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18/05/2023, 15:53 Análise Vetorial, Métodos e Técnicas Especiais
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DESCRIÇÃO
Os conceitos matemáticos de Álgebra Vetorial, cálculo vetorial, cálculo integral, delta de Dirac, equação de Laplace
e solução por métodos das imagens.
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PROPÓSITO
Apresentar a importância do conhecimento de diversas ferramentas matemáticas para obter de forma mais fácil e
exata a solução de sistemas eletrodinâmicos.
PREPARAÇÃO
Tenha em mãos papel, lápis, caneta e uma calculadora cientí�ca, ou utilize a função de calculadora cientí�ca em
seu computador e/ou smartphone.
OBJETIVOS
Módulo 1
Descrever os adventos
matemáticos de Álgebra
Vetorial
Módulo 2
Descrever a função delta de
Dirac
Módulo 3
Descrever a equação de
Laplace
Módulo 4
Descrever o método de solução
de circuitos denominado
método das imagens
FERRAMENTAS MATEMÁTICAS NECESSÁRIAS PARA O
ESTUDO DA ELETRODINÂMICA
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MÓDULO 1
 Descrever os adventos matemáticos de Álgebra
Vetorial
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ELETRODINÂMICA
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ÁLGEBRA VETORIAL
A eletrodinâmica é a parte da física que estuda o movimento constante das cargas elétricas, ou seja, estuda o
aspecto dinâmico do que chamamos de eletricidade. Porém, para estudar tais fenômenos físicos oriundos dos
movimentos das cargas, necessitamos ter domínio sobre algumas ferramentas matemáticas, e começaremos a
abordar essas ferramentas falando sobre a Álgebra Vetorial. Para tal, faremos uma pequena revisão do que são
vetores, quais são suas propriedades, e então estenderemos nosso conhecimento sobre as grandezas vetoriais.
Vamos lá!
VETORES E SUAS OPERAÇÕES
Grandezas vetoriais como massa e tempo são caracterizadas somente por um número e uma unidade, por isso
são chamadas de grandezas escalares. Todavia, aquelas grandezas como:
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velocidade
deslocamento
aceleração
momento linear
possuem
módulo (número)
direção (horizontal, vertical ou de cota)
sentido (positivo ou negativo)
Essas grandezas com módulo direção e sentido são chamadas de grandezas vetoriais. Por conta disso, houve a
necessidade matemática de se desenvolver uma álgebra especí�ca para tratamento dessas grandezas: a Álgebra
Vetorial.
Vetores unidimensionais
A representação de um vetor é feita por uma �echa, cuja cabeça indica a sua direção e sentido, e o seu
comprimento indica o módulo (intensidade) deste vetor (Figura 1.1).
 Figura 1.1 Representação de um vetor unidimensional em um espaço vetorial bidimensional
A �gura anterior representa um vetor em um espaço bidimensional. Esse vetor é chamado de unidimensional, pois
está disposto apenas em uma única direção, que é a direção do eixo X, a qual chamamos de horizontal. O mesmo
aconteceria se ele estivesse apontando para cima ou para baixo, aí diríamos que ele estaria na direção do eixo y,
que é a direção vertical.
A representação matemática de um vetor é feita da seguinte forma:
→
P = aî (1)
ou
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→
P = aĵ (2)
Em que representa o vetor unitário da direção do eixo X e representa o vetor unitário da direção do eixo Y.
Na �gura a seguir, podemos observar que existem dois vetores unidimensionais em um espaço vetorial
bidimensional (plano cartesiano bidimensional). O vetor roxo está disposto na vertical enquanto o vetor vermelho
está na horizontal. Vamos representar esses vetores de forma a expressar seu módulo, direção e sentido.
î ĵ
 Representação dos vetores e em um espaço vetorial bidimensional.
→
P
→
Q
Vamos começar a análise pelo vetor , que está disposto na horizontal. Assim, sabemos que ele terá um vetor
unitário e o seu módulo pode ser expresso pelo cálculo do seu comprimento, ou seja, pela posição �nal
demarcada no eixo X (posição da cabeça da �echa) menos a posição inicial demarcada no eixo X (posição da
cauda da �echa), então o módulo desse vetor é:
→
P
î
→
P = |8 − 3| = 5∣ ∣ (3)    
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Já o sentido, como estamos vendo que a �echa que representa aponta da esquerda para a direita, podemos
a�rmar que é positivo, assim, o vetor é:
→
P
→
P
→
P = 5̂i (4)
O vetor está disposto totalmente na vertical, então podemos dizer que seu vetor unitário é . O seu módulo será
determinado de forma análoga ao que �zemos no vetor , ou seja:
→
Q ĵ
→
P
→
Q = |3 − 9| = 6∣ ∣ (5)E, como pudemos veri�car analisando a Figura 1.2, a �echa aponta de cima para baixo, ou seja, no sentidonegativo de Y, então o vetor é presentado por:→Q →Q = −6ĵ (7)Outra análise que podemos fazer para veri�car que o vetor tem sentido negativo é olhar para o cálculo do módulodo vetor , calculado em (5). Note que . Esse resultado já nos mostra que o vetor está apontandopara o sentido negativo da direção do eixo Y.→Q 3 − 9 = −6Vetores bidimensionaisVetores bidimensionais são aqueles que estão representados em duas direções simultaneamente:
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 Figura 1.3 Vetor bidimensional disposto em um espaço vetorial bidimensional
Note que, na �gura anterior, o vetor faz um ângulo com a horizontal, ou seja, existe um ângulo entre o vetor e o eixo
X chamado de , e esse ângulo é diferente de 0° e de 180°.θ
Mas o que signi�ca o ângulo ser diferente de 0° e 180°?
Signi�ca que o vetor está representado em duas direções, ou seja, o vetor tem representação tanto no eixo X,
quanto no eixo Y. Para poder expressar esse vetor vamos trabalhar com a sua decomposição, isto é, vamos
calcular a sua parcela em X e a sua parcela em Y e representar a sua coordenada por uma soma vetorial.
Para compreender, assimilar e consolidar esse conhecimento, vamos observar o exemplo a seguir:
A �gura mostra o vetor . Este é um vetor bidimensional, pois se encontra disposto em duas direções, na direção
X e na direção Y. Os vetores e são os vetores que representam a decomposição do vetor . Grosso modo,
podemos dizer que é a parcela do vetor no eixo X e que é a parcela do vetor no eixo Y. Mas então,
como determinar e ?
→
H
→
Hx
→
Hy
→
H
→
Hx
→
H
→
Hy
→
H
→
Hx
→
Hy
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 Figura 1.4 Vetor decomposto nos vetores e 
→
H
→
Hx
→
Hy
Para determinar e , vamos fazer uso do ângulo . Se prestarmos bastante atenção na �gura anterior,
poderemos observar que e são ortogonais, ou seja, fazem 90° entre si. E se projetarmos para a direita,
veremos que fechamos um triângulo retângulo, como mostra a próxima �gura:
→
Hx
→
Hy θ
→
Hx
→
Hy
→
Hy
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 Figura 1.5 Projeção do vetor para fechamento de um triângulo retângulo.
→
Hy
Nessa �gura, vemos que com a projeção de fechamos um triângulo retângulo. Note que a projeção de é
paralela a e tem o mesmo comprimento, então podemos a�rmar que a projeçãode e são vetores
iguais. Agora, com uma simples análise trigonométrica, podemos escrever e em função do vetor :
→
Hy
→
Hy
→
Hy
→
Hy
→
Hy
→
Hx
→
Hy
→
H
cos(θ) =
→
Hx
→
H
∴
→
Hx =
→
H cos(θ)∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (8)sen(θ) = →Hy→H ∴ →Hy = →H sen(θ)∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (9)Conhecendo e , podemos escrever o vetor :→Hx∣ ∣ →Hy∣ ∣ →H    
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→
H =
→
Hx î +
→
Hy ĵ∣ ∣ ∣ ∣ (10)Mas em (8) e (9) vimos que: e , então a equação (10) pode ser reescritacomo: →Hx = →H cos(θ)∣ ∣ ∣ ∣ →Hy = →H sen(θ)∣ ∣ ∣ ∣→H = →H cos(θ)̂i + →H sen(θ)ĵ∣ ∣ ∣ ∣ (11)Ou ainda como: →H = →H (cos(θ)̂i + sen(θ)ĵ)∣ ∣ (12)Para podermos determinar o módulo do vetor , ou seja, , podemos usar a relação pitagórica:→H →H∣ ∣→H =√ →Hx 2 + →Hy 2∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (13)Então, se obtemos um vetor tal que: , de acordo om a equação (13), seu módulo é:→J = 4̂i − 3ĵ→J = √42 + (−3)2 = 5∣ ∣    
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Vetores tridimensionais
Vetores tridimensionais são aqueles que possuem representação em um espaço vetorial tridimensional. Na �gura
a seguir vemos um vetor representado no espaço tridimensional. Esse vetor, , possui três coordenadas, uma
coordenada referente ao eixo X, com vetor unitário , uma coordenada referente ao eixo Y, com vetor unitário , e
uma coordenada referente ao eixo Z, com vetor unitário .
→
N
î ĵ
k̂
 Figura 1.6 Representação de um vetor em um espaço vetorial tridimensional, contendo três coordenadas.
A representação vetorial do vetor é feita por:
→
N
→
N =
→
Nx î +
→
Ny ĵ +
→
Nz k̂∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (14)Em que os módulos podem ser obtidos de forma análoga ao que foi feito no tópico Vetoresbidimensionais.O módulo de é obtido da seguinte forma:→Nx , →Ny  e  →Nz∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣→N     
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→
N =√(
→
Nx)
2
+ (
→
Ny)
2
+ (
→
Nz)
2∣ ∣ (15)PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIALAgora que relembramos os conceitos de vetores e como eles se comportam unidimensionalmente,bidimensionalmente e tridimensionalmente, vamos veri�car as propriedades que devem ser satisfeitas parapodermos garantir que um espaço vetorial esteja bem de�nido:Propriedade Operação ExplicaçãoComutatividade dasoma (16) Não importa a ordem dos fatores na operação de soma entredois ou mais vetores, o vetor resultante sempre será o mesmo.Associatividade dasoma (17) Ao realizar a soma entre os vetores e , e depois somarmos oresultado com , obteremos o mesmo vetor resultante, casoprimeiro façamos a soma entre e e em seguida somemos oresultado com .Distributividade dasoma (18)(19) Aqui se aplica a regra distributiva, ou seja, o escalar α está emevidência, pois ele está multiplicando ambos os vetores e .
Vetor nulo (20) A soma de um vetor qualquer com um vetor nulo é igual ao
próprio vetor .
(21) O produto escalar entre um vetor qualquer e o vetor nulo é
igual ao vetor nulo.
Elemento neutro (22) O produto escalar entre o número 1, que é um elemento neutro,
e o vetor qualquer é igual ao vetor qualquer .
→
u +→v =→v +→u
(→u +→v) + →w =→u + (→v + →w) →u →v
→
w
→
v
→
w
→
u
α(→u +→v) = α→u + α→v
α(β→u) = (αβ)→u
→
u
→
v
→
0 +→u =→u →u
→
0
→
u
→
0 ⋅→v =
→
0 →v
→
0
1 ⋅→u =→u
→
u
→
v
Atenção
O vetor nulo é um vetor que tem módulo nulo, por isso não tem
direção nem sentido. Todavia, ele pode ser considerado,
simultaneamente, paralelo e perpendicular a qualquer eixo
coordenado e a qualquer outro vetor. Por favor, não confunda vetor
nulo com elemento nulo 0!
→
0
→
0
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PRODUTO ENTRE VETORES
Normalmente de�nimos produto como sendo a multiplicação entre dois ou mais elementos matemáticos. Porém,
o produto entre vetores não é tão simples assim. Podemos realizá-lo de duas formas:
Produto escalar Produto vetorial
Vamos então ver como ambos funcionam.
Produto escalar
O produto escalar também é chamado de produto interno. De�nimos esse produto interno entre dois vetores como
uma relação matemática entre o comprimento dos vetores e o ângulo formado entre eles. O resultado do produto
interno é um valor real (número real).
Para compreender o produto escalar, vamos considerar dois vetores:
→
a = 2̂i + 4ĵ − 6k̂ (23)
e
→
b = −7̂i + 9ĵ + 2k̂ (24)
O produto escalar entre os vetores e é dado por:→a
→
b
(→a ⋅
→
b) = 2 ⋅ (−7) + 4 ⋅ 9 + (−6) ⋅ 2 = −14 + 36 − 12 = 10 (25)
Visto uma aplicação, podemos de�nir os vetores e como:→a
→
b
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→
a = axî + ayĵ + azk̂ (26)
e
→
b = bxî + byĵ + bzk̂ (27)
Logo, o produto vetorial entre dois vetores e pode ser generalizado como:→a
→
b
(→a ⋅
→
b) = axbx(î ⋅ î) + ayby(ĵ ⋅ ĵ) + azbz(k̂ ⋅ k̂) (28)
Atenção
O produto escalar entre vetores paralelos é igual à unidade, ou seja:
O produto escalar entre vetores ortogonais é igual a zero. Exemplo:
(î ⋅ î) = (ĵ ⋅ ĵ) = (k̂ ⋅ k̂) = 1
(î ⋅ ĵ) ou (ĵ ⋅ k̂) ou (î ⋅ k̂) = 0
Mas então qual é a relação matemática do comprimento dos vetores e o ângulo formado entre eles?
Podemos obter o produto interno (produto escalar) entre dois vetores conhecendo o módulo de cada um dos
vetores e o ângulo formado entre eles por meio da relação matemática:    
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(→a ⋅
→
b) = →a ⋅
→
b cos(θ)∣ ∣ ∣ ∣ (31)AtençãoNote que, se os vetores forem paralelos, e, então,, o que resulta em:Se os vetores forem antiparalelos, e, então,, o que resulta em:Porém, se os dois vetores forem perpendiculares, e, então,, o que resulta em: θ = 0°cos(0°) = 1 (→a ⋅→b) = →a ⋅ →b∣ ∣ ∣ ∣θ = 180°cos(180°) = −1 (→a ⋅→b) = −→a ⋅ →b∣ ∣ ∣ ∣θ = 90°cos(90°) = 0 (→a ⋅→b) = 0Produto vetorialChamamos de produto vetorial a operação binária entre dois vetores que se encontram em um espaço vetorialtridimensional.Produto escalarResulta em um número real.  Produto vetorialResulta em um outro vetor.    
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À primeira vista, o produto vetorial parece ser um cálculo completamente dependente do sistema de coordenadas
e arbitrário. No entanto, vamos mostrar que esse produto não é dependente do sistema de coordenada, admitindo
uma formulação intrínseca.
O produto vetorial resulta em um vetor que é simultaneamente perpendicular aos dois vetores envolvidos no
produto vetorial. Veja na �gura:
 Figura 1.7 Representação geométrica do produto vetorial, com auxílio da utilização da regra da mão direita. Em (a), produto vetorial positivo e em (b)
produto vetorial negativo.
Mas como realizamos o produto vetorial?
Montando uma matriz com os dois vetores e encontrando o determinante dessa matriz.
Para poder visualizar o que deve ser feito vamos observar o exemplo seguinte:
Exemplo
Considere os dois vetores: e . Encontre o vetor normal a e a .→α = 4̂i + 6ĵ − k̂
→
β = −î + 2ĵ − 3k̂ →α
→
β
Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
    
