Listas Cálculo 1

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Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 1
Professor:Victor Emmanuel Revisão
Resolva as inequações dos exerćıcios abaixo:
1. −3x + 1 < 2x + 5
2. x2 − 5x + 6 < 0
3. 2x2 − x− 10
4. 3x2 − 7x + 6 < 0
5. (x− 1)(1 + x)(2− 3x) < 0
6.
2x− 1
1− x
< 0
7.
x
2x− 3
≤ 3
8. (2x− 1)2 < 16
9. x +
1
x
> 2
10.
x2 − 7x + 10
−x2 + 9x− 18
≤ 0
11.
x + 1
2− x
<
x
x + 3
12. x2 + x < x3 + 1
Nos exerćıcios abaixo, resolva para x e represente a solução na reta numérica.
13. |x− 2| = 4
14. |x + 3| = |2x + 1|
15. |2x + 3| = 2x + 3
16. |3 + 2x| ≤ 2
17. |2x + 5| > 3
18. |3− 4x| > x + 2
19.
∣∣∣∣ 1x− 2
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 52x− 1
∣∣∣∣
Nos exerćıcios a função real de variável real é definida por sua expressão anaĺıtica. Determine o seu domı́nio.
20. f(x) =
1√
|x| − x
21. y =
1
3
√
x + 1
22. f(x) =
√
1−
√
1− x2
23. g(x) =
x√
|x| − 1
24. f(x) =
√
1− x2 +
√
x2 − 1
Estude a variação do sinal das funções abaixo.
25. f(x) = (2x− 3)(x + 1)(x− 2)
26. f(x) =
x(2x− 1)
x + 1
Nos exerćıcios abaixo, esboce o gráfico da função , especificando o domı́nio, a imagem e, quando posśıvel, a
parideade (par ou ı́mpar).
27. f(x) = (2− x)|3− x|
28. f(x) =
3− x
|3− x|
29. f(x) = (x− 2)(x + 1)
30. f(x) = |x2 − x− 2|
31. g(x) = |3− x|+ |x− 1|
32. f(x) =
{
−
√
3− 2x se x < 32√
2x− 3 se x ≥ 32
33. y = ||x| − 2|
34. f(x) =
{
4 +
√
25− x2 se − 5 ≤ x ≤ 5
4 se x < −5 ou x > 5
35. f(x) =
√
−x
36. f(x) = x(
√
|x|)2
37. f(x) =
|x2 − 4x + 3|
x− 1
GABARITO
1. x > − 45
2. 2 < x < 3
3. x < −2 ou x > 52
4. ∅
5. −1 < x < 23 ou x > 1
6. x < 12 ou x > 1
7. x < 32 ou x ≥
9
5
8. (− 32 ,
5
2 )
9. (0, 1)
⋃
(1,∞)
10. (−∞, 2]
⋃
(3, 5]
⋃
(6,∞)
11. (−∞,−3)
⋃
(2,∞)
12. (−1, 1)
⋃
(1,∞)
13. {6,−2}
14. {2,− 43}
15. [− 32 ,∞)
16. [− 52 ,
1
2 ]
17. (−∞,−4)
⋃
(−1,∞)
18. (−∞, 15 )
⋃
( 53 ,∞)
19. (−∞, 12 )
⋃
( 12 ,
11
7 ]
⋃
[3,∞)
20. x < 0
21. x 6= −1
22. −1 ≤ x ≤ 1
23. x < −1 ou x > 1
24. x = −1 ou x = 1
25.

< 0, se x < −1 ou 32 < x < 2
= 0, se x = −1 ou x = 32 ou x = 2
> 0, se − 1 < x < 0 ou x > 12
26.

< 0, se x < −1 ou 0 < x < 12
= 0, se x = 0 ou x = 12
> 0, se − 1 < x < 0 ou x > 12
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 2
Professor:Victor Emmanuel Revisão
1. Se f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =
1
3x + 2
, determine:
(a) (f + g)(x)
(b) (f(x))−1
(c) (f · g)(x)
(d)
(
f
g
)
(x)
(e)
(
g
f
)
(x)
(f) (f ◦ g)(x)
2. Seja f(x) =
3− x
x
. Determine:
(a) f(x2)− (f(x))2 (b) f
(
1
x
)
− 1
f(x) (c) (f ◦ f)(x)
3. Dadas f(x) =
{
−x, x < 0
x2, x ≥ 0
e g(x) =
{
1
x , x < 0√
x, x ≥ 0
, determine:
(a) (f ◦ g)(x)
(b) (g ◦ f)(x)
A partir do gráfico da função y = f(x), esboce o gráfico das funções.
