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LISTA DE EXERCÍCIOS
Pré-Cálculo
UFF – GMA (*) 05
Função raiz quadrada, funções da forma y = f(x) =
√
a2 − x2, funções potência
[01] Determine o domı́nio natural (efetivo/maximal) de cada uma das funções indicadas abaixo.
(a) f(x) =
√
2x− 3, (b) f(x) =
√
|x| − 1, (c) f(x) =
√
−x,
(d) f(x) =
√
|x|, (e) f(x) =
√
x/(x2 − 1), ( f ) f(x) =
√
x/
√
x2 − 1.
[02] Considere a sentença √
a = b ⇒ a = b2.
(a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira
e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(b) Escreva a rećıproca da sentença. A rećıproca é verdadeira ou falsa? Apresente uma
demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
[03] (Resolvendo equações com ráızes quadradas) Ao se resolver uma equação envolvendo
ráızes quadradas, é comum “elevarmos cada lado da equação ao quadrado”. Por exemplo,
para resolver a equação √
x+ 3 = x+ 1,
é comum considerar a equação
(
√
x+ 3)2 = (x+ 1)2,
isto é,
x+ 3 = (x+ 1)2.
Contudo, pelo exerćıcio anterior, vale que toda solução de
√
x+ 3 = x + 1 é solução de
x + 3 = (x + 1)2, mas nem toda solução de x + 3 = (x + 1)2 é solução de
√
x+ 3 = x + 1.
Neste exemplo, x = −2 é solução da equação x + 3 = (x + 1)2, mas x = −2 não é solução
da equação
√
x+ 3 = x + 1. Assim, cuidado! Como o processo de “elevar cada
lado de uma equação ao quadrado” gera uma implicação e não uma equivalência,
nem toda solução da equação final é solução da equação inicial! É preciso tirar a
“prova real” das soluções calculadas no final!
Resolva as equações indicadas a seguir.
(a)
√
x− 1 = x− 3, (b)
√
x2 − 3 =
√
x− 3, (c) x+
√
x− 2 = 4.
[04] Considere a sentença
a ≤
√
b ⇒ a2 ≤ b.
(a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira
e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(b) Escreva a rećıproca da sentença. A rećıproca é verdadeira ou falsa? Apresente uma
demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
[05] Resolva a desigualdade x ≤
√
3x− 2.
1
[06] Considere a função
f(x) =
2x
√
x+ 1− x
2
2
√
x+ 1
x+ 1
.
(a) Determine o domı́nio natural (efetivo) de f .
(b) Mostre que
f(x) =
x (3x+ 4)
2 (x+ 1)
√
x+ 1
para todo x no domı́nio natural (efetivo) de f .
(c) Determine (caso existam) os valores de x para os quais f(x) > 0.
[07] Desenhe os gráficos das funções
f(x) =
√
1− x2, g(x) = −
√
1− x2 e h(x) =
√
7− x2.
[08] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma
calculadora gráfica.
(a) y = x2, (b) y = x5, (c) y = x8.
[09] (Sugerido por Mauŕıcio Quintanilha da Silva) Considere uma função f : R→ R ı́mpar.
(a) Mostre que se f é crescente no intervalo [0,+∞[, então f também é crescente no interva-
lo ]−∞, 0].
(b) Usando a identidade
xn2 − xn1 = (x2 − x1)(xn−12 + xn−22 x1 + · · ·+ x2xn−21 + xn−11 )
mostre que f(x) = xn é crescente no intervalo [0,+∞), com n ∈ N ı́mpar.
(c) Usando os itens (a) e (b), mostre que f(x) = xn é crescente em R, com n ∈ N ı́mpar.
[10] Qual número é maior? 23000 ou 32000? Justifique sua resposta!
2
[11] Considere a função y = f(x) = x2 e dois números reais a e b positivos. Mostre que a ordenada
do ponto de interseção da reta que passa pelos pontos (−a, f(−a)) e (b, f(b)) com o eixo y é
igual ao produto a b dos números a e b.
x
y
b
ab
y= x 2
Usando esta propriedade, é posśıvel criar uma “máquina” de multiplicar números. A figura
abaixo ilustra tal “máquina” elaborada pelo Laboratório de Ensino de Matemática da UFPE
(a foto foi tirada na V Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, na UFPB, em outubro
de 2010).
