Leis de Kepler: Movimento dos Planetas

Prévia do material em texto

Leis 
 
de 
 
Kepler 
 
Prof. Salete Buffoni 2 
Volta Redonda, 9 de julho de 2003 
 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
UFF 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Vetorial 
 
 
Assunto: Demonstração da segunda e terceira Leis de Kepler 
 
 
 
 
Componentes: Turma: V2 
 
Aline de Almeida Fonseca 
Alvim Flores de Carvalho 
Leonardo Matos Machado 
Rodrigo Vieira da Fonseca 
 
 
Professora: Salete Buffoni 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Salete Buffoni 3 
 
 
 
 
 
 
 
Índice: 
 
 
Introdução: As Três Leis de Kepler sobre o Movimento dos Planetas 
 
Desenvolvimento: Demonstração da segunda e terceira lei de Kepler 
 
Aplicação 
 
Conclusão 
 
Bibliografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Salete Buffoni 4 
 
 As Três Leis de Kepler sobre o Movimento dos Planetas 
 
 
 
O astrônomo alemão Johannes Kepler destruiu a velha crença no Geocentrismo, ao 
comprovar que os planetas se movem em elipses em volta do Sol e que o Sol é o centro das 
órbitas dos planetas. Suas três leis sobre os movimentos dos planetas, conhecidas como 
Leis de Kepler, tiveram uma influência profunda na astronomia e ainda são fundamentais 
para o que conhecemos hoje do Sistema Solar. Publicou diversas obras importantes, como 
Mysterium cosmographicum, Astronomia nova, Dioptrice, Epitome astronomiae 
copernicanae, Harmonice mundi, Tabulae rudolphinae e Solemnium. 
Johannes Kepler nasceu no dia 27 de dezembro de 1571, em Weil der Stadt, Württemberg, 
um Estado independente que fazia parte do Sacro Império Romano-Germânico. 
Em 1588 terminou a primeira parte de seus estudos na Universidade de Tübingen, na 
Alemanha. Começou a estudar filosofia, matemática e astronomia na Universidade de 
Tübingen em 1589, tendo sido diplomado mestre em 1591. Em 1594 ele assumiu o cargo 
de professor de matemática e astronomia em Graz, na Áustria. 
Em 1596 publicou Mysterium cosmographicum, obra que contém sua teoria de que as 
distâncias entre o Sol e os seis planetas então conhecidos podiam ser relacionadas com 
figuras geométricas. Em 1598 Kepler foi forçado a deixar Graz devido a perseguições 
religiosas. Passou um ano em Praga antes de voltar a Graz. Em 1600 foi expulso novamente 
de Graz, tendo voltado a Praga, onde se tornou assistente do astrônomo dinamarquês Tycho 
Brahe (1546–1601), que substituiu, após a morte deste, como matemático imperial do 
imperador Rodolfo II. 
Em outubro de 1604 observou uma supernova, catalogada desde então como a Nova de 
Kepler. 
 No século 16, o astrônomo polonês 
Nicolaus Copernicus trocou a visão 
tradicional do movimento planetário centr
na Terra por um em que o Sol está no cent
os planetas giram em torno deste em órbit
circulares. Embora o modelo de Copérnic
estivesse muito próximo de predizer o 
movimento planetário corretamente, exist
discrepâncias. Isto ficou particularmente 
evidente para o planeta Marte, cuja órbita 
havia sido medida com grande precisão pe
astrônomo dinamarquês Tycho Brahe. 
O problema foi resolvido pelo 
matemático alemão Johannes Kepler, que 
descobriu que as órbitas planetárias não er
círculos, mas elipses. Kepler descreveu o 
movimento planetário por três leis. 
Prof. Salete Buffoni 5 
Em 1609 publicou Astronomia nova, na qual enunciou a Primeira e a Segunda Leis de 
Kepler. Demonstrou nesta obra que os planetas se movem em elipses, com o Sol no centro, 
e que linhas imaginárias do Sol às suas órbitas são proporcionais ao tempo gasto para 
percorrê-las. 
Em 1619 publicou Harmonice mundi, a Terceira Lei de Kepler, que é a relação da distância 
entre um planeta e o Sol e o tempo que o planeta leva para completar uma órbita em torno 
do Sol. 
 
 
 
Em 1627 concluiu Tabulae rudolphinae, um catálogo de 1.005 estrelas. Iniciado por 
Tycho Brahe, incluía tabelas de posições astronômicas dos planetas. 
Kepler faleceu de febre em 15 de novembro de 1630. 
Em 1631 foi publicado Solemnium, um conto de ficção científica escrito por Kepler vinte 
anos antes, onde era descrito o sonho de uma viagem à Lua. 
 
