Questão resolvida - Considere as funções f(x)sen(x) e g(x)ln(x) e o intervalo de integração [1,_2] dados no sistema cartesiano a seguir, - Cálculo - Universidade Estácio de Sá

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• Considere as funções e e o intervalo de integração f x = sen x( ) ( ) g x = ln x( ) ( )
 dados no sistema cartesiano a seguir,1,
𝜋
2
Qual é a alternativa que apresenta o valor da medida da área da região hachurada?
 
 a. □ -1 + ln - 1 + cos 1
𝜋
2
𝜋
2
( )
 b. □ -1 + ln + 1 + cos 1
𝜋
2
𝜋
2
( )
 c. □ -1 + ln + 1 - cos 1
𝜋
2
𝜋
2
( )
 d. □ -1 - ln + 1 - cos 1
𝜋
2
𝜋
2
( )
 e. ⬛ -1 - ln - 1 + cos 1
𝜋
2
𝜋
2
( )
 
 
 
Resolução:
 
A área da função e o eixo no intervalo que desejamos encontrar a área é;sen x( ) x
A área da função e o eixo no intervalo que desejamos encontrar a área hachurada é; ln x( ) x
Perceba que a área da região que desejamos conhecer a área, é a diferença entre a área da 
primeira rigião, menos a área da segunda, como a integral no intervalo fornece essas áreas.
 
 
Assim, temos que a área da região hachurada é dada por;
 
A = sen x dx - ln x dx
1
∫
𝜋
2
( )
1
∫
𝜋
2
( )
 
Vamos resolver as integrais em suas formas indefinidas separadamente;
 
sen x dx = - cos x + c∫ ( ) ( )
 
 
ln x dx usando integração por partes : udv = uv - vdu∫ ( ) → ∫ ∫
 
u = ln x du = dx; dv = dx v = x( ) →
1
x
→
Voltando para integral definida da área. temos;
 
A = sen x dx - ln x dx = -cos x - ln x x - x
1
∫
𝜋
2
( )
1
∫
𝜋
2
( ) [ ( )]
1
𝜋
2
[ ( ) ]
1
𝜋
2
 
Resolvemos, então, para chegar no vslor da área desejada;
 
A = 0 + cos 1 - ln - + 0 - 1 = + cos 1 - ln - - 1( )
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
( ) ( )
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
 
A = - 1 - ln - 1 + cos 1
𝜋
2
𝜋
2
( )
 
 
ln x dx = ln x x - x ⋅ dx = ln x x - 1dx = ln x x - x + c∫ ( ) ( ) ∫ 1
x
( ) ∫ ( )
A = -cos x - ln x x - x = -cos - -cos 1 - ln - - ln 1 ⋅ 1 -[ ( )]
1
𝜋
2
[ ( ) ]
1
𝜋
2 𝜋
2
( ( ))
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
( ( )
00
(Resposta)