Introducao a matematica financeira - REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

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SUMÁRIO 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ............................................................................................................... 5 
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 5 
Capital (C) .................................................................................................................................... 6 
Juro (J) .......................................................................................................................................... 6 
Montante (M) .............................................................................................................................. 6 
Taxa de juros (i) .......................................................................................................................... 6 
Prazo (n) ...................................................................................................................................... 6 
Relações básicas ........................................................................................................................ 7 
Exemplo 1.1 ........................................................................................................................... 7 
Exemplo 1.2 ........................................................................................................................... 7 
Fluxo de caixa ............................................................................................................................. 8 
Exemplo 1.3 ........................................................................................................................... 8 
Regime de capitalização simples ............................................................................................. 9 
Exemplo 1.4 ......................................................................................................................... 10 
Exemplo 1.5 ......................................................................................................................... 10 
Exemplo 1.6 ......................................................................................................................... 10 
Exemplo 1.7 ......................................................................................................................... 11 
Exemplo 1.8 ......................................................................................................................... 11 
Exemplo 1.9 ......................................................................................................................... 11 
Taxa proporcional e taxa equivalente ................................................................................... 12 
Exemplo 1.10 ....................................................................................................................... 12 
Exemplo 1.11 ....................................................................................................................... 13 
Exemplo 1.12 ....................................................................................................................... 13 
Exemplo 1.13 ....................................................................................................................... 13 
Valor nominal e valor atual em juros simples ...................................................................... 13 
Exemplo 1.14 ....................................................................................................................... 14 
Exemplo 1.15 ....................................................................................................................... 14 
Juro exato e juro comercial ..................................................................................................... 14 
Regime de capitalização composta ....................................................................................... 15 
Exemplo 1.16 ....................................................................................................................... 15 
Exemplo 1.17 ....................................................................................................................... 15 
Exemplo 1.18 ....................................................................................................................... 16 
Exemplo 1.19 ....................................................................................................................... 16 
Uso de calculadoras financeiras ............................................................................................ 16 
Exemplo 1.20 ....................................................................................................................... 17 
Exemplo 1.21 ....................................................................................................................... 17 
Exemplo 1.22 ....................................................................................................................... 17 
Exemplo 1.23 ....................................................................................................................... 18 
 
 
Períodos não inteiros .............................................................................................................. 18 
Exemplo 1.24 ....................................................................................................................... 18 
Equivalência de taxas .............................................................................................................. 19 
Exemplo 1.25 ....................................................................................................................... 19 
Exemplo 1.26 ....................................................................................................................... 19 
Taxa efetiva e taxa nominal de juros .................................................................................... 20 
Valor nominal e valor atual em juros compostos ................................................................ 20 
Exemplo 1.27 ....................................................................................................................... 21 
Exemplo 1.28 ....................................................................................................................... 21 
INFLAÇÃO E TAXA REAL DE JUROS ................................................................................................. 21 
Inflação e índices de preços ................................................................................................... 21 
Efeito da inflação sobre valores monetários ao longo do tempo ..................................... 26 
Comportamento da inflação ao longo do tempo ................................................................ 27 
Exemplo 1.29 ....................................................................................................................... 28 
Exemplo 1.30 ....................................................................................................................... 28 
Taxa nominal e taxa real de juros ......................................................................................... 28 
Exemplo 1.31 ....................................................................................................................... 29 
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 30 
PROFESSOR-AUTOR ............................................................................................................................. 31 
ROGÉRIO MORI ................................................................................................................................. 31 
FORMAÇÃO ACADÊMICA .........................................................................................................31 
EXPERIÊNCIAS PROFISSIONAIS ............................................................................................... 31 
 
 
 
 
Neste módulo, serão discutidos os principais aspectos relacionados ao regime de capitalização 
simples e ao regime de capitalização composta. Adicionalmente, também será apresentado o 
conceito de inflação e os principais índices de inflação brasileiros. Essa discussão permitirá que, ao 
término do módulo, seja demonstrado como se calcular a taxa de juros real. 
 
Introdução 
Em linhas gerais, pode-se dizer que a matemática financeira tem como objeto de estudo o 
valor de recursos financeiros ao longo do tempo. Esse tipo de análise permite estabelecer valores 
específicos em operações financeiras de diferentes modalidades em diversas situações. Por conta 
disso, apesar de o estudo da matemática financeira ter origem em duas fórmulas relativamente 
simples: a de taxa de juros simples e a de taxa de juros compostos, o tema ganhou diversidade e 
densidade ao longo do tempo. Consequentemente, o volume de livros e cursos relacionados à 
temática cresceu nas últimas décadas, uma vez que os conhecimentos relacionados à matemática 
financeira são importantes não apenas para quem quer atuar no mercado financeiro, mas também 
para quem deseja cuidar adequadamente dos seus investimentos e dos seus recursos financeiros ao 
longo do tempo. 
Os conhecimentos em matemática financeira requerem a definição de alguns conceitos 
básicos essenciais antes que as questões relacionadas aos cálculos financeiros sejam efetivamente 
levadas adiante. 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
6 
 
Capital (C) 
Em termos de matemática financeira, capital é entendido como qualquer valor expresso em 
termos monetários que um agente (pessoa física ou jurídica) empresta para outro agente durante 
certo período. 
 
Juro (J) 
De forma simplificada, o juro pode ser compreendido como a remuneração do capital 
emprestado ou, de outra forma, o “aluguel” pago pelo uso do recurso emprestado. Ele decorre do 
fato de que o emprestador está abrindo mão de utilizar o recurso para emprestá-lo. Ao mesmo 
tempo, o recurso emprestado sofre o efeito da corrosão em termos reais pela inflação ocorrida no 
período. Por fim, também deve ser considerado o risco do não pagamento do empréstimo da parte 
de quem está tomando o recurso emprestado. Todos esses elementos devem entrar no cálculo do 
juro a ser cobrado, que representa o custo do empréstimo para o tomador e a remuneração do 
capital para quem está realizando o empréstimo. 
 
Montante (M) 
Montante é o valor total recebido pelo emprestador ao final da operação. Ele é constituído 
pela soma do capital emprestado mais o juro formado na operação ao longo do período. Em termos 
matemáticos, M = C + J. 
 
Taxa de juros (i) 
A taxa de juros nada mais é do que a relação percentual entre os juros e o capital. Dessa forma, 
se uma aplicação financeira de $ 100.000,00 rendeu $ 10.000,00 em um determinado período, 
dizemos que a taxa de juros foi de 10% nesse período para essa aplicação ($ 10.000/$ 100.000 = 
0,1 = 10%). Em termos de matemática financeira e nas aplicações financeiras do dia a dia, as taxas 
de juros são estabelecidas para períodos de tempo específicos. Ou seja, uma aplicação financeira 
pode render 10% ao ano ou um empréstimo pode ser realizado com taxa de juros de 3% ao mês, e 
assim por diante. 
 
