aula-12-Análise-de-Variância

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Disciplina: EN07049 – ESTATÍSTICA aplicada a Eng. Sanitária 
Professor: Raimundo de Souza 
Aula 12: Análise de Variância. 
 
12. Análise de Variância 
A comparação direta entre as somas de quadrados não nos parece justa, pois alguns modelo podem ter mais 
parâmetros do que outros. 
Quanto maior a variância do erro, menor a precisão do estimador. Uma das formas de reduzir a variância do 
erro é acrescentar outras variáveis explicativas ao modelo. 
 Vejamos, então, como comparar as variâncias residuais. Para o modelo de regressão simples o estimador não 
viesado do erro é σ2 que é dado por: 
𝜎𝑒
2̂ =
𝑆𝑄𝑅
𝑛 − 2
=
∑(𝑦�̂� − �̅�)
2
𝑛 − 2
 
Usando esse estimador, podemos obter o desvio-padrão para a e b (coeficientes da regressão): 
𝜎�̂� =
𝜎𝑒
𝑛1 2⁄ 𝜎𝑥
 
𝜎�̂� =
𝜎𝑒√∑𝑥
2
𝑛𝜎𝑥
 
Como a e b são estimadores, eles não apenas variam de amostra para amostra, mas, para certa amostra, eles 
são dependentes um do outro. Essa tendência é medida pela covariância entre eles: 
𝑐𝑜𝑣(𝑎, 𝑏) = −�̅�. (𝜎�̂�)
2 
Os valores das somas dos quadrados justificam que se associe às somas de quadrados total, de regressão e 
residual n – 1, 1 e n − 2 graus de liberdade, respectivamente. Por definição, os quadrados médios são obtidos 
dividindo as somas de quadrados pelos respectivos graus de liberdade. 
De posse destes resultados, podemos conduzir a análise de variância da regressão linear simples. Podemos 
resumir as informações anteriores numa única tabela ANOVA, conforme o esquema seguinte: 
Análise da Variância 
Causas de Variação Graus de Liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios 
 Regressão 1 SQE SQE 
Resíduos n - 2 SQR SQR/n - 2 
Total n - 1 SQT SQT/n - 1 
 
 
Exemplo: 
1) Seja a relação entre renda familiar em salários-mínimos (Y), anos de estudo (X) do responsável pela família: 
Y (Renda) 4 8 10 12 
X (Anos Estudo) 1 4 6 7 
a) A partir dos dados de uma amostra de 4 observações, as estimativas de MQO para a função amostral serão? 
b) As estimativas das variâncias dos erros e dos estimadores de MQO serão? 
c) construa a tabela de análise de variância. 
 
Exercício: 
2) Sabendo que Y é o custo total de produção correspondente à quantidade produzida X, para empresas de 
fabricação de fertilizante. Neste caso, b representa o custo fixo (custo existente mesmo quando X = 0) e a 
representa o custo por quantidade. 
X 0 1 1 2 3 3 4 5 5 6 
Y 3 2 3 5 4 4 7 6 7 9 
a) A partir dos dados dê as estimativas de MQO para a função amostral. 
b) As somas dos quadrados serão? 
c) As estimativas das variâncias dos erros e dos estimadores de MQO serão? 
d) construa a tabela de análise de variância. 
 
2) Nesse exercício a reta de regressão é a linha que permite prever o comportamento do PIB agropecuário a 
partir da temperatura média no verão. Você enquanto ministro(a) da agricultura, com base nas discussões 
recentes sobre mudança climática, poderia perguntar qual o efeito do aquecimento global sobre o PIB da 
agropecuária. Com base nos seus conhecimentos de estatística, qual seria sua resposta para tal pergunta? 
Y (milhão) 0,5 2 1,2 3 1,5 
x (célsius) 34 30 34 29 33