[12] Por que 4
√
1 = 1?
[13] Por que 4
√
16 é diferente de −2, apesar de (−2)4 ser igual a 16? E por que 5
√
−243 = −3?
[14] Um aluno deu o seguinte argumento para provar que
4
√
a4 = a, para todo a ∈ R:
4
√
a4
(1)
= (a4)
1
4
(2)
= a4·
1
4
(3)
= a1
(4)
= a.
O argumento do aluno está correto? Em caso negativo, especifique quais igualdades estão
erradas.
[15] Mostre que se n ∈ N e n é par, então f(x) = n
√
x = x1/n é uma função crescente em [0,+∞).
3
[16] Mostre que se n ∈ N e n é ı́mpar, então f(x) = n
√
x = x1/n é uma função crescente em R.
[17] Sejam x1, . . . , xn números reais não negativos. As médias aritmética e geométrica destes n
números são definidas, respectivamente, por
MA =
x1 + · · ·+ xn
n
=
1
n
n∑
i=1
xi e MG = n
√
x1 · · · · · xn = n
√√√√ n∏
i=1
xi.
(a) Calcule as médias aritmética e geométrica dos números x1 = 1, x2 = 1/2 e x3 = 1/4.
Qual média é maior?
(b) Considere um bloco retangular B cujas arestas medem a, b e c. Qual é a medida da
aresta do cubo cujo volume é igual ao volume do bloco retangular B?
(c) Mostre que se x1 = · · · = xn = α ≥ 0, então as médias aritmética e geométrica são
ambas iguais a α: MA = MG = α.
Observação: é posśıvel demonstrar (usando, por exemplo, indução) que a média geométrica
de n números não negativos é sempre menor do que ou igual a média aritmética destes n
números. Mais ainda: as duas médias são iguais se, e somente se, os n números são todos
iguais.
[18] A notação n
√
xm, com n,m ∈ N, n ı́mpar e x ∈ R, pode ser lida da seguinte maneira:
n
√
xm denota o único número real que elevado a n é igual a xm.
Como podem ser lidas as notações indicadas abaixo?
(a) n
√
xm, com n,m ∈ N, n par e x ≥ 0.
(b) ( n
√
x)m, com n,m ∈ N, n par e x ≥ 0.
(c) n
√
m
√
x, com n,m ∈ N, m e n ı́mpares e x ∈ R.
(d) n·m
√
x, com n,m ∈ N, m e n ı́mpares e x ∈ R.
[19] Mostre que para todo a, b ≥ 0, vale que 3
√
a+ b ≤ 3
√
a + 3
√
b. Dica: use a identidade
(x1 + x2)
3 = x31 + 3x
2
1x2 + 3x1x
2
2 + x
3
2, com x1 =
n
√
a e x2 =
n
√
b.
[20] Demonstre todas as propriedades das ráızes n-ésimas apresentadas em sala de aula.
[21] Seja f(x) = 1/xn, com n ∈ N. Mostre que f é uma função decrescente no intervalo ]0,+∞[.
Mostre também que se n é par, então f é crescente no intervalo ]−∞, 0[ e que se n é ı́mpar,
então f é decrescente no intervalo ]−∞, 0[.
[22] Sabemos que se a e b são números naturais, então (xa)b = xa·b = (xb)a para todo x ∈ R.
Mostre que esta identidade é falsa se a e b são números racionais.
[23] Na análise forense de incidentes envolvendo explosivos, muitas vezes é necessário estimar a
quantidade de explosivo usada a partir dos danos observados à infraestrutura. Certamente
esta não é uma tarefa simples. No entanto, a base de cálculos práticos é a lei de Hopkinson,
que afirma que a distância de perturbação do centro de uma explosão é proporcional à raiz
cúbica da energia dissipada na explosão. No caso de explosivos qúımicos, em vez da energia,
4
podemos considerar a massa total dos explosivos. Além disso, como resultado de medidas
emṕıricas (Kinney e Graham, Explosive Shocks in Air, Springer-Verlag, 1985), essa lei pode
ser estendida para uma fórmula simples, que dá o diâmetro D da cratera (em metros) que
resulta de uma carga explosiva colocada ao ńıvel do solo em função da massa M dos explosivos
(em quilogramas de TNT):
D = 0.8M1/3.