4. y = f(|x|)
5. y = |f(x)|
6. y = f(−x)
7. y = −f(x)
8. y = f(x + 2)
9. y = f(x) + 3
10. y =
f(x) + |f(x)|
2
11. y =
f(x)− |f(x)|
2
GABARITO
1. (a) y =
9x3 + 6x2 + 6x + 5
3x + 2
, x 6= −3
2
(b) y =
1
3x2 + 2
(c) y
3x2 + 2
3x + 2
, x 6= 2
3
(d) y = 9x3 + 6x2 + 6x + 4, x 6= −2
3
(e) y =
1
9x3 + 6x2 + 6x + 4
, x 6= −2
3
(f) y =
18x2 + 24x + 11
9x2 + 12x + 4
, x 6= −2
3
2. (a) y =
6x− 2x2 − 6
x2
(b) y =
9x− 3x2 − 3
3− x
(c) y =
4x− 3
3− x
3. (a)
−
1
x
, x < 0
x, x ≥ 0
(b)
{√
−x, x < 0
x, x ≥ 0
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 3
Professor:Victor Emmanuel Limites e continuidade
1. Os gráficos de g e h são dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
f(x) = g(x) · h(x) e f(x) = (h ◦ g)(x) ambas no ponto x = 1
2. Dadas as funções f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1
x + 1 se x > 1
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
,
(a) Esboce o gráfico de f e g;
(b) Calcule lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x);
(c) Dê a expressão de função F (x) = f(x) · g(x) e
verifique se existe lim
x→1
F (x).
3. Dê um exemplo no qual lim
x→0
|f(x)| existe, mas lim
x→0
f(x) não existe.
4. Se f(x) > 0 para todo x 6= 0 e f(2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso
seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) lim
x→2
f(x) não existe (b) lim
x→2
f(x) = −3 (c) Se existir lim
x→2
f(x) é positivo
5. Sabe-se que lim
x→2
f(x) = 5 e f é definida em R. Todas as afirmativas abaixo são falsas. Tente desenhar um
contra-exemplo para cada uma delas.
(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) é positivo
Nos exerćıcios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
6. lim
x→ 12
2x2 + 5x− 3
2x2 − 5x + 2
7. lim
x→1
3(1− x2)− 2(1− x3)
(1− x3)(1− x2)
8. lim
x→0
√
1− 2x− x2 − (x + 1)
x
9. lim
x→0
√
x + 2 +
√
x + 6−
√
6−
√
2
x
10. lim
x→0
1− 3
√
1− x
1 + 3
√
3x− 1
11. lim
x→1
x2 − 5x + 4
|x− 1|
Nos exerćıcios 12 a 14 verifique se a função dada é cont́ınua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
12. f(x) =

√
x− 1
x− 1
, x 6= 1
2, x = 1
em x = 1
13. f(x) =
√
x2 + 1
x6 + x2 + 2
em qualquer x ∈ R
14. f(x) =
1
2
(x − 1) [|x|], para −2 ≤ x ≤ 2, onde [|x|] =
maior inteiro que não supera x. Pontos x = 0 e x = 1.
(Sugestão: esboce o gráfico de f)
15. Para a função f definida por f(x) =

−
√
2− x, x < 1
ax + b, 1 ≤ x < 2
|x2 − 7x + 12|, x ≥ 2
(a) Determine os valores de a e b para que seja cont́ınua
em R (b) Esboce o gráfico de f
GABARITO
1. lim
x→1−
g(x) · h(x) = 4 lim
x→1+
g(x) · h(x) = −6 lim
x→1−
(h ◦ g)(x) = −2 lim
x→1+
(h ◦ g)(x) = 0
2. (a)
(b) @ e @
(c) F (x) =
{
(x2 + 3)x2, x ≤ 1
2(x + 1), x > 1
lim
x→1
F (x) = 4
3. f(x) =
x
|x|
4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso.
5.
6. −7
3
7.
1
2 8. −2
9.
√
6 +
√
2
4
√
3
10.
1
3
11. f(x) −→ 3 se x −→ 1− e f(x) −→ −3 se x −→ 1+, portanto o limite não existe.
