AprendSignificativaGeometria-LEM

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Unidade 2
A Aprendizagem 
Significativa da Geometria 
e o Desenvolvimento do 
Pensamento Geométrico
METAS 
Esta unidade apresenta elementos que permitem entender o 
que seja uma aprendizagem significativa em Matemática e 
como o aluno desenvolve conhecimentos em Geometria.
OBJETIVOS
Ao final desta unidade você deve:
• conhecer como são tratados os atributos, conceitos e defi-
nições do ponto de vista de uma aprendizagem significativa 
da Geometria;
• ter conhecimento do que seja o Modelo de van Hiele do desen-
volvimento de um conceito geométrico;
• saber reconhecer no modelo os níveis referentes ao desenvol-
vimento cognitivo;
• conhecer algumas propriedades do Modelo de van Hiele;
• conhecer a metodologia de ensino adequada ao desenvolvimento 
dos níveis;
• conhecer as características de um laboratório de ensino que 
permitem levar o aluno a uma aprendizagem significativa.
MATERIAIS UTILIZADOS
• Nenhum material especial.
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Parte 1 | Unidade 2 – A Aprendizagem Significativa da Geometria e o Desenvolvimento do Pensamento Geométrico
TEXTO 4
ATRIBUTOS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES EM UMA APRENDIZAGEM 
SIGNIFICATIVA DA GEOMETRIA
Considerando que os PCN apontam para o fato de que “o conhecimento 
matemático formalizado precisa, necessariamente, ser transformado para se tornar 
passível de ser ensinado/aprendido; ou seja, a obra e o pensamento do matemático 
teórico não são passíveis de comunicação direta aos alunos” (BRASIL, 1998, p.30), é 
necessário refletir em como o professor pode atuar em sala de aula a fim de tornar 
possível essa transformação didática, em um dos momentos mais importantes e 
delicados da sala de aula, ou seja, o do ensino de uma definição geométrica.
É a educadora matemática israelense Rina Hershkowitz quem traz uma 
importante contribuição para a reflexão escolar no que se refere a como se 
trabalhar a introdução dos atributos relacionados a um conceito geométrico e à sua 
definição. 
O quadrado é um exemplo de retângulo, 
pois tem os quatro ângulos 
iguais e do fato de ter quatro 
lados iguais, também tem 
lados iguais dois a dois, 
dessa forma possui as duas 
características relevantes de 
um retângulo. No entanto, 
um retângulo é um não-
exemplo de um quadrado, 
pois não tem todos os quatro 
lados iguais (característica 
relevante do quadrado), 
apesar de ter lados iguais 
dois a dois. Assim, o 
quadrado é um exemplo 
particular de retângulo, 
embora um retângulo 
qualquer também seja um 
não-exemplo de quadrado.
Atributos Relevantes de um Conceito
Ao se trabalhar em sala de aula um conceito geométrico devem ser 
levadas ao aluno atividades nas quais se apresentem atributos, ou seja, 
características relevantes do referido conceito, bem como seus atributos 
não-relevantes (HERSHKOWITZ, 1994). 
São considerados atributos relevantes àqueles que aparecem em qualquer 
exemplo do conceito, isto é, são todos os atributos que devem ser 
satisfeitos para se ter um exemplo positivo do conceito (como preferem 
alguns autores, como Bairral e Silva, 2004). Enquanto que, os atributos 
não relevantes são características que se apresentam em apenas alguns 
exemplos do conceito. Esses casos são chamados de não-exemplos. 
No caso da definição do quadrado são atributos relevantes: quatro lados 
iguais e quatro ângulos iguais. Por sua vez, para o retângulo são atributos 
relevantes: lados iguais dois a dois e quatro ângulos iguais. 
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Figura 
Geométrica
Atributos
 Relevantes
Atributos 
Não-relevantes
Classificação 
Quanto aos Atributos
Quadrado
Quatro lados iguais
Quatro ângulos iguais
Lados iguais dois a 
dois
Exemplo de Retângulo
Retângulo
Lados iguais dois a dois
Quatro ângulos iguais
Lados paralelos, dois 
a dois.