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Primeiramente, vamos montar a matriz 3 x 3, que tem como primeira linha os vetores unitários;
segunda linha, o vetor ; e terceira linha, o vetor . Com essa con�guração, conseguiremos realizar a
operação de (lê-se alfa vetorial beta). Vamosver:
A operação de ocorre com o cálculo do determinante da matriz anterior, ou seja:
Note que o determinante está sendo solucionado pela regra de Sarrus, já que é o cálculo do
determinante de uma matriz 3×3. Diante disso, o determinante é:
Resolvendo as multiplicações e realizando as operações de soma e subtração entre elementos com
vetores unitários iguais, temos:
De acordo com o descrito na Figura 1.7, o produto vetorial
, ou seja:
→
α
→
β
→
α ×  
→
β 
⎡⎢⎣ ı̂ ȷ̂ k̂4 6 −1−1 2 −3⎤⎥⎦ (36)→α ×  →β  (37)→α ×  →β = 6 ⋅ (−3) ⋅ î + (−1) ⋅ (−1) ⋅ ĵ + 2 ⋅ 4 ⋅ k̂ − [(−3) ⋅ 4 ⋅ ĵ + (−1) ⋅ 2 ⋅ î + (−1) (38)
→
α ×  
→
β = −16̂i + 13ĵ + 14k̂ (39)
→β × →α = −(→a × →β)
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javascript:void(0)
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→
β ×→α = −[−16̂i + 13ĵ + 14k̂] (40)
→
β ×→α = 16̂i − 13ĵ − 14k̂ (41)
Agora que obtemos os vetores resultantes do produto vetorial em (39) e (41), podemos utilizá-los para explicar a
regra da mão direita, exatamente como está descrita (Figura 1.7). No caso da equação (39), você posiciona os
dedos: indicador, dedo médio, dedo anelar e dedo mindinho na direção e no sentido positivo do vetor e mantém
o dedão para cima. Ao fechar a mão, fazendo um sinal de positivo com o polegar, os dedos devem se movimentar
na direção do vetor . Se isso ocorrer corretamente, o seu dedão lhe dará a direção e sentido do vetor .
Quando você �zer o mesmo procedimento para o caso da equação (41), os quatro dedos terão posição inicial em
 e, ao fechar a mão, eles vão passar por . Você, então, terá a direção e sentido do vetor apontada por seu
dedão e notará que a direção desse vetor é a mesma obtida para o vetor , porém com sentido oposto.
→
α
→
β
→
α  ×   
→
β
→
β
→
α
→
β  ×  
→
α
→
α  ×   
→
β
TEOREMA DO GRADIENTE 
Quando lidamos com vetores, utilizamos muitas vezes os adventos do cálculo vetorial. Um desses adventos é o
teorema do gradiente.
O teorema do gradiente é uma generalização ou teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Isso
garante que a integral de linha pode ser calculada por meio do campo escalar que tem origem nos pontos �nais
das curvas:
(
→
∇)
F(p) − F(q) = ∫ pq
→
∇f(r) ⋅ d→r (42)
No interior da equação (42), temos o vetor gradiente , que é um vetor que realiza a indicação de direção e sentido
para determinado deslocamento. O vetor gradiente não aponta para uma direção qualquer. Ele tem início em um
ponto especí�co e aponta na direção e sentido de maior valor da grandeza física analisada, em um campo escalar.
Então, a partir desse campo escalar e do operador gradiente , um campo vetorial pode ser construído, no qual
é possível construir o vetor gradiente .
→
∇
(∇)
(
→
∇)
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O vetor gradiente é um vetor como outro qualquer, mas o seu módulo tem o signi�cado de indicar a taxa de
variação da grandeza escalar que está sendo analisada. O deslocamento na direção e sentido do vetor gradiente
são considerados deslocamentos in�nitesimais.
Você sabia
O campo vetorial, o operador gradiente e o vetor gradiente são
aplicados em diversas áreas da matemática das ciências exatas e da
Terra, principalmente no ramo da Física. Com o vetor gradiente é
possível fazer cálculos que abrangem desde o cálculo de derivadas
direcionais à maximização dessas derivadas.
Por exemplo, por meio do gradiente do potencial elétrico , determinamos o campo elétrico , ou seja:(
→
∇V) (
→
E)
→
∇V =
→
E (42)
Operador gradiente
De�nimos o operador gradiente de uma função com n incógnitas como sendo o conjunto de todas as
derivadas parciais da função .
(∇f) (f)
f
∇f(x, y, z, … ,n) =
= ( ∂f∂x (x, y, z, … ,n),
∂f
∂y (x, y, z, … ,n),
∂f
∂z (x, y, z, … ,n), … ,
∂f
∂n (x, y, z, … ,
(43)
Para compreender melhor a utilização do operador gradiente, vamos veri�car o seguinte exemplo:
Exemplo
Considere a função: .
O gradiente dessa função é igual a?
f(x, y, z) = 4x2 − 13xy + 14z
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SOLUÇÃO
Note que a função apresenta três variáveis, , e , então devemos ter três derivadas parciais:
Determinada as derivadas parciais nas equações de (44) a (46), montamos o gradiente, como
demonstrado em (43), logo:
x y z
∂f
∂x (x, y, z) = 8x − 13y
(44)
∂f
∂y (x, y, z) = −13x (45)
∂f
∂z (x, y, z) = 14
(46)
∇f(x, y, z) = (8x − 13y, −13x, 14) (47)
Dica
O operador gradiente é a derivada total de uma função que contém
mais de uma variável, ou seja, uma função multivariável.
Vetor gradiente
O gradiente de uma função detém as informações de todas as derivadas parciais de uma função. Isso
signi�ca que é um vetor, logo é uma função vetorial e muitas vezes denotada como: .
Podemos denotar tal vetor para uma função de n incógnitas, como:
∇f
∇f ∇f ∇f
−→
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∇f(x, y, z, … ,n) =
−→
= ( ∂f∂x (x, y, z, … ,n),
∂f
∂y (x, y, z, … ,n),
∂f
∂z (x, y, z, … ,n), … ,
∂f
∂n (x, y, z, … ,
(48)
Ou em função dos vetores unitários:
∇f(x, y, z, … ,n) =
−→
=
∂f
∂x (x, y, z, … ,n)̂i +
∂f
∂y (x, y, z, … ,n)ĵ + … +
∂f
∂n (x, y, z, … ,n)n̂
(49)
Sendo uma função vetorial, ela terá como saída o mesmo número de coordenadas da entrada, ou seja, se há
uma função bidimensional, o vetor gradiente será um vetor bidimensional. Essa relação tem o seguinte signi�cado:
a função vetorial pode ser interpretada como sendo um campo vetorial, que é chamado de campo vetorial da
função .
∇f
−→
∇f
−→
f
A representação matricial de um vetor gradiente é a de uma matriz coluna.
Exemplo
Considere a função: . O seu vetor gradiente é igual a:f(x, y, z,w) = xcos(xyzw)
    