12. Não, pois lim
x→1
f(x) =
1
2
6= 2 = f(1)
13. Sim, é cont́ınua em R
14. é cont́ınua em x = 1 e descont́ınua em x = 0
15. (a) a = 3 e b = −4
(b)
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 4
Professor:Victor Emmanuel Limites infinito e no infinito
Teoremas do confronto e anulamento
Limites trigonométricos
Nos exerćıcios 1 a 4 os gráficos de g e h são dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
1. f(x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 2
2. f(x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 3
3. f(x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 2
4. f(x) =
g(x)
h(x)
e f(x) = (g ◦ h)(x), ambas no ponto
x = 4
Nos exerćıcios de 5 a 10 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
5. lim
x→+∞
(xn − xn−1)
6. lim
x→+∞
(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ 10)
(x2 + 1)5
7. lim
x→−∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
8. lim
x→−∞
(x+
√
x2 + 3x+ 2)
9. lim
x→−1
(
3
x+ 1
− 5
x2 − 1
)
10. lim
x→5
(√
25− x2
x− 5
)
11. Seja f definida por f(x) =

x3 + 2x2 + x
x3 + 5x2 + 7x+ 3
se x 6= −3, x 6= −1
0 se x = −3
−1
2
se x = −1
(a) A função está definida em R?
(b) Dê os pontos onde f é cont́ınua.
(c) Dê os ponos onde f é descont́ınua.
(d) A função f é cont́ınua em R?
Nos exerćıcios 12 a 15 determine as equações das asśıntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.
12. f(x) =
3x
x− 1
13. f(x) =
2x√
x2 + 4
14. f(x) =
2x2 + 1
2x2 − 3x
15. f(x) =
x√
x2 − 4
16. A função f é tal que para x 6= 2, f satisfaz 1 + 4x− x2 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 9. Calcule lim
x→2
f(x).
17. Sabendo que para x > 1, f(x) satisfaz (x− 1)2 < (x2 − 1) · f(x) < (x+ 1)2, calcule lim
x→+∞
f(x).
Nos exerćıcios 18 a 29 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
18. lim
x→0
senx3
x
19. lim
x→0
tg(πx)
tgx
20. lim
x→0
sen2(ax2)
x4
21. lim
x→0
1− cos(ax)
x2
22. lim
x→0
1− secx
x2
23. lim
x→0
sen(x)sen(3x)sen(5x)
tg(2x)tan(4x)tg(6x)
24. lim
x→0
√
1 + tgx−
√
1 + senx
x3
25. lim
x→0
xcos
(
1
x
)
26. lim
x→−2
(x2 − 4)sen
(
1
x+ 2
)
27. lim
x→+∞
x− cosx
x
28. lim
x→−∞
1 + xsenx
x
29. lim
x→−∞
x2senx
30. lim
x→−∞
(xn − xn−1)
31. lim
x→−∞
x
3
√
1− x3
32. lim
x→+∞
√
x+
√
x√
x+ 1
33. lim
x→1
3x3 − 2x2 − 3x+ 2
(2x− 2)2
34. lim
x→0
sen(x) + sen(3x) + sen(5x)
tg(2x) + tg(4x) + tg(6x)
35. lim
x→0
1− cos3x
xsenxcosx
36. lim
x→+∞
x− senx
x+ senx
GABARITO
1. lim
x→2−
f(x) =+∞; lim
x→2+
f(x) = −∞
2. lim
x→3−
f(x) = 0; lim
x→3+
f(x) = −∞
3. lim
x→2−
f(x) = 0; lim
x→2+
f(x) = 0
4. lim
x→4−
f(x)
g(x)
= lim
x→4+
f(x)
g(x)
= −∞
5. @, pois quando x→ +∞ a função → +∞
6. 1 7. −1 8. −3
2
9. @, pois a função → −∞ se x → −1− (ou a função
→ +∞ se x→ −1+)
10. @, pois a função → −∞ se x→ 5−
11. (a) Sim, pois a única restrição da expressão é o denominador não nulo, os únicos pontos que anulam o
denominador são x = −1 e x = −3 e nestes pontos a funçãofoi definida por outras expressões, a saber
f(−1) = −1/2 e f(−3) = 0.
(b) Em R−{−3,−1} a função é cont́ınua pois o quociente de funções polinomiais, e toda função polinomial
é cont́ınua. Em x = −1 a função é cont́ınua pois lim
x→−1
f(x) = −1
2
= f(−1).
(c) A função é descont́ınua em x = −3 pois f(x)→ +∞ se x→ −3−
(d) Não, pois não é cont́ınua em x = −3
12. V: x = 1; H: y = 3
13. V: não tem; H: y = −2, y = 2
14. V: x = 0, x =
3
2
; H: y = 1
15. V: x = −2, x = 2; H: y = −1, y = 1
16. 5
17. 1
18. 0
19. π
20. a2
21.
a2
2
22. −1
2
23.