Não-Exemplo de Quadrado
Observação Importante!!!
A Definição de um Conceito como Conseqüência de um Processo Construtivo de 
Elaboração do Pensamento
Caro leitor, você pode ter observado que, neste texto, não se está 
tratando de contra-exemplos e que este termo também não foi utilizado. 
Como as atividades visam à construção do conceito pelo aluno, tal 
conceito ainda não lhe foi apresentado por meio de uma definição, pois 
o estudante ainda o está elaborando em sua mente. Desta forma, em um 
procedimento didático como o aqui tratado, a definição de um conceito 
geométrico surge como conseqüência desse processo construtivo de 
elaboração. 
Leitor, ainda que lhe possa parecer estranho, saiba que é importante ao 
aluno vivenciar experiências que simulem tanto situações didáticas nas 
quais ocorram exemplos do conceito geométrico em que apareçam todos 
os atributos relevantes, como também ocorram também não-exemplos, 
os quais, no entanto, devem apresentar apenas alguns desses atributos 
relevantes.
As pesquisas israelenses indicam ser do confronto entre o sim e o não, 
ou seja, frente à presença e à ausência dos atributos relevantes é que 
o aluno vai construindo o significado do conceito e tornando a sua 
aprendizagem em uma aprendizagem significativa.
Discuta com outros professores sobre essas pesquisas e suas conclusões. 
Tente refletir sobre os procedimentos didáticos que você tem adotado 
frente à introdução de uma definição.
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Muitas vezes o processo de elaboração mental da construção de 
um conceito geométrico, como aqui considerado, parece ser complicado e 
até mesmo errôneo, para aqueles que estão acostumados a propor o ensino 
da Matemática partindo de sistemas axiomáticos, por meio de definições, 
exemplos e contra-exemplos. No entanto, como muitas pesquisas em 
Educação Matemática têm mostrado, a maioria das crianças apresenta 
sucesso em tarefas que permitem a construção da definição e do significado 
do conceito, por meio de um procedimento didático que envolva seus 
atributos ou características relevantes do conceito. 
Por outro lado, os PCN ressaltam a importância do significado 
dos conceitos matemáticos relativos à interdisciplinaridade, à utilização 
de recursos didáticos e à introdução básica para a formalização, ao 
pontuarem que: 
“A aprendizagem em Matemática está ligada à 
compreensão, isto é, à apreensão do significado; 
apreender o significado de um objeto ou acontecimento 
pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e 
acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em 
compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear 
deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões 
sejam favorecidas e destacadas. [...] Recursos didáticos 
como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e 
outros materiais têm um papel importante no processo 
de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam 
estar integrados a situações que levem ao exercício da 
análise e da reflexão, em última instância, a base para a 
formalização matemática” (BRASIL, 1998, p. 20).
Ao fazer Geometria na sala de aula, o professor não deve 
confundir conceito de um objeto matemático com a sua definição. No 
entanto, ainda que o aluno possa criar conexões com temas matemáticos, 
é necessário ser enfatizado que uma definição matemática expressa uma 
idéia científica própria daqueles que fazem a ciência chamada Matemática, 
isto é, dos matemáticos. Ou seja, uma idéia independente de cada sujeito 
que dela se utiliza.
Desta forma, de um ponto de vista da Educação Matemática, 
como os alunos não são matemáticos (embora muitos possam vir a sê-lo) 
no ensino da Matemática, é necessário que se leve emconta a construção 
do conhecimento matemático e do significado dos conceitos, ou seja, sua 
aprendizagem significativa, antes de serem apresentadas as definições.
O conceito de um objeto pressupõe um significado 
para cada sujeito, e, portanto 
para cada aluno. A aprendizagem 
significativa de um conceito 
está diretamente vinculada 
à sua funcionalidade, pois os 
conhecimentos adquiridos devem 
ser efetivamente utilizados quando 
a circunstância em que se encontra 
o aluno o exija. Relembrando 
novamente os PCN, ”o significado 
da Matemática para o aluno resulta 
das conexões que ele estabelece 
entre ela e as demais disciplinas, 
entre ela e seu cotidiano e das 
conexões que ele estabelece entre 
os diferentes temas matemáticos” 
(BRASIL, 1998, p. 20). 