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∂f
∂x (x, y, z,w) = cos(xyzw) − xyzwsen(xyzw)
(50)
∂f
∂y (x, y, z,w) = −x
2zwsen(x|y|z|w) (51)
∂f
∂z (x, y, z,w) = −x
2ywsen(x|y|z|w) (52)
∂f
∂w (x, y, z,w) = −x
2yzsen(x|y|z|w) (53)
Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
Assim, o vetor gradiente representado de forma matricial é:
Então, formalizando a operação realizada no exemplo anterior, podemos escrever que, para
determinada função de n incógnitas, temos o vetor gradiente como:
∇f =
−→
⎡⎢⎣cos(xyzw) − xyzwsen(xyzw)  −x2zwsen(x|y|z|w) −x2ywsen(x|y|z|w)−x2yzsen(x|y|z|w)  ⎤⎥⎦ (54)    
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∇f =
−→
⎡⎢⎣ ∂f∂x (x, y, . . ,n)  ∂f∂y (x, y, . . ,n) ⋮∂f∂n (x, y, . . ,n) ⎤⎥⎦ (55)O vetor gradiente indica a direção e o sentido de maior taxa de variação da grandeza estudada, isto é, aponta ovetor de mais rápido deslocamento, de mais rápida variação de temperatura etc.OPERADOR DIVERGÊNCIA O operador divergência é utilizado para medir a magnitude de uma fonte ou sorvedouro de um campo vetorial emum ponto especí�co desse campo. (→∇ ⋅ →F )
Saiba mais
Matematicamente, o operador divergência é considerado um escalar
que indica a dispersão dos vetores existentes no campo vetorial em
determinado ponto desse campo. Por isso o nome divergência.
Dessa forma, o que ocorre matematicamente com o operador divergência é que temos como entrada um vetor de
multivariáveis e como saída, um escalar, que representa a magnitude da variação da densidade dos vetores em
determinado ponto do campo vetorial.
    
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Exemplo
Considere um aquário cheio de água doce. Como sabemos, as moléculas do líquido nunca �cam totalmente
paradas. Mesmo sem fontes de calor, elas �cam rotacionando e transladando; então o campo vetorial, nesse caso,
será a velocidade com a qual essas moléculas de água se locomovem no interior desse aquário. Se uma molécula
de água é aquecida em certo ponto, era irá se expandir em todas as direções, e a divergência do campo vetorial de
velocidade das moléculas de água será positivo, pois haverá menos moléculas de água nessa região do que nas
demais, que se encontram mais distantes do ponto de aquecimento. Isto é, teremos mais moléculas de água
saindo desse ponto do que entrando. Porém, se em vez de aquecermos �zermos um pequeno furo no fundo do
aquário, as moléculas de água irão convergir para aquele ponto e tenderão se concentrar ali para poder abandonar
o aquário. Nessa situação, o operador divergência assumirá um valor negativo. No caso do aquecimento, dizemos
que temos uma fonte, e no caso do furo, dizemos que temos um sumidouro.
Agora, se ao calcular o operador divergência chegarmos à conclusão de que ele é nulo, ou seja:
Dizemos que o sistema, e no caso o campo vetorial, está em um regime estacionário, o que signi�ca que não há
variação de energia em função do tempo.
Mas como calculá-lo?
Calculamos o operador divergência de forma muito parecida com a do produto escalar, com a única diferença de
que agora analisamos um vetor por vez. O operador divergência de um vetor de n variáveis, é dado por:
→
∇ ⋅
→
f = 0 (56)
Você sabia
O operador divergente nas ciências naturais e da Terra é muito
utilizado para a análise da variação de energia em campos, como
campos elétricos e magnéticos.
→
f
→
∇ ⋅
→
f(x, y, . . ,n) =
∂f
∂x (x, y, . . ,n) +
∂f
∂y (x, y, . . ,n) + … +
∂f
∂n (x, y, . . ,n) (57)
    
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Lembrando que, para obter o valor escalar, é necessário fazer a aplicação de um ponto especí�co em todas as
derivadas parciais, e que as derivadas parciais dependem do vetor unitário.
Exemplo
Considere o vetor . A divergência no ponto (1,2) é igual a?
→
G(x, y) = 9x2ŷi − 8xy²̂j
Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
Para determinar o operador divergência, primeiro temos que determinar as derivadas parciais da
função , porém a derivada vai ser aplicada somente na parcela da equação que possui o vetor
unitário , e a derivada vai ser aplicada somente na parcela da equação que possui o vetor unitário
, assim:
Agora, o que temos que fazer é aplicar o ponto (1,2) nas equações (58), (59):
→
G
∂
→
G
∂x
î
∂
→
G
∂y
ĵ
∂
→
G
∂x = 18xy
(58)
∂
→
G
∂y = −16xy
(59)
∂
→
G
∂x = 18 ⋅ 1 ⋅ 2 = 36
(60)
∂
→
G
∂y = 16 ⋅ 1 ⋅ 2 = −32
(61)
    
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Por �m, devemos somar os resultados encontrados do seguinte modo:
Com o resultado encontrado em (62), podemos a�rmar que no ponto (1,2) há uma fonte.
→
∇ ⋅
→
G(x, y) = 36 + (−32) = 4 (62)
Matricialmente, podemos escrever uma maneira mais “arrumada” de demonstrar como calcular o operador
divergência para um vetor :
Note que em (63) escrevemos como obter o escalar resultante pelo operador gradiente por meio da multiplicação
entre duas matrizes.
Retornando ao exemplo anterior, podemos solucioná-lo por meio da equação (63):
→
f(x, y, . . ,n)
→
∇ ⋅
→
f(x, y, . . ,n) = ⋅ [  ]
⎡⎢⎣   ∂∂x î  ∂∂y ĵ⋮∂∂n n̂ ⎤⎥⎦ fî fĵ ⋯ fn̂ (63)Clique no botão para ver as informações.SOLUÇÃORealizando a multiplicação matricial, temos:→∇ ⋅ →G(x, y) = [ ] ⋅ [ ]∂∂x∂∂y 9x2y −8xy2 (64)    
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Realizando as operações de derivadas parciais descritas em (65):
Substituindo o ponto (1,2) em (66), temos:
→
∇ ⋅
→
G(x, y) = ∂∂x (9x
2y) + ∂∂y (−8xy
2) (65)
→
∇ ⋅
→
G(x, y) = 18xy − 16xy = 2xy (66)
→
∇ ⋅
→
G(1,2) = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4 (67)
Dica
Note que o resultado encontrado em (67) é igual ao resultado
encontrado em (62), e que as derivadas parciais apresentadas em
(66) são iguais às derivadas parciais apresentadas em (58) e (59).
ROTACIONAL DE UMA FUNÇÃO 
O rotacional é um operador matemático que serve para calcular o afastamento ou a aproximação, ou seja, se os
vetores que compõem um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal à superfície do campo
vetorial.
→
f
Resumindo
O que o operador rotacional faz é transformar um campo vetorial em
outro campo vetorial, ponto a ponto. Seus resultados são muito
utilizados nas teorias do eletromagnetismo.
    