5
16
24.
1
4
25. 0
26. 0
27. 1
28. @, oscila entre −1 e 1
29. @, oscila entre −∞ e +∞
30. Se n for par, @ pois a função → +∞ e se n é ı́mpar,
@ pois a função → −∞
31. −1 32. 1
33. @ pois se x → 1− a função → −∞ (ou se x → 1+ a
função → +∞)
34.
3
4
35.
3
2
36. 1
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 5
Professor:Victor Emmanuel Derivada por definição
Regras básicas de derivação
Diferenciabilidade x continuidade
Nos exerćıcios 1 a 3 use a definição de derivada de uma função para calcular f ′(x0) e determinea equação da
reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)).
1. f(x) =
√
x2 + 4, x0 =
√
5 2. f(x) =
x + 4
x + 2
, x0 = 0 3. f(x) =
1
x
, x0 =
1
2
4. Quantas retas tangentes ao gráfico de y = x3 + 3x são paralelas à reta y = 6x + 1? Determine as equações
dessas tangentes.
5. Seja f(x) =

3− x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1
f é diferenciável em x = 1? f é cont́ınua em x = 1?
6. f(x) =

−x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1
f é diferenciável em x = 1? f é cont́ınua em x = 1?
7. Determine a e b de modo que f(x) =
{
x2 , x < 1
ax + b , x ≥ 1
seja difenciável.
Derive cada função dos exerćıcios 8 a 16.
8. f(x) = 2(x2 + 2x + 1)tgx
9. f(x) = cos2x
10. f(x) =
√
xsenx + x1/3
11. f(x) = 2xcosxtgx
12. f(x) =
xsecx
x2 + 2x + 3
13. f(x) =
(x2 − 2x + 2)2
x4 + x2 + 1
14. f(x) =
1
(x2 + 2)2
15. f(x) =
x3sen
(
1
x
)
, x 6= 0
0 , x = 0
16. f(x) = |2x− 8|, x 6= 4
Nos exerćıcios 17 a 20, use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável
e indique os valores de x em que a derivada é nula, positiva e negativa.
17. f(x) = |x + 3|
18. f(x) = |x2 − 9|
19. f(x) =
√
|x|
20. f(x) =
{
x2 − 4 , x ≤ 0
4− x2 , x > 0
GABARITO
1. f ′(
√
5) =
√
5
3
; rea tangente: y − 3 =
√
5
3 (x−
√
5)
2. f ′(0) = −1
2
; rea tangente: y = −x2 + 2
3. f ′(
1
2
) = −4; rea tangente: y = −4x + 4
4. Duas retas tangentes: y = 6x− 2 e y = 6x + 2
5. f é diferenciável em x = 1 pois f ′(1) = −1/2; logo f é cont́ınua em x = 1.
6. f não é cont́ınua em x = 1, pois lim
x→1−
f(x) = −1
2
6= lim
x→1+
f(x) = 1; logo não é diferenciável em x = 1.
7. a = 2 e b = −1
8. f ′(x) = 2(x + 1)[(x + 1)sec2x + 2tgx]
9. f ′(x) = −sen(2x)
10. f ′(x) =
senx + 2xcosx
2
√
x
+
1
3
3
√
x2
11. f ′(x) = 2(senx + xcosx)
12. f ′(x) =
[3− x2 + (x3 + 2x2 + 3x)tgx]secx
(x2 + 2x + 3)2
13. f ′(x) =
2(x2 − 2x + 2)(2x4 − 3x3 − 2)
(x4 + x2 + 1)2
14. f ′(x) =
−4x
(x2 + 2)3
15. f ′(x) =
−xcos
(
1
x
)
+ 3x2sen
(
1
x
)
, x 6= 0
0 , x = 0
16. f ′(x) =
{
−2 , x < 4
2 , x > 4
17. f(x) não é diferenciável em x = −3 pois o gráfico forma um bico no ponto (−3, f(−3)) = (−3, 0). É
diferenciável em R− {−3}.
• @x talque f ′(x) = 0;
• f ′(x) > 0; x ∈ (−3,+∞); • f ′(x) < 0; x ∈ (−∞,−3)
18. f(x) não é diferenciável em x = ±3 pois o gráfico forma um bico nos pontos (−3, 0) e (3, 0). É diferenciável
em R− {−3, 3}.