Seria ideal, se no processo escolar, se pudesse respeitar 
as características individuais e 
se permitisse ao estudante tanto 
avançar na seriação escolar 
como também na construção do 
conhecimento matemático, com 
vistas à forma de se fazer matemática 
mais de acordo com o pensamento 
do matemático. Ou seja, com vistas 
ao formalismo científico próprio da 
Matemática como Ciência. Desta 
maneira, certamente, se teria mais 
alunos preparados para carreiras 
científicas ligadas à Matemática.
No caso da Geometria, o desejável 
seria que o processo escolar, 
respeitando as individualidades do 
aluno, permitisse a construção do 
conhecimento matemático que 
levasse ao entendimento dos sistemas 
axiomáticos e a outras Geometrias, 
tanto à Geometria Euclidiana quanto 
às não-Euclidianas. 
Caro leitor, lembre-se que estas são 
Geometrias cuja axiomática não é 
a mesma da Euclidiana, como você 
terá oportunidade de ver ao longo 
deste volume.
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TEXTO 5
O MODELO DE VAN HIELE DO DESENVOLVIMENTO DO 
PENSAMENTO GEOMÉTRICO
Nas últimas quatro décadas, o Modelo de van Hiele do Pensamento 
Geométrico tem sido considerado como um guia para aprendizagem e para avaliação 
das habilidades dos alunos em Geometria. 
Esse Modelo consiste em duas partes: a primeira, da descrição da estrutura 
cognitiva, composta por níveis mentais a serem necessariamente desenvolvidos pelo 
aluno para a compreensão de um conceito geométrico. Já a segunda parte apresenta 
uma metodologia de ensino para o desenvolvimento do conceito geométrico em 
cada nível da estrutura mental.
Os professores e educadores matemáticos holandeses, Dinah e Pierre van 
Hiele perceberam, ainda na década de 1950, que os problemas e tarefas geométricas 
apresentadas às crianças freqüentemente requerem vocabulário, conceitos ou 
conhecimentos de propriedades além do nível de pensamento e da compreensão da 
criança (VAN HIELE, 1986). 
Esses estudos apontaram que:
• quando o ensinamento ocorre em um nível cognitivo acima daquele em que 
o estudante se encontra, a matéria escolar não é bem assimilada e não fica 
retida por muito tempo na memória; 
• concepções errôneas, quando aprendidas, têm mais chances de não serem 
esquecidas; 
• o crescimento cronológico (relativo à idade) não produz automaticamente um 
crescimento dos níveis de pensamento em relação ao desenvolvimento de um 
conceito geométrico;
• poucos estudantes atingem o nível mais alto, relativo ao rigor geométrico. 
As pesquisas holandesas revelaram uma 
alarmante falta de 
harmonia entre o ensino e o 
aprendizado em Geometria, 
cujo descompasso ainda 
perdura nos dias de hoje. 
Foi constatado que em 
uma mesma sala de aula, 
as crianças raciocinam em 
diferentes níveis, pois seus 
pensamentos diferem entre 
si e dos do professor, como 
também utilizam palavras e 
representações simbólicas 
de formas diversas das 
empregadas pelo professor e 
pelo livro de texto. 
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O conhecimento de que a aprendizagem de 
um conceito geométrico se 
dá a partir da visualização 
possibilita ao professor 
evitar a introdução de uma 
sistematização precoce dos 
conteúdos em sala de aula. 
Por exemplo, como ocorre 
no caso de uma teoria 
dedutiva, decorrente de uma 
apresentação axiomática, na 
qual se parte de definições 
abstratas e axiomas para a 
demonstração de teoremas. 
Como é bem conhecido, 
esta apresentação teórica 
dos conteúdos geométricos 
leva o aluno a enfrentar 
grandes dificuldades, quando 
busca fazer a associação 
dos conceitos geométricos 
abstratos com seus 
correspondentes na vida 
diária e no mundo virtual 
da informática (KALEFF, 
1994).