Prazo (n) 
O prazo é um determinado período, podendo ser expresso em qualquer unidade: dia, mês, 
bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre, ano. Em geral, as operações financeiras (e as taxas de 
juros) são expressas em um destes horizontes temporais: ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre 
(a.b.), ao trimestre (a.t.), ao quadrimestre (a.q.), ao semestre (a.s.) e ao ano (a.a.). 
 
 7 
 
É consenso que um ano possui 12 meses, dois semestres, três quadrimestres e quatro 
trimestres. Para efeitos de números de dias, em geral utiliza-se a convenção de 30 dias, de juros 
comerciais. No entanto, para efeitos de juros exatos, o cálculo do número de dias do ano civil, que 
considera, 365 (ou 366 dias) pode ser necessário. Esse tipo de especificação de cálculo é expressa no 
corpo do problema. Adicionalmente, no caso brasileiro, várias operações em mercado financeiro 
consideram o cálculo para dias úteis, que somam 252 dias. 
 
Relações básicas 
Dado que a taxa de juros (i) é a relação entre o juro (J) e o capital (C), podemos observar que: 
 
𝑖𝑖 =
𝐽𝐽
𝐶𝐶
=> 𝐽𝐽 = 𝐶𝐶𝑖𝑖 
 
Sabendo-se que o montante (M) é dado pela soma do capital (C) e do juro (J), temos: 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 + 𝐽𝐽 = 𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝑖𝑖 => 
=> 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶 => 𝑖𝑖 =
𝑀𝑀
𝐶𝐶
− 1 
 
As relações obtidas permitem diferentes resultados, dependendo dos valores e das operações 
realizadas. 
 
Exemplo 1.1 
Um capital de $ 10.000,00 é investido por um ano à taxa de 10% a.a. Qual o juro e o 
montante? 
Resolução: 
J = $ 10.000 x 0,1 = $ 1.000,00 
M = $ 10.000 + $ 1.000 = $ 11.000,00 
 
Exemplo 1.2 
Um capital de $ 20.000,00 foi investido durante 6 meses gerando um montante de 
$ 25.000,00. Qual a taxa de juros no período? 
Resolução: 
 
𝑖𝑖 =
25.000
20.000
− 1 = 0,25 𝑜𝑜𝑜𝑜 25% 𝑎𝑎. 𝑠𝑠. 
 
8 
 
Fluxo de caixa 
A representação do fluxo de caixa em matemática financeira é uma representação gráfica 
muito útil que auxilia a visualização na resolução de problemas. A sua estrutura é dada por um eixo 
horizontal cuja origem é demarcada no instante zero, e a unidade de tempo é definida de acordo 
com a especificação do problema em questão (dia, mês, bimestre, etc.). As saídas de recursos são 
denotadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal orientadas para baixo, e as entradas de 
recursos são definidas por setas perpendiculares orientadas para cima. A figura 1.1 ilustra essa 
relação. 
 
Figura 1.1 – Entradas e saídas de caixa 
 
 
Exemplo 1.3 
Uma pessoa investiu $ 50.000,00 em uma instituição financeira e recebeu $ 6.500,00 de 
juros depois de 12 meses. Apresente o fluxo de caixa do ponto de vista do investidor e do ponto de 
vista da instituição financeira. 
Resolução: 
O fluxo de caixa do ponto de vista do investidor é o seguinte: 
 
Figura 1.2 – Fluxo de caixa: investidor 
 
 
 
 
 9 
 
O fluxo de caixa do ponto de vista da instituição financeira é o seguinte: 
 
Figura 1.3 – Fluxo de caixa: instituição financeira 
 
 
Regime de capitalização simples 
Do ponto de vista técnico, o termo capitalizar significa juntar juros ao capital. Uma das 
formas possíveis de capitalização ocorre por meio da incidência dos juros a cada período apenas 
sobre o capital. Em termos práticos, o juro gerado a cada período é constante e igual ao produto do 
capital pela taxa de juros considerada. Nesse tipo de capitalização, os juros são pagos apenas ao final 
da operação. 
Dessa forma, considerando-se um determinado capital (C), capitalizado a juros simples (i) 
por n períodos, podemos encontrar o total de juros (J) pagos ao final da operação. 
Os juros após o período 1 são iguais a: J1 = C.i 
Os juros após o período 2 são iguais a: J2 = C.i + C.i = 2.C.i 
Os juros após o período 3 são iguais a: J3 = C.i + C.i + C.i = 3.C.i 
Generalizando após n períodos: 
Os juros após o período n são iguais a: Jn = C.i + C.i + C.i + ... + C.i = n.C.i 
Dessa forma, eliminando-se o índice n para não haver confusão, a fórmula dos juros simples 
é dada por: 
 
J = C.i.n 
 
A partir desse resultado, é possível obter a fórmula do montante para o regime de capitalização 
simples. Conforme apontado na unidade 1.1 deste material, o montante é igual ao capital acrescido 
dos juros, ou seja: 
 
M = C + J 
 
 
 
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Substituindo-se os juros (J) pelo resultado obtido, temos: 
 
M = C + C.i.n => 
=> M = C.(1 + i.n) 
 
Note-se que, dado o capital (C) e a taxa de juros (i), o montante (M) cresce de forma linear 
m função do tempo (n). 
É importante observar que o período em que a taxa de juros (i) está expressa e o período (n)da operação estejam na mesma unidade (dias, meses, semestres, etc.). Adicionalmente, embora 
tenhamos deduzido a fórmula supondo períodos inteiros, ela pode ser utilizada para períodos 
fracionários. 
 
Exemplo 1.4 
Um recurso de $ 10.000,00 foi investido a juros simples por dois anos à taxa de 10% a.a. 
Calcule os juros e o montante. 
Resolução: 
J = 10.000.(0,10).2 = 2.000,00 
M = 10.000 + 2.000 = 12.000,00 
 
Exemplo 1.5 
Qual capital rende juros de $ 5.000,00 em um período de seis meses se a taxa for de 5% a.m.? 
Resolução: 
 
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶. 𝑖𝑖.𝑛𝑛 => 𝐶𝐶 =
𝐽𝐽
𝑖𝑖.𝑛𝑛
 
𝐶𝐶 =
5.000
(0,05).6
= 16.666,67 
 
Exemplo 1.6 
Um smartphone é vendido à vista por $ 2.000,00 ou a prazo com uma entrada de $ 500,00 
mais uma parcela de $ 1.700,00 após quatro meses. Calcule a taxa mensal de juros simples do 
financiamento. 
Resolução: 
Financiamento: C = 2.000 – 500 = 1.500 
Montante: M = 1.700 
Juros: J = M – C = 1.700 – 1.500 = 200 
 
 11 
 
Pela fórmula dos juros: 
 
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛 ⇒ 𝑖𝑖 =
𝐽𝐽
𝐶𝐶𝑛𝑛
 
𝑖𝑖 =
200
1.500(4)
= 0,0333 𝑜𝑜𝑜𝑜 3,33% 𝑎𝑎.𝑚𝑚. 
 