• f ′(x) = 0 em x = 0;
• f ′(x) > 0 em x ∈ (−3, 0) ∪ (3,+∞); • f ′(x) < 0 em x ∈ (−∞,−3) ∪ (0, 3)
19. f(x) não é diferenciável em x = 0 pois o gráfico forma um bico no ponto (0, 0). É diferenciável em R− {0}.
• @x tal que f ′(x) = 0;
• f ′(x) > 0 em x ∈ (0,+∞); • f ′(x) < 0 em x ∈ (−∞, 0)
20. f(x) não é diferenciável em x = 0 pois o gráfico tem um salto em x = 0. É diferenciável em R− {0}.
• @x talque f ′(x) = 0;
• @x talque f ′(x) > 0; • f ′(x) < 0 em x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞)
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 6
Professor:Victor Emmanuel Algumas aplicações de derivada
Regra da cadeia
1. Uma part́ıcula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação s =
√
t, sendo s a distância (em
metros) da part́ıcula ao seu ponto de partida, após decorridos t segundos da partida.
(a) Calcule a velocidade média da part́ıcula de t = 9 até t = 16;
(b) Calcule a velocidade instantânea da part́ıcula quando t = 9.
2. Um projétil é lançado verticalmente para cima e t segundos após o lançamento está a s metros do solo, onde
s(t) = 256t− 16t2. Calcule:
(a) A velocidade do projétil t segundos após o lançamento;
(b) O tempo necessário para o projétil atingir a altura máxima;
(c) A altura máxima atingida pelo projétil.
3. No instante t horas um véıculoestá 16
√
t3−24t+ 16 quilômetros à leste de um ponto de referência na estrada.
(a) Qual a velocidade no instante t = 14 e qual é o sentido do movimento em relação ao ponto de referência?
(b) Onde está o véıculo quando a velocidade é zero?
Nos exerćıcios 4 a 10 derive a função (se posśıvel, simplifique antes e/ou depois de derivar).
4. f(x) =
4
√
2x4 + 2x
cos2x
5. f(x) = (sen2x)(x3 + 2x)
2
3
6. F (u) =
u3 − 3u2
(u4 + 1)
5
2
7. G(r)
5
√
2r2 − 2
r − 1
8. M(x) =
√
x+
√
x+
√
x
9. f(x) =
x3sen
1
x4
se x 6= 0
0 se x = 0
10. Sejam f(x) =
√
2x+ 1 e g(x) =
√
tgx. Calcule (f ◦ g)′
(π
4
)
.
11. Considere f uma função diferenciável e g definida por g(x) = f2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1
2
,
calcule g′
(π
2
)
.
12. Seja g : R→ R diferenciável; g(0) = 1
2
e g′(0) = 1. Calcule f ′(0), onde f(x) = (cosx)g2
(
tg
x
x2 + 2
)
.
13. Sejam g diferenciável e f(x) = xg(x2).
(a) Calcule f ′(x);
(b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g′(4) = 1 e f ′(2) = −1.
GABARITO
1. (a)
1
7
(b)
1
6
m/seg
2. (a) 128m/seg (b) 8seg (c) 1024m
3. (a) s′( 14 ) = −12 < 0 ⇒ sentido: véıculo se aproxima da referência, rumo oeste, com velocidade escalar de 12
km/h;
(b) 8 km à leste da referência.
4. f ′(x) =
(4x3 + 1)cosx+ 8(x4 + 1)senx
2(2x4 + 2x)3/4cos3x
5. f ′(x) =
2(3x2 + 2)(sen2x) + 6(x3 + 2x)(cos2x)
3(x3 + 2x)1/3
6. F ′(u) =
−7u6 + 24u5 + 3u2 − 6u
(u4 + 1)7/2
7. G′(r) =
2
5 5
√
(2r + 2)4
8. f ′(x) =
1 +
1 +
1
2
√
x
2
√
x+
√
x
2
√
x+
√
x+
√
x
9. f ′(x) =
3x2sen
1
x4
− 4
x2
cos
1
x4
, x 6= 0
0 , x = 0
10.
√
3
3
11. 1 12.
1
2
13. (a) g(x2) + 2x2g′(x2) (b)
9
7
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 7
Professor:Victor Emmanuel Derivação impĺıcita
Taxa relacionada
1. Em cada caso determine y′, para cada função derivável y = f(x), abaixo:
(a) x2 + y2 = 4
(b) y3 − xy = 1
(c) y3 + xy2 + y = 3
(d) 1x +
1
y = 1
2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da curva y3 − 3x2y + x3 = 11, no ponto (2, 3).
3. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da hipébole xy = 1, que passa pelo ponto (u, v), talque u 6= 0.
4. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação x2 − x√xy + 2y2 = 10. Qual é a reta tangente a esta
curva no ponto (4, 1)?
5. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação sec2(x+ y)− cos2(x+ y) = 32 . Calcule f
′
(π
4
)
, sabendo
que f
(π
4
)
= 0.
6. Considere y = f(x) definida implicitamente por x4−xy+y4 = 1. Calcule f ′(0), sabendo que f(x) > 0, ∀x ∈ R.
7. Um tanque com forma de cone invertido em altura de 20 metros e raio de 4 metros. A água está fluindo para
dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min. Quão rápidose eleva o ńıvel] da água ao tanque quando a água
estiver com 5 metros de profundidade?
8. Dois carros se deslocam em estradas perpendiculares, um para o nortte com velocidade v1 = 48km/h e o
outro v2 = 60km/h. O segundo carro pssou pelo cruzamento 2 horas depois do primeiro. Determine a axa de
variação da distância entre os carros 3 horas após o segundo carro passar pelo cruzamento?
9. Um cilindro é comprimido lateralmente, e ao mesmo tempo, alongado de forma que o raio da base decresce
a uma axa de 4 cm/s e a altura do cilindro aumenta a uma taxa de 5 cm/s. Encontre a taxa de variação do
volume do cilindro quando o raio da base mede 6 cm, e a altura 8 cm.
10. Um balão esférico perde ar por um furo de tal forma que seu raio diminui a uma taxa de 2 cm/min. Qual a
taxa de diminuição do volume quando o raio do balãoé 50 cm?
11. Uma escada de 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sabendo-se que o pé da
escada se afasta da parede a uma velocidade de 10 cm/s, qual a velocidade com que cai verticalmente o topo
da escada, no momento em que a base da escada dista 4 metros da parede?
GABARITO
1. (a) −x
y
(b)
y
3y2 − x (c)
−y2
3y2 + 2xy + 1
(d) −y
2
x
2. 8x− 5y = 1
3. vx+ uy = 2uv
4. x = 4
5. −1
6.
1
4
7.
2
π
m/min
8. 74km/h
9. −204πcm3/min
10. −62800cm3/min
11. −40
3
cm/s
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 8
Professor:Victor Emmanuel Teorema da Função Inversa
Funções Trigonométricas Inversas
1. Seja f(x) =
1
x
− x3, x > 0.
(a) Mostre que f tem inversa em (0,∞);
(b) Calcule f−1(0) e (f−1)′(0);
(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f−1 no ponto (0, f−1(0)).
2. Sendo f uma função invert́ıvel, derivável, talque f(1) = 2, f(2) = 7, f ′(1) = 3 e f ′(2) = 4, calcule (f−1)′(2).
3. Seja f(x) =
{
1− x3, x ≤ 0
1− x2, x > 0
. Se f−1 existir, calcule f−1(x).
Deduza as fórmulas dos exerćıcios 4 e 5.
4. (arctagx)′ =
1
1 + x2
5. cos(arcsenx) =
√
1− x2
Nos exerćıcios 6 e 7 derive a função .
6. f(x) = arcsen3((x+ 1)2) + arccos
(
1√
x2 + 1
)
7. g(x) = arctg
√
1− cosx
1 + cosx
Nos exerćıcios 8 e 9, encontre y′, se y = y(x) é definida implicitamente pela equação dada.
8. xarctgy = x2 + y2 9. arcsen(xy) = x+ y
Nos exerćıcios 10 a 12 verifique a igualdade.
10.
d
dx
(
x3
3
arcsenx+
x2 + 2
9
√
1− x2
)
= x2arcsenx
11.
d
dx
(
arctg
x
1 +
√
1− x2
)
=
1
2
√
1− x2
12.
d
dx
(
arctg
2tgx
1− tg2x
)
= 2
13. Seja f(x) = 2(x2 + 1)arctagx, x ∈ R.
(a) Mostre que f é invert́ıvel;
(b) Verifique que f(−1) = −π e calcule (f−1)′(−π);
GABARITO
1. (a) Como f ′(x) = −1 + 3x
4
x2
< 0 em (0,∞), logo f satisfaz as hipóteses do TFI. Portanto f é invert́ıvel em
(0,∞).
(b) f−1(0) = 1 e (f−1)′(0) = −1/4;
(c) x+ 4y = 4
2.