Características do Modelo de van Hiele 
Nos trabalhos iniciais, o casal van Hiele desenvolveu experiências para 
o estabelecimento de níveis de pensamento com o objetivo de ajudar o 
estudante a ter um insight ao se deparar com uma situação não usual. 
Segundo van Hiele (1986), isto é: 
(a) a ser capaz de se desempenhar frente à situação; 
(b) a desenvolver corretamente e adequadamente as ações requeridas 
pela situação; 
(c) a desenvolver deliberadamente e conscientemente um método que 
resolva a situação.
Desta forma, ao ter insight o estudante entende o que está fazendo, 
porque está fazendo algo e quando o faz. Neste caso, o aluno é capaz de 
aplicar seu conhecimento ordenadamente para resolver problemas.
A estrutura cognitiva que descreve as características do processo de 
pensamento do aluno para o entendimento de um determinado conceito 
compõe-se obrigatoriamente de cinco níveis chamados de: visualização, 
análise, dedução informal, dedução formal e rigor. 
O Modelo também apresenta cinco fases facultativas de uma metodologia 
de ensino para o desenvolvimento cognitivo de cada um dos níveis, a 
saber: questionamento; orientação direta; explicitação; orientação livre e 
fechamento.
Apresentam-se a seguir um breve resumo dos níveis do pensamento e de 
suas fases.
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Níveis Referentes ao Desenvolvimento Cognitivo Geométrico do Aluno
• NÍVEL 0 – VISUALIZAÇÃO ou RECONHECIMENTO: Neste estágio inicial, 
os alunos raciocinam basicamente por meio de considerações visuais. 
Conceitos geométricos são levados em conta como um todo, sem 
considerações explícitas das propriedades dos seus componentes. Assim, 
figuras geométricas são reconhecidas pela aparência global, podendo ser 
chamadas de triângulos, quadrado, etc., mas os alunos não explicitam as 
propriedades de identificação das mesmas. Um aluno, neste nível, pode 
aprender o vocabulário geométrico, pode identificar formas específicas, 
reproduzir uma figura dada etc.
• NÍVEL 1 – ANÁLISE: Neste nível, os alunos raciocinam sobre conceitos 
geométricos por meio de uma análise informal de suas partes e atributos 
através de observação e experimentação. Os estudantes começam a discernir 
características das figuras geométricas, estabelecendo propriedades que 
são, então, usadas para conceituarem classes e formas. Porém eles ainda 
não explicitam inter-relações entre figuras ou propriedades.
• NÍVEL 2 – DEDUÇÃO INFORMAL ou ORDENAÇÃO: Neste nível, os alunos 
formam definições abstratas, podendo estabelecer inter-relações das 
propriedades nas figuras (por exemplo, um quadrilátero com lados opostos 
paralelos necessariamente possui ângulos opostos iguais) e entre figuras 
(por exemplo, um quadrado é um retângulo porque ele possui todas as 
propriedades do retângulo). Podem também distinguir entre a necessidade 
e a suficiência de um conjunto de propriedades no estabelecimento de um 
conceito geométrico. Assim, classes de figurassão reconhecidas, inclusão 
ou interseção de classes são entendidas; entretanto, o aluno neste nível 
não compreende o significado de uma dedução como um todo, ou o papel 
dos axiomas. Provas formais podem ser acompanhadas, mas os alunos não 
percebem como construir uma prova a partir de premissas diferentes.
• NÍVEL 3 – DEDUÇÃO FORMAL: Neste nível, os alunos desenvolvem 
seqüências de afirmações deduzindo uma afirmação a partir de uma outra 
ou de outras. A relevância de tais deduções é entendida como um caminho 
para o estabelecimento de uma teoria geométrica. Os alunos raciocinam 
formalmente no contexto de um sistema matemático completo, com 
termos indefinidos, com axiomas, com um sistema lógico subjacente, 
com definições e teoremas. Um aluno neste nível pode construir provas 
(e não somente memorizá-las) e percebe a possibilidade de desenvolver 
uma prova de mais de uma maneira.