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Na prática, o que o rotacional faz é medir a rotação em um campo vetorial, e ela só se aplica a três dimensões .
Para de�nir matematicamente o operador rotacional em três dimensões, vamos considerar a função , de tal modo
que:
R3
→
f
→
f(x, y, z) = fx(x, y, z)̂i + fy(x, y, z)ĵ + fz(x, y, z)k̂ (68)
→
∇ ×
→
f = ( ∂fz∂y −
∂fy
∂z )î + (
∂fx
∂z −
∂fz
∂x )ĵ + (
∂fy
∂x −
∂fx
∂y )k̂ (69)
Isso porque o rotacional da função é um produto vetorial entre o rotacional e a função :
→
f
→
∇
→
f
→
∇ ×
→
f = ∣ î ĵ k̂∂∂x ∂∂y ∂∂zfx fy fz ∣ (70)DicaA equação (69) é o resultado do determinante da matriz apresentadaem (70).Quando o resultado da equação (69) resulta em um vetor nulo , e o operador divergência de vetor for nulotambém, ou seja, , dizemos que o campo vetorial é conservativo.→0∇ ⋅ →f = 0ExemploConsidere a função vetorial .Vamos partir de (70) para determinar o rotacional dessa função vetorial que é:→B(x, y, z) = (2xyz,  4x2z2, yz3)    
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→
∇ ×
→
B = ∣ î ĵ k̂∂∂x ∂∂y ∂∂z2xyz 4x2z2 yz3 ∣Clique no botão para ver as informações.SOLUÇÃOCalculando o seu determinante, temos:Solucionando as derivadas parciais, temos:
Essa equação apresenta a resposta esperada, que é o rotacional da função , mas vamos dar um
passo além, que é o de aplicar esse rotacional ao ponto (1,2,3) e veri�car como teremos o vetor 
:
Temos, então, em (72), o vetor rotacional da função vetorial aplicado no ponto (1, 2, 3).
→
∇ ×
→
B = ( ∂∂y (yz
3) − ∂∂z (4x
2z2))î + ( ∂∂z (2xyz) −
∂
∂x (yz
3))ĵ + ( ∂∂x (4x
2z2) − ∂∂y (2xyz))
ˆ
→
∇ ×
→
B = (z3 − 8x2z)̂i + (2xy − 0)ĵ + (8xz2 − 2xz)k̂ (71)
→
B
→
∇ ×
→
B
→
∇ ×
→
B = (33 − 8 ⋅ 12 ⋅ 3)̂i + (2 ⋅ 1 ⋅ 2 − 0)ĵ + (8 ⋅ 1 ⋅ 32 − 2 ⋅ 1 ⋅ 3)k̂
→
∇ ×
→
B = 3̂i + 3ĵ + 66k̂
(72)
→
B
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SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS
Muitas vezes, torna-se mais fácil trabalhar com coordenadas curvilíneas (cilíndrica ou esférica) do que com
coordenadas cartesianas. Geometricamente, as coordenadas curvilíneas são coordenadas de um espaço
euclidiano cujas linhas podem ser curvas. Tais coordenadas podem ser transformadas a partir de coordenadas
cartesianas.
Coordenadas cilíndricas
Podemos enxergar as coordenadas cilíndricas como uma evolução das coordenadas polares, pois:
Coordenadas polares
São aplicadas para um espaço
bidimensional .R2 
Coordenadas cilíndricas
São aplicadas para um espaço
tridimensional .R3
A conversão das coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas é feita da seguinte maneira:
x = ρcos(θ) (73)
y = ρsen(θ) (74)
z = z (75)
Em que é o raio e é o ângulo formado, como podemos veri�car:p θ
    
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 Figura 1.8 Representação geométrica da coordenada cilíndrica
Diante dessa transformação, é possível reescrever os operadores divergente e rotacional em função das
coordenadas cilíndricas, lembrando que as coordenadas cilíndricas possuem somente três dimensões, ou seja,
pertencem ao :R3
→
∇ ⋅
→
f(x, y, . . ,n) = ⋅ [  ]
⎡⎢⎣ 1r ∂∂r1r ∂∂θ∂∂z ⎤⎥⎦ rFr Fθ Fz (76)    
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→
∇ ×
→
f = ∣ ρ̂ ρϕ̂ ẑ∂∂ρ ∂∂ϕ ∂∂zfρ ρfϕ fz ∣ (77)Coordenadas esféricasA coordenada esférica permite referenciar qualquer localização em um espaço de formato esférico. Atransformação da coordenada cartesiana para a coordenada esférica é realizada da seguinte forma:x = rcos(ϕ)sen(θ) (78)y = rsen(ϕ)sen(θ) (79)z = rcos(ϕ) (80)
Em que r é o raio e e são os ângulos feitos com os eixos, como mostra a �gura:ϕ θ
    
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 Figura 1.9 Representação geométrica das coordenadas esféricas
Diante dessa transformação, é possível reescrever os operadores divergente e rotacional em função das
coordenadas esféricas, lembrando que as coordenadas esféricas possuem somente três dimensões, ou seja,
pertencem ao :R3
→
∇ ⋅
→
f(x, y, . . ,n) = ⋅ [  ]
⎡⎢⎣ 1r2 ∂∂r1rsen(ϕ) ∂∂ϕ1rsen(ϕ) ∂∂θ ⎤⎥⎦ r2Fr sen(ϕ)Fϕ Fθ (81)    
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→
∇ ×
→
f = ∣ r̂ rsen(ϕ)θ̂ rϕ̂∂∂r ∂∂θ ∂∂ϕfr rsen(ϕ)fθ rfϕ ∣ (82)Tanto para coordenadas cilíndricas quanto para coordenadas esféricas, os cálculos são realizados da mesmaforma como foram apresentados para coordenadas cartesianas em todo este módulo. VERIFICANDO O APRENDIZADO1. Sobre o operador divergência da função a seguir, assinale a opção correta:→F(x, y) = 8xŷi − tg( xy )ĵ
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Calculando o operador divergência, temos:
→
∇ ⋅
→
F(x, y) = 8y + 1
y2
sec2( x
y
)A)
 
→
∇ ⋅
→
F(x, y) = 8y + 1
y2
sec2( 1
y
)B)
 
→
∇ ⋅
→
F(x, y) = 8y − 1y2 sec
2( xy )C)
 
→
∇ ⋅
→
F(x, y) = 8y + 1y sec
2( xy )D)
 
→
∇ ⋅
→
F(x, y) = 8y − 1y sec
2( xy )E)
    
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→
∇ ⋅
→
F(x, y) = [ ] ⋅ [ ]
∂
∂x
∂
∂y
8 xy − tg( xy )
→
∇ ⋅
→
F(x, y) = ∂∂x (8 xy) +
∂
∂y (− tg(
x
y ))
→
∇ ⋅
→
F(x, y) = 8y + 1y2 sec
2( xy )
2. Podemos a�rmar sobre o rotacional da função a seguir, no ponto (0,1,1) que:
→
F(x, y, z) = 8xŷi − tg( x
y
)ĵ + zk̂
Comentário
Parabéns! A alternativa "E" está correta.
Vamos determinar o rotacional da seguinte maneira:
O rotacional aplicado no ponto (0,1,1) é:
.
= −î + ĵ + k̂A)
O rotacional aplicado no ponto (0,1,1) é:
.
= î + ĵ + k̂B)
O rotacional aplicado no ponto (0,1,1) é:
.
= î − ĵ + k̂C)
O rotacional aplicado no ponto (0,1,1) é:
= î + 0ĵ − k̂
D)
O rotacional aplicado no ponto (0,1,1) é:
= 0̂i + 0ĵ + k̂
E)
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Calculando o determinante desta matriz, temos:
Realizando as operações de derivação, temos:
Substituindo o ponto (0,1,1), temos:
→∇ × →F = ∣ ı̂ ȷ̂ k̂∂∂x ∂∂y ∂∂z8xy − tg( xy ) z ∣→∇ × →F = ( ∂∂y (z) − ∂∂z (− tg( xy )))ı̂ + ( ∂∂z (8xy) − ∂∂x (z)+( ∂∂x (tg( xy )) − ∂∂y (8xy))k̂→∇ × →F = (0 − 0)̂ı + (0 − 0)̂ȷ + ( 1y sec2 ( xy ) − 8x)k̂
→∇ × →F(0, 1, 1) = 0ı̂ + 0̂ȷ + (
1
1
sec2 (
0
1
) − 8 ⋅ 0)k̂
→∇ × →F(0, 1, 1) = (0)̂ı + 0̂ȷ + (1)k̂
→∇ × →F(0, 1, 1) = 0ı̂ + 0̂ȷ + k̂
Obrigado pelo feedback!

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MÓDULO 2
 Descrever a função delta de Dirac
A FUNÇÃO DELTA DE DIRAC.

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A FUNÇÃO DELTA DE DIRAC (δ)
A função delta de Dirac é uma função real que tem como propriedade ter imagem tendendo ao in�nito quando x
tende a zero, e ter imagem tendendo a zero quando x tende a um valor diferente de zero. Vejamos tal
comportamento:
    

javascript:void(0)
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 Figura 2. 1 Comportamento da função delta de Dirac
A integral dessa função, em toda reta real, tem valor igual a 1. A função delta de Dirac é pensada como sendo um
retângulo, in�nitamente estreito e in�nitamente alto, cuja área é 1, ou seja, a área é igual à unidade. Vejamos:
 Figura 2.2 Ilustração do retângulo in�nitamente estreito e in�nitamente alto de área igual a 1, que representa a função delta de Dirac.
O delta de Dirac não é matematicamente uma função. Ele é considerado um objeto matemático de distribuição.
Isso ocorre devido ao fato de essa função ter valor nulo em todos os pontos diferentes de x = 0 e ter valor
tendendo ao in�nito, para x = 0 (Figura 2.2).
Comentário
A grande contribuição do delta de Dirac ocorre quando ele é aplicado
em uma integração, pois, nessa ocasião, ele ganha sentido
matemático e, então, passa a ser visto e manipulado como se ele    

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fosse uma função.
Para começarmos a de�nir a função delta de Dirac, vamos, primeiro, fazer uma análise unidimensional, ou seja,
para a reta real e, depois, vamos formalizar as considerações que aparecem na Figura 2.2:(R)
δ(x) = { 0,  se x ≠ 0
∞,  se x = 0
(83)
A condição da equação (83) é uma condição de divergência, assim, para ter uma interpretação física, vamos
propor a integração desta função em toda a reta real. Isto é, vamos fazer a função variar de menos in�nito a
mais in�nito na integral , assim:
(δ(x))
(−∞ < x < ∞)
∫ ∞−∞ δ(x)dx = 1 (84)
Mas por que essa integração está sendo igualada a 1?
Lembre-se de que foi dito que o retângulo formado por essa função é in�nitamente estreito e in�nitamente alto,
resultando em uma área igual à unidade, ou seja, a integral da função é igual a 1.
Atenção
A função delta de Dirac não tem de�nição para argumentos
complexos (números complexos).
Como vimos nas Figuras 2.1 e 2.2, as equações (83) e (84) são aplicadas para x=0. Porém, podemos generalizar
essas funções aplicando-as a um ponto , e elas assumem o formato de:x = a
 δ(x − a) = { 0,  se x ≠ a
∞,  se x = a
(85)
∫ ∞−∞ δ(x − a)dx = 1 (86)
    