Demonstração da segunda e terceira lei de Kepler 
 
Segundo a primeira lei de Kepler, os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do 
sol. 
 
 
Esse movimento de rotação em torno do sol se dá devido a força gravitacional, que 
atua paralelamente à reta que une os planetas. 
 
 
 r 
F
r
Prof. Salete Buffoni 6 
 
 
 Fazendo um somatório dos torques em relação ao ponto (0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fr
rr
∧=)0(τ ; como r
r é paralelo a F
r
 para qualquer posição na órbita 0)0( =τ
r 
A soma vetorial de todos os torques que atuam sobre uma partícula é igual a sua taxa 
de variação do momento angular em relação ao tempo, assim: 
 ∑ = dt
Ld
r
τ 
dt
Ld
r
=)0(τ 0=∴ dt
Ld
r
 
 
 
O vetor momento angular em relação a (0) é constante com o tempo. Isto significa 
que L
r
 não pode variar nem em módulo, nem em direção, nem em sentido. 
L
r
 é definido como o produto vetorial do vetor rr pelo vetor momento linear pr . 
 
 
 
 
 rr e pr definem o plano da órbita. 
 
 
 
 
L
r
 é perpendicular a esse plano formado por rr e pr . Se o plano de órbita mudasse, 
L
r
mudaria de direção. Como L
r
 não pode mudar de direção, o plano de órbita não pode 
mudar. 
Portanto, a conservação de direção e sentido do vetor L
r
 implica que a órbita dos 
planetas é constante. 
Partiremos do princípio que a órbita do planeta é uma elipse de excentricidade nula ( 
circunferência ) , com o sol no seu centro. 
A equação da circunferência centrada na origem é: 
 
 
 
 
 222 ryx =+ 
 
(0) 
rr
pr
)(trr
x 
y 
)(tV
r
 
θ
0
)0( )0(
Prof. Salete Buffoni 7 
 
 
Parametrizando a curva; 
 
πθθθ 20sencos ≤≤== ryrx 
Vetor posição é dado por: jrirr
rrr θθθ sencos)( += 
 
Usando a regra da cadeia: 
dt
d
dt
rd
dt
rdtV θ⋅==
rrr
)( 
 
 j
dt
dri
dt
drtV
rrr





+




−=
θθθθ cossen)( 
 
Adotando o vetor h
r
 como vrh rr
r
∧= , temos: 
 
 [ ] [ ] 




⋅+−∧+=
dt
djriririrh θθθθθ
rrrrv
cossensencos 
 ( )
dt
djjrijrjiriirh θθθθθθθ ⋅∧+∧−∧+∧−=
rrrrrrrrr
cossensencossencos 222222 
 
 ( ) k
dt
drh
dt
dkrkrh
vrrrr θθθθ 22222 sencos =∴⋅+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o módulo de h
r
, temos: 
 
 φsen⋅⋅=∧ VrVr
rrrr ; rr =r e 
dt
drV θ=
r
 
 
 
dt
drh
dt
drrh θθ 2)º90sen()( =∴⋅




⋅= 
 
 
 
 
h
r
 
vr
rr
Prof. Salete Buffoni 8 
 
Assim, o módulo de h
r
 pode ser 
interpretado como a área do 
retângulo formado por rr e V
r
. 
 
 
 
 
 
Obs.: Como se trata de uma circunferência, 
 temos que o ângulo entre V
r
e rr será 
 para qualquer ponto igual a (90º). 
 
 
Calculando o movimento angular em um ponto qualquer da órbita do planeta, temos: 
 
 VmrLprL
rrrrrr
∧=∴∧= m- massa do planeta 
 ( )VrmL rrr ∧= 
 
Fazendo o produto acima, teremos: k
dt
dmrL
rr θ2= 
Analisando o vetor L
r
, nota-se a existência de uma relação entre L
r
 e h
r
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 hmLhmLk
dt
drh
rrrrrr
=∴=⇒=
θ2 
 
 
Como já foi provado =L
r
constante 
 
 
 
Logo, =h
r
constante 
φ
V
r
rr 
h
Vr
rr
∧
V
r
rr0
L
r
 
rr 
pr 
L
r
 
Prof. Salete Buffoni 9 
 
Considerando o deslocamentode um planeta de uma posição )(trr para uma posição 
+tr (r )t∆ , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
se o intervalo de tempo t∆ for muito pequeno ( )0→∆t , o módulo do vetor deslocamento 
rr∆ ficará muito próximo do valor do comprimento do arco formado por θd . 
 