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• NÍVEL 4 – RIGOR: Neste nível, os alunos entendem a estrutura de vários 
sistemas dedutivos com um alto grau de rigor. Comparam sistemas 
baseados em diferentes axiomas e estudam várias Geometrias na 
ausência de modelos concretos. São capazes de se aprofundarem na 
análise de propriedades de um sistema dedutivo, tais como consistência, 
independência e completude dos axiomas.
Propriedades do Modelo de Van Hiele
Para se fornecer insight ao pensamento, que é específico de cada nível, 
relativo a um determinado conceito geométrico, o casal van Hiele 
identificou algumas características do Modelo, as quais fornecem um 
roteiro quanto à metodologia de ensino a ser aplicada:
(1) o Modelo é parte de uma teoria construtivista de desenvolvimento do 
pensamento e, portanto, presume que o aluno para atuar com sucesso em 
um determinado nível necessite ter adquirido, por meio de experiências 
apropriadas de aprendizagem, as estratégias mentais dos níveis 
anteriores, não permitindo o aluno saltar níveis; 
(2) o progresso de um nível para outro depende mais dos conteúdos 
estudados e dos métodos de ensino empregados do que da idade do 
aluno. Neste caso, Pierre van Hiele chama a atenção para o fato de 
que é possível ensinar sem que haja aprendizagem, ou seja, a um 
aluno pode-se ministrar conteúdos acima de seu nível. Por exemplo, 
sabe-se que é possível treinar crianças na aritmética das frações sem 
que o entendimento dessas seja significativo. Em tais situações, o que 
realmente acontece é que o conteúdo ministrado pelo professor foi 
reduzido para um nível mais baixo, e o entendimento realmente não 
ocorreu, não se dando, portanto, a construção e, consequentemente, a 
aprendizagem do conteúdo desejado;
(3) no mecanismo dinâmico da estrutura dos níveis, os objetos inerentes a 
um nível se transformam em objetos de estudo para o nível posterior. 
Por exemplo, no nível 0, da visualização, é percebida a forma de uma 
figura geométrica, todavia, suas propriedades e seus componentes serão 
reconhecidos e analisados somente no nível 1, da análise;
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(4) cada nível tem seus próprios símbolos lingüísticos e seu próprio sistema 
de relações conectando esses símbolos. Assim, uma relação que é aceita 
como correta em um nível pode ser modificada em outro. Um exemplo 
é o encadeamento das classes de inclusão. Sabe-se que um quadrado é 
também um retângulo, que é também um paralelogramo, no entanto, 
estas figuras, em um nível anterior, podem ser consideradas excludentes. 
Desta forma, no nível 0, o quadrado não deve ser confundido com a 
figura do retângulo nem com a do paralelogramo. 
(5) uma atividade didática é dita ser de um determinado nível se a sua 
realização ajuda o aluno a adquirir este nível.
A Metodologia de Ensino Adequada ao Desenvolvimento dos Níveis
O Modelo de van Hiele apresenta cinco fases de uma metodologia de 
ensino que possibilita ao desenvolvimento cognitivo do aluno em cada 
um dos níveis. Desta forma, o ensino desenvolvido de acordo com 
essa seqüência de fases didáticas favorece a aquisição de um nível de 
pensamento, relativo a um determinado tópico de Geometria.
• FASE 1 – QUESTIONAMENTO ou INFORMAÇÃO: Nesta fase professor e 
aluno estabelecem um diálogo versando sobre o conceito em estudo 
neste nível. Neste diálogo são apresentadas observações, questões são 
levantadas, e o vocabulário específico do nível é introduzido. Nesta fase 
o professor percebe quais os conhecimentos anteriores que os alunos 
têm do assunto (conceito), e estes percebem qual direção os estudos 
tomarão.
• FASE 2 – ORIENTAÇÃO DIRETA: Nesta fase os alunos devem explorar o 
conceito em estudo por meio de materiais cuidadosamente selecionados 
pelo professor que os levarão gradualmente a se familiarizarem com as 
características cognitivas deste nível. As atividades devem conter tarefas 
que possibilitem respostas específicas e objetivas.