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Uma das principais propriedades da função delta de Dirac é a chamada propriedade da �ltragem. Essa
propriedade é aplicada para uma função e continua em torno de . Assim, a equação (86) assume a
característica de:
f(x) x = a
∫ ∞−∞ δ(x − a)f(x)dx = f(a) (87)
Vamos analisar a próxima �gura para compreender o raciocínio:
 Figura 2.3 Função e função .δ(x) f(x)
O grá�co mostra uma função e a função em determinado plano. Em (87) vimos que a propriedade da
�ltragem é escrita em função do produto de duas funções: e . Vimos em (85) que, para qualquer
ponto diferente de x=a, a função ; logo, o produto entre δ(x-a) e não possui outro resultado
senão zero . Porém, para , temos que e que , então podemos
reescrever a equação (87)do seguinte modo:
f(x) δ(x)
δ(x − a) f(x)
δ(x − a) = 0 f(x)
(δ(x − a)f(x) = 0) x(a) δ(x − a) ≠ 0 f(x) = f(a)
    
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∫ +∞−∞ δ(x − a)f(a)dx = f(a) (88)
Agora, podemos observar em (88) que a função se tornou uma constante, pois não depende mais da variável
, então:
f(a)
x
f(a) ∫ +∞−∞ δ(x − a)dx = f(a) (89)
Pela de�nição demonstrada em (86), a integração da função delta de Dirac é igual a unidade, assim:
∫ +∞−∞ δ(x − a)dx = 1
Logo:
f(a) ⋅ 1 = f(a)
Que, por �m, resulta em:
f(a) = f(a) (90)
Vejamos a utilização da função delta de Dirac em um exemplo simples de distribuição singular de carga elétrica.
Considere uma carga puntiforme Q situada na reta R, em x=a. A densidade linear de distribuição dessa carga é
igual a:
dq(x) =
dq
dx
(91)
    
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Utilizando a função delta de Dirac, demonstre que essa carga possui módulo q.
Sabemos que a função delta de Dirac é dada pela equação (86):
∫ ∞−∞ δ(x − a)dx = 1
Desse modo, para encontrar a carga em razão da densidade de carga, precisamos integrar a densidade de carga
em todo a reta , ou seja, de menos in�nito a mais in�nito.x
Mas integrar quem? A densidade de carga descrita em (91).
Mas como fazemos a relação dela com a função delta de Dirac? Fazendo uma transformação de operadores.
De (91), temos:
dq(x) =
dq
dx
→ dq(x) =
d
dx
(q)
Em que é um operador de diferenciação, porém como essa função tem de�nição distinta de zero somente no
ponto , podemos dizer que , assim (91) assume a seguinte condição:
d
dx
x = a d
dx
= δ(x − a)
dq(x) = q ⋅ δ(x − a) (93)
Integrando em toda reta , temos:R
∫ ∞−∞ q ⋅ δ(x − a)dx (94)
Retirando q de dentro da integral:
    

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q ∫ ∞−∞ δ(x − a)dx (95)
Comparando (95) com (86) chegamos à conclusão de que , logo, temos que:∫ ∞−∞ δ(x − a)dx = 1
(96)
A partir da propriedade da �ltragem apresentada em (87), podemos de�nir também a transformada de Laplace da
função delta de Dirac:
L (δ(x − a)) = ∫ ∞0 δ(x − a)e
−sxdx = e−ax (97)
E a transformada de Fourier da função delta de Dirac:
Ϝ(δ(x − a)) = ∫ +∞−∞ δ(x − a)e
−iωxdx = e−iωa (98)
As equações descritas em (87), (97) e (98) são as chamadas propriedades da função delta de Dirac.
TEORIA DOS CAMPOS VETORIAIS
Um campo vetorial é um advento do cálculo vetorial que relaciona um vetor qualquer a todo ponto de uma
grandeza diferenciável. Podemos a�rmar que um campo vetorial é uma função vetorial que realiza a associação
de um vetor a cada ponto do espaço em , do seguinte modo:→v R3
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→
F(x, y, z) = fx(x, y, z)̂i + fy(x, y, z)ĵ + fz(x, y, z)k̂ (99)
A função vetorial é composta pelas funções , e , que chamadas de funções componentes e são
associadas a um ponto qualquer para fornecer o valor de cada componente dos vetores unitários , 
e .
→
F(x, y, z) fx fy fz
P(x|, |y|, |z) î ĵ
k̂
Exemplo
No eletromagnetismo, campos vetoriais podem ser utilizados para
fornecer informações detalhadas de campos elétricos e magnéticos.
Tipos de campos vetoriais
Clique nas barras para ver as informações.
CAMPO CONSERVATIVO 
Um campo vetorial é dito conservativo quando o rotacional do campo aplicado no ponto especí�co do espaço
vetorial é nulo, ou seja:
Em que é a função vetorial que representa o campo vetorial:
Em que é uma função potencial do campo vetorial. O resultado de (100) indica que o campo é irrotacional,
garantindo que o campo é conservativo.
Outra forma simples de veri�car o fato de o campo ser conservativo é por meio de uma integral de linha:
quando o valor da integral depende somente dos pontos extremos, independendo do caminho com que ligue
ambos os pontos extremos. Matematicamente, temos:
(100)
→
∇ ×
→
F =
→
0
→
F
(101)
→F(x, y, z) =
∂ →Q
∂x
(x, y, z)̂i +
∂ →Q
∂y
(x, y, z)ĵ +
∂ →Q
∂z
(x, y, z)k̂
→
Q
∮
→
F ⋅ d→r = 0
    
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3.
Dizer que o campo vetorial é único e de�nido pelo somatório da divergência do campo vetorial , com
o rotacional do campo vetorial .
Em que os campos vetoriais e são integráveis:
(102)
CAMPO CENTRAL 
CAMPO DE SPIN 
CAMPO INVERSO-DO-QUADRADO 
TEOREMA DE HELMHOLTZ
O teorema de Helmholtz ou, como também é chamado, teorema de decomposição de Helmholtz, a�rma que, se a
divergência e o rotacional são conhecidos em todo o espaço vetorial, o campo vetorial existe e é único desde que a
divergência e o rotacional tendam a zero rápido o su�ciente no in�nito. Vamos entender isso matematicamente
enunciando esse teorema, considerando um campo vetorial .
→
G(r)
Clique nas informações a seguir.
1 2 3
→
G(r)
→
U(r)
W (r)
−→
→
G(r) = −∇⋅
→
U(r) +
→
∇ × W (r)
−→−→ (115)
→
U(r) W (r)
−→
→
U(r) = 14π ∫
N(r')
|r−r' | dτ
' (116)
W (r) = 14π ∫
→
B(r')
|r−r' | dτ
'
−→ (117)
    
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Em que e são vetores genéricos de posição no espaço tridimensional, e é um elemento in�nitesimal de
volume.
r r’ dτ '
Para garantir a existência dos campos vetoriais e em todos os pontos, é necessário garantir que as
integrais apresentadas em (116) e (117) sejam convergentes, então vamos demonstrar, começando pela (116), e
por analogia de�nindo a convergência de (117).
→
U(r) W (r)
−→
A integral de (116) é:
∫
N(r')
|r−r' | dτ
'
Comentário
Note que a variante da integral é , mas percebemos que a função
depende diretamente de , então utilizaremos a condição (113) para
realizar uma mudança de variável na integral. Porém, para não
complicar muito, faremos isso por comparação.
d’
r’
Primeiro: Reescrever aqui o lado esquerdo de (113):
lim
x→∞
N(r)
1/r2
A variável aqui envolvida é , então podemos de�nir (113) novamente em função de :r’ r’
lim
x→∞
N(r')
1/
r'
2
(118)
Podemos realizar a divisão de fração em (118) para nos facilitar a visualização:
    
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lim
x→∞
N(r')r'
2
(119)
Pela de�nição de integral, podemos realizar o somatório de todos os pontos do campo onde a função é contínua,
assim:
lim
x→∞
∑N(r')r' 2 ⋅ Δr' (120)
O que nos permite escrever (120), como:
∫ N(r')r' 2 ⋅ dr' (121)
Comparando (121) com (116), podemos dizer, de modo geral, que . Substituindo essa relação em
(116), temos:
r'
2
⋅ dr' = dτ'
∫
N(r')
|r−r'| r
' 2 ⋅ dr' (122)
Agora, considerando que a função converge para zero no in�nito, esperamos sua posição �nal seja zero, ou seja,
, assim:r = 0
∫
N(r')
|−r'| r
' 2 ⋅ dr' (123)
Como , reescrevemos (123), como:|−r'| = r'
    
