt dt n dt
+
+ = + D + D + D + + D + D
2 3
2 3 1
1 2 3
1 1 1
2 6
L
( ) Primeira Ordemde Precisão( ) ( ) ( )( ) ( ) !
n
n nn n n
n n
d u t d u t d u te t t t O t C t
dt dt n dt
- ì
í
î
= D + D + + D + D » D
2 3
2 1
2 3
1 1 1
2 6
L
Uma forma de aumentar a ordem de precisão é desenvolver 
métodos multipasso (multistep) que envolvem o conhecimento 
prévio de mais de um valor.
Outro método:
E assim, usando as formulas de di ferenças finitas desenvolvidas 
na aula anterior podemos obter di ferentes tipos de aproxima ções 
para o PVI. Estes métodos não indicam como obter os valores 
prévios antes de poder aplicar o m étodo. O primeiro valor prévio 
é obtido da condi ção inicial , mas os outros devem 
ser obtidos aplicando algum m étodo de um passo .
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
Centrada) (Diferença 
22
)()())(()(
11
0 t
UU
t
ttuttutuD
dt
tdu nnnn
n
n
D
-
»
D
D--D+
=»
-+
{ Centrada) (Diferença ),(2 Precisão de Ordem Segunda de Explicito11 nnnn tUftUU D+= -+
t
UUU
t
ttuttututuD
dx
tdu nnnnnn
n
n
D
+-
»
D
D-+D--
=»
--
2
43
2
)2()(4)(3))(()(
21
2
{Implícito de SegundaOrdem de Precisão[ ( , )] (Diferença Retardada) n n n n nU U U t f U t- -= - + D1 21 4 23
( )U u t u= =0 0 0
Métodos multipasso possuem ordem de precisão maior que os 
métodos de um passo. Na prática, é comum o uso de m étodos 
de um passo com etapas intermediarias (multistage) que 
possuem a mesma precisão que os métodos multipassos. 
Nestas etapas intermediarias são gerados valores intermedi ários 
da incógnita e suas deri vadas.
Método de Runge-Kutta Explicito de Duas Etapas :
Combinado estas duas etapas o m étodo pode ser escrito como
Este método possui precisão de segunda ordem . 
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
{Explicito de Segunda(Método de Um Passo) Ordem de Precisão( , ), n n n n n n tU U t f U t f U t t+ Dæ ö= + D + D +ç ÷è ø
1 1
2 2
{ *Primeira Etapa gera um valor intermediario entre o passo e * ( ) obtido pelo Forward Euler 
* Segunda Etapa avalia no ponto 
( , ) 
, 
n
n nn n
u t Un
n n f
n
U U t f U t
tU U t f U t
+
+
»
+
= + D
Dæ ö= + D +ç ÷
è ø
1
2
1
1
1
2
2 {
 intermediario gerado na Primeira Etapa
para estimar a derivada no intervalo definido entre o passo e .n n+1
Método de Runge-Kutta Explicito de Quatro Etapas :
Note que este m étodo é Explícito e de Um Passo
A precisão deste método de Runge-Kutta é de quarta ordem .
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
( , ( , , ), )n n n nU F U f U t t t
+ = D D1
{
{
{
{
( )
Etapa Zero
Primeira Etapa
Segunda Etapa
Terceira Etapa
 
( , ) 
, 
, 
, , ,
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n n
Y U
Y U t f Y t
tY U t f Y t
tY U t f Y t
t t tU U f Y t f Y t f Y t f Y+
=
= + D
Dæ ö= + D +ç ÷
è ø
Dæ ö= + D +ç ÷
è ø
D D Dæ ö æ ö= + + + + + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1
2 1
3 2
4 3
1 1 2 3 4
1
2
1
2 2
2
2 2
6 2 2 ( ) {Quarta Etapa, nt t
é ù
+ Dê ú
ë û
Exemplo: Use ambos métodos de Euler para resolver o PVI
(Conte pág. 356)
Esta EDO Linear Homogênea tem como solu ção exata:
que com a condi ção inicial resulta em 
Os métodos de Euler (Um Passo) são:
O método multipasso da Diferença Centrada é:
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
( ) ( ) (EDO)
( ) (Condição Inicial)
du t u t t t
dt
u t
l= " >
=
0
0 1
( ) tu t Cel=
( ) , já que .tu t e Cl= =1
( , ) ( ) Forward (Explícito)n n n n n n nnU U t f U t U t U U t Ul l
+ += + D = + D Þ = + D1 1 1
( , ) Backward(Implícito)n n n n n n nnU U t f U t U t U U Ut
l
l
+ + + += + D = + D Þ =
- D
1 1 1 1 1
1
Forward EulerExplícito de Segunda Ordem de Precisão
( , ) com e ( )n n n n nnU U t f U t U t U U u U t Ul l
+ - -= + D = + D = = + D1 1 1 0 1 002 2 1144244314444244443
Exemplo: Use ambos métodos de Euler para resolver o PVI
(Conte pág. 356)
Esta EDO Linear Homogênea tem como solu ção exata:
que com a condi ção inicial resulta em 
Método Runge-Kutta de Duas Etapas (Um Passo, Expl ícito):
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
( ) ( ) (EDO)
( ) (Condição Inicial)
du t u t t t
dt
u t
l= " >
=
0
0 1
( ) tu t Cel=
( ) , já que .tu t e Cl= =1
{SegundaOrdem de Precisão( , ), n n n n n n
n n n n
tU U t f U t f U t t
U U t U t t t Ul l l l
+
+
Dæ ö= + D + D +ç ÷
è ø
é ùæ ö æ ö= + D + D = + D + Dç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
1
1
1
2 2
1 11 1 1
2 2
Exemplo: Continuação do Exemplo
Método Runge-Kutta de Quatro Etapas (Um Passo, Expl ícito):
Possui quarta ordem de precisão
4.3.1- Problema de Valor Inicial (PVI).
{
( ) {
1 Etapa
2 Etapa
= 
 
n n n
n n n n
Y U t U t U
Y U t f Y U t t U t t U
l l
l l l l
æ ö= + D + Dç ÷
è ø
é ùæ ö æ ö= + D = + D + D = + D + Dç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
2
3 2
1 11
2 2
1 1 1 1 11 1 1
2 2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) {4 Etapa 
n n n n
n n
n
Y U t f Y U t t t U t t t U
tU U f Y f Y f Y f Y
tU t t t t t
l l l l l l
l l l l l l
+
+
é ùé ù é ùé ù æ ö= +D = +D + D + D = +D + D + Dê úç ÷ê ú ê úê úë û è øë û ë ûë û
D é ù= + + + +ë û
é ùD æ ö æ ö= + + + D + + D + D + +D + D + Dç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
4 3
1 1 2 3 4
1
1 1 1 11 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2
6
1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 1 1 1 1
6 2 2 2 2 2
nt Ul
ì üé ùé ùï ïæ ö
í ýê úç ÷ê úè øë ûë ûï ïî þ
© ¬
ª ­
ª ­
ª ­« ®
Frase do Dia
“Although to penetrate i nto the intimate 
mysteries of nature and thence to l earn the 
true causes of phenomena i s not allowed to 
us, nevertheless it can happen that a certai n 
fictive hypothesis may suffice for explaining 
many phenomena. ”
Leonhard Euler (A mesma das Aula 9, 11)
“Read Euler, read Euler, he is the master of us all. 
Read Euler: he is our master in everything.”
Pierre Simon de Laplace