• FASE 3 – EXPLICITAÇÃO: Nesta fase, com base nas experiências anteriores, 
os alunos refinam o uso de seu vocabulário, expressando verbalmente 
suas opiniões emergentes sobre o que observam. O papel do professor, 
nesta fase, deve ser mínimo, deixando o aluno independente na busca da 
formação do sistema de relações sobre o conteúdo geométrico em estudo.
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• FASE 4 – ORIENTAÇÃO LIVRE: Nesta fase, as tarefas apresentadas ao aluno 
devem ser de múltiplas etapas, tarefas que possibilitem várias maneiras 
de serem completadas, ou seja, tarefas em aberto. É fundamental que o 
aluno ganhe experiência na busca de sua forma individual de resolver as 
tarefas, buscando sua própria orientação no caminho da descoberta de 
seus objetivos; desta maneira, muitas relações entre os objetos de estudo 
se tornam mais claras.
• FASE 5 – INTEGRAÇÃO ou FECHAMENTO: Esta fase é de revisão e síntese 
do que foi estudado, visando uma integração global entre os materiais 
didáticos, o conteúdo e as relações estabelecidas, com a conseqüente 
unificação e internalização em um novo domínio de pensamento. O papel 
do professor nesta fase é de auxiliar no processo de síntese, fornecendo 
experiências e observações globais, sem todavia introduzir idéias novas 
ou discordantes.
Ao final desta quinta fase, os alunos devem ter alcançado um novo nível 
de pensamento, estando aptos a repetir as fases de aprendizagem para acessarem o 
nível seguinte. 
Portanto, para o desenvolvimento de cada nível de pensamento do 
aluno para um determinado conceito, o professor deve seguir estas fases, sendo 
que não necessariamente precisa empregar toda a seqüência das cinco fases, no 
desenvolvimento do nível desejado. 
Observações Advindas da Prática Pedagógica no LEG
A prática na formação de professores de Matemática realizada no LEG 
tem mostrado que o Modelo de van Hiele é de grande auxílio para o 
professor.
Ter sido observado que:
• na fase da EXPLICITAÇÃO, e com base nas tarefas realizadas na fase 
anterior da ORIENTAÇÂO DIRETA, o aluno deve ser incentivado a expressar 
de diversas maneiras as suas opiniões sobre o que observa, inclusive por 
meio de esquemas gráficos, desenhos, tabelas etc. Além disso, esta fase 
deve ser realizada em interação com os colegas e não somente com o 
professor. Dessa forma, o diálogo na sala de aula, não deve ser somente 
entre professor e aluno, mas também deve envolver os estudantes entre si.
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A colocação dos alunos em grupos, preferencialmente de quatro 
indivíduos, para a realização das tarefas facilita essa interação, até 
mesmo no caso da realização de atividades individuais.
• a fase do FECHAMENTO deve ser realizada pelo professor, o qual deve 
levar o aluno a registrar no seu caderno as conclusões sobre o conceito 
geométrico tratado. Desta forma, o aluno tem por escrito as conclusões 
sobre o assunto tratado e que podem ser revistas sempre que julgar 
necessário. Além disso, é importante que os alunos acostumem-se a 
escrever, o que os ajuda a internalizar o conteúdo aprendido, mesmo que 
essa escrita seja somente uma reprodução do que o professor fala, ou até 
mesmo uma cópia do que coloca no quadro, uma vez que o fechamento é 
responsabilidade do professor.
Existem muitos autores que apresentam críticas 
negativas a esta teoria de 
van Hiele, por considerá-la 
pouco adequada à escola de 
nossos dias. Esses críticos 
consideram o Modelo 
ser muito centrado na 
atuação do professor e a não 
incentivar a interação e o 
trabalho cooperativo entre 
os alunos. Essas críticas, 
no entanto, como tem 
sido vivenciado no LEG, 
não devem tirar o valor 
pedagógico do Modelo, pois 
podem ser ultrapassadas com 
o emprego de procedimentos 
didáticos mais adequados 
aos dias atuais, como os aqui 
apontados.Observações Auxiliares sobre o Modelo
Para cada conceito geométrico o aluno deve desenvolver os cinco níveis 
de pensamento. 