 
2
θrdrdA ⋅= 
 
 
θdrdA
2
2
= a área e o ângulo variam com o tempo, então: 
 
dt
dr
dt
dA θ
2
2
= 
 
2
h
dt
dA
= ; como consthh ==
r
 
 
consth
dt
dA
==
2
 
 
Essa equação diz que a razão pela qual A é percorrida é constante e prova a segunda 
Lei de Kepler. 
( )ttr ∆+r 
)(trr
rr∆ 
h
dt
dr =θ2
r
θd
θrd dA 
dA
0
θ 
θd
Prof. Salete Buffoni 10 
 
Considerando agora que o período T de um planeta em torno do sol; ou seja, T é o 
tempo requerido para o planeta dar uma volta completa em torno do sol, através de sua 
órbita elíptica, suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam 2a e 
2b. 
O período de rotação do planeta será o tempo que a reta r leva para varrer toda a área 
da elipse. 
 
dthdAh
dt
dA
22
=⇒= 
 
integrando a expressão, temos: ∫∫ =
TAe
dthdA
00 2
 (I) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área da Elipse é dada por: 
 
abAe
abAeabAe
dabAe
dabAe
dy
b
yaAe
dxdyAe
b
b x
ya
π
πθθ
θθ
θθθ
π
π
π
=
⇒⋅=⇒




 +=
⇒=
⇒−=
−=
=
∫
∫
∫
∫ ∫
−
4
4
4
)2sen(
2
14
cos4
cossen14
14
4
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
1
0
2
 
 
 






=
=
θθ
θ
dbdy
by
cos
sen
x
y
a−
b−
b
a 
θ 12
2
2
2
=+
b
y
a
x 
Prof. Salete Buffoni 11 
 
substituindo em (I); 
 
h
abTThabthA Tab πππ 2
22 00
=⇒=⇒⋅= 
 
 
 
 
 
 
2
1
2
222
222
222
)1(
)1(
)(
)(
eab
eab
aeab
aeba
−=
−=
−=
+=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição de semi-lactus rectum 
 
( )22 1 eaT
GM
h
−== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
ce =
b 
a 
Esta é a demonstração de que a órbita, se 
periódica, é elíptica, como diz a primeira lei 
Kepler. 
( )21 eab −= ( )
( )
GM
h
a
b
GM
hT
a
b
aTb
eaab
eab
2222
2
22
222
1
1
=⇒==
=
−⋅=
−=
ae F ´F x 
y
Prof. Salete Buffoni 12 
( )
GM
aT
GM
ahahT
GM
ahaTh
h
abT
GM
ahb
32
2
2
2222
2
2
1
2
2
2
1
2
442
2
πππ
π
=⇒⋅=⇒


















=
=⇒







=
 
 
Toda elipse tem duas diretrizes 1D e 2D (relacionadas com seus dois focos 1F e 2F , 
respectivamente) e uma excentricidade e, com 0< e<1. Se a elipse tiver semi-eixo maior a 
e semi-eixo menor b, então a excentricidade será dada por 
a
ce = , onde 22 bac −= é a 
distância do centro C a cada foco. 
Cada diretriz está d unidades de seu foco correspondente, onde 
c
bd
2
= , e as 
diretrizes são perpendiculares ao eixo maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então podemos provar que: 
 
ed
c
eb
e
c
b
a
b
GM
h
=⋅=== 2
222
 
 
Aplicação: 
 
O período da terra girando em torno do Sol é de aproximadamente 365,25 dias. 
Utilize esse fato e a terceira lei de Kepler para determinar o maior eixo da órbita terrestre. 
Você precisará do valor da massa do Sol, M = 1,99x 1030 kg, e da constante gravitacional, 
G = 6,67 x 10-11 N.m2/kg2. 
 
2F1F 
C 
2D 1D
Prof. Salete Buffoni 13 
211
30
/1067,6
1099,1
25,365
kgmNG
kgM
T
⋅×=
×=
=
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
Kma
ma
a
a
a
M
a
MmG
T
89,76547
09,765478871048,4
1048,4
4
1077,1
4
1099,11067,625,365
)(1067,6
4)25,365(
)(
4
3 23
23
2
25
3
3
2
30112
3
11
2
232
=
=×=
×=
×
=
=
××××
⋅
×
=∴
+
=
−
−
π
π
ππ
Prof. Salete Buffoni 14 
Bibliografia: 
 
 
- Geometria Analítica/ Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. – 2º edição – São Paulo: 
McGraw-Hill,1987 
 
- Cálculo/ Munem,Mustafa, Foulis, David – Volume 1 – Rio de Janeiro – LTC- Livros 
Técnicos e Científicos, Editora S.A. 
 
- astro.if.ufrgs.br/Orbit/orbits.htm 
 
-astro.if.ufrgs.br/kepleis/node5.htm 
 
-www.if.ufrgs.br/~kepler/fis207/bib/bibkepler.html 
 
- br.geocities.com/saladefisica9/biografias/kepler.htm