1
3
3. (f−1)′(x) =

−1
3 3
√
(1− x)2
, x > 1
−1
2
√
1− x
, x < 1
4. Demonstração
5. Demonstração
6. f ′(x) =
6(x+ 1)arcsen2((x+ 1)2)√
1− (x+ 1)4
+
x
(x2 + 1)
√
x2
7. g′(x) =
1
1 +
1− cosx
1 + cosx
· 1
2
√
1− cosx
1 + cosx
· (1 + cosx)senx− (1− cosx)(−senx)
(1 + cosx)2
8. y′ =
(1 + y2)(2x− arctgy)
x− 2y(1 + y2)
=
(1 + y2)(x2 − y2)
x2 − 2xy(1 + y2)
9. y′ =
√
1− x2y2 − y
x−
√
1− x2y2
10. Demonstração
11. Demonstração
12. Demonstração
13. (a) f ′(x) = 2 + 4xarctgx 6= 0 pois
(i) f ′(0) = 2;
(ii) x > 0 ⇒ arctgx > 0 ⇒ xarctgx > 0 ⇒ f ′(x) > 2 ⇒ f ′(x) > 0;
(iii) x < 0 ⇒ arctgx < 0 ⇒ xarctgx > 0 ⇒ f ′(x) > 2 ⇒ f ′(x) > 0.
Logo pelo TFI, f possui inversa f−1.
(b) (f−1)′(−π) = 1
2 + π
.
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 9
Professor:Victor Emmanuel Função Logaŕıtmica
Função Exponencial
1. Seja f(x) =
ln(x2 − 3)√
(x− 1)(x+ 3)
. Determine o domíınio de f , os valores de x onde a f se anula e os intervalos
onde f é positiva e negativa.
Nos ecerćıcios 2 a 5 esboce o gráfico da função .
2. f(x) = ln|x− 4|
3. y = |ln|x+ 1||
4. F (x) = e|x+2|
5. g(t) = 12 − e
−t
Derive as funções de 6 a 16.
6. f(x) =
esen2x
√
x
ecos3x
7. f(x) = e
√
xln
√
x
8. f(x) = ln(x
√
x2 + 1)
9. f(x) = (ex)x
10. f(x) = ex
x
11. f(x) = (xx)x
12. f(x) = log2x
2
13. f(x) = (senx)arcsenx
14. f(x) = xπ + πx
15. f(x) = (lnx)xxlnx
16. f(x) = ln
√
x+ 1
(x− 1)3
Calcule y′ nos exerćıcios 17 a 19.
17. ln
(
x
y
+
y
x
)
= 5 18. sen(e
xy) = x 19.
y2cosx
ex
= 2lny, para x = 0 e y = 1
GABARITO
1. Domı́nio = (−∞, 3) ∪ (
√
3,+∞); f = 0 em x = 2; f > 0 para x < −3 ou x > 2; f < 0 para
√
3 < x < 2.
2.
3.
4.
5.
6. f ′(x) =
(1 + 4xcos2x+ 6xsen3x)esen2x
2ecos3x
√
x
7. f ′(x) =
e
√
x(1 +
√
xln
√
x)
2x
8. f ′(x) =
2x2 + 1
x(x2 + 1)
9. f ′(x) = 2xex
2
10. f ′(x) = xxex
x
(1 + lnx)
11. f ′(x) = (xx)x(x+ 2xlnx)
12. f ′(x) =
2
xln2
13. f ′(x) = (senx)arcsenx
(
(cotgx)arcsenx+
ln(senx)√
1− x2
)
14. f ′(x) = πxπ−1 + (lnπ)πx
15. f ′(x) = (lnx)x(xlnx)
(
1
lnx
+ ln(lnx) +
2lnx
x
)
16. f ′(x) =
−(5x+ 7)
2(x2 − 1)
17. y′ =
y
x
18. y′ =
1− yexycos(exy)
xexycos(exy)
19. y′ =
1
2− ln2
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 10
Professor:Victor Emmanuel Regra de L’Hôpital
Máximos e Mı́nimos
Concavidade
Ponto Cŕıtico e Ponto de inflexão
Refazer os limites das listas anteriores pela regra de L’Hôpital.