Para fazer o aluno desenvolver um determinado nível de pensamento do 
conceito considerado, o professor pode aplicar procedimentos didáticos 
abrangendo as 5 fases de ensino, no entanto, estas fases são facultativas 
e o professor aplicará todas, quando achar necessário. 
A fase da EXPLICITAÇÃO deve ser realizada também entre os colegas 
A fase do FECHAMENTO deve ser realizada pelo professor.
Uma atividade didática é dita ser de um determinado nível se a sua 
realização ajuda o aluno a adquirir este nível.
Alguns autores enumeram os níveis de 1 a 5 e usam outras denominações, 
por exemplo, básico para o primeiro nível da visualização e síntese para 
o nível da ordenação informal. 
Na Segunda Parte do presente volume, serão apresentados exemplos de 
aplicações do Modelo de van Hiele para a sala de aula.
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RESUMO DO MODELO DE VAN HIELE
Níveis do Desenvolvimento do Pensamento 
Nível 0
Visualização
ou
Reconhecimento
O aluno raciocina por meio de considerações visuais. Conceitos geométricos são 
levados em conta como um todo, sem considerações explícitas das propriedades 
dos seus componentes. Aprende o vocabulário geométrico, identifica formas 
específicas e reproduz uma figura dada.
Nível 1
Análise
Através de uma análise informal, o aluno raciocina sobre conceitos geométricos, 
discerne características de figuras geométricas, estabelece propriedades e as 
usam para conceituar classes e formas. 
Nível 2
Dedução Informal 
ou
Ordenação
O aluno forma definições abstratas, estabelece inter-relações das propriedades 
nas figuras e entre figuras. Entende a importância de definições precisas e é 
apenas capaz de acompanhar provas formais.
Nível 3
Dedução Formal
O aluno compreende o significado da dedução e do papel dos axiomas, 
postulados, teoremas e provas. Pode construir provas e percebem a possibilidade 
de desenvolver uma prova de mais de uma maneira.
Nível 4
Rigor
O aluno analisa vários sistemas dedutivos com um alto grau de rigor, compara 
sistemas baseados em diferentes axiomas e é capaz de estudar várias 
geometrias.
Fases Didáticas
Fase 1
Questionamento
ou
Informação
Professor e aluno estabelecem um diálogo. O professor busca perceber quais os 
conhecimentos anteriores os alunos têm do assunto a ser tratado.
Fase 2
Orientação Direta
Os alunos devem explorar o conceito em estudo por meio de materiais didáticos 
apresentados pelo professor.
Fase 3
Explicitação
Os alunos refinam o uso do vocabulário, expressando suas opiniões sobre o que 
observam. Nesta fase, o papel do professor deve ser minimizado.
Fase 4
Orientação Livre
As tarefas apresentadas ao aluno devem ser de múltiplas etapas. O aluno deve ganhar 
experiência individual em como resolver as tarefas.
Fase 5
Integração
ou
Fechamento
Revisão e síntese do que foi estudado, visando uma integração global sobre do 
assunto. O papel do professor é o de auxiliar no processo de síntese, sem introduzir 
nada de novo.
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 QUESTIONAMENTO INSTIGADOR 
a) Você, como professor, acha que o modelo de van Hiele pode realmente 
ajudá-lo em busca de um procedimento didático mais adequado ao 
desenvolvimento cognitivo do seu aluno e com o conhecimento 
geométrico a ser ministrado? Por quê?
b) Como professor, você saberia propor atividades apropriadas ao 
desenvolvimento de um conceito geométrico a partir da visualização 
da sua forma geométrica, seguindo pela análise de seus atributos, pela 
síntese e organização informal de suas propriedades geométricas? Você 
acha que desta maneira estaria levando o aluno a realizar os passos 
preparatórios para o entendimento da definição matemática e da 
formalização do referido conceito geométrico? Por quê?
c) Você acha que as atividades que realizou até agora seguem as 
recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais. Justifique sua 
resposta.