Para explosões subterrâneas, uma análise mais complexa é necessária.
(a) Calcular o diâmetro aproximado da cratera resultante de uma carga explosiva equivalente
a 60 kg de TNT.
(b) Determine a massa aproximada de TNT responsável por uma explosão que resulta em
uma cratera de 4 m de diâmetro.
(c) Qual deve ser o aumento percentual na massa de um explosivo a fim de dobrar o tamanho
da cratera resultante?
Observação: este exerćıcio foi extráıdo do livro Essential Mathematics and Statistics for
Forensic Science de Craig Adam, publicado pela John Wiley & Sons em 2010.
[24] Funções da forma f(x) = c · xα são muito usadas em Biologia no estudo do tamanho e da
forma dos seres vivos. De fato, os biólogos têm um nome especial para funções deste tipo:
funções alométricas. Por exemplo,
y = 12.03x0.127é uma função alométrica que modela o tempo y de incubação (medido em dias) de um ovo
em função de sua massa x (medida em gramas). Sabendo que um ovo de um beija-flor tem
em média massa igual a 0.2 g, use a fórmula acima (e uma calculadora) para estimar o tempo
de incubação deste tipo de ovo.
[25] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma
calculadora gráfica.
(a) y = 3x, (b) y = 3x, (c) y = x3, (d) y = 3
√
x.
5
Respostas dos Exerćıcios
Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las!
[01] (a) D = [3/2,+∞[, (b) D =] −∞,−1] ∪ [1,+∞[, (c) D =] −∞, 0], (d) D = R, (e) D =
]− 1, 0]∪]1,+∞[, ( f ) D =]1,+∞[.
[02] (a) A sentença é verdadeira, pois a = (
√
a)2 = b2.
(b) Rećıproca da sentença: a = b2 ⇒
√
a = b. A rećıproca é falsa, pois possui um contra-
exemplo: a = 1 e b = −1. Note que
√
a = 1 e b2 = 1, de modo que a = b2 (a = 1 e
b = −1 satisfazem a hipótese da rećıproca) mas
√
a = 1 6= −1 = b (a = 1 e b = −1 não
satisfazem a tese da rećıproca).
[03] (a) S = {5}, (b) S = ∅, (c) S = {3}.
[04] (a) A sentença é falsa, pois possui um contraexemplo: a = −2 e b = 1. Note que a2 = 4 e√
b = 1, de modo que a ≤
√
b (a = −2 e b = 1 satisfazem a hipótese da sentença) mas
a2 > b (a = −2 e b = 1 não satisfazem a tese da sentença).
(b) Rećıproca da sentença: a2 ≤ b⇒ a ≤
√
b. A rećıproca é verdadeira. De fato: sejam a e
b dois números reais tais que a2 ≤ b. Como a2 ≥ 0, segue-se que b ≥ 0. Como a função
raiz quadrada é crescente, segue-se que
√
a2 ≤
√
b. Mas
√
a2 = |a| e a ≤ |a| para todo
a ∈ R. Assim, a ≤
√
b.
[05] Se x é uma solução da desigualdade, então 3x−2 ≥ 0, isto é, x ≥ 2/3. Em particular, x ≥ 0.
Como a função x 7→ x2 e x 7→
√
x são crescentes no intervalo [0,+∞), segue-se que
2/3 ≤ x ≤
√
3x− 2⇔ 2/3 ≤ x e x2 ≤ (
√
3x− 2)2.
Mas
2/3 ≤ x e x2 ≤ (
√
3x− 2)2 ⇔ 2/3 ≤ x e x2 ≤ 3x−2⇔ 2/3 ≤ x e x2−3x+2 ≤ 0⇔ x ∈ [1, 2].
Desta maneira, S = {x ∈ R | x ≤
√
3x− 2} = [1, 2].
[06] (a) D =]− 1,+∞[.
(b) Observe que
f(x) =
2x
√
x+ 1− x
2
2
√
x+ 1
x+ 1
=
4x (
√
x+ 1)2 − x2
2
√
x+ 1
x+ 1
=
4x (x+ 1)− x2
2 (x+ 1)
√
x+ 1
=
x (3x+ 4)
2 (x+ 1)
√
x+ 1
.