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∫
N(r')
|r'| r
' 2 ⋅ dr' (124)
Simpli�cando, temos:
∫ N(r')r' ⋅ dr' (125)
Essa integral converge se, e somente se, convergir para zero mais rápido do que converge para zero
no in�nito.
De forma análoga, e realizando os mesmos passos matemáticos, demonstramos que a integral de (117) é igual a:
N(r') 1
r'
2
∫
→
B(r')r' ⋅ dr' (126)
As convergências de (125) e (126) demonstram que os campos e existem.
No in�nito, como ambos os campos se anulam, eles podemser considerados iguais , desde
que:
→
U(r) W (r)
−→
(
→
U(r) = W(r))
→
∇ ⋅
→
U(r) =
→
∇ ⋅ W (r)
−→ (127)
e
→
∇ ×
→
U(r) =
→
∇ × W (r)
−→ (128)
As considerações feitas pelo teorema de Helmholtz são de suma importância para o eletromagnetismo, uma vez
que corroboram para o embasamento das equações de Maxwell.    
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POTENCIAIS DE CAMPOS VETORIAIS
Assim como em campos conservativos, em que , e , podemos dizer que em certas
condições existe um campo vetorial denominado de potencial vetorial do campo , tal que .
Se há um campo conservativo, ou seja, de rotacional nulo , ele gera o gradiente de uma função, e
isso é chamado de potencial do campo vetorial ou somente de potencial vetorial. Porém, nem sempre isso é
válido, pois existem campos vetoriais, como o campo de elemento de ângulo, que não é um campo conservativo,
mas possui rotacional nulo.
→
∇ ×  
→
F   =  0
→
∇ ⋅  
→
F   =  0
→
α
→
F
→
F =
→
∇ ×→α
(
→
∇ ×  
→
F   =  0)
Dica
Para não termos problema com campos não conservativos que
possuem rotacional nulo, podemos impor uma restrição que é a de
restringirmos o domínio do campo a um domínio simples conexo.
Dessa forma, qualquer campo vetorial cujo rotacional seja nulo, será
o gradiente de uma função vetorial qualquer.
Admitindo que para qualquer campo vetorial de classe , nos perguntamos:
→
∇ ⋅ (
→
∇ ×
→
F) = 0 C1
Obter implica existência de um campo vetorial de tal maneira que exista ?
→
∇ ⋅
→
F = 0
→
α
→
G =
→
∇ ×
→
α
Para que a resposta seja positiva, o campo vetorial deve satisfazer a seguinte condição imposta pelo teorema de
Stokes:
∬S
→
G ⋅ n̂dσ = 0 (129)
M que é um vetor unitário normal, para toda superfície S fechada.
Se existir o campo vetorial , ele será chamado de campo potencial do campo vetorial .
n̂
→
α
→
G
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Você sabia
Os campos vetoriais potenciais são muito úteis para cálculos no
eletromagnetismo e facilitam muito a compreensão dos fenômenos
físicos associados.A seguir, vamos descrever os tipos de campos potenciais.
Campo de elemento de ângulo sólido
A de�nição da medida angular em radianos é dada por meio da razão do comprimento do arco de circunferência
pelo raio dessa circunferência. Os ângulos sólidos são medidos de maneira análoga, porém, agora, com a razão
entre a área de determinada região de uma esfera e o seu raio ao quadrado.
Esse campo tem um comportamento peculiar, pois existe um campo vetorial que, quando integrado sobre
qualquer superfície, é capaz de medir qualquer ângulo sólido varrido por esta superfície. A equação (130)
demonstra isso:
Ω  =  
→
r
 →r 
3 =
xî + yĵ + zk̂
(x2 + y2 + z2) 
3/2
−→ ∣ ∣ (130)O campo vetorial apresentado e (130) satisfaz a condição , porém não satisfaz a condição imposta peloteorema de Stokes, pois , para qualquer superfície S fechada. Assim, para esse tipo de camponão existe um potencial vetorial cujo rotacional .→∇ ⋅→Ω = 0∬S→Ω ⋅ n̂dσ = 4π→α →∇ ×→α = →ΩDomínio duplamente conexoA condição que discutimos para que tenhamos um campo potencial é a de que o campo seja conservativo e semburacos para impedir que haja curvas fechadas no interior do domínio, que a partir de agora chamaremos de D.Vamos considerar que exista uma superfície fechada cujos pontos envolvam toda a superfície do domínio (D).Nesse caso, podemos a�rmar que D é duplamente conexo.Para esse tipo de domínio, temos e , e satisfazem a condição de Stokes de�nida em (129).→∇ ⋅ →F = 0 →∇ × →F = 0Potenciais vetoriais de domínios estreladosChamamos de domínios estrelados o conjunto D, em que existe um ponto , tal que p_0 pode ser interligadoa qualquer outro ponto de D por um segmento de reta. Isso é possível quando , por exemplo.p0 ∈ DD = R3
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 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A função delta de Dirac não é de fato uma função, mas sim uma distribuição que tende
ao in�nito na origem dos espaços e possui imagem nula para qualquer valor do domínio
diferente de zero. Diante a essa explanação, analise as asserções realizadas abaixo:
I- A função delta de Dirac tem sua representação por um retângulo cuja área é igual à
unidade.
PORQUE
II- Sua altura tende ao in�nito e sua largura tende in�nitesimalmente a zero.
Diante das asserções realizadas acima, assinale a razão correta entre elas:
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Apesar de ambas as asserções estarem corretas, o fato de a altura tender ao in�nito enquanto
a largura tende in�nitesimalmente a zero não garante que a área do retângulo formado seja
igual a 1, pois isso é somente a descrição do comportamento da função. Para obter tal
garantia, deveríamos a�rmar que a altura varia de forma direta e proporcional à variação da
largura dessa distribuição.
A asserção I está correta e a asserção II está incorreta.A)
A asserção I está incorreta e a asserção II está correta.B)
As asserções I e II estão corretas e a asserção II é uma explicação correta sobre a asserção
I.
C)
As asserções I e II estão corretas e a asserção II é uma explicação incorreta sobre a
asserção I.
D)
Ambas as asserções estão incorretas.E)
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2. Diversos são os campos vetoriais existentes, mas alguns são especiais para poder
explicar fenômenos físicos importantes, como os spins. Sobre campos de spins podemos
a�rmar que
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
O campo de spin possui vetores que são tangentes às superfícies que demonstram uma
rotação, ou seja, são tangentes a curvas que se apresentam por círculos crescentes, como
ocorre em um tufão por exemplo.
Obrigado pelo feedback!

MÓDULO 3
são campos cujos vetores se distribuem tangencialmente a circunferências de raios
crescentes.
A)
são campos cujos vetores se distribuem perpendicularmente a circunferências de raios
crescentes.
B)
são campos que dependem do inverso da distância radial ao quarado.C)
são campos cujo rotacional é nulo, mas o divergente não é.D)
são campos fortemente dependentes das coordenadas cartesianas do fenômeno
observado.
E)
    
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 Descrever a equação de Laplace
TEOREMA DE LAPLACE, TEOREMAS DE UNICIDADE E
SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS

EQUAÇÃO DE LAPLACE EM TRÊS DIMENSÕES
A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial utilizada para modelar comportamentos de diversos
fenômenos cientí�cos, como no eletromagnetismo, formulando equações elétricas e magnéticas. A solução geral
para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial. A equação de Laplace no é dada por:R3
    
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∇2 ⋅
→
F = ∂
2
→
F
∂x2 +
∂ 2
→
F
∂y2 +
∂ 2
→
F
∂z2 = 0
(131)
Em que é o operador laplaciano da função . O operador laplaciano é um operador que representa
derivadas parciais de segunda ordem, ou seja:
∇2 ⋅
→
F
→
F
∇2 = ∂
2
∂x2 +
∂ 2
∂y2 +
∂ 2
∂z2
(132)
Comentário
Para exempli�car a atuação do laplaciano, vamos determinar o
laplaciano da função , considerando que .
→
F(r) = 1
r
r = →x∣ ∣O laplaciano então é dado por: ∇2( 1r ) (133)Para solucionar (133), podemos reescrever o laplaciano:→∇2( 1r ) = →∇ ⋅ →∇( 1r ) (134)Uma vez que o produto escalar entre dois vetores (paralelos ou antiparalelos)é um escalar. Note que é umgradiente, então, calculando esse gradiente, temos: →∇( 1r )→∇( 1r ) = ddr ( 1r )r̂ = − 1r2 r̂ (135)
    
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Substituindo (135) em (134), temos:
→
∇2( 1
r
) =
→
∇ ⋅ (− 1
r2
r̂ ) (136)
Note que, agora, em (136), temos uma divergência, porém precisamos fazer uma pequena manipulação para
poder solucioná-la. O versor é um vetor unitário em um campo vetorial normalizado, isso signi�ca que podemos
escrevê-lo do seguinte modo:
r̂
r̂ =
→
r
r
(137)
Assim, substituindo (137) em (136), temos:
→
∇2( 1
r
) =
→
∇ ⋅ (− 1
r2
⋅
→
r
r
 )
Então, por �m, temos:
→
∇2( 1
r
) = −
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
 ) (138)
Note que o operador divergência é aplicado a vetores, então temos que é um escalar (constante). Nesse caso,
o que temos é o operador divergência atuando no produto entre e o vetor . Assim, como o operador trata da
derivada total do vetor, aplicamos a propriedade da derivada do produto em (138) da seguinte maneira:
1
r3
1
r3
→
r
→
∇2( 1
r
) = −
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
 ) = − 1
r3
→
∇ ⋅→r + (− d
dr
( 1
r3
)r̂ ⋅→r) (139)
De (137) podemos dizer que:
    
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→
r = r̂ ⋅ r (140)
E podemos a�rmar que , logo seu operador divergência é dado por (por ser tridimensional):→r = xî + yĵ + zk̂
→
∇ ⋅→r = ∂x∂x +
∂y
∂y +
∂z
∂z = 1 + 1 + 1 = 3 (141)
Substituindo (140) e (141) em (139), temos:
→
∇2( 1
r
) = −
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
 ) = − 3
r3
+ (−(− 3
r4
)r̂ ⋅ r̂ ⋅ r) (142)
Como , e com a simpli�cação que é possível realizar na segunda etapa da soma de (142), podemos
reescrever (142) do modo a seguir:
r̂ ⋅ r̂ = 1
→
∇2( 1
r
) = −
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
 ) = − 3
r3
+ 3
r3
(143)
Ou seja, o laplaciano de é nulo:1
r
∇2( 1
r
) = 0 (144)
O resultado apresentado em (144) é verdadeiro para todo . Isso garante que todo o efeito não nulo dessa
função provém somente quando .
→
x ≠
→
0
r = 0
    

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Laplaciano em coordenadas: cilíndrica e esférica
O laplaciano de uma função vetorial também pode ser escrito em função de coordenadas cilíndrica e esférica, do
seguinte modo:
Coordenadas cilíndricas
∇2 ⋅
→
F = 1
r
∂
∂r (r
∂
→
F
∂r ) +
1
r2
∂ 2
→
F
∂θ2 +
∂ 2
→
F
∂z2 = 0
(145)

Coordenadas esféricas
1
r2
∂
∂r (r
2 ∂
→
F
∂r ) +
1
r2sen(φ)
∂
∂φ (sen(φ)
∂
→
F
∂φ ) +
1
r2sen2(φ)
∂ 2
→
F
∂x2 = 0 (146)
Em que r é o raio e e os ângulos dos vetores posição com os eixos coordenados no plano cartesiano
tridimensional.
φ θ
Comentário
Tais deduções podem ser realizadas através das transformações de
coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e esféricas
apresentadas no módulo 1.
Vamos agora retomar a situação do laplaciano de . Vamos, por meio dele, demonstrar como calcular a carga
elétrica de todo um volume, mediante a densidade de carga elétrica . Porém, para isso, primeiro devemos
considerar o laplaciano em um volume de esfera V que é bem de�nido por uma superfície fechada S, com centro
na origem dos espaços. Diante disso, utilizando o teorema de Gauss temos que:
1
r
ρ
∭
V
∇ ⋅ AdV = ∬
S
A ⋅ n dS (147)
    