1. Calcule os limites
(a) lim
x→0
cos2x− 1
ex2 − 1
(b) lim
x→0
(1 + x)cotg(x)
(c) lim
x→+∞
(1 + 1x )
x
(d) lim
x→+∞
xe
−x
(e) lim
x→0+
( 1x )
tg(x)
(f) lim
x→π2
(cos(x))x−
π
2
(g) lim
x→+∞
( 2πarctg(x))
x
2. Calcule os pontos cŕıticos (se existem) de:
(a) y = 3x+ 4
(b) y = (x− 2)(x+ 4)
(c) y = x3 + 2x2 + 5x+ 3
(d) y = x4 + 4x3
(e) y = senx
(f) y = ex − x
(g) y = 3
√
(x2 − 9)2
(h) y =
x
x2 − 4
(i) y = xm(a− x)n, n,m ∈ Z e a > 0
(j) y = (4x2 − 3x− 1)7
3. Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(a) f(x) = 4x3 − 3x
(b) f(x) = ex − x
(c) f(x) = ln(x2 + 1)
(d) f(x) =
1√
x2 + 1
(e) f(x) = x3 + 2x2 − 4x+ 2
(f) f(x) = sen(x) +
x
2
(g) f(x) =
x2
x− 1
4. Calcule os pontosde máximos e de mı́nimos relativos (se existem) de:
(a) y = 7x2 − 6x+ 2
(b) y =
3
√
6x2 − 2x
(c) y = 5 + 5
√
(x− 2)7
(d) y =
x+ 1
x2 + 2x+ 1
− 2x
(e) y = x− 3 + 2
x+ 1
5. Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:
(a) f(x) = −x3 + 5x2 − 6x
(b) f(x) = x2 − 1
3x2
(c) f(x) = (x+ 4)ex+4
(d) f(x) =
x+ 1
x
(e) f(x) = ln(x2 − 2x+ 2)
GABARITO
1.
(a) −1
(b) e
(c) e
(d) 1
(e) 1
(f) 1
(g) e
−2
π
2. (a) Não exise;
(b) −1;
(c) Não existe;
(d) 0;
(e)
π
2
+ kπ;
(f) 0;
(g) Não existe;
(h) x = 0, x = a e x =
am
m+ n
(i) x = 1, x = −1
4
, x =
3
8
3. (a) Cresc. em (−∞,− 12 ) ∪ (
1
2 ,+∞) e decresc. em (−
1
2 ,
1
2 ).
(b) Cresc. em (0,+∞) e decresc. em (−∞, 0).
(c) Cresc. em (0,+∞) e decresc. em (−∞, 0).
(d) Cresc. em (−∞, 0) e decresc. em (0,+∞).
(e) Cresc. em (−∞,−2) ∪ ( 23 ,+∞) e decresc. em (−2,
2
3 ).
(f) Cresc. em (− 2π3 ,
2π
3 ) e decresc. em (−∞,−
2π
3 ) ∪ (
2π
3 ,+∞).
(g) Cresc. em (−∞, 0) ∪ (2,+∞) e decresc. em (0, 1) ∪ (1, 2).
4. (a) Mı́nimo: 37 , máximo: não tem;
(b) Mı́nimo: não tem, máximo: 29 ;
(c) Mı́nimo: não tem, máximo: não tem;
(d) Mı́nimo: não tem, máximo: não tem;
(e) Mı́nimo:
√
2− 1, máximo: −
√
2− 1;
5. (a) P. Inflexão: 53 ; Conc. para cima:(−∞,
5
3 ); Conc. para baixo:(
5
3 ,+∞).
(b) P. Inflexão:±1; Conc. para cima:(−∞,−1) ∪ (1,+∞); Conc. para baixo:(−1, 0) ∪ (0, 1).
(c) P. Inflexão:−6; Conc. para cima:(−6,+∞); Conc. para baixo:(−∞,−6).
(d) P. Inflexão:não tem; Conc. para cima:(0,+∞); Conc. para baixo:(−∞, 0).
(e) P. Inflexão:0 e 2; Conc. para cima:(0, 2); Conc. para baixo:(−∞, 0) ∪ (2,+∞).
Cálculo I - IFF - Campus Macaé Lista 11
Professor:Victor Emmanuel Esboço de gráficos
Esboce o gráfico das funções abaixo:
1. f(x) = −x4 − x3 − 2x2
2. f(x) =
3x + 1
(x + 2)(x− 3)
3. f(x) = 2
√
x− x
4. f(x) =
1
x2
− 1
x
5. f(x) = x6 − x4
6. f(x) = (x + 1)(x− 3) 23
7. f(x) =
x2 + 2
x2 − x− 2
8. f(x) = (x4 − x2)ln(x)
9. f(x) = 3
√
(x− 1)2
10. f(x) = x5 − x3
GABARITO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.