Exemplo 1.7 
Um título tem o valor de resgate de $ 50.000,00, e a taxa de juros (simples) é de 5% a.m. 
Sabendo-se que faltam cinco meses para o seu vencimento, qual o seu valor hoje? 
Resolução: 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛) ⇒ 𝐶𝐶 =
𝑀𝑀
(1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛)
 
𝐶𝐶 =
50.000
(1 + (0,05)5)
= 40.000,00 
 
Exemplo 1.8 
Qual o prazo que um investimento de $ 80.000,00 pode gerar um montante de $ 113.600,00 
a uma taxa de juros simples de 7% a.m.? 
Resolução: 
 
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶 = 113.600 − 80.000 = 33.600 
𝐽𝐽 = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛 ⇒ 𝑛𝑛 =
𝐽𝐽
𝐶𝐶. 𝑖𝑖
 
𝑛𝑛 =
33.600
80.000(0,07)
= 6 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠 
 
Exemplo 1.9 
Qual o valor dos juros e do montante de um investimento de $ 10.000,00 realizado à taxa de 
juros de 3% a.m. pelo período de 87 dias? 
Resolução: 
 
𝐽𝐽 = 10.000(0,03)
87
30
= 870,00 
𝑀𝑀 = 10.000 + 870 = 10.870 
 
 
12 
 
Taxa proporcional e taxa equivalente 
O entendimento destas taxas pressupõe que se deve reconhecer que toda operação financeira 
envolve basicamente dois prazos, a saber: i) o prazo referente à taxa de juros; e ii) o prazo referente 
à capitalização dos juros. 
Por exemplo, podemos ter uma operação como o crédito direto ao consumidor, cuja taxa 
cobrada é mensal, e os juros são capitalizados mensalmente. No entanto, existem operações em que 
isso não ocorre. Por exemplo, na caderneta de poupança o rendimento pago aos depositantes é de 
6% a.a. capitalizado mensalmente por meio de um percentual proporcional de 0,5%. Nesse caso, 
temos dois prazos distintos: o da taxa, que é anual; e o do prazo de capitalização, que é mensal. 
No caso dos juros simples, dada a sua natureza linear, esse cálculo é realizado pela taxa 
proporcional de juros, também conhecida como taxa linear ou taxa nominal. A taxa proporcional 
é gerada a partir da razão entre a taxa de juros da operação e o número de vezes em que os juros 
ocorrerão (períodos de capitalização). 
O uso de taxas proporcionais é corrente em operações de curto prazo, como o cálculo de juros 
de mora, créditos de curto prazo, descontos bancários, etc. 
Em juros simples, as taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo 
intervalo de tempo e geram o mesmo volume de juros. Por exemplo, um capital de $ 100.000,00 
aplicado por seis meses à taxa de 2% a.m. ou 12% a.s. Ele produz os seguintes juros: 
 
𝐽𝐽2%𝑎𝑎𝑎𝑎 = 100.000 𝑥𝑥 0,02 𝑥𝑥 6 = 12.000,00 
𝐽𝐽12%𝑎𝑎𝑎𝑎 = 100.000 𝑥𝑥 0,12 𝑥𝑥 1 = 12.000,00 
 
No regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas equivalentes podem ser consideradas 
a mesma coisa. Uma forma simples de identificar a proporcionalidade das taxas é verificando a razão 
de uma taxa sobre a sua unidade de tempo e comparando com a outra taxa. Caso se observe 
igualdade, as taxas são equivalentes ou proporcionais. No exemplo citado: 
 
2%
1
=
12%
6
⟹ 12% 𝑥𝑥 1 = 2% 𝑥𝑥 6 
 
Como essa é uma igualdade que se verifica, é fácil observar a proporcionalidade (ou 
equivalência entre as taxas). 
 
Exemplo 1.10 
Qual o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês para uma taxa de juros 
anual de 24%? 
 
 
 13 
 
Resolução: 
 
𝑡𝑡𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝 = 
24%
12
= 2% 𝑎𝑎.𝑚𝑚. 
 
Exemplo 1.11 
Calcule a taxa anual proporcional a: a) 5% a.m.; e b) 8% a.b. 
Resolução: 
a) 𝑖𝑖 = 5% 𝑥𝑥 12 = 60% 𝑎𝑎.𝑎𝑎. 
b) 𝑖𝑖 = 8% 𝑥𝑥 6 = 48% 𝑎𝑎.𝑎𝑎. 
 
Exemplo 1.12 
Calcule a taxa de juros semestral proporcional a: a) 10% a.a.; e b) 8% a.t. 
Resolução: 
a) 𝑖𝑖 = 10%
12
 𝑥𝑥 6 = 5% 𝑎𝑎. 𝑠𝑠. 
b) 𝑖𝑖 = 8%
3
 𝑥𝑥 6 = 16% 𝑎𝑎. 𝑠𝑠. 
 
Exemplo 1.13 
Mostre que 24% a.a. é proporcional a 2% a.m. 
Resolução: 
 
24%
12
=
2%
1
 
 
É fácil perceber que 24% x 1 é igual a 12 x 2%, o que mostra a proporcionalidade. 
 
Valor nominal e valor atual em juros simples 
O valor nominal (N) corresponde ao valor de uma dívida no momento do seu vencimento. 
O valor atual (V) refere-se ao valor dessa dívida em momento anterior ao seu vencimento de tal 
sorte que, aplicando-se juros simples, obtenha-se o montante correspondente ao valor nominal (N). 
Dessa forma, podemos dizer que a fórmula do valor nominal (N) é dada por: 
 
𝑁𝑁 = 𝑉𝑉 + 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑛𝑛 ⟹ 𝑁𝑁 = 𝑉𝑉(1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛) ⟹ 𝑉𝑉 =
𝑁𝑁
(1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛)
 
 
 
14 
 
Exemplo 1.14 
Uma empresa tem uma dívida de $ 10.000,00 que vence em seis meses. Se ela puder aplicar 
os seus recursos à taxa de juros simples de 3% a.m., quanto ela deverá investir para ter o suficiente 
para quitar a sua dívida no vencimento? 
Resolução: 
 
𝑉𝑉 = 
10.000
1 + 6(0,03)
= 8.474,58 
 
Exemplo 1.15 
Um indivíduo tem um compromisso financeiro de $ 4.000,00 que vence daqui a três meses. 
Se ele puder investir os seus recursos à taxa de juros simples de 2% a.m., quanto ele deverá investir 
para poder honrar o seu compromisso financeiro? 
Resolução: 
 
𝑉𝑉 = 
4.000
1 + 3(0,02)
= 3.773,58 
 
Juro exato e juro comercial 
Nas operações de curto prazo em juros simples, é comum que o prazo seja definido pelo 
número de dias da operação. Nessas situações, o número de dias pode ser calculado de duas formas 
distintas: 
a) ano comercial – considera mês de 30 dias e ano de 360 dias. Neste caso, apura-se o 
chamado juro comercial. 
b) tempo exato – considera o calendário do ano civil (365 ou 366 dias). O juro apurado 
desta maneira é chamado de juro exato. 
 
Nesse caso, 24% a.a. equivalem à taxa diária de: 
a) juro comercial: 24%
360
= 0,066667% 𝑎𝑎.𝑑𝑑. 
b) juro exato: 24%
365
= 0,065753% 𝑎𝑎.𝑑𝑑. 
 
Como se pode observar, o juro comercial é um pouco acima do juro exato. Isso se deve ao 
fato de o número de dias do juro exato ser superior ao do juro comercial. 
 
 
 15 
 
Regime de capitalização composta 
A capitalização composta é um regime inteiramente distinto da capitalização simples. 
Conforme observado na unidade anterior, na capitalização simples, os juros incidem apenas sobre 
o capital a cada período da operação. 
No caso da capitalização composta, os juros gerados são somados ao montante do período 
anterior, formando um novo montante. Este novo montante produzirá os juros no período 
seguinte. 
Dessa forma, considerando-se um capital (C), aplicado a uma taxa de juros (i) por um período 
(n), é possível obter o montante (M) capitalizado a juros compostos da seguinte forma: 
Montante após o período 1: M1 = C + C.i = C.(1 + i) 
Montante após o período 2: M2 = M1 + M1.i = M1.(1 + i) = C.(1 + i).(1 + i) = C.(1 + i)2 
Montante após o período 3: M3 = M2 + M2.i = M2.(1 + i) = C.(1 + i)2.(1 + i) = C.(1 + i)3 
Por generalização, é possível perceber que para n períodos temos: 
Montante após o período n: Mn = Mn-1 + Mn-1.(1 + i) = C.(1 + i)n-1.(1 + i) = C.(1 + i)n 
Essa fórmula pode ser apresentada de forma simplificada omitindo-se o índice n: 
 
M = C(1 + i)n 
 
É importante notar que a unidade de tempo expressa no númerode períodos n na fórmula 
deve ser a mesma da taxa de juros i. Isso significa que, se a taxa de juros for ao mês, o número de 
períodos também deve ser em meses. Se a taxa de juros for ao ano, o número de períodos também 
deve ser expresso em anos, e assim por diante. 
 
Exemplo 1.16 
Um investimento de $ 5.000,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses à taxa 
de 3% a.m. Calcule o montante e os juros auferidos. 
Resolução: 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 = 5.000(1 + 0,03)4 = 5.627,54 
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀 − 𝐶𝐶 = 5.627,54 − 5.000,00 = 627,54 
 
Exemplo 1.17 
Qual capital investido a juros compostos de 4% a.m. gera um montante de $ 4.000,00 após 
seis meses? 
 
 
 
16 
 
Resolução: 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 ⟹ 𝐶𝐶 =
𝑀𝑀
(1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛
=
4.000
(1 + 0,04)6
= 3.161,26 
 
Exemplo 1.18 
Um capital de $ 3.000,00 foi investido por cinco meses a juros compostos, gerando um 
montante de $ 5.000,00. Qual a taxa mensal de juros? 
Resolução: 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶. (1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 ⇒ (1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 =
𝑀𝑀
𝐶𝐶
⇒ (1 + 𝑖𝑖) = �
𝑀𝑀
𝐶𝐶
𝑛𝑛
⇒ 𝑖𝑖 = �
𝑀𝑀
𝐶𝐶
𝑛𝑛
− 1 
𝑀𝑀 = �
5.000
3.000
5
− 1 = �1,666675 − 1 = 0,1076 𝑜𝑜𝑜𝑜 10,76% 𝑎𝑎.𝑚𝑚. 
 
Exemplo 1.19 
Quanto tempo um capital de $ 5.000,00 deve ser investido à taxa de juros composta de 6% 
a.m. para gerar um montante de $ 6.312,38? 
Resolução: 
 
𝑀𝑀 = 𝐶𝐶. (1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 ⇒ (1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 =
𝑀𝑀
𝐶𝐶
⇒ 𝑛𝑛ln(1 + 𝑖𝑖) = ln �
𝑀𝑀
𝐶𝐶�
⇒ 𝑛𝑛 =
ln�𝑀𝑀 𝐶𝐶� �
ln(1 + 𝑖𝑖)
 
𝑛𝑛 =
ln �6.321,38 5.000� �
ln(1 + 0,06)
=
ln(1,26)
ln(1,06)
=
0,234
0,058
= 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠 
 
Uso de calculadoras financeiras 
As calculadoras financeiras permitem que os cálculos dos juros compostos sejam obtidos 
diretamente. Note-se que um cálculo típico de juros compostos envolve quatro variáveis: montante 
(M), capital (C), taxa de juros (i) e número de períodos (n). Conhecendo-se três dessas variáveis, é 
possível obter a quarta. Isso é possível realizar diretamente em uma calculadora financeira, cuja 
terminologia é a seguinte: 
 PV (present value): é o capital. 
 FV (future value): é o montante. 
 i (interest rate): é a taxa de juros. 
 
 17 
 
 n (number of periods): número de períodos. 
 
Em geral, nas calculadoras os valores de PV e FV aparecem com sinal positivo e sinal negativo, 
representando o fluxo de caixa. Em outras palavras, uma entrada é representada por um valor 
positivo, e uma saída é representada por um valor negativo. Se temos uma operação de juros 
compostos em que o pagamento é único, um dos números terá de ser negativo, e outro terá de ser 
positivo. Para tornar um número negativos, muitas calculadoras possuem a tecla [+/-], e a HP 12C 
possui a tecla CHS (change sign). 
 
Exemplo 1.20 
Um recurso de $ 5.000,00 foi investido a juros compostos por seis meses à taxa de 3% a.m. 
Calcule o montante. 
Resolução: 
Utilizando a HP 12C 
Limpando a memória da calculadora: f CLx 
5.000 CHS PV 
3 i 
6 n 
FV 
$ 5.970,26 
 
Exemplo 1.21 
Que capital investido a juros compostos à taxa de 4% a.m. produz um montante de 
$ 10.000,00 após dois anos? 
Resolução: 
Utilizando a HP 12C 
Limpando a memória da calculadora: f CLx 
10.000 FV 
4 i 
24 n 
PV 
- $ 3.901,21 
 
Exemplo 1.22 
Um capital de $ 5.000,00 foi investido durante seis meses, gerando um montante de 
$ 9.000,00. Qual a taxa mensal de juros? 
 
18 
 
Resolução: 
Utilizando a HP 12C 
Limpando a memória da calculadora: f CLx 
9.000 FV 
-5.000 PV 
6 n 
i 
10,29% a.m. 
 
Exemplo 1.23 
Durante quanto tempo um recurso de $ 10.000,00 deve ser investido à taxa de juros 
compostos de 5% a.a. para gerar um montante de $ 13.400,96? 
Resolução: 
Utilizando a HP 12C 
Limpando a memória da calculadora: f CLx 
13.400,96 FV 
-10.000 PV 
5 i 
n 
6 anos 
 
Períodos não inteiros 
A fórmula do montante 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 pode ser estendida para períodos não inteiros. Isso 
significa que n pode assumir valores como 1,3 ou 5,4, por exemplo. Usualmente, esses valores são 
utilizados diretamente na relação matemática, em uma relação conhecida como convenção 
exponencial. 
No entanto, existe outra convenção, conhecida como convenção linear, que consiste em 
calcular o montante dos juros compostos com a parte inteira dos períodos de forma exponencial e 
parte não inteira aplicando-se juros simples. A convenção linear é pouco utilizada na prática. 
 
Exemplo 1.24 
Um recurso de $ 10.000,00 foi investido à taxa de juros compostos de 10% a.m. por cinco 
meses e meio. 
1. Qual o montante pela convenção exponencial? 
2. Qual o montante pela convenção linear? 
 
 
 19 
 
Resolução: 
1. 𝑀𝑀 = 10.000(1,1)5,5 = 16.891,17 
2. 𝑀𝑀5 = 10.000(1,1)5 = 16.105,10 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀5 + 𝑀𝑀5(0,1)0,5 = 16.105,10 + 16.105,10(0,1)0,5 = 16.910,36 
 
Importante: a maioria das calculadoras financeiras está programada para funcionar de acordo 
com a convenção exponencial. A exceção é a HP 12C, que faz o cálculo em ambas as convenções. 
O default dela é fazer o cálculo pela convenção linear. Para alterar para a convenção exponencial, 
deve-se pressionar as teclas STO e EEX. No visor aparecerá a letra C (isso significa que a calculadora 
estará operando na convenção exponencial). Para voltar à convenção linear, pressione STO e EEX 
novamente. 
 
Equivalência de taxas 
Duas ou mais taxas de juros que são referenciadas a períodos de tempo distintos são 
equivalentes quando geram, a partir do mesmo capital, o mesmo montante quando aplicadas ao 
mesmo período. 
Dessa forma, considerando-se as taxas de juros ia e ib expressas, respectivamente, nos prazos 
na e nb, temos: 
 
𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖𝑎𝑎)𝑛𝑛𝑎𝑎 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖𝑏𝑏)𝑛𝑛𝑏𝑏 ⟹ (1 + 𝑖𝑖𝑎𝑎)𝑛𝑛𝑎𝑎 = (1 + 𝑖𝑖𝑏𝑏)𝑛𝑛𝑏𝑏 
 
Exemplo 1.25 
Qual a taxa anual equivalente a 5% a.m. em juros compostos? 
Resolução: 
Considerando-se que um ano tem 12 meses: 
 
(1 + 𝑖𝑖𝑎𝑎)1 = (1,05)12 ⟹ 𝑖𝑖𝑎𝑎 = (1,05)12 − 1 = 0,7959 𝑜𝑜𝑜𝑜 79,59% 𝑎𝑎. 𝑎𝑎. 
 
Exemplo 1.26 
Qual a taxa trimestral equivalente a 10% a.a. em juros compostos? 
Resolução: 
Considerando-se que um ano tem 4 trimestres: 
 
(1 + 𝑖𝑖𝑎𝑎)4 = (1,10)1 ⟹ 𝑖𝑖𝑎𝑎 = (1,10)
1
4� − 1 = 0,0241 𝑜𝑜𝑜𝑜 2,41% 𝑎𝑎. 𝑞𝑞. 
 
20 
 
Taxa efetiva e taxa nominal de juros 
A taxa efetiva de juros (if) corresponde à taxa apurada durante todo o período n, sendo 
calculada exponencialmente mediante os períodos de capitalização. Em outras palavras, a taxa 
efetiva de juros representa o processo de formação dos juros ao longo dos períodos de capitalização. 
Essa taxa pode ser obtida pela seguinte fórmula: 
 
𝑖𝑖𝑓𝑓 = (1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 − 1 
 
Por exemplo, uma taxa de 2,3% a.m. gera um montante efetivo de juros de 31,37% a.a.: 
 
𝑖𝑖𝑓𝑓 = (1 + 0,023)12 − 1 = 0,3137 𝑜𝑜𝑜𝑜 31,37% 𝑎𝑎.𝑎𝑎. 
 
Alternativamente, quando o prazo de capitalização dos juros não é o mesmo daquele definido 
para a taxa, ela é definida como taxa de juros nominal. 
Por exemplo, para uma taxa de juros nominal de 24% a.a. capitalizada mensalmente, os 
prazos não coincidem. O prazo de capitalização é mensal enquanto o prazo a que se refere a taxa é 
igual a um ano (ou 12 meses). 
Dessa forma, o valor de 24% a.a. representa uma taxa nominal de juros, definida para um 
período inteiro, mas que deve ser atribuída ao período de capitalização específico. 
Via de regra, quando trabalhamos com taxas nominais, admite-se que a capitalização deve 
ocorrer por meio de juros proporcionais simples. Dessa forma, no exemplo, a taxa por período de 
capitalização é de 24%/12 = 2% a.m. 
É natural que a taxa efetiva seja diferente da taxa nominal. Se formos calcular a taxa efetiva 
para o exemplo para o período de 12 meses, temos: 
 
𝑖𝑖𝑓𝑓 = (1,02)12 − 1 = 0,2682 𝑜𝑜𝑜𝑜 26,82% 𝑎𝑎.𝑎𝑎. 
 
Valor nominal e valor atual em juros compostos 
O valor nominal (N) de um compromisso financeiro corresponde ao seu valor na sua data do 
vencimento. O valor atual (V), por sua vez, corresponde ao valor presente, a juros compostos, desse 
compromisso financeiro emuma data anterior ao vencimento. O valor atual (V) representa o valor 
que, aplicados juros compostos a partir desta data até o seu vencimento, gera um montante igual 
ao valor nominal (N). Tendo 0 como sendo a data focal e a data focal do compromisso igual a n, 
temos: 
𝑁𝑁 = 𝑉𝑉(1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛 ⟹ 𝑉𝑉 =
𝑁𝑁
(1 + 𝑖𝑖)𝑛𝑛
 
 
 21 
 
Exemplo 1.27 
Um indivíduo tem um compromisso financeiro de $ 100.000,00 a ser pago em seis meses. 
Qual o seu valor atual considerando uma taxa de juros de 3% a.m.? 
Resolução: 
 
𝑉𝑉 =
100.000
(1,03)6
= 83.748,43 
 
Exemplo 1.28 
Uma empresa tem uma dívida de $ 60.000,00 que deve ser quitada em três meses e outra de 
$ 80.000,00 que deve ser paga em seis meses. Quanto ela deve aplicar hoje à taxa de juros compostos 
de 2% a.m. para honrar os seus compromissos? 
Resolução: 
Valor atual da dívida de $ 60.000,00: 
 
60.000
(1,02)3
= 56.539,34 
 
Valor atual da dívida de $ 80.000,00: 
 
80.000
(1,02)6
= 71.037,71 
 
Logo: 
 
𝑉𝑉 = 56.539,34 + 71.037,71 = 127.577,05 
 
Inflação e taxa real de juros 
Inflação e índices de preços 
A inflação pode ser definida como uma variação positiva do nível médio de preços da 
economia. Em outras palavras, quando temos inflação, não significa que todos os preços dos bens 
e serviços estejam subindo na economia. Isso significa que, mesmo quando uma economia registra 
inflação positiva, existem preços de bens e serviços que estão subindo, outros que estão caindo, e 
outros, ainda, que permanecem inalterados. No entanto, na média, eles estão subindo. 
 
22 
 
A forma utilizada para refletir essa média é dada por meio da construção dos índices de preços, 
que assumem diferentes formas dependendo do objetivo de cada índice. Um índice de preços ao 
consumidor, por exemplo, tem como objetivo refletir o comportamento da evolução dos preços de 
uma cesta representativa de bens e serviços de consumo. No caso de um índice de preços do atacado, 
o foco é capturar a evolução dos preços dos produtos no segmento do atacado (e não no varejo). 
No Brasil, atualmente, existe uma multiplicidade de índice de preços. Isso se deve, em grande 
medida, ao agravamento do processo inflacionário durante as décadas de 1970 e 1980. A inflação 
elevada daquele período fez com que a população demandasse com maior frequência o que estava 
ocorrendo com o ritmo da evolução dos preços, de tal forma a evitar erro em negociações e 
transações. 
 
Os principais índices de preços utilizados no Brasil são: 
 Índices de preços ao consumidor elaborados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE): Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e Índice 
Nacional de Preços ao Consumidor (INPC); 
 Índices gerais de preços produzidos pela FGV: Índice Geral de Preços – Disponibilidade 
Interna (IGP-DI), Índice Geral de Preços – Mercado (IGP-M), e os seus componentes: o 
Índice de Preços ao Produtor Amplo (IPA), o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) e o 
Índice Nacional de Custos da Construção (INCC); 
 Índice de preços ao consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe): 
Índice de Preços ao Consumidor – Fipe (IPC-Fipe). 
 
Existe ainda um conjunto de índices que mede exatamente a mesma cesta de bens e serviços, 
mas que diferem entre si apenas pelo período de coleta. Recaem nessa categoria o IGP-10, IGP-M 
e IGP-DI, da FGV e o IPCA e IPCA-15 do IBGE. A tabela a seguir apresenta as principais 
características de alguns índices de preços brasileiros. 
 
 
 
 23 
 
Quadro 1.1 – Características dos principais índices de preços 
instituto índice 
índices 
componentes 
faixa de 
renda (em 
salários-
mínimos) 
área de 
abrangência 
período 
de coleta 
de preços 
divulgação desde 
IBGE 
IPCA-
15 
Não há. 
1 a 40 
9 RMs + 
Brasília e 
Goiânia 
do meio 
do mês 
anterior 
ao meio 
do mês de 
referência 
[a] 
até 25 do 
mês de 
referência 
2000 
IPCA 10 RMs + 
Brasília, 
Goiânia e 
Campo 
Grande 
de 1 a 30 
do mês de 
referência 
até 15 do 
mês 
subsequente 
1979 
INPC 1 a 5 
FGV 
IGP-
10 
IPA (60%), IPC 
(30%) e INCC 
(10%) 
1 a 33 no IPC 
(os demais 
componentes 
não são 
índices de 
preço ao 
consumidor) 
7 das 
principais 
capitais do 
País 
de 11 do 
mês 
anterior a 
10 do mês 
de 
referência 
até 20 do 
mês de 
referência 
1993 
IGP-M 
de 21 do 
mês 
anterior a 
20 do mês 
de 
referência 
1ª prévia: 
dia 21 ao 
último dia 
do mês 
anterior 
2ª prévia: 
de 21 do 
mês 
anterior a 
10 do mês 
de 
referência 
até 30 do 
mês de 
referência 
1ª prévia: 
até 10 do 
mês de 
referência 
2ª prévia: 
até 20 do 
mês de 
referência 
1989 
 
24 
 
instituto índice 
índices 
componentes 
faixa de 
renda (em 
salários-
mínimos) 
área de 
abrangência 
período 
de coleta 
de preços 
divulgação desde 
IGP-DI 
1º – último 
dia do 
mês de 
referência 
até 10 do 
mês 
subsequente 
1944 
Fipe 
IPC-
Fipe 
Não há 1 a 10 
município de 
São Paulo 
1º – último 
dia do 
mês de 
referência, 
atualizado 
toda 
semana 
até 10 do 
mês 
subsequente 
1939 
Fonte: IBGE, FGV e Fipe. 
[a] O período de coleta do IPCA-15 situa-se, aproximadamente, do dia 15 do mês anterior ao dia 15 do mês de referência. 
 
Em termos de importância, o IPCA apresenta uma característica fundamental por ter sido 
adotado como referência para o regime de metas para inflação brasileiro pelo Conselho Monetário 
Nacional (CMN) em junho de 1999. Em outras palavras, as decisões de política monetária (taxa 
de juros) do Banco Central são pautadas de acordo com a compatibilidade da trajetória esperada 
desse índice em relação à meta estabelecida. Adicionalmente, as Notas do Tesouro Nacional, Série 
B (NTN-B), um título público muito negociado em mercado, tem a rentabilidade indexada ao 
IPCA. 
Por sua vez, o INPC é um índice muito utilizado para dissídios salariais, uma vez que mede 
o comportamento dos preços para quem se situa na faixa salarial de até cinco salários-mínimos. 
O IGP-DI é o índice brasileiro mais tradicional, e a sua história remonta à sua criação em 
1944. Ele é utilizado como base para o reajuste de muitos preços administrados. 
O IGP-M, cuja diferença em relação ao IGP-DI é o período de coleta, é utilizado como 
indexador financeiro (até mesmo para títulos públicos) e de aluguéis. 
O IPC-Fipe é um índice quadrissemanal restrito ao município de São Paulo, mas que possui 
importância regional. 
Dessa forma, pode-se constatar que um índice de preços é basicamente uma construção 
estatística que visa monitorar as variações dos preços período a período. Cada índice, conforme 
observado, possui características e finalidades específicas. 
O quadro 1.2 ilustra como os preços evoluíram ao longo de 2020 e no início de 2021 de 
acordo com o IGP-DI, medido pela FGV. 
 
 
 25 
 
Quadro 1.2 – Valores do Índice Geral de Preços – DI (IGP-DI) 
(base: ago/1994=100) 
2019.12 
2020.01 
2020.02 
2020.03 
2020.04 
2020.05 
2020.06 
2020.07 
2020.08 
2020.09 
2020.10 
2020.11 
2020.12 
2021.01 
2021.02 
751,121 
751,820 
751,910 
764,276 
764,656 
772,843 
785,221 
803,584 
834,713 
862,259 
893,997 
917,538 
924,504 
951,395 
977,133 
Fonte: Ipeadata 
 
O número índice é um número puro, ao qual se estabelece uma base 100 em algum momento 
no tempo, e as variações no valor da cesta de bens e serviços computadas na cesta apurada são 
refletidas sobre o índice. 
Por meio da evolução dos índices de preços, é possível monitorar como os preços da economia 
evoluíram ao longo do tempo. Para tanto, basta comparar o índice registrado ao final do período 
como o observado no início do período em questão. 
Por exemplo, a partir do quadro 1.1, é possível verificar que a inflação acumulada ao longo 
de 2020 medida pelo IGP-DI pode ser obtida por meio do índice registrado em dezembro de 2020 
contra dezembro de 2019. Dessa forma, temos: 
 
𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎çã𝑜𝑜 2020 = 
924,504
751,121
− 1 = 0,2303 𝑜𝑜𝑜𝑜 23,08% 
 
 
26 
 
Essa série também permite queseja medida a inflação mensal. Podemos, por exemplo, medir 
a inflação de fevereiro de 2021, comparando o índice daquele mês com o verificado em janeiro 
daquele ano: 
 
𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎çã𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑚𝑚𝑓𝑓𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚𝑖𝑖𝑝𝑝𝑜𝑜 2021 = 
977,133
951,395
− 1 = 0,02705 𝑜𝑜𝑜𝑜 2,71% 
 
Dessa forma, a partir dos índices de preços, é possível medir a inflação para o período que se 
desejar a partir da seguinte fórmula: 
 
𝐼𝐼 = 
𝑃𝑃𝑛𝑛
𝑃𝑃𝑛𝑛−𝑡𝑡
− 1 
 
Onde: 
 I é a taxa de inflação que se deseja obter para um índice de preços específico. 
 Pn é o valor do índice de preços no período n. 
 Pn-t é o valor do índice de preços no período n-t. 
 
Efeito da inflação sobre valores monetários ao longo do tempo 
Quando se comparam valores monetários ao longo do tempo, a existência da inflação impõe 
a necessidade de ajustes importantes e que não devem ser desprezados. 
Por exemplo, suponha que um investidor tenha feito uma aplicação financeira de 
$ 80.000,00 e resgatado $ 100.000,00 após três anos. A inflação registrada ao longo desse período 
foi de 30%. 
Observe-se que o investidor obteve um ganho nominal de $ 20.000,00 ($ 100.000,00 – 
$ 80.000,00) na sua aplicação financeira, que equivale a 25% da sua aplicação inicial 
($ 20.000,00/$ 80.000,00). 
No entanto, quando corrigimos o seu valor aplicado pela inflação (ou inflacionamos) 
ocorrida no período, observamos que o valor obtido é de $ 104.000,00, sendo superior ao observado 
no seu resgate. 
Em termos práticos, isso significa que os $ 100.000,00 resgatados pelo investidor não 
conseguem comprar uma cesta de bens e serviços equivalente aos $ 80.000,00 que ele detinha três 
anos atrás. Em outras palavras, ele teve uma perda real em termos de poder aquisitivo dos seus 
recursos 
É possível estabelecer a dimensão dessa perda por meio da comparação entre o resultado 
financeiro obtido com a aplicação e o valor inicial corrigido pela inflação do período (inflacionado): 
 
 27 
 
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑠𝑠𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎çã𝑜𝑜
𝑓𝑓𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑜𝑜
− 1 =
100.000
104.000
− 1 = −0,0385 𝑜𝑜𝑜𝑜 − 3,85% 
 
Em outras palavras, o investidor teve uma perda real de 3,85%. 
Note-se que esse resultado também pode ser obtido descontando a inflação do valor do 
resgate e comparando-se com o valor da aplicação inicial. Em outras palavras, basta deflacionar o 
valor do resgate: 
 
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑠𝑠𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎çã𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑𝑜𝑜
𝑓𝑓𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑝𝑝
− 1 = 
100.000,00
1,30�
80.000,00
− 1 =
76.923,08
80.000,00
− 1
= −0,0386 𝑜𝑜𝑜𝑜 − 3,85% 
 
Como se pode observar, o processo de deflacionar o valor gera o mesmo resultado obtido 
anteriormente. 
 
Comportamento da inflação ao longo do tempo 
O comportamento da inflação ao longo do tempo ocorre de maneira exponencial, uma vez 
que cada aumento ocorre sobre o aumento ocorrido anteriormente. Em outras palavras, o aumento 
dos preços ocorrido em fevereiro se dá com base nos preços vigentes a partir de janeiro, que 
representa uma variação percentual sobre esses preços. Já o aumento dos preços no mês de março 
ocorre a partir dos preços vigentes em fevereiro, que também representa uma variação percentual 
sobre esses preços. Note-se que a variação de preços acumulada nos dois meses representa a inflação 
dos dois períodos, que se assemelha ao cálculo de juros sobre juros. 
Tomemos como exemplo três meses que, sucessivamente, apresentaram as seguintes taxas de 
inflação: 1,3%, 1,5% e 1,7%. Imaginemos que um valor de $ 10.000,00 deva ser corrigido por essa 
inflação. O resultado corrigido pela inflação ao final de cada mês seria de: 
 1º mês: $ 10.000,00 x 1,013 = $ 10.130,00 
 2º mês: $ 10.130,00 x 1,015 = $ 10.281,95 
 3º mês: $ 10.281,95 x 1,017 = $ 10.456,74 
 
A variação percentual do valor monetário durante os três meses é de: 
($ 10.456,74/$ 10.000,00 – 1) 4,57%, que é equivalente à variação da inflação acumulada nesses 
três meses: 
 
𝐼𝐼 = (1,013)(1,015)(1,017) − 1 = 0,0457 𝑜𝑜𝑜𝑜 4,57% 
 
 
28 
 
Também é possível, a partir desse resultado, obter a taxa equivalente mensal de inflação (Iq) 
para o período de maneira similar ao que é feito com os juros compostos: 
 
𝐼𝐼𝑞𝑞 = �(1,013)(1,015)(1,017)
3 − 1 = 0,015 𝑜𝑜𝑜𝑜 1,50% 𝑎𝑎.𝑚𝑚. 
 
Dessa forma, os conceitos e as expressões de cálculo realizados para o caso dos juros compostos 
podem ser estendidos para o caso da inflação. 
 
Exemplo 1.29 
Ao longo de cinco meses, a inflação foi a seguinte: 1,7%, 0,8%, 1,2%, 0,4%, 0,2% e 1,9%. 
Calcule a inflação acumulada ao longo desses cinco meses e a taxa média (geométrica) mensal desse 
período. 
Resolução 
 
𝐼𝐼 = (1,017)(1,008)(1,012)(1,004)(1,002)(1,019) − 1 = 0,0635 𝑜𝑜𝑜𝑜 6,35% 
𝐼𝐼𝑞𝑞 = �1,0635
5 − 1 = 0,0124 𝑜𝑜𝑜𝑜 1,24% 𝑎𝑎.𝑚𝑚. 
 
Exemplo 1.30 
A inflação de um determinado ano foi de 10%. Calcule a taxa equivalente trimestral e mensal 
de inflação. 
trimestral: 𝐼𝐼𝑞𝑞 = √1,10
4 − 1 = 0,0241 𝑜𝑜𝑜𝑜 2,41% 𝑎𝑎. 𝑡𝑡. 
mensal: 𝐼𝐼𝑞𝑞 = √1,10
12 − 1 = 0,0080 𝑜𝑜𝑜𝑜 0,80% 𝑎𝑎.𝑚𝑚. 
 
Taxa nominal e taxa real de juros 
A taxa nominal de juros corresponde às taxas praticadas nas operações financeiras de mercado. 
Essa taxa é aquela expressa nas operações do dia a dia dos bancos e do mercado financeiro, como a 
taxa DI, a taxa Selic, a taxa do cheque especial, etc. 
Em geral, os operadores do mercado financeiro realizam o cálculo dessas taxas incorporando 
diversos fatores, entre eles a inflação. Por conta disso, é fácil perceber que uma parcela das taxas de 
juros praticadas no mercado é devida à inflação e outra parte reflete realmente os juros pagos ou 
recebidos no mercado. Esta última parcela é conhecida como juros reais. 
Dessa forma, em matemática financeira, o termo real define um resultado que elimina os 
efeitos inflacionários. Em outras palavras, um ganho ou uma perda real reflete verdadeiramente o 
que ocorreu em termos financeiros, sem a interferência da inflação. 
 
 29 
 
O cálculo da taxa real de juros é similar ao realizado para analisar os efeitos da inflação sobre 
valores monetários ao longo do tempo. 
Por exemplo, imagine-se um investimento financeiro de $ 100.000,00 por um ano à taxa de 
juros de 20% a.a. e que a inflação nesse ano foi de 10%. 
No final do ano, o resgate do investimento foi de $ 120.000,00 ($ 100.000,00 x 1,20), e o 
valor do investimento corrigido pela inflação do período foi de $ 110.000,00 ($ 100.000,00 x 
1,10). 
Em termos percentuais, o ganho real da operação foi de: 
 
120.000,00
110.000,00
− 1 = 0,0909 𝑜𝑜𝑜𝑜 9,09% 
 
O exemplo apresentado pode ser facilmente generalizado para o cálculo da taxa de juros real, 
cuja fórmula é a seguinte: 
 
𝑝𝑝 =
1 + 𝑖𝑖
1 + 𝐼𝐼
− 1 
 
Onde: 
 r é a taxa de juros real. 
 i é a taxa nominal de juros. 
 I é a taxa de inflação. 
 
É importante observar que a taxa de juros real pode assumir valores negativos caso a inflação 
seja superior à taxa nominal de juros. 
 
Exemplo 1.31 
Um investidor aplicou $ 50.000,00 em um fundo por dois meses à taxa nominal de 5% a.b. 
A inflação do período foi de 3%. Calcular os ganhos nominais e reais obtidos pelo investidor e as 
respectivas taxas de retorno. 
Resolução: 
𝑓𝑓𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑠𝑠𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑚𝑚: 50.000,00 𝑥𝑥 1,05 = 52.500,00 
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜𝑜 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝: 52.500,00 − 50.000,00 = 2.500,00 
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑛𝑛𝑡𝑡𝑎𝑎𝑟𝑟𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝: 
2.500,00
50.000,00
= 0,05 𝑜𝑜𝑜𝑜 5% 𝑎𝑎. 𝑟𝑟. 
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑛𝑛𝑡𝑡𝑎𝑎𝑟𝑟𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑝𝑝 =
1,05
1,03
− 1 = 0,0194 𝑜𝑜𝑜𝑜 1,94% 
 
 
 
 
30 
 
BIBLIOGRAFIA 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 14. ed. São Paulo: Atlas, 2019. 
 
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau.Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 
2014. 
 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2018. 
 
 
 31 
 
PROFESSOR-AUTOR 
ROGÉRIO MORI 
FORMAÇÃO ACADÊMICA 
 Doutor em Economia de Empresas pela Fundação 
Getulio Vargas - SP. 
 Graduado em Bacharel em Ciências Econômicas pela 
Universidade de São Paulo. 
 
EXPERIÊNCIAS PROFISSIONAIS 
 Ex-secretário adjunto de política econômica do 
Ministério da Fazenda (1995-97). 
 Foi assessor econômico do Palácio do Planalto (1998). 
 Atuou no mercado financeiro entre 1999 e 2004. 
 Desde 2004, atua como professor de carreira da Escola de Economia de São Paulo da 
Fundação Getulio Vargas. 
 Coordena cursos de Pós-Graduação Lato Sensu e de Curta Duração na FGV. 
 Tem experiência nas áreas de Macroeconomia, Economia Monetária, Economia Brasileira 
e Finanças. 
 Membro do Alto Conselho da Ordem dos Economistas do Brasil. Conselheiro da FGV-
Previ desde 2013. CPA-20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Sumário
	REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
	Introdução
	Capital (C)
	Juro (J)
	Montante (M)
	Taxa de juros (i)
	Prazo (n)
	Relações básicas
	Exemplo 1.1
	Exemplo 1.2
	Fluxo de caixa
	Exemplo 1.3
	Regime de capitalização simples
	Exemplo 1.4
	Exemplo 1.5
	Exemplo 1.6
	Exemplo 1.7
	Exemplo 1.8
	Exemplo 1.9
	Taxa proporcional e taxa equivalente
	Exemplo 1.10
	Exemplo 1.11
	Exemplo 1.12
	Exemplo 1.13
	Valor nominal e valor atual em juros simples
	Exemplo 1.14
	Exemplo 1.15
	Juro exato e juro comercial
	Regime de capitalização composta
	Exemplo 1.16
	Exemplo 1.17
	Exemplo 1.18
	Exemplo 1.19
	Uso de calculadoras financeiras
	Exemplo 1.20
	Exemplo 1.21
	Exemplo 1.22
	Exemplo 1.23
	Períodos não inteiros
	Exemplo 1.24
	Equivalência de taxas
	Exemplo 1.25
	Exemplo 1.26
	Taxa efetiva e taxa nominal de juros
	Valor nominal e valor atual em juros compostos
	Exemplo 1.27
	Exemplo 1.28
	Inflação e taxa real de juros
	Inflação e índices de preços
	Efeito da inflação sobre valores monetários ao longo do tempo
	Comportamento da inflação ao longo do tempo
	Exemplo 1.29
	Exemplo 1.30
	Taxa nominal e taxa real de juros
	Exemplo 1.31
	Bibliografia
	Professor-autor
	ROGÉRIO MORI
	FORMAÇÃO ACADÊMICA
	EXPERIÊNCIAS PROFISSIONAIS