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Como de�nimos a posição tridimensional como somente, podemos reescrever (147) da seguinte forma:r
∫
V
∇ ⋅ AdV = ∮
S
A ⋅ n dS (148)
Então vamos lá, como queremos utilizar o laplaciano de , temos que:1r
∫
V
∇2 ⋅ ( 1
r
)dV = − ∫
V
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
)dV (149)
Comentário
Note que para escrever (149) utilizamos a mesma relação descrita
em (138), agora vamos continuar com foco no teorema de Gauss.
Podemos escrever o seguinte:
− ∫
V
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
)dV = − ∮
S
(
→
r
r3
) ⋅ d
→
S (150)
Repare que utilizamos a relação (148) em (149) e obtivemos (150). Porém, agora para facilitar, vamos utilizar a
relação de transformada cilíndrica, com o intuito de facilitar a integral, mas temos que nos lembrar que foi dito que
, então podemos escrever a integral de superfície de (150) do seguinte modo:r = →x∣ ∣ − ∮S( →rr3 ) ⋅ d→S = − ∮S rcos(θ)r3 dS (151)    
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Em (151) é o ângulo formado entre os vetores e , e é a área do ângulo solido delimitada em dφ, que tem
início na origem. Então, a área da região delimitada que engloba a origem é dada por: . Ora, mas
estamos falando da área da superfície de uma esfera, para ser mais preciso, de um elemento de área da superfície,
então pode ser escrito por:
θ
→
r d
→
S dS
dS⊙ = cos(θ)dS
dS⊙
dS⊙ = cos(θ)dS = r2dφ (152)
Mas por que em (152) apareceu ?
Porque já sabemos que a área total da superfície de uma esfera é , sendo o deslocamento angular em
radianos.
r2dφ
4πr2 4π
Diante disso, para um segmento de área, não temos o ângulo total, mas sim um segmento de ângulo chamado de
, por isto . Considerando então (152), temos que a integração do laplaciano é igual a:dφ r2dφ
∫
V
∇2( 1
r
)dV = − ∮
S
rdS⊙
r3
= − ∮
S
rr2dφ
r3
= − ∮
S
dφ = −4π (153)
O resultado da última integral de (153) resulta em , pois é o ângulo total para determinação da área super�cial
da esfera.
Ao término de (144), comentamos que essa função só possui valor não nulo para , e se analisarmos a
função , para ela tende ao in�nito, então temos algo parecido com uma função delta de Dirac, mas
primeiro temos que escrever as condições para poder a�rmar isso. De (153) podemos escrever que:
4π
r = 0
1
r
r = 0
{
∫V −
1
4π ∇
2( 1
r
)dV = 1,   se r = 0
∫
V
− 14π ∇
2( 1
r
)dV ,       se r ≠ 0
(154)
Para que a primeira condição de (154) seja satisfeita, vamos dizer que ela é uma função delta de Dirac
tridimensional, ou seja:
    

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∫
V
− 14π ∇
2( 1
r
)dV = 1 = ∫
V
δ3(→x)dV = 1 (155)
Agora, veremos que é possível utilizar esse resultado de (155) para determinar o módulo de uma carga pontual.
Para isso, vamos reescrever primeiro que:
∇2( 1
r
) = −
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
) = −4πδ3(→x) (156)
Vamos multiplicar o fator à , assim:
q
ε0
−
→
∇ ⋅ (
→
r
r3
) = −4πδ3(→x)
−
→
∇ ⋅ ( q
ε0
 
→
r
r3
) = −4π q
ε0
 δ3(→x) (157)
Rearrumando (157), temos:
→
∇ ⋅ ( q4πε0  
→
r
r3
) = q
ε0
 δ3(→x)  (158)
Agora, vamos comparar (158) à equação de Maxwell para a Lei de Gauss, ou seja, a equação de Maxwell para o
campo elétrico, que é:
→
∇ ⋅ E =
ρ
ε0
(159)
Em que é a densidade volumétrica de carga. Para determinar a carga elétrica, vamos comparar somente o lado
direito das equações (159) e (158), assim:
ρ
    
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ρ
ε0
=
q
ε0
 δ3(→x)
Simpli�cando, temos:
ρ = q δ3(→x) (160)
Note que do lado esquerdo de (160), temos a densidade volumétrica de carga. Então, para encontrar a carga,
devemos integrar essa densidade volumétrica para todo o volume, assim, integrando (160), temos:
∫
V
ρdV = ∫
V
q δ3(→x)dV (161)
Retirando q da integral, temos:
∫
V
ρdV = q∫
V
 δ3(→x)dV
1
 (162)
Concluímos então que:
∫V ρdV = q (163)
Comentário
Obviamente você já sabia que a resposta para a multiplicação da
densidade volumétrica de carga multiplicada pelo volume da carga
seria igual à carga, como mostra a equação (163). Porém, chegamos
a esse resultado por um caminho completamente diferente e, por �m,
    

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utilizamos o recurso matemático da função delta de Dirac, chegando
ao mesmo resultado. Isso só é possível graças ao chamado teorema
de unicidade.
O teorema de unicidade garante que, independentemente do método matemático utilizado para solucionar uma
equação de Poisson, obteremos o resultado almejado, desde que seja obtida uma função potencial que satisfaça
as condições impostas na fronteira.
Resumindo
Podemos a�rmar que a solução da equação de Laplace, uma vez que
foram impostas condições de contorno, é única.
Equação de Laplace em um �o condutor
Vamos agora discutir a solução da equação de Laplace em um condutor. Para tal, vamos considerar um �o
coaxial, como mostra a �gura:
 Figura 3.1 Fio coaxial condutor
    

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Note que o �o se parece com um cilindro, portanto vamos adotar o sistema de coordenadas cilíndricas. Assim,
vamos aqui repetir a equação (145):
∇2 ⋅ F = 1
r
∂
∂r (r
∂F
∂r ) +
1
r2
∂ 2F
∂θ2 +
∂ 2F
∂z2 = 0 
Como o cabo é cilíndrico, não temos variação em relação ; nesse caso, devido à simetria, podemos a�rmar que
, e considerando que o cabo é muito longo, ou seja, que seu comprimento é muito maior que o raio,
podemos desprezar a variação in�nitesimal do potencial na coordenada longitudinal, isto é . Isso nos
garante então que a função vai depender somente do raio . Desse modo, temos que:
θ
∂ 2F
∂θ2 = 0
∂ 2F
∂z2 = 0
F
→
F(r)
1
r
∂
∂r (r
∂F(r)
∂r ) = 0 (164)
Podemos reescrever a equação (164):
1
r
[ ∂∂r r
∂F(r)
∂r + r
∂ 2F(r)
∂r2 ] = 0 (165)
Para satisfazer a equação (165), propomos como solução:
F(r) = c1ln(r) + c2 (166)
Em que (166) é a função solução de (165), para veri�car, basta substituir (166) em (165).
Vamos agora impor condições de contorno, tal que para um raio a função seja nula, isto é, ,
assim, de (166), temos:
r = b F(r) F(r)
c2 = −c1 ln(b) (167)
    
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Substituindo (167) em (166), temos que:
F(r) = c1ln(r) − c1 ln(b)
F(r) = −c1ln(
b
r
)
(168)
Vamos analisar outra condição de contorno, considerando que para , temos , e que o potencial
elétrico:
r = a
→
F(r) = V
V = −c1ln(
b
a
) (169)
Isolando , temos:c1
c1 = −
V
ln(
b
a
)
(170)
Substituindo (170) em (168), temos:
F(r) = − V
ln( b
a
)
ln( b
r
) (171)
A função em (171) é a função potencial elétrico em um �o condutor coaxial.
Vamos agora, por meio da função potencial deduzida em (171), deduzir o campo elétrico nesse �o condutor.
Campo elétrico no �o condutor
O campo elétrico é obtido a partir do gradiente da função potencial elétrico:
→
E = −∇F(r) = −
∂F(r)
∂r r̂
(172)
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Substituindo (171) em (172), temos:
→
E = − ∂∂r [−
V
ln( b
a
)
ln( b
r
)]r̂ (173)
Note que a única dependência é em , então podemos reescrever (173) em função da derivada total, assim:r
→
E = V
ln(
b
a
)
d
dr
[ln(b) − ln(r)]r̂ (174)
Derivando, temos:
→
E = − V
rln( b
a
)
r̂ (175)
Agora que conhecemos o campo elétrico, podemos determinar a densidade de carga super�cial no cilindro interno
do �o coaxial, que é correspondente ao condutor. Nesse caso, o raio igual a , assim: . Pela Lei de Gauss,
temos:
r a r = a
V
aln( b
a
)
= σ
ε0
Isolando :σ
σ = ε0
V
aln( b
a
)
(176)
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TEOREMAS DE UNICIDADE
O primeiro teorema é chamado de teorema de unicidade de Lipschitz, que diz que se uma função existe e é
contínua em todo o contorno , então o problema tem uma única solução, tal que .
O segundo teorema é chamado de teorema de unicidade de Peano, que diz que se uma função é
contínua em:
f
S |x − x0| ≤ a
f(x|, |y)
S+ = {(x, y)/  x0 ≤ x ≤ x0 + a, |y − y0| ≤ b} (177)
E não é crescente em , contendo �xo entre , então a função tem no máximo uma solução
válida no intervalo .
y y  x0 ≤ x ≤ x0 + a
 x0 ≤ x ≤ x0 + a
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE PELO MÉTODO DA
SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Separação de variáveis em coordenadas cartesianas
Utilizamos o método de separação de variáveis para encontrar a solução de determinada classe de problemas, em
que superfícies que parametrizam a região de existência de campos vetoriais são coincidentes com as superfícies
coordenadas. Utilizamos a separação de variáveis de forma a pesquisar soluções para a função potencial,
propondo que a função potencial é um produto entre outras funções. Para uma função potencial no , temos:R3
α(x, y, z) = f(x)g(y)h(z) (178)
Em que , e são variáveis associadas ao sistema de coordenadas cartesiano. Sempre que for possível realizar
essa separação de variáveis, o teorema de unicidade garantirá que a solução da equação separável será a solução
procurada para o campo potencial.
Aplicando o laplaciano em (178), temos:
x y z
∇2α = ( ∂
2
∂x2 +
∂ 2
∂y2 +
∂ 2
∂z2 )f(x)g(y)h(z)
Realizando a distributiva na equação acima, temos:
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∇2α = g(y)h(z)
∂ 2f(x)
∂x2 + f(x)h(z)
∂ 2g(y)
∂y2 + f(x)g(y)
∂ 2h(z)
∂z2 = 0 (179)
Agora, multiplicando-se (179) por , obtemos:1
f(x)g(y)h(z)
1
f(x)
d2f(x)
dx2
+ 1
g(y)
d2g(y)
dy2
+ 1
h(z)
d2h(z)
dz2
= 0 (180)
Como em (180) as variáveis estão separadas, ou seja, o primeiro termo depende só de , o segundo só de e o
terceiro só de , podemos propor uma igualdade do tipo:
x y
z
1
f(x)
d2f(x)
dx2
= −( 1
g(y)
d2g(y)
dy2
+ 1
h(z)
d2h(z)
dz2
) (181)
Mas a igualdade de (181) só será satisfeita se ambos os lados da igualdade forem constantes, ou seja:
⎧⎪⎨⎪⎩ 1f(x) d2f(x)dx2 = −k2,    (a)1g(y) d2g(y)dy2 + 1h(z) d2h(z)dz2 = k2,     (b) (182)Ainda podemos escrever de (182 b), que:1g(y) d2g(y)dy2 = k2 − 1h(z) d2h(z)dz2 = −p2 (183)Devido a essas escolhas de variáveis, podemos escrever as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)homogêneas de segunda ordem:     
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d2f(x)
dx2
+ k2f(x) = 0 (184)
d2g(y)
dy2
+ p2g(y) = 0 (185)
d2h(z)
dz2
− d2h(z) = 0 (186)
Em que 
As soluções das equações (184), (185) e (186) são:
d2 = k2 + p2
f(x) = Asen(kx) + Bcos(kx) (187)
g(y) = Csen(px) + Dcos(px) (188)
h(z) = Esen(dx) + Fcos(dx) (189)
Assim, as soluções (187), (188) e (189) compõem a função potencial descrita em (178). Com as condições de
contorno é possível encontrar valores reais para as constantes A, B, C, D, E e F.
Separação de variáveis em coordenadas curvilíneas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas, o laplaciano aplicado em uma função é:α
    
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1
ρ
∂
∂ρ (ρ
∂α
∂ρ ) +
1
ρ2
∂ 2α
∂θ2 +
∂ 2α
∂z2 + k
2α = 0 (190)
Em que α é uma função do tipo: , sendo a medida de raio, a medida angular e a medida de cota.
Nesse caso, podemos escrever a função como sendo o produto de três funções:
α(ρ, θ, z) ρ θ z
α
α(ρ, θ, z) = f(ρ)g(θ)h(z) (191)
Substituindo (191) em (190) e realizando os mesmos passos que �zemos para coordenadas cartesianas, temos:
1
ρf(ρ) (ρ
df(ρ)
dρ
) + 1
ρ2g(θ)
d2g(θ)
dθ2
+ 1
h(z)
d2h(z)
dz2
+ k2 = 0 (192)
A partir daqui, para obter a solução, basta seguir os passos realizados na obtençãoda solução por variáveis
separáveis em coordenadas cartesianas e encontrar a solução das três EDOs:
(ρ
df(ρ)
dρ
) + m2 ρf(ρ) = 0 (193)
d2g(θ)
dθ2
+ n2ρ2g(θ) = 0 (194)
d2h(z)
dz2
+ (k2 − l2)h(z) = 0 (195)
Em que , e são constantes reais e .
Assim, as soluções das equações de (193) a (195) formam a solução de (190).
l m n l2 = m2 + n2
    
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Separação de variáveis em coordenadas polares esféricas
De forma similar ao que �zemos nas coordenadas cilíndricas, podemos escrever a solução da equação de Laplace
em variáveis separáveis em coordenadas esféricas, obtendo:
1
r2f(r)
d
dr
(r2
df(r)
dr
) + 1
g(θ)r2sen(θ)
d
dθ
(sen(θ)
dg(θ)
dθ
) + 1
h(φ)r2sen2(θ)
d2h
dφ (196)
As EDOs oriundas de (196), são:
1
h(φ)
d2h(φ)
dφ2
+ m2 = 0
1
sen(θ)
d
dθ
(sen(θ)
dg(θ)
dθ
) − m
2
sen2(θ) g(θ) + qg(θ) = 0
(197)
1
r2
d
dr
(r2
df(r)
dr
) + k2f(r) −
qf(r)
r2
= 0 (198)
Mais uma vez vimos que é possível substituir uma diferenciação de três variáveis por três EDOs cujas soluções
são a solução da equação de Laplace proposta.
Comentário
Tanto a solução das EDOs em coordenadas cilíndricas como aquela
em coordenadas esféricas são deixadas como exercício de prática,
visto que basta seguir os mesmos passos realizados para encontrar
a solução nas EDOs em coordenadas cartesianas.
    

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 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Sobe o teorema de unicidade, assinale a opção correta:
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
O teorema de unicidade nos permite a�rmar que um potencial bem de�nido em um campo
fechado sempre apresentará a mesma função solução, independentemente do caminho
matemático adotado.
2. O método de solução da equação de Laplace para potenciais por separação de variáveis
é muito útil por utilizar EDOs de simples resolução. Porém, para utilizar tal técnica existe
uma condição. Assinale a opção que apresenta a condição correta:
Garante que existe apenas uma maneira de solucionar uma equação que envolva o
laplaciano, desde que o campo seja conservativo e o potencial dependente de apenas uma
variável.
A)
Apresenta uma única forma de solução de integral de volume por meio do teorema de
Gauss, em potenciais que se encontram em campos de spin.
B)
Pode apresentar solução somente pelos métodos de Lipschitz e Peano, desde que o
potencial esteja em um campo conservativo.
C)
Garante que a solução de um potencial, com uma superfície bem de�nida e fechada, não
importando o método matemático adotado, será sempre a mesma.
D)
Garante que quando há um volume com uma superfície aberta, em um campo rotacional,
irrotacional, não importando o método matemático adotado, a resposta será sempre a
mesma.
E)
As superfícies que parametrizam a região de existência de campos vetoriais devem ser
coincidentes com as superfícies coordenadas.
A)
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Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
As superfícies que parametrizam a região devem coincidir com as superfícies coordenadas,
impedindo, assim, que haja curvas distintas das almejadas pelo estudo de campos potenciais.
Obrigado pelo feedback!

MÓDULO 4
 Descrever o método de solução de circuitos
denominado método das imagens
A função deve ser tridimensional e homogênea, para que seja possível fazer a separação em
três EDOs homogêneas.
B)
Deve-se propor a utilização de separações de variáveis quando o objeto de estudo são
funções vetoriais de campo, como a do campo elétrico, que permite separar suas variáveis
em três funções distintas.
C)
As superfícies que parametrizam a região de existência de campos vetoriais devem ser
divergentes das superfícies coordenadas.
D)
O método de separação de variáveis pode ser utilizado para solução de uma equação
solução de campos potenciais, quando esses apresentam buracos que permitem formação
de diversas curvas fechadas em seu interior.
E)
    
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MÉTODO DAS IMAGENS

MÉTODO DAS IMAGENS
O método de solução de equação denominado método das imagens é utilizado para encontrar a solução da
equação de Poisson. Com a utilização desse método é possível realizar a substituição de um conjunto ou uma
distribuição de cargas, por uma carga virtual, desde que essas respeitem as condições de contorno impostas
inicialmente.
Equação do tipo:
f(x, y, z) = ∂
2G
∂x2 +
∂ 2G
∂y2 +
∂ 2G
∂z2
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Exemplo
Para utilizar o método das imagens para poder calcular o potencial
eletrostático em um sistema de distribuição de cargas, é obrigatório
que tal distribuição esteja bem de�nida, isto é, sua localização no
espaço é de�nida por um referencial bem localizado. A escolha
correta desse referencial é essencial para que a solução seja
encontrada da maneira mais simples possível.
Pelo teorema de unicidade podemos garantir que o uso do método das imagens apresenta soluções con�áveis à
problematização, pois tal teorema a�rma que a solução da equação de Poisson, em certo volume, é unicamente
determinada se, e somente se, o potencial está especi�cado nas condições de contorno do volume analisado.
Para um volume V, a equação de Poisson é dada como:
∇2F = −
ρ
ε0
(195)
Então, vamos supor que existam duas soluções e para a função , de tal forma que:F1 F2 F
F = F1 − F2 (200)
No interior do volume, . Assim, a identidade de Green é dada por:∇2F = 0
∫V (F∇
2F + ∇F ⋅ ∇F)dV = ∯S F
∂F
∂n ds
(201)
Em que , pois é a derivada normal da condição de Neumann, então, a partir de (201), temos:∂F∂n = 0
∫V |∇F |
2
dV = 0 (202)
    

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18/05/2023, 15:53 Análise Vetorial, Métodos e Técnicas Especiais
https://estudante.estacio.br/disciplinas/estacio_7552483/temas/1/conteudos/1 78/88
Sendo essa última condição (202) verdadeira somente se , o que nos garante que é uma função
constante, que tem valor nulo na fronteira e no interior do volume, então de (200) podemos a�rmar que:
∇F = 0 F
F1 = F2 (203)
Ou seja, há somente uma solução única.
Vamos agora veri�car o método das imagens analisando alguns exemplos clássicos.
Carga pontual localizada em um plano in�nito
Por meio do método das imagens, vamos analisar este problema analiticamente:
 Figura 4.1 Carga pontual e um plano in�nito,
A �gura mostra uma carga positiva que se localiza a uma distância do espaço das origens, no eixo z, de um
plano condutor de dimensões in�nitas, cujo potencial elétrico é nulo (V=0). Podemos escrever a posição da carga
 em coordenadas cartesianas da seguinte maneira: (0,0,d).
Nessa situação, devemos respeitar as seguintes condições de contorno:
q d
q
, com a coordenada , quando o plano condutor se encontrar aterrado;I − V = 0 z = 0    

18/05/2023, 15:53 Análise Vetorial, Métodos e Técnicas Especiais
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, quando o potencial for calculado para distâncias muito superiores a ,
ou seja, .
II −  V → 0 d
d√x2 + y2 + z2 ≫ d
Para utilizarmos o método das imagens, vamos propor uma carga virtual -q, a uma distância -d, sobre o eixo z.
Note que, ao fazermos isso, montamos uma simetria. Essa carga -q a uma distância -d representa as cargas
elétricas que são induzidas no plano condutor, o que permite calcular de forma direta o potencial eletrostático em
qualquer posição do espaço. A equação (204) mostra a modelagem matemática para