(c) f(x) > 0 se, e somente se, x ∈]0,+∞[.
[08] (a) h, (b) f , (c) g.
6
[09] (a) Sejam x1, x2 ∈]−∞, 0], com x1 < x2. Mas se x1 < x2, então −x1 > −x2 e, se x1, x2 ∈]−
∞, 0], então −x1,−x2 ∈ [0,+∞[. Como, por hipótese, f é crescente no intervalo [0,+∞[,
segue-se que
f(−x1) > f(−x2).
Sabemos que, por hipótese, f é uma função ı́mpar. Logo, f(−x1) = −f(x1) e f(−x2) =
−f(x2). Assim,
f(−x1) > f(−x2)⇒ −f(x1) > −f(x2)⇒ f(x1) < f(x2).
Mostramos então que, para todo x1, x2 ∈] −∞, 0], com x1 < x2, tem-se f(x1) < f(x2).
Logo, f é crescente no intervalo ]−∞, 0].
(b) Sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 < x2. Temos então que x1 ≥ 0, x2 > 0 e x2 − x1 > 0.
Mas se x1 > 0 e x2 ≥ 0, então
xn−12 > 0, x
n−2
2 x1 ≥ 0, · · · , x2xn−21 ≥ 0, xn−11 ≥ 0.
Em particular, xn−12 + x
n−2
2 x1 + · · ·+ x2xn−21 + xn−11 > 0. Portanto,
xn2 − xn1 = (x2 − x1)︸ ︷︷ ︸
>0
(xn−12 + x
n−2
2 x1 + · · ·+ x2xn−21 + xn−11 )︸ ︷︷ ︸
>0
> 0
Mas, se xn2 − xn1 > 0, então xn1 < xn2 . Isto mostra que f é crescente no intervalo [0,+∞[.
(c) Pelos itens (a) e (b), sabemos que f é crescente em [0,+∞[ e em ] −∞, 0]. Se n ∈ N
é impar, então f(x) > 0 para todo x ∈]0,+∞[ e f(x) < 0 para todo x ∈] − ∞, 0[.
Sejam agora x1, x2 ∈ R com x1 < x2. Temos três possibilidades: (1) x1, x2 ∈ [0,+∞[,
(2) x1, x2 ∈]−∞, 0] e (3) x1 ∈]−∞, 0[ e x2 ∈]0,+∞[. Nos três casos xn1 < xn2 . Logo f
é crescente em R.
[10] 32000 é maior do que 23000, pois 32000 = (32)1000 = 91000 > 81000 = (23)1000 = 23000.
[12] 4
√
1 = 1 porque 1 é um número não negativo e 14 = 1.
[13] Apesar de −2 elevado a 4 ser igual a 16, −2 é um número negativo e, por definição, 4
√
16 é
o único número real não negativo que elevado a 4 é igual a 16 (uma raiz n-ésima, com n par,
é sempre não negativa). Desta maneira, 4
√
16 é igual a 2 e não −2. Agora, 5
√
−243 = −3
porque −3 é o (único) número real que elevado a 5 é igual a −243.
[14] Apenas a igualdade (2) está errada. Se a = −1, então (a4) 14 = ((−1)4) 14 = 1 14 = 1 e
a4·
1
4 = a1 = a = −1. Logo, para a = −1, (a4) 14 6= a4· 14 .
[15] Sugestão: use o Exerćıcio [19] da Lista 9.
[16] Sugestão: use o Exerćıcio [19] da Lista 9.
[22] De fato: sejam a = 2, b = 1/2 e x = −1. Temos que (xa)b = ((−1)2) 12 = 11/2 = 1 e
xa·b = (−1)2· 12 = (−1)1 = −1, enquanto que (xb)a = ((−1)1/2)2 não está definido, pois a
função x 7→ x1/2 está definida para x ≥ 0 e −1 é menor do que 0.
[23] (a) Aproximadamente 3.1 m. (b) 125 kg. (c) 800%.
7
[24] Pelo modelo, o tempo de incubação de um ovo de um beija-flor é igual a 12.03 (0.2)0.127 ≈
10 dias.
[25] (a) G, (b) f , (c) F , (d) g.
* Questões propostas pelo professor Humberto Bortolossi.
Texto composto em LATEX2e, 12/